प्रकरण 2 : बहुपदी (सारांश)
1. बहुपदीची कोटी 1, 2 आणि 3 असणाऱ्या बहुपदींना अनुक्रमे रेषीय, वर्ग आणि घन बहुपदी म्हणतात.
2. एक वर्ग बहुपदी ax2 + bx + c या स्वरूपात असते, जेथे a, b, c या वास्तव संख्या असून a ≠ 0 असते.
3. p(x) या बहुपदीची शून्ये म्हणजे y = p(x) या आलेखाच्या x-अक्षावरील छेदनबिंदूचे x-निर्देशक असतात.
4. वर्ग बहुपदीला जास्तीत जास्त 2 शून्ये असू शकतात आणि घन बहुपदीला जास्तीत जास्त 3 शून्ये असू शकतात.
5. जर α आणि β ही ax2 + bx + c या वर्ग बहुपदीची शून्ये असतील, तर:
शून्यांची बेरीज (α + β) = -b / a
शून्यांचा गुणाकार (αβ) = c / a
शून्यांचा गुणाकार (αβ) = c / a
6. जर α, β, γ ही ax3 + bx2 + cx + d या घन बहुपदीची शून्ये असतील, तर:
α + β + γ = -b / a
αβ + βγ + γα = c / a
αβγ = -d / a
αβ + βγ + γα = c / a
αβγ = -d / a
प्रकरण 2: बहुपदी – स्वाध्याय 2.1 आणि 2.2
स्वाध्याय 2.1
प्रश्न: पुस्तकातील आकृत्यांमध्ये y = p(x) चे आलेख दिले आहेत. प्रत्येक आकृतीतील p(x) च्या शून्यांची संख्या काढा.
उत्तर पहा
नियम: आलेख x-अक्षाला जितक्या बिंदूंमध्ये छेदतो, तितकी त्या बहुपदीची शून्ये असतात.
1) आलेख x-अक्षाला छेदत नाही. म्हणून शून्यांची संख्या = 0
2) आलेख x-अक्षाला एका बिंदूत छेदतो. म्हणून शून्यांची संख्या = 1
3) आलेख x-अक्षाला तीन बिंदूत छेदतो. म्हणून शून्यांची संख्या = 3
4) आलेख x-अक्षाला दोन बिंदूत छेदतो. म्हणून शून्यांची संख्या = 2
5) आलेख x-अक्षाला चार बिंदूत छेदतो. म्हणून शून्यांची संख्या = 4
6) आलेख x-अक्षाला तीन बिंदूत स्पर्श करतो/छेदतो. म्हणून शून्यांची संख्या = 3
स्वाध्याय 2.2
प्रश्न 1: खालील वर्ग बहुपदीची शून्ये ओळखा. तसेच शून्ये आणि सहगुणक यामधील संबंध तपासून पहा. (सहा उपप्रश्न)
(i) x2 – 2x – 8
उत्तर पहा
दिलेली बहुपदी: x2 – 2x – 8 = 0
मधल्या पदाची फोड करू: –4x + 2x
x(x – 4) + 2(x – 4) = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
म्हणून, x = 4 किंवा x = –2 (ही शून्ये आहेत)
पडताळणी:
शून्यांची बेरीज = 4 + (-2) = 2. सूत्राने (-b/a) = -(-2) / 1 = 2
शून्यांचा गुणाकार = 4 * (-2) = –8. सूत्राने (c/a) = –8 / 1 = –8
(संबंध सत्य आहे)
(ii) 4s2 – 4s + 1
उत्तर पहा
दिलेली बहुपदी: 4s2 – 4s + 1 = 0
हे (2s – 1)2 चे रूप आहे.
(2s – 1)(2s – 1) = 0
म्हणून, s = 1/2 किंवा s = 1/2 (ही शून्ये आहेत)
पडताळणी:
शून्यांची बेरीज = 1/2 + 1/2 = 1. सूत्राने (-b/a) = -(-4) / 4 = 1
शून्यांचा गुणाकार = 1/2 * 1/2 = 1/4. सूत्राने (c/a) = 1 / 4 = 1/4
(संबंध सत्य आहे)
(iii) 6x2 – 3 – 7x
उत्तर पहा
बहुपदी योग्य क्रमाने लिहू: 6x2 – 7x – 3 = 0
मधल्या पदाची फोड करू: –9x + 2x
3x(2x – 3) + 1(2x – 3) = 0
(2x – 3)(3x + 1) = 0
म्हणून, x = 3/2 किंवा x = –1/3 (ही शून्ये आहेत)
पडताळणी:
शून्यांची बेरीज = 3/2 + (-1/3) = 7/6. सूत्राने (-b/a) = -(-7) / 6 = 7/6
शून्यांचा गुणाकार = (3/2) * (-1/3) = –1/2. सूत्राने (c/a) = –3 / 6 = –1/2
(संबंध सत्य आहे)
(iv) 4u2 + 8u
उत्तर पहा
दिलेली बहुपदी: 4u2 + 8u = 0
4u सामाईक काढू: 4u(u + 2) = 0
म्हणून, 4u = 0 किंवा u + 2 = 0
म्हणजेच, u = 0 किंवा u = –2 (ही शून्ये आहेत)
पडताळणी:
शून्यांची बेरीज = 0 + (-2) = –2. सूत्राने (-b/a) = –8 / 4 = –2
शून्यांचा गुणाकार = 0 * (-2) = 0. सूत्राने (c/a) = 0 / 4 = 0
(संबंध सत्य आहे)
(v) t2 – 15
उत्तर पहा
दिलेली बहुपदी: t2 – 15 = 0
t2 = 15
म्हणून, t = √15 किंवा t = -√15 (ही शून्ये आहेत)
पडताळणी:
शून्यांची बेरीज = √15 + (-√15) = 0. सूत्राने (-b/a) = –0 / 1 = 0
शून्यांचा गुणाकार = √15 * (-√15) = –15. सूत्राने (c/a) = –15 / 1 = –15
(संबंध सत्य आहे)
(vi) 3x2 – x – 4
उत्तर पहा
दिलेली बहुपदी: 3x2 – x – 4 = 0
मधल्या पदाची फोड करू: –4x + 3x
x(3x – 4) + 1(3x – 4) = 0
(3x – 4)(x + 1) = 0
म्हणून, x = 4/3 किंवा x = –1 (ही शून्ये आहेत)
पडताळणी:
शून्यांची बेरीज = 4/3 + (-1) = 1/3. सूत्राने (-b/a) = -(-1) / 3 = 1/3
शून्यांचा गुणाकार = (4/3) * (-1) = –4/3. सूत्राने (c/a) = –4 / 3 = –4/3
(संबंध सत्य आहे)
प्रश्न 2: खाली दिलेल्या संख्या प्रत्येक वर्ग बहुपदीच्या शून्यांची अनुक्रमे बेरीज आणि गुणाकार आहेत तर ती वर्ग बहुपदी ओळखा.
सूत्र: x2 – (शून्यांची बेरीज)x + (शून्यांचा गुणाकार) = 0
(i) 1/4, –1
उत्तर पहा
शून्यांची बेरीज = 1/4, शून्यांचा गुणाकार = –1
सूत्रामध्ये किमती घालू: x2 – (1/4)x + (-1) = 0
समीकरणाला 4 ने गुणून:
उत्तर: 4x2 – x – 4
(ii) √2, 1/3
उत्तर पहा
शून्यांची बेरीज = √2, शून्यांचा गुणाकार = 1/3
सूत्रामध्ये किमती घालू: x2 – (√2)x + (1/3) = 0
समीकरणाला 3 ने गुणून:
उत्तर: 3x2 – 3√2x + 1
(iii) 0, √5
उत्तर पहा
शून्यांची बेरीज = 0, शून्यांचा गुणाकार = √5
सूत्रामध्ये किमती घालू: x2 – (0)x + (√5) = 0
उत्तर: x2 + √5
(iv) 1, 1
उत्तर पहा
शून्यांची बेरीज = 1, शून्यांचा गुणाकार = 1
सूत्रामध्ये किमती घालू: x2 – (1)x + (1) = 0
उत्तर: x2 – x + 1
(v) –1/4, 1/4
उत्तर पहा
शून्यांची बेरीज = –1/4, शून्यांचा गुणाकार = 1/4
सूत्रामध्ये किमती घालू: x2 – (-1/4)x + (1/4) = 0
x2 + (1/4)x + (1/4) = 0
समीकरणाला 4 ने गुणून:
उत्तर: 4x2 + x + 1
(vi) 4, 1
उत्तर पहा
शून्यांची बेरीज = 4, शून्यांचा गुणाकार = 1
सूत्रामध्ये किमती घालू: x2 – (4)x + (1) = 0
उत्तर: x2 – 4x + 1
अधिक अभ्यासासाठी महत्त्वाच्या लिंक्स:
SSLC Karnataka Marathi IMP Questions
KSEEB Class 10 Marathi Textbook Solutions (Part 2)
इयत्ता 10 वी गणित : बहुपदी – 1 गुणांचे महत्त्वाचे प्रश्न
1. रेषीय बहुपदीची (linear polynomial) कोटी किती असते?
उत्तर पहा
उत्तर: 1
2. वर्ग बहुपदीची (quadratic polynomial) कोटी किती असते?
उत्तर पहा
उत्तर: 2
3. घन बहुपदीची (cubic polynomial) कोटी किती असते?
उत्तर पहा
उत्तर: 3
4. 4x + 2 या बहुपदीची कोटी किती आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: 1
5. 2y^2 – 3y + 4 या बहुपदीची कोटी किती आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: 2
6. p(x) या बहुपदीचा आलेख X-अक्षाला ज्या बिंदूत छेदतो, त्या बिंदूचे x-निर्देशक काय दर्शवतात?
उत्तर पहा
उत्तर: बहुपदीची शून्ये (Zeroes of polynomial)
7. एका रेषीय बहुपदीला जास्तीत जास्त किती शून्ये असू शकतात?
उत्तर पहा
उत्तर: 1
8. एका वर्ग बहुपदीला जास्तीत जास्त किती शून्ये असू शकतात?
उत्तर पहा
उत्तर: 2
9. एका घन बहुपदीला जास्तीत जास्त किती शून्ये असू शकतात?
उत्तर पहा
उत्तर: 3
10. जर ax^2 + bx + c या वर्ग बहुपदीची शून्ये alpha आणि beta असतील, तर शून्यांची बेरीज (alpha + beta) किती असते?
उत्तर पहा
उत्तर: -b / a
11. जर ax^2 + bx + c या वर्ग बहुपदीची शून्ये alpha आणि beta असतील, तर शून्यांचा गुणाकार (alpha * beta) किती असतो?
उत्तर पहा
उत्तर: c / a
12. p(x) = x^2 – 3 या बहुपदीची शून्ये कोणती आहेत?
उत्तर पहा
उत्तर: √3 आणि -√3
13. ax^3 + bx^2 + cx + d या घन बहुपदीच्या शून्यांचा गुणाकार (alpha * beta * gamma) किती असतो?
उत्तर पहा
उत्तर: -d / a
14. बहुपदीच्या भागाकार अल्गोरिथम (Division Algorithm) नुसार p(x) बरोबर काय असते?
उत्तर पहा
उत्तर: p(x) = g(x) * q(x) + r(x)
15. जर p(x) ला g(x) ने भागले आणि बाकी r(x) = 0 आली, तर g(x) हा p(x) चा काय असतो?
उत्तर पहा
उत्तर: अवयव (Factor)
16. 3x^2 + 5x – 2 या बहुपदीमध्ये x^2 चा सहगुणक कोणता आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: 3
अधिक अभ्यासासाठी खालील लिंक्सला भेट द्या:
SSLC Board Exam Questions (2020 to 2024)
SSLC English TL Online Quiz: The Two Great Musicians
