इयत्ता 8 वी गणित: संख्यांची कहाणी (प्रकरण 3)
महत्त्वाचे मुद्दे:
- मानवाला प्राचीन काळापासून वस्तू मोजण्याची गरज भासत होती.
- संख्या दर्शवण्यासाठी सुरुवातीला खडे, काठ्या किंवा शरिराच्या भागांचा वापर केला जात असे.
- आज आपण वापरत असलेल्या 0 ते 9 अंकांची आणि स्थान मूल्य पद्धतीची निर्मिती भारतात झाली.
- बखशाली हस्तलिखितात (इ.स. 3 ऱ्या शतकात) 0 या अंकाचा वापर दिसून येतो.
- आर्यभट्ट यांनी 10 चिन्हांच्या भारतीय पद्धतीचे स्पष्टीकरण दिले.
- रोमन पद्धतीत मोठ्या संख्या लिहिणे कठीण होते कारण त्यात स्थान मूल्य पद्धतीचा अभाव होता.
- आधारांक (Base) पद्धतीमध्ये प्रत्येक मार्गदर्शक संख्या ही ठराविक पटीत वाढते.
- स्थान मूल्य पद्धतीमुळे मोजक्या चिन्हांचा वापर करून कोणत्याही मोठ्या संख्या लिहिणे सोपे झाले.
सराव प्रश्न (LBA)
1. आधुनिक संख्या पद्धतीचा उगम कोणत्या देशात झाला?
2. मेसापोटेमियन लोकसंख्या पद्धतीचा आधारांक (Base) कोणता होता?
3. बखशाली हस्तलिखितात शून्याला काय संबोधले होते?
4. मेसापोटेमिया संस्कृती सध्याच्या या देशामध्ये होती.
5. ‘स्थान मूल्य पद्धती’ म्हणजे काय?
6. ‘गणित-सार-संग्रह’ हा ग्रंथ कोणाचा आहे?
7. प्राचीन इजिप्शियन पद्धतीत 100 साठी कोणते चिन्ह वापरले जात होते?
8. मायान संस्कृती कोणत्या खंडात विकसित झाली?
9. सर्वात जुन्या गणितीय कलाकृतीपैकी एक असलेले ‘लेम्बोंबो हाड’ किती वर्षांपूर्वीचे आहे?
10. 10100 या संख्येला काय म्हणतात?
11. रोमन संख्या पद्धतीत 50 साठी कोणते अक्षर वापरले जाते?
12. अल्गोरिथम हा शब्द कोणाच्या नावावरून ठेवला आहे?
13. ‘असंख्येय’ ही संज्ञा कोणत्या संख्येसाठी वापरली जात असे?
14. हिंदू संख्या पद्धतीचा मुख्य फायदा कोणता?
15. इशांगो हाडे कोणत्या देशात सापडली?
प्रकरण 3: संख्यांची कहाणी – ‘शोधा पाहू’ संपूर्ण उत्तरे
पाठ्यपुस्तक पान क्र. 74
1. अशी कोणतीही एक संख्या आहे का ज्याचे इजिप्शियन संख्येने दर्शविताना 10 किंवा अधिक वेळा चिन्ह येऊ शकते? का नाही?
उत्तर पहा
उत्तर: नाही, अशी कोणतीही संख्या नाही.
कारण: इजिप्शियन पद्धतीमध्ये प्रत्येक मार्गदर्शक संख्या (Landmark Number) जास्तीत जास्त 9 वेळाच लिहिली जाते. जेव्हा एखादे मूल्य 10 वेळा येते, तेव्हा त्याचा एकत्र गट करून पुढील मोठ्या मार्गदर्शक संख्येचे एक नवीन चिन्ह वापरले जाते (उदा. 10 उभ्या रेषांऐवजी 10 चे एक खुरी चिन्ह). त्यामुळे कोणतेही चिन्ह 10 किंवा अधिक वेळा कधीच येत नाही.
कारण: इजिप्शियन पद्धतीमध्ये प्रत्येक मार्गदर्शक संख्या (Landmark Number) जास्तीत जास्त 9 वेळाच लिहिली जाते. जेव्हा एखादे मूल्य 10 वेळा येते, तेव्हा त्याचा एकत्र गट करून पुढील मोठ्या मार्गदर्शक संख्येचे एक नवीन चिन्ह वापरले जाते (उदा. 10 उभ्या रेषांऐवजी 10 चे एक खुरी चिन्ह). त्यामुळे कोणतेही चिन्ह 10 किंवा अधिक वेळा कधीच येत नाही.
2. स्वतःची आधारांक 4 ची संख्या पध्दत निर्माण करा आणि 1 ते 16 पर्यंत संख्या दर्शवा.
उत्तर पहा
आधारांक 4 च्या मार्गदर्शक संख्या 1, 4, 16 असतात. आपण चिन्हे मानूया:
1 साठी = A, 4 साठी = B, 16 साठी = C
| संख्या | चिन्ह रूप | संख्या | चिन्ह रूप |
|---|---|---|---|
| 1 | A | 9 | BBA |
| 2 | AA | 10 | BBAA |
| 3 | AAA | 11 | BBAAA |
| 4 | B | 12 | BBB |
| 5 | BA | 13 | BBBA |
| 6 | BAA | 14 | BBBAA |
| 7 | BAAA | 15 | BBBAAA |
| 8 | BB | 16 | C |
3. आधारांक 5 पध्दतीमध्ये दिलेल्या संख्येला 5 ने गुणण्यासाठी तुम्ही बनविलेला सोपा नियम लिहा.
उत्तर पहा
नियम: आधारांक 5 पद्धतीमध्ये कोणत्याही संख्येला 5 ने गुणले असता, त्या संख्येतील प्रत्येक मार्गदर्शक संख्येचे चिन्ह बदलून त्याच्या पुढील (मोठ्या) मार्गदर्शक संख्येचे चिन्ह बनते. (उदा. 1 चे चिन्ह बदलून 5 चे चिन्ह बनते, आणि 5 चे चिन्ह बदलून 25 चे चिन्ह बनते).
पाठ्यपुस्तक पान क्र. 77
1. खालील संख्या मेसापोटेमियन पध्दतीमध्ये दर्शवा: (i) 63 (ii) 132 (iii) 200 (iv) 60 (v) 3605
उत्तर पहा
मेसापोटेमियन पद्धत आधारांक 60 वर आधारित आहे. पाठ्यपुस्तकात शिकवल्याप्रमाणे आपण गट संक्षिप्त रूपात मांडूया:
- (i) 63 = (1) × 60 + 3 ➔ संक्षिप्त रूप: **[ 1 ] [ 3 ]**
- (ii) 132 = (2) × 60 + 12 ➔ संक्षिप्त रूप: **[ 2 ] [ 12 ]**
- (iii) 200 = (3) × 60 + 20 ➔ संक्षिप्त रूप: **[ 3 ] [ 20 ]**
- (iv) 60 = (1) × 60 + 0 ➔ संक्षिप्त रूप: **[ 1 ] [ रिकामी जागा ]** *(किंवा 1 0)*
- (v) 3605 = (1) × 3600 + (0) × 60 + 5 ➔ संक्षिप्त रूप: **[ 1 ] [ 0 ] [ 5 ]**
पाठ्यपुस्तक पान क्र. 84
1. चिनी लोकानी झाँग आणि हेंग चिन्हांना आलटून पालटुन वापरले असे तुम्हाला का वाटते? फक्त झोंग चिन्हे वापरुन 41 हे कसे दर्शविले जाते? जर दोन सलग चिन्हामध्ये लक्षणीय जागा नसेल तर या संख्याचा अर्थ इतर कोणताही लावला जाऊ शकतो का?
उत्तर पहा
- आलटून पालटून का वापरले: शेजारील स्थान मूल्ये एकमेकांत मिसळू नयेत म्हणून. जर दोन्हीकडे उभ्या सळ्या वापरल्या असती, तर दोन शेजारील अंक एकत्र जोडून वेगळीच संख्या दिसली असती.
- फक्त झाँग वापरून 41: झाँग पद्धतीत 4 म्हणजे चार उभ्या रेषा (||||) आणि 1 म्हणजे एक उभी रेषा (|). दोन्ही शेजारी लिहिल्यास ते पाच सळ्यांसारखे **|||||** दिसेल.
- इतर अर्थ: होय, जर दोन चिन्हांमध्ये स्पष्ट अंतर नसेल, तर |||| आणि | एकत्र येऊन त्याचा चुकीचा अर्थ **5** असा लावला जाऊ शकतो.
2. उकासर आणि युरोपान हे अंक वापरुन आधारांक 2 ची स्थान मूल्य पध्दत तयार करा. या पध्दतीची तुलना गुमुलगल पध्दतीशी करा.
उत्तर पहा
आपण मानूया: **युरोपान = 0** आणि **उकासर = 1**.
- संख्या 1 = उकासर
- संख्या 2 = उकासर – युरोपान *(10)*
- संख्या 3 = उकासर – उकासर *(11)*
- संख्या 4 = उकासर – युरोपान – युरोपान *(100)*
3. तुमच्या दैनंदिन जीवनात आणि कोणत्याही व्यवसायात हिंदु संख्या आणि 0 कोणती महत्वाची भुमिका बजावितात? जर आपली संख्या पध्दती आणि 0 चा शोध लागला नसता तर जीवन वेगळे कसे झाले असते?
उत्तर पहा
- महत्त्वाची भूमिका: बँक व्यवहार, खरेदी-विक्री, संगणक प्रणाली (Coding), मोबाईल आणि विज्ञान या सर्व गोष्टी शून्य आणि 10 अंकांच्या स्थान मूल्य पद्धतीवर अवलंबून आहेत.
- शोध लागला नसता तर: साधी बेरीज किंवा गुणाकार करणे प्रचंड कठीण झाले असते. आपण रोमन चिन्हे मोजण्यात अडकलो असतो. संगणक, इंटरनेट आणि आधुनिक तंत्रज्ञानाचा शोध कधीच लागू शकला नसता.
4. प्राचीन भारतीयांनी हिंदु संख्या पध्दतीसाठी आधारांक 10 वापरला कारण मानवाना 10 बोटे आहेत. पण जर आपल्याला 8 बोटे असती तर काय? तेव्हा आपण संख्या कशा लिहिलो असतो? जर आपण आधारांक 8 वापरत असतो तर संख्या कशा दिसल्या असत्या? आधारांक 5? हिंदु संख्या 25 ही आधारांक 8 आणि आधारांक 5 मध्ये लिहीण्याचा अनुक्रमे प्रयत्न करा. तुम्ही हे आधारांक- 2 मध्ये लिहू शकता का?
उत्तर पहा
- जर 8 बोटे असती: आपण आधारांक 8 ची पद्धत वापरली असती, ज्यात केवळ **0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7** हे 8 च अंक असते.
- हिंदू संख्या 25 चे रूपांतर:
- ➔ आधारांक 8 मध्ये २५ = **31** *(कारण 3×8 + 1 = 25)*
- ➔ आधारांक 5 मध्ये २५ = **100** *(कारण 1×25 + 0 + 0)*
- ➔ आधारांक 2 मध्ये २५ = **11001** *(16 + 8 + 1)*
