इयत्ता 8 वी गणित: प्रकरण 1 – वर्ग आणि घन
महत्त्वाचे मुद्दे (Important Points)
- वर्ग संख्या (Square Numbers): एखाद्या संख्येचा त्याच संख्येशी गुणाकार केला असता मिळणाऱ्या संख्येला वर्ग संख्या म्हणतात. केवळ ज्या संख्यांना विषम संख्येने अवयव असतात, त्यांनाच पूर्ण वर्ग म्हणतात.
- पूर्ण वर्ग संख्यांचा शेवट नेहमी 0, 1, 4, 5, 6 किंवा 9 याच अंकांनी होतो. जर संख्येचा शेवट 2, 3, 7 किंवा 8 अंकांनी होत असेल, तर ती संख्या पूर्ण वर्ग नसते.
- वर्ग संख्येच्या शेवटी असलेल्या शून्यांची संख्या नेहमी सम असते.
- प्रत्येक पूर्ण वर्ग संख्या ही 1 पासून सुरू होणाऱ्या क्रमवार विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज असते. पहिल्या ‘n’ विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज n² असते.
- वर्गमूळ (Square Root): वर्गमूळ ही वर्गाची व्यस्त क्रिया आहे. प्रत्येक पूर्ण वर्गाला दोन पूर्णांक वर्गमूळे असतात (एक धन आणि एक ऋण). धन वर्गमूळ दर्शवण्यासाठी √ हे चिन्ह वापरतात.
- घन संख्या (Cubic Numbers): एखाद्या संख्येचा त्याच संख्येशी तीन वेळा गुणाकार करून मिळणाऱ्या संख्येला घन असे म्हणतात.
- घनमूळ (Cube Root): घनमूळ दर्शवण्यासाठी ∛ हे चिन्ह वापरतात.
- टॅक्सीकॅब संख्या (Taxicab Numbers): ज्या संख्या दोन घनांच्या बेरजेच्या स्वरूपात दोन वेगवेगळ्या प्रकारे व्यक्त करता येतात, त्यांना टॅक्सीकॅब संख्या म्हणतात. उदाहरणार्थ: 1729 (हार्डी-रामानुजन संख्या), 4104 आणि 13832.
| संख्या | वर्ग (Square) | घन (Cube) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 5 | 25 | 125 |
| 10 | 100 | 1000 |
बहुपर्यायी प्रश्न (MCQ)
1. खालीलपैकी कोणत्या अंकाने पूर्ण वर्ग संख्येचा शेवट कधीही होत नाही?
उत्तर पहा
उत्तर: C) 8
2. पहिल्या ‘n’ विषम नैसर्गिक संख्यांची बेरीज किती असते?
उत्तर पहा
उत्तर: B) n²
3. 64 या संख्येची पूर्णांक वर्गमूळे कोणती आहेत?
उत्तर पहा
उत्तर: C) +8 आणि -8
4. खालीलपैकी कोणती संख्या ‘हार्डी-रामानुजन संख्या’ (टॅक्सीकॅब संख्या) म्हणून ओळखली जाते?
उत्तर पहा
उत्तर: B) 1729
5. जर एखाद्या संख्येच्या शेवटी 3 शून्य असतील, तर तिच्या वर्गाच्या शेवटी किती शून्य असतील?
उत्तर पहा
उत्तर: B) 6 (शून्यांची संख्या दुप्पट होते)
6. 1 ते 100 या संख्यांमध्ये एकूण किती पूर्ण वर्ग संख्या आहेत?
उत्तर पहा
उत्तर: C) 10 (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100)
7. 2 सें.मी. बाजू असलेला घन बनवण्यासाठी 1 सें.मी. बाजूचे किती घन एकत्र घ्यावे लागतील?
उत्तर पहा
उत्तर: C) 8 (2³ = 8)
8. 4 कडांची लांबी (एकक) असलेल्या घनाच्या प्रत्येक चौरस थरामध्ये किती एकक घन असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: C) 16 (4 × 4 = 16)
9. 324 या पूर्ण वर्ग संख्येचे धन वर्गमूळ किती आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: B) 18
10. 3375 या संख्येचे घनमूळ (∛3375) किती आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: A) 15
11. 10 ते 26 या संख्यांच्या दरम्यान एकूण किती पूर्ण घन संख्या आहेत?
उत्तर पहा
उत्तर: D) एकही नाही (0)
12. पूर्ण वर्ग संख्यांना नेहमी किती अवयव असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: B) विषम संख्येने
13. 1729 ही हार्डी-रामानुजन संख्या दोन घनांच्या बेरजेच्या स्वरूपात कशी लिहिता येते?
उत्तर पहा
उत्तर: A) 1³ + 12³ आणि 9³ + 10³
14. खालीलपैकी कोणती संख्या पूर्ण वर्ग नाही?
उत्तर पहा
उत्तर: D) 1027 (कारण संख्येचा शेवट 7 ने झाला आहे)
15. ‘पद’ (Pada) या प्राचीन भारतीय शब्दाचा ब्रम्हगुप्त यांनी गणितीय क्रियेत कशासाठी वापर केला आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: C) मूळ (Square Root / Base)
रिकाम्या जागा भरा
1. पूर्ण वर्ग संख्यांच्या शेवटी असलेल्या शून्यांची संख्या नेहमी असते.
उत्तर पहा
उत्तर: सम
2. 49 चौरस सें.मी. क्षेत्रफळ असलेल्या चौरसाची बाजू सें.मी. असते.
उत्तर पहा
उत्तर: 7
3. 11 या संख्येचा घन (11³) बरोबर आहे.
उत्तर पहा
उत्तर: 1331
4. पूर्ण वर्ग आणि पूर्ण घनाची पहिली ज्ञात यादी इसवी सन पूर्व 1700 मध्ये लोकांनी संकलित केली होती.
उत्तर पहा
उत्तर: बेबिलोनियन
5. घन संख्येच्या मूळ अवयवीकरणात प्रत्येक मूळ अवयव वेळा येतो.
उत्तर पहा
उत्तर: तीन
एका वाक्यात उत्तरे लिहा (1 Mark Questions)
1. पूर्ण वर्ग संख्या कशाला म्हणतात?
उत्तर पहा
उत्तर: एखाद्या नैसर्गिक संख्येचा त्याच संख्येशी गुणाकार करून मिळणाऱ्या संख्येला पूर्ण वर्ग संख्या असे म्हणतात.
2. टॅक्सीकॅब संख्या (Taxicab Numbers) म्हणजे काय?
उत्तर पहा
उत्तर: ज्या संख्या दोन घनांच्या बेरजेच्या स्वरूपात दोन वेगवेगळ्या प्रकारे व्यक्त करता येतात, त्यांना टॅक्सीकॅब संख्या म्हणतात.
3. 156 ही संख्या पूर्ण वर्ग का नाही?
उत्तर पहा
उत्तर: 156 चे मूळ अवयवीकरण 2 × 2 × 3 × 13 असे येते, ज्यामध्ये सर्व अवयवांचे समान जोड्यांमध्ये गट करता येत नाहीत, म्हणून ती पूर्ण वर्ग संख्या नाही.
4. घनमूळ दर्शवण्यासाठी कोणते गणितीय चिन्ह वापरतात?
उत्तर पहा
उत्तर: घनमूळ दर्शवण्यासाठी ∛ हे चिन्ह वापरतात.
5. राणी रत्नमंजुरी यांच्या 100 लॉकर्सच्या कोड्यामध्ये शेवटी कोणते लॉकर्स उघडे राहतात?
उत्तर पहा
उत्तर: ज्या लॉकर्सचे क्रमांक पूर्ण वर्ग संख्या (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) आहेत, ते लॉकर्स शेवटी उघडे राहतात.
इयत्ता 8 वी गणित: प्रकरण 1 – वर्ग आणि घन
(शोधा पाहू – संपूर्ण स्वाध्याय उत्तरे)
(शोधा पाहू – संपूर्ण स्वाध्याय उत्तरे)
Page No: 11
1. खालीलपैकी कोणत्या पूर्ण वर्ग संख्या नाहीत? (i) 2032 (ii) 2048 (iii) 1027 (iv) 1089
उत्तर पहा
नियम: ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 2, 3, 7 किंवा 8 हे अंक असतात, ती संख्या कधीही पूर्ण वर्ग नसते.
- (i) 2032: एकक स्थानी 2 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्ग संख्या नाही.
- (ii) 2048: एकक स्थानी 8 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्ग संख्या नाही.
- (iii) 1027: एकक स्थानी 7 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्ग संख्या नाही.
- (iv) 1089: एकक स्थानी 9 आहे (33 चा वर्ग), म्हणून ही पूर्ण वर्ग संख्या आहे.
उत्तर: (i) 2032, (ii) 2048 आणि (iii) 1027 या पूर्ण वर्ग संख्या नाहीत.
Page No: 11
2. 64², 108², 292², 36² यापैकी कोणत्या संख्येचा शेवटचा अंक 4 असेल?
उत्तर पहा
स्पष्टीकरण: संख्येच्या वर्गाचा शेवटचा अंक काढण्यासाठी त्या संख्येच्या एकक स्थानच्या अंकाचा वर्ग करावा.
- 64²: एकक स्थानी 4 आहे. 4 × 4 = 16 (शेवटचा अंक 6)
- 108²: एकक स्थानी 8 आहे. 8 × 8 = 64 (शेवटचा अंक 4)
- 292²: एकक स्थानी 2 आहे. 2 × 2 = 4 (शेवटचा अंक 4)
- 36²: एकक स्थानी 6 आहे. 6 × 6 = 36 (शेवटचा अंक 6)
उत्तर: 108² आणि 292² या संख्यांचा शेवटचा अंक 4 असेल.
Page No: 11
3. 125² = 15625 हे दिलेले आहे तर 126² ची किंमत किती? पर्याय: (i) 15625 + 126 (ii) 15625 + 26² (iii) 15625 + 253 (iv) 15625 + 251 (v) 15625 + 51²
उत्तर पहा
पायऱ्या: दोन क्रमवार संख्यांच्या वर्गातील फरक हा त्या दोन संख्यांच्या बेरजेइतका असतो.
- फरक = 125 + 126 = 251
- म्हणून, 126² = 125² + (125 + 126)
- 126² = 15625 + 251
उत्तर: पर्याय (iv) 15625 + 251 योग्य आहे.
Page No: 11
4. 441 चौ. मी. क्षेत्रफळ असणाऱ्या चौरसाच्या बाजूची लांबी शोधा.
उत्तर पहा
पायऱ्या:
- चौरसाचे क्षेत्रफळ = बाजू²
- बाजू² = 441
- बाजू = √441
- मूळ अवयव पद्धतीने: 441 = 3 × 3 × 7 × 7
- गट केल्यास: (3 × 7) × (3 × 7) = 21 × 21
उत्तर: चौरसाच्या बाजूची लांबी 21 मीटर आहे.
Page No: 11
5. 4, 9 आणि 10 या संख्यांनी प्रत्येकी भाग जाणारी लहानात लहान वर्ग संख्या काढा.
उत्तर पहा
पायऱ्या:
- प्रथम 4, 9 आणि 10 चा लसावि (LCM) काढू.
- 4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5
- लसावि = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
- 180 चे अवयव = (2 × 2) × (3 × 3) × 5
- येथे 2 आणि 3 ची जोडी आहे, परंतु 5 ची जोडी अपूर्ण आहे.
- पूर्ण वर्ग करण्यासाठी 180 ला 5 ने गुणावे लागेल.
- 180 × 5 = 900
उत्तर: ती लहानात लहान पूर्ण वर्ग संख्या 900 आहे.
Page No: 11
6. 9408 ला कोणत्या लहानात लहान संख्येने गुणले असता येणारा गुणाकार ही पूर्ण वर्ग संख्या होईल? त्याचे वर्गमूळ काढा.
उत्तर पहा
पायऱ्या:
- 9408 चे मूळ अवयवीकरण करू:
- 9408 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7
- जोड्या लावल्यास: (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × 3 × (7 × 7)
- येथे अवयव 3 ची जोडी अपूर्ण आहे. म्हणून 3 ने गुणावे लागेल.
- नवीन संख्या = 9408 × 3 = 28224
- नवीन वर्गमूळ = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 168
उत्तर: गुणण्याची लहानात लहान संख्या 3 आहे आणि नवीन संख्येचे वर्गमूळ 168 आहे.
Page No: 11
7. खालील संख्यांच्या वर्गामध्ये येणाऱ्या संख्या किती? (i) 16 आणि 17 (ii) 99 आणि 100
उत्तर पहा
सूत्र: n आणि (n + 1) या दोन क्रमवार संख्यांच्या वर्गांच्या दरम्यान नेहमी 2n नैसर्गिक संख्या असतात.
- (i) 16 आणि 17: येथे n = 16. दरम्यानच्या संख्या = 2 × 16 = 32
- (ii) 99 आणि 100: येथे n = 99. दरम्यानच्या संख्या = 2 × 99 = 198
उत्तर: (i) 32 संख्या आणि (ii) 198 संख्या येतात.
Page No: 12
8. खालील नमुन्यामधील गाळलेल्या जागा संख्यांनी भरा.
1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12² = 13²
4² + 5² + 20² = ( _ )²
9² + 10² + ( _ )² = ( _ )²
1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12² = 13²
4² + 5² + 20² = ( _ )²
9² + 10² + ( _ )² = ( _ )²
उत्तर पहा
नमुन्याचा नियम: पहिली संख्या × दुसरी संख्या = तिसरी संख्या. आणि (तिसरी संख्या + 1) = चौथी संख्या.
- चौथ्या ओळीत: 4² + 5² + 20² = (20 + 1)² = 21²
- पाचव्या ओळीत: 9 × 10 = 90. आणि 90 + 1 = 91. म्हणून 9² + 10² + 90² = 91²
उत्तर: पहिल्या रिकाम्या जागेत 21, आणि दुसऱ्या व तिसऱ्या जागेत अनुक्रमे 90 व 91 येईल.
Page No: 12
9. दिलेल्या चित्रामध्ये किती सूक्ष्म (लहान) चौरस आहेत? लहान चौरसांच्या संख्येचे मूळ अवयवीकरण लिहा. (चित्र: 5 × 5 चा मोठा चौरस)
उत्तर पहा
पायऱ्या:
- चित्रामध्ये एका रांगेत 5 चौरस आहेत आणि अशा 5 रांगा आहेत.
- एकूण लहान चौरस = 5 × 5 = 25
- 25 चे मूळ अवयवीकरण = 5 × 5 (किंवा 5²)
उत्तर: एकूण सूक्ष्म चौरस 25 आहेत आणि मूळ अवयवीकरण 5 × 5 हे आहे.
Page No: 18
1. 27000 आणि 10648 चे घनमूळ काढा.
उत्तर पहा
(i) 27000 चे घनमूळ:
- 27000 = 27 × 1000
- घनमूळ = ∛27 × ∛1000 = 3 × 10 = 30
(ii) 10648 चे घनमूळ (अंदाज पद्धतीने):
- पहिला गट 648 (शेवटचा अंक 8 आहे, म्हणून घनमूळाचा एकक अंक 2 असेल).
- दुसरा गट 10 (2³ = 8 आणि 3³ = 27, 10 ही 8 च्या जवळ आहे म्हणून दशक अंक 2 असेल).
उत्तर: 27000 चे घनमूळ 30 आणि 10648 चे घनमूळ 22 आहे.
Page No: 18
2. 1323 ला कोणत्या संख्येने गुणले असता ती घन संख्या होईल?
उत्तर पहा
पायऱ्या:
- 1323 चे मूळ अवयव काढू: 1323 = 3 × 3 × 3 × 7 × 7
- त्रिके (तीनचे गट) केल्यास: (3 × 3 × 3) × (7 × 7)
- येथे 3 चा गट पूर्ण आहे, परंतु 7 चा गट पूर्ण होण्यासाठी आणखी एका 7 ची गरज आहे.
- 1323 × 7 = 9261 (21 चा घन)
उत्तर: 1323 ला 7 ने गुणले असता ती पूर्ण घन संख्या होईल.
Page No: 18
3. बरोबर की चूक ते लिहा तुमच्या उत्तराचे कारण लिहा.
उत्तर पहा
- (i) चूक. कारण विषम संख्येचा घन नेहमी विषमच असतो (उदा. 3³ = 27).
- (ii) चूक. कारण 2 या संख्येच्या घनाची शेवटची संख्या 8 असते (उदा. 12³ = 1728).
- (iii) चूक. कारण सर्वात लहान 2-अंकी संख्या 10 आहे आणि तिचा घन 1000 (4-अंकी) आहे.
- (iv) चूक. कारण सर्वात मोठ्या 2-अंकी संख्येचा (99³) घन 970299 हा जास्तीत जास्त 6-अंकी असतो.
- (v) चूक. घन संख्येत मूळ अवयव नेहमी 3 च्या पटीत (त्रिके) असतात.
Page No: 18
4. अवयव न काढता घनमूळाचा अंदाज करा: 1331, 4913, 12167 आणि 32768.
उत्तर पहा
अंदाज पद्धत (शेवटचे 3 अंक आणि उरलेले अंक):
| घन संख्या | पहिला गट (एकक अंक) | दुसरा गट (दशक अंक) | घनमूळ |
|---|---|---|---|
| 1331 | 331 → 1 | 1 → 1 | 11 |
| 4913 | 913 → 7 (कारण 7³=343) | 4 → 1 (1³=1, 2³=8) | 17 |
| 12167 | 167 → 3 (कारण 3³=27) | 12 → 2 (2³=8, 3³=27) | 23 |
| 32768 | 768 → 2 (कारण 2³=8) | 32 → 3 (3³=27, 4³=64) | 32 |
Page No: 18
5. खालीलपैकी कोणते मोठे आहे? कारण लिहा. (i) 67³ – 66³ (ii) 43³ – 42³ (iii) 67² – 66² (iv) 43² – 42²
उत्तर पहा
स्पष्टीकरण:
- वर्गातील फरक: n² – (n-1)² = n + (n-1)
- (iii) 67² – 66² = 67 + 66 = 133
- (iv) 43² – 42² = 43 + 42 = 85
- घनातील फरक: n³ – (n-1)³ = 1 + 3 × n × (n-1). हा फरक वर्गाच्या तुलनेत खूपच मोठा असतो.
- (i) 67³ – 66³ = 1 + 3 × 67 × 66 = 13267
- (ii) 43³ – 42³ = 1 + 3 × 43 × 42 = 5419
उत्तर: दिलेल्या सर्व पर्यायांमध्ये (i) 67³ – 66³ ची किंमत सर्वात मोठी आहे.
