इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 1 – ‘पूर्णांक’ (Integers)
विद्यार्थ्यांसाठी महत्त्वाचे मुद्दे आणि उजळणी
१. बेरीज आणि वजाबाकीचे गुणधर्म
- संवृत्तता गुणधर्म (Closure Property): दोन पूर्णांकांची बेरीज नेहमी पूर्णांक येते. तसेच, दोन पूर्णांकांची वजाबाकी सुद्धा पूर्णांकच असते.
- क्रमनिरपेक्ष गुणधर्म (Commutative Property): पूर्णांकांची कोणत्याही क्रमाने बेरीज केली असता ती समान येते (a+b=b+a). मात्र, वजाबाकी पूर्णांकांसाठी क्रमनिरपेक्ष नसते.
- साहचर्य गुणधर्म (Associative Property): पूर्णांकांच्या बेरजेसाठी साहचर्य गुणधर्म लागू पडतो, म्हणजेच a+(b+c)=(a+b)+c.
- बेरीज अविकारक घटक (Additive Identity): पूर्णांकांचा बेरीज अविकारक घटक ‘शून्य (0)’ आहे. कोणत्याही पूर्णांकात 0 मिळवल्यास तीच संख्या मिळते (a+0=a).
२. पूर्णांकांचा गुणाकार
- जेव्हा आपण धन पूर्णांक आणि ऋण पूर्णांक यांचा गुणाकार करतो, तेव्हा पूर्ण संख्येने गुणाकार करावा आणि गुणाकाराच्या अगोदर ऋण (-) चिन्ह द्यावे. थोडक्यात, धन आणि ऋण पूर्णांकांचा गुणाकार ऋण पूर्णांक येतो (a \times (-b) = -(a \times b)).
- दोन ऋण पूर्णांकांचा गुणाकार नेहमी धन पुर्णांक येतो. यासाठी दोन ऋण पूर्णांक हे पूर्ण संख्या समजून गुणाकार करावा आणि गुणाकारा अगोदर धन चिन्ह ठेवावे ((-a) \times (-b) = a \times b).
३. गुणाकाराचे गुणधर्म
- संवृत्त गुणधर्म: दोन पूर्णांकांचा गुणाकार नेहमी पूर्णांकच येतो.
- क्रमनिरपेक्ष गुणधर्म: पूर्णाकांसाठी गुणाकाराचा क्रमनिरपेक्ष गुणधर्म लागू पडतो (a \times b = b \times a).
- शून्याने गुणणे: कोणत्याही पूर्णांकाला शून्याने गुणले असता उत्तर नेहमी शून्यच येते (a \times 0 = 0).
- गुणाकाराचा अविकारक घटक (Multiplicative Identity): पूर्णांकांसाठी ‘1’ हा गुणाकाराचा अविकारक घटक आहे (a \times 1 = a).
- (-1) ने गुणणे: कोणत्याही पूर्णांकाला (-1) ने गुणले असता आपल्याला त्या पूर्णांकांचा ‘बेरीज व्यस्त घटक’ मिळतो.
अभ्यासासाठी टीप: सर्व सूत्रे आणि गुणधर्म लिहून काढा आणि सराव करा!
गणित इयत्ता ७ वी: पूर्णांक संख्या (Integers)
स्वाध्याय १.१ आणि १.२ ची नमूना उत्तरे
स्वाध्याय 1.1 (बेरीज आणि वजाबाकी)
प्रश्न 1: पूर्णांकांची एक जोडी लिहा ज्यांची –
(a) बेरीज -7 आहे: (-10) + 3 = -7
(b) वजाबाकी 10 आहे: 20 – 10 = 10 किंवा 5 – (-5) = 10
(c) बेरीज 0 आहे: (-5) + 5 = 0
(a) बेरीज -7 आहे: (-10) + 3 = -7
(b) वजाबाकी 10 आहे: 20 – 10 = 10 किंवा 5 – (-5) = 10
(c) बेरीज 0 आहे: (-5) + 5 = 0
प्रश्न 2: खालील अटींनुसार पूर्णांक लिहा –
(a) ऋण पूर्णांकांची जोडी ज्यामधील वजाबाकी 8 येते: (-2) – (-10) = -2 + 10 = 8
(b) ऋण आणि घन पूर्णांक ज्यांची बेरीज -5 आहे: (-10) + 5 = -5
(c) ऋण आणि घन पूर्णांक ज्यामधील वजाबाकी -3 आहे: (-1) – 2 = -3
(a) ऋण पूर्णांकांची जोडी ज्यामधील वजाबाकी 8 येते: (-2) – (-10) = -2 + 10 = 8
(b) ऋण आणि घन पूर्णांक ज्यांची बेरीज -5 आहे: (-10) + 5 = -5
(c) ऋण आणि घन पूर्णांक ज्यामधील वजाबाकी -3 आहे: (-1) – 2 = -3
प्रश्न 3: संघ A आणि संघ B मधील गुणांची तुलना –
* संघ A चे गुण: -40, 10, 0 → एकूण = -40 + 10 + 0 = -30
* संघ B चे गुण: 10, 0, -40 → एकूण = 10 + 0 + (-40) = -30
निष्कर्ष: दोन्ही संघांचे गुण समान आहेत. होय, आपण पूर्णांकांची बेरीज कोणत्याही क्रमाने करू शकतो (क्रमनिरपेक्ष गुणधर्म).
* संघ A चे गुण: -40, 10, 0 → एकूण = -40 + 10 + 0 = -30
* संघ B चे गुण: 10, 0, -40 → एकूण = 10 + 0 + (-40) = -30
निष्कर्ष: दोन्ही संघांचे गुण समान आहेत. होय, आपण पूर्णांकांची बेरीज कोणत्याही क्रमाने करू शकतो (क्रमनिरपेक्ष गुणधर्म).
प्रश्न 4: रिकाम्या जागा भरा –
(i) (-5) + (-8) = (-8) + (-5)
(ii) -53 + 0 = -53
(iii) 17 + (-17) = 0
(iv) [13 + (-12)] + (-7) = 13 + [(-12) + (-7)]
(v) (-4) + [15 + (-3)] = [(-4) + 15] + (-3)
(i) (-5) + (-8) = (-8) + (-5)
(ii) -53 + 0 = -53
(iii) 17 + (-17) = 0
(iv) [13 + (-12)] + (-7) = 13 + [(-12) + (-7)]
(v) (-4) + [15 + (-3)] = [(-4) + 15] + (-3)
पूर्णांकांचा गुणाकार (नियम आणि उदाहरणे)
स्वाध्याय १.२ कडे जाण्यापूर्वी काही महत्त्वाचे नियम समजून घेऊया:
| नियम | उदाहरण |
|---|---|
| (+) × (-) = (-) | 5 × (-4) = -20 |
| (-) × (+) = (-) | (-3) × 5 = -15 |
| (-) × (-) = (+) | (-10) × (-12) = 120 |
प्रश्न 2: गुणाकाराचा पडताळा घेणे
(a) 18 × [7 + (-3)] = [18 × 7] + [18 × (-3)]
उकल:
LHS = 18 × 4 = 72
RHS = 126 + (-54) = 72
येथे दोन्ही बाजू समान आहेत.
(b) (-21) × [(-4) + (-6)] = [(-21) × (-4)] + [(-21) × (-6)]
उकल:
LHS = (-21) × (-10) = 210
RHS = 84 + 126 = 210
येथे सुद्धा दोन्ही बाजू समान आहेत.
प्रश्न 3: पूर्णांक शोधणे
(i) कोणत्याही पूर्णांक a साठी, (-1) × a = -a
(ii) ज्यांचा (-1) शी गुणाकार खालीलप्रमाणे येतो, असे पूर्णांक शोधा:
- (a) -22 साठी पूर्णांक: 22
- (b) -37 साठी पूर्णांक: 37
- (c) 0 साठी पूर्णांक: 0
प्रश्न 4: गुणाकाराचा नमुना
सुरुवात (-1) × 5 पासून:
(-1) × 5 = -5
(-1) × 4 = -4
(-1) × 3 = -3
(-1) × 2 = -2
(-1) × 1 = -1
(-1) × 0 = 0
(-1) × (-1) = 1
अभ्यास करत राहा आणि गणितात प्रगती करा!
स्वाध्याय 1.3
1. खालील प्रत्येक सोडवा.
(a) (- 30) ÷ 10 उत्तर: -3
(b) 50 ÷ (- 5) उत्तर: -10
(c) (- 36) ÷ (- 9) उत्तर: 4
(d) (- 49) ÷ 49 उत्तर: -1
(e) 13 ÷ [(- 2) + 1] उत्तर: 13 ÷ [- 1] = -13
(f) 0 ÷ (- 12) उत्तर: 0
(g) (- 31) ÷ [(- 30) + (- 1)] उत्तर: (- 31) ÷ [- 31] = 1
(h) [(- 36) ÷ 12] ÷ 3 उत्तर: [- 3] ÷ 3 = -1
(i) [(- 6) + 5] ÷ [(- 2) + 1] उत्तर: [- 1] ÷ [- 1] = 1
2. खालील प्रत्येक किंमत a, b, आणि c साठी a ÷ (b + c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c) सिध्द करा.
(a) a = 12, b = – 4, c = 2
डावी बाजू: 12 ÷ (-4 + 2) = 12 ÷ (-2) = -6
उजवी बाजू: (12 ÷ -4) + (12 ÷ 2) = -3 + 6 = 3
येथे -6 ≠ 3. म्हणून सिद्ध झाले. (b) a = (- 10), b = 1, c = 1 डावी बाजू: -10 ÷ (1 + 1) = -10 ÷ 2 = -5
उजवी बाजू: (-10 ÷ 1) + (-10 ÷ 1) = -10 + (-10) = -20
येथे -5 ≠ -20. म्हणून सिद्ध झाले.
उजवी बाजू: (12 ÷ -4) + (12 ÷ 2) = -3 + 6 = 3
येथे -6 ≠ 3. म्हणून सिद्ध झाले. (b) a = (- 10), b = 1, c = 1 डावी बाजू: -10 ÷ (1 + 1) = -10 ÷ 2 = -5
उजवी बाजू: (-10 ÷ 1) + (-10 ÷ 1) = -10 + (-10) = -20
येथे -5 ≠ -20. म्हणून सिद्ध झाले.
3. रिकाम्या जागा भरा:
- (a) 369 ÷ 1 = 369
- (b) (- 75) ÷ 75 = -1
- (c) (- 206) ÷ (- 206) = 1
- (d) – 87 ÷ (- 1) = 87
- (e) – 87 ÷ 1 = – 87
- (f) – 48 ÷ 48 = – 1
- (g) 20 ÷ (- 10) = -2
- (h) – 12 ÷ 4 = – 3
4. पूर्णांक (a, b) च्या पांच जोडया लिहा जशी a ÷ b = – 3.
उत्तर जोडया:
1. (9, -3) कारण 9 ÷ (-3) = -3
2. (-12, 4) कारण -12 ÷ 4 = -3
3. (15, -5) कारण 15 ÷ (-5) = -3
4. (-18, 6) कारण -18 ÷ 6 = -3
5. (21, -7) कारण 21 ÷ (-7) = -3
1. (9, -3) कारण 9 ÷ (-3) = -3
2. (-12, 4) कारण -12 ÷ 4 = -3
3. (15, -5) कारण 15 ÷ (-5) = -3
4. (-18, 6) कारण -18 ÷ 6 = -3
5. (21, -7) कारण 21 ÷ (-7) = -3
5. तापमान आधारित प्रश्न
दुपारी 12 वाजता तापमान शून्यच्या वर 10°C आहे. जर प्रत्येक तासाला 2°C ने कमी होत असेल तर कोणत्या वेळेला तापमान -8°C असेल? मध्यरात्री तापमान किती असेल?
सुरवातीचे तापमान = +10°C. अपेक्षित तापमान = -8°C.
तापमानातील एकूण फरक = 10 – (-8) = 18°C.
वेळ = 18 ÷ 2 = 9 तास.
दुपारी 12 नंतर 9 तास म्हणजे रात्री 9 वाजता तापमान -8°C असेल.
मध्यरात्रीपर्यंत (12 तास) तापमानातील घट = 12 × 2 = 24°C.
मध्यरात्रीचे तापमान = 10 – 24 = -14°C.
तापमानातील एकूण फरक = 10 – (-8) = 18°C.
वेळ = 18 ÷ 2 = 9 तास.
दुपारी 12 नंतर 9 तास म्हणजे रात्री 9 वाजता तापमान -8°C असेल.
मध्यरात्रीपर्यंत (12 तास) तापमानातील घट = 12 × 2 = 24°C.
मध्यरात्रीचे तापमान = 10 – 24 = -14°C.
6. चाचणी गुण विश्लेषण
(i) राधिकाला 20 गुण मिळाले. जर तिची 12 उत्तरे बरोबर आली. तर तिने किती उत्तरे चुक सोडविली?
बरोबर उत्तरांचे गुण = 12 × 3 = 36. मिळाले गुण = 20.
चूक उत्तरांचे गुण = 20 – 36 = -16.
चूक उत्तरांची संख्या = -16 ÷ (-2) = 8 उत्तरे.(ii) मोहिनीला -5 गुण मिळाले. तिने 7 उत्तरे बरोबर लिहिली. तर किती उत्तरे चुकीची लिहिली? बरोबर उत्तरांचे गुण = 7 × 3 = 21. मिळाले गुण = -5.
चूक उत्तरांचे गुण = -5 – 21 = -26.
चूक उत्तरांची संख्या = -26 ÷ (-2) = 13 उत्तरे.
चूक उत्तरांचे गुण = 20 – 36 = -16.
चूक उत्तरांची संख्या = -16 ÷ (-2) = 8 उत्तरे.(ii) मोहिनीला -5 गुण मिळाले. तिने 7 उत्तरे बरोबर लिहिली. तर किती उत्तरे चुकीची लिहिली? बरोबर उत्तरांचे गुण = 7 × 3 = 21. मिळाले गुण = -5.
चूक उत्तरांचे गुण = -5 – 21 = -26.
चूक उत्तरांची संख्या = -26 ÷ (-2) = 13 उत्तरे.
7. लिफ्टचा वेग आणि अंतर
एक लिफ्ट खाली येताना 6 मीटर/मिनिट या वेगाने येते. जमिनीपासून वर 10 मी. पासून खाली यायला सुरुवात केली तर – 350 मी अंतर जाण्यासाठी किती वेळ लागेल?
कापावयाचे एकूण अंतर = 10 – (-350) = 360 मीटर.
वेळ = 360 ÷ 6 = 60 मिनिटे.
उत्तर: लिफ्टला 1 तास (60 मिनिटे) वेळ लागेल.
वेळ = 360 ÷ 6 = 60 मिनिटे.
उत्तर: लिफ्टला 1 तास (60 मिनिटे) वेळ लागेल.
