इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 5 – समांतर आणि छेदक रेषा..

इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 5 – समांतर आणि छेदक रेषा

इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 5 – समांतर आणि छेदक रेषा

महत्त्वाचे मुद्दे (Important Points)

  • छेदक रेषा: जेव्हा एक रेषांची जोडी सपाट पृष्ठभागावर एका बिंदूत मिळते, तेव्हा त्या रेषांना एकमेकींच्या छेदक रेषा म्हणतात. दोन रेषा एकमेकींना छेदतात तेव्हा चार कोन तयार होतात.
  • रेषीय जोडी: दोन रेषा एकमेकींना छेदत असतील तर तयार होणाऱ्या संलग्न कोनांना रेषीय जोडी म्हणतात. रेषीय जोडीची बेरीज नेहमी 180° असते.
  • शिरोविरुद्ध कोन: दोन रेषा एकमेकींना छेदत असतील तर तयार होणाऱ्या विरुद्ध कोनांना शिरोविरुद्ध कोन म्हणतात. शिरोविरुद्ध कोन नेहमी एकमेकांशी समान असतात.
  • लंब रेषा: एकमेकींना काटकोनात (90°) छेदणाऱ्या रेषांच्या जोडीला लंब रेषा म्हणतात.
  • समांतर रेषा: एकाच प्रतलावर असलेल्या आणि दोन्ही बाजूंनी कितीही वाढवल्या तरी एकमेकींना न छेदणाऱ्या रेषांना समांतर रेषा म्हणतात.
  • छेदिका: दोन वेगवेगळ्या रेषांना छेदणाऱ्या रेषेला छेदिका म्हणतात. जेव्हा एक छेदिका दोन रेषांना छेदते तेव्हा 8 कोन तयार होतात.
  • संगत कोन: एका समांतर रेषेच्या जोडीला एका छेदिकेने छेदले असता तयार होणारे संगत कोन नेहमी एकमेकांशी समान असतात.
  • व्युत्क्रम कोन: समांतर रेषांच्या एका जोडीला एका छेदिकेने छेदले असता तयार होणारे व्युत्क्रम कोन नेहमी एकमेकांशी समान असतात.
  • आंतरकोन: समांतर रेषांच्या एका जोडीवर एका छेदिकेमुळे तयार झालेल्या आणि छेदिकेच्या एकाच बाजूस असलेल्या आंतरकोनांची बेरीज नेहमी 180° असते.

बहुपर्यायी प्रश्न (MCQ)

1. जेव्हा दोन रेषा सपाट पृष्ठभागावर एका बिंदूत मिळतात, तेव्हा त्यांना काय म्हणतात?
  • A) समांतर रेषा
  • B) छेदक रेषा
  • C) लंब रेषा
  • D) वक्र रेषा
उत्तर पहा
उत्तर: B) छेदक रेषा
2. दोन रेषांनी एकमेकींना छेदले असता किती कोन तयार होतात?
  • A) 2
  • B) 4
  • C) 6
  • D) 8
उत्तर पहा
उत्तर: B) 4
3. रेषीय जोडीतील कोनांची बेरीज नेहमी किती असते?
  • A) 90°
  • B) 180°
  • C) 270°
  • D) 360°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 180°
4. दोन रेषा एकमेकींना छेदत असतील तर शिरोविरुद्ध कोन कसे असतात?
  • A) असमान
  • B) एकमेकांशी समान
  • C) पूरक
  • D) काटकोन
उत्तर पहा
उत्तर: B) एकमेकांशी समान
5. एकमेकींना काटकोनात (90°) छेदणाऱ्या रेषांना काय म्हणतात?
  • A) समांतर रेषा
  • B) छेदक रेषा
  • C) लंब रेषा
  • D) छेदिका
उत्तर पहा
उत्तर: C) लंब रेषा
6. एकाच प्रतलावर असलेल्या आणि कितीही वाढवल्या तरी एकमेकींना न छेदणाऱ्या रेषांना काय म्हणतात?
  • A) समांतर रेषा
  • B) लंब रेषा
  • C) छेदक रेषा
  • D) छेदिका
उत्तर पहा
उत्तर: A) समांतर रेषा
7. गणितामध्ये रेषांचा संच समांतर आहे हे दर्शविण्यासाठी कोणत्या खुणांचा वापर करतात?
  • A) चौरस
  • B) बाणाच्या खुणा
  • C) गोल
  • D) त्रिकोण
उत्तर पहा
उत्तर: B) बाणाच्या खुणा
8. जेव्हा दोन वेगवेगळ्या रेषांना एक रेषा छेदते, तेव्हा त्या छेदणाऱ्या रेषेला काय म्हणतात?
  • A) समांतर रेषा
  • B) लंब रेषा
  • C) छेदिका
  • D) शिरोबिंदू
उत्तर पहा
उत्तर: C) छेदिका
9. एका छेदिकेने दोन रेषांना छेदले असता एकूण किती कोन तयार होतात?
  • A) 4
  • B) 6
  • C) 8
  • D) 10
उत्तर पहा
उत्तर: C) 8
10. समांतर रेषांना एका छेदिकेने छेदल्यावर तयार होणारे संगत कोन कसे असतात?
  • A) असमान असतात
  • B) नेहमी एकमेकांशी समान असतात
  • C) त्यांची बेरीज 180° असते
  • D) त्यांची बेरीज 90° असते
उत्तर पहा
उत्तर: B) नेहमी एकमेकांशी समान असतात
11. जर दोन रेषांना एका छेदिकेने छेदले आणि संगत कोन समान नसतील, तर त्या रेषा कशा असतात?
  • A) समांतर असतात
  • B) एकमेकींना समांतर नसतात
  • C) लंब असतात
  • D) यापैकी नाही
उत्तर पहा
उत्तर: B) एकमेकींना समांतर नसतात
12. समांतर रेषांना एका छेदिकेने छेदले असता तयार होणारे व्युत्क्रम कोन कसे असतात?
  • A) समान असतात
  • B) असमान असतात
  • C) 180° बेरीज असणारे
  • D) 90° बेरीज असणारे
उत्तर पहा
उत्तर: A) समान असतात
13. समांतर रेषांच्या एका जोडीला एका छेदिकेने छेदले असता छेदिकेच्या एकाच बाजूस असलेल्या आंतरकोनांची बेरीज किती असते?
  • A) 90°
  • B) 180°
  • C) 360°
  • D) 270°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 180°
14. जर एका रेषीय जोडीतील एका कोनाचे माप 120° असेल, तर दुसऱ्या कोनाचे माप किती असेल?
  • A) 120°
  • B) 90°
  • C) 60°
  • D) 180°
उत्तर पहा
उत्तर: C) 60° (कारण 180° – 120° = 60°)
15. जर एका कोनाचे माप 60° असेल, तर त्याच्या शिरोविरुद्ध कोनाचे माप किती असेल?
  • A) 30°
  • B) 120°
  • C) 60°
  • D) 90°
उत्तर पहा
उत्तर: C) 60° (कारण शिरोविरुद्ध कोन समान असतात)
16. लंब रेषा चिन्हांकित करण्यासाठी खालीलपैकी कशाचा वापर केला जातो?
  • A) दुहेरी बाण
  • B) एक चौरस कोन (90° चिन्ह)
  • C) वर्तुळ
  • D) त्रिकोण
उत्तर पहा
उत्तर: B) एक चौरस कोन (90° चिन्ह)

रिकाम्या जागा भरा

1. दोन रेषा एकमेकींना छेदत असतील तर तयार होणारे कोन नेहमी एकमेकांशी समान असतात.
उत्तर पहा
उत्तर: शिरोविरुद्ध
2. रेषीय जोडीची बेरीज नेहमी असते.
उत्तर पहा
उत्तर: 180°
3. एकमेकींना काटकोनात (90°) छेदणाऱ्या रेषांच्या जोडीला रेषा म्हणतात.
उत्तर पहा
उत्तर: लंब
4. समांतर रेषांना एका छेदिकेने छेदले असता छेदिकेच्या एकाच बाजूस असलेल्या आंतरकोनांची बेरीज असते.
उत्तर पहा
उत्तर: 180°
5. दोन वेगवेगळ्या रेषांना छेदणाऱ्या रेषेला असे म्हणतात.
उत्तर पहा
उत्तर: छेदिका

एका वाक्यात उत्तरे लिहा (1 Mark Questions)

1. छेदक रेषा म्हणजे काय?
उत्तर पहा
उत्तर: जेव्हा एक रेषांची जोडी सपाट पृष्ठभागावर एका बिंदूत मिळते, तेव्हा त्या रेषांना एकमेकींच्या छेदक रेषा म्हणतात.
2. समांतर रेषा कशाला म्हणतात?
उत्तर पहा
उत्तर: एकाच प्रतलावर असलेल्या आणि दोन्ही बाजूंनी कितीही वाढवल्या तरी एकमेकींना न छेदणाऱ्या रेषांना समांतर रेषा म्हणतात.
3. छेदिका म्हणजे काय?
उत्तर पहा
उत्तर: दोन वेगवेगळ्या रेषांना वेगवेगळ्या बिंदूत छेदणाऱ्या रेषेला छेदिका म्हणतात.
4. लंब रेषा कशाला म्हणतात?
उत्तर पहा
उत्तर: एकमेकींना काटकोनात (90° कोनात) छेदणाऱ्या रेषांच्या जोडीला लंब रेषा म्हणतात.
5. एका छेदिकेने दोन रेषांना छेदले असता एकूण किती कोन तयार होतात?
उत्तर पहा
उत्तर: एका छेदिकेने दोन रेषांना छेदले असता एकूण 8 कोन तयार होतात.
इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 5 – समांतर आणि छेदक रेषा (शोधा पाहू)

इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 5 – समांतर आणि छेदक रेषा (शोधा पाहू)

पान क्र. 120
प्रश्न: आकृती 5.3 मध्ये तुम्ही निरीक्षण केलेल्या सर्व रेषीय जोड्या आणि शिरोविरूद्ध कोनांची यादी करा.
उत्तर पहा

आकृती 5.3 च्या आधारे तयार होणाऱ्या कोनांची यादी खालीलप्रमाणे आहे:

रेषीय जोड्या (Linear Pairs)शिरोविरुद्ध कोनांच्या जोड्या (Vertically Opposite Angles)
कोन a आणि कोन bकोन a आणि कोन c
कोन b आणि कोन cकोन b आणि कोन d
कोन c आणि कोन d
कोन d आणि कोन a
पान क्र. 125
प्रश्न 1: आकृती 5.10 मधील बिंदू कागदावर दिलेल्या रेषा समांतर आहेत की लंब आहेत?
उत्तर पहा

उत्तर: आकृती 5.10 मधील बिंदू कागदावर काही रेषा एकमेकींना कधीही छेदत नाहीत, त्या समांतर रेषा आहेत. आणि ज्या रेषा एकमेकींना काटकोनात (90 अंशात) छेदतात, त्या लंब रेषा आहेत.

प्रश्न 2: आकृती 5.11 मध्ये वर दिलेल्या संकेताचा उपयोग करून समांतर रेषा चिन्हांकीत करा. (a) लंब रेषांचे स्थान तुम्ही कसे केले? (b) समांतर रेषांचे स्थान तुम्ही कसे केले?
उत्तर पहा
  • (a) लंब रेषांचे स्थान: लंब रेषा दर्शविण्यासाठी आपण त्यांच्या छेदनबिंदूजवळ एक चौरस कोनाचे (90 अंशाचे) चिन्ह वापरतो.
  • (b) समांतर रेषांचे स्थान: समांतर रेषा दर्शविण्यासाठी आपण त्या रेषांवर बाणाच्या खुणा (एकेरी बाण, दुहेरी बाण इत्यादी) वापरतो.
पान क्र. 126 आणि 127
प्रश्न 3: बिंदू कागदामध्ये खालील समांतर रेषांचे वेगवेगळे संच काढा.
उत्तर पहा

उत्तर: बिंदू कागदावर (Dot paper) आपण उभ्या, आडव्या किंवा तिरप्या समान अंतरावरील बिंदूंना जोडून वेगवेगळ्या लांबीच्या समांतर रेषा काढू शकतो. (टीप: या रेषा एकमेकींना कधीही छेदणार नाहीत याची काळजी घ्या.)

प्रश्न 4: तुमच्या आकलनाचा उपयोग करून समांतर रेषा काढण्याचा प्रयत्न करा. (a) त्यापैकी काही रेखाटणे हे तुम्हाला आव्हानात्मक वाटले का? (b) कोणते? (c) तुम्ही ते कसे केले?
उत्तर पहा
  • (a): होय, काही रेषा काढणे आव्हानात्मक वाटू शकते.
  • (b): उभ्या आणि आडव्या रेषा सोप्या असतात, परंतु वेगवेगळ्या दिशा असलेल्या किंवा तिरप्या रेषेला समांतर रेषा काढणे थोडे कठीण जाते.
  • (c): विद्यार्थ्यांच्या अंतर्ज्ञानाचा वापर करून आणि दोन्ही रेषांमधील लंब अंतर सर्वत्र समान राहील याचा अंदाज घेऊन या रेषा काढता येतात.
प्रश्न 5: आकृती 5.13 मध्ये कोणती रेषा, रेषा a, रेषा b किंवा रेषा d ला समांतर आहे? हे तुम्ही कसे निर्धारित कराल?
उत्तर पहा

उत्तर: आकृती 5.13 मध्ये रेषा a आणि रेषा b या एकमेकींना समांतर दिसतात. कारण त्या दोन्ही बाजूनी कितीही वाढवल्या तरी त्या एकमेकींना छेदत नाहीत आणि त्यांच्यातील अंतर समान दिसते. छेदिकेची कल्पना वापरून आपण हे नक्की करू शकतो.

पान क्र. 132
प्रश्न: A बिंदूतून जाणारी l रेषेला समांतर अशी रेषा तुम्ही बनवू शकाल का? तुमच्या कंपास पेटीतील साहित्याने तुम्ही ते कसे काढू शकाल? तुमच्या पद्धतीचे वर्णन करा.
उत्तर पहा

उत्तर: होय, मोजपट्टी (Ruler) आणि त्रिकोणी गुण्या (Set Square) चा उपयोग करून आपण समांतर रेषा काढू शकतो.

पद्धत:

  • पायरी 1: मोजपट्टी रेषा l वर तंतोतंत ठेवा.
  • पायरी 2: त्रिकोणी गुण्या मोजपट्टीला लागून असा ठेवा की, त्याचा काटकोन करणारी एक बाजू मोजपट्टीला स्पर्श करेल.
  • पायरी 3: आता त्रिकोणी गुण्या मोजपट्टीवरून हळूच सरकवत बिंदू A जवळ घेऊन जा.
  • पायरी 4: बिंदू A मधून जाणारी एक रेषा त्रिकोणी गुण्याच्या कडेने काढा.
  • पायरी 5: अशा प्रकारे मिळालेली नवीन रेषा ही रेषा l ला समांतर असेल.
इयत्ता 7 वी गणित: समांतर आणि छेदक रेषा (स्वाध्याय)

प्रकरण 5: समांतर आणि छेदक रेषा

पाठ्यपुस्तकातील ‘शोधा पाहू’ वरील उदाहरणे आणि त्यांची उत्तरे

Page No: 137
प्रश्न 1: आकृती 5.30 मध्ये चिन्हांकीत केलेले कोन काढा.
उत्तर पहा

पाठ्यपुस्तकातील समांतर रेषा आणि छेदिका यांच्या गुणधर्मांचा (शिरोविरुद्ध कोन, व्युत्क्रम कोन, संगत कोन आणि रेषीय जोडी) वापर करून आपण खालील किंमती काढू शकतो:

  • a = 48° (शिरोविरुद्ध कोनांचा गुणधर्म वापरून)
  • b = 52° (संगत किंवा व्युत्क्रम कोनांच्या गुणधर्मावरून)
  • c = 99° (शिरोविरुद्ध किंवा संगत कोनावरून)
  • d = 124°
  • f = 58°
  • g = 69°
  • h = 120°
  • i = 54° (त्रिकोणाच्या आंतरकोनांची बेरीज 180° असते यावरून: 180° – (70° + 56°) = 54°)
Page No: 138
प्रश्न 2: आकृती 5.31 मध्ये a ने दर्शविलेला कोन काढा.
उत्तर पहा

समांतर रेषांच्या गुणधर्मांचा वापर करून:

  • रेषीय जोडी, संगत कोन आणि व्युत्क्रम कोनांच्या नियमानुसार दिलेल्या कोनांच्या आधारे a ची किंमत काढता येते.
  • जर छेदिकेच्या एकाच बाजूस असलेले आंतरकोन असतील, तर त्यांची बेरीज 180° असते. या नियमाचा वापर करून कोनांची मापे काढता येतील.
Page No: 138
प्रश्न 3: आकृती 5.33 मध्ये ABC = 45° आणि IKJ = 78°. तर GEH, HEF आणि FED हे कोन काढा.
उत्तर पहा

दिलेल्या समांतर रेषा आणि छेदिका यांच्या आधारे खालील पायऱ्यांनी उत्तर काढता येते:

  • कोन IKJ आणि कोन GEH हे संगत कोन (Corresponding Angles) आहेत. समांतर रेषेच्या नियमानुसार संगत कोन समान असतात.
  • म्हणून, GEH = 78°.
  • कोन ABC आणि छेदिकेवरील संबंधित कोन व्युत्क्रम किंवा संगत कोनांच्या नियमानुसार काढता येतात.
  • रेषीय जोडीच्या कोनांची बेरीज 180° असते. याचा वापर करून उरलेले कोन जसे की HEF आणि FED यांची मापे निश्चित करता येतात.
Page No: 139
प्रश्न 4: आकृती 5.34 मध्ये AB ही CD ला समांतर आहे आणि CD ही EF ला समांतर आहे. EA ही AB ला लंब सुद्धा आहे. जर BEF = 55° तर x आणि y च्या किंमती काढा.
उत्तर पहा
  • पायरी 1: CD आणि EF या समांतर रेषा आहेत आणि ED ही त्यांची छेदिका आहे.
  • पायरी 2: छेदिकेच्या एकाच बाजूस असलेल्या आंतरकोनांची बेरीज 180° असते.
  • पायरी 3: म्हणून, y + 55° = 180°.
  • पायरी 4: y = 180° – 55° = 125°.
  • पायरी 5: EA ही AB ला लंब (Perpendicular) आहे, याचा अर्थ कोन EAB = 90° आहे. या गुणधर्माचा वापर करून आणि AB समांतर CD गृहीत धरून x ची किंमत काढता येते.
Page No: 139
प्रश्न 5: आकृती 5.35 मधील NOP या कोनाचे माप किती आहे ? (सूचना: N आणि O बिंदूमधून LM आणि PQ ला समांतर रेषा काढा)
उत्तर पहा
  • पायरी 1: पुस्तकात दिलेल्या सूचनेनुसार N आणि O या बिंदूंमधून जाणारी आणि LM व PQ ला समांतर असणारी रेषा काढा.
  • पायरी 2: कोन M = 40° आहे. समांतर रेषेच्या व्युत्क्रम कोनाच्या (Alternate Angle) नियमानुसार, N जवळील एका भागाचा कोन 40° असेल.
  • पायरी 3: एकूण कोन N = 96° दिलेला आहे. म्हणून N जवळील दुसरा भाग = 96° – 40° = 56° असेल.
  • पायरी 4: हा 56° चा कोन आणि O जवळील कोन हे व्युत्क्रम कोन होतात. म्हणून O चा पहिला भाग 56° असेल.
  • पायरी 5: त्याचप्रमाणे, कोन P = 52° आहे. त्याचा व्युत्क्रम कोन म्हणून O चा दुसरा भाग 52° असेल.
  • पायरी 6: कोन NOP हा या दोन भागांची बेरीज असेल. म्हणजेच, 56° + 52° = 108°.
  • उत्तर: कोन NOP चे माप 108° आहे.
इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 6 – संख्यांचा खेळ
Join WhatsApp Channel Join Now
Telegram Group Join Now
Share your love

Related Posts