इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 6

Table of Contents

इयत्ता – 7 वी

विषय – गणित (NCERT)

इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 6 – संख्यांचा खेळ

महत्त्वाचे मुद्दे (Important Points)

समानता (Parity): सम आणि विषम संख्या असण्याचा गुणधर्म दर्शवण्यासाठी ‘समानता’ हा शब्द वापरतात.
कोणत्याही दोन क्रमगत संख्यांमध्ये एक नेहमी सम आणि दुसरी विषम संख्या असते.
n वी सम संख्या काढण्याचे सूत्र 2n आहे.
n वी विषम संख्या काढण्याचे सूत्र 2n – 1 आहे.
जादूई चौरस: जर प्रत्येक पंक्ती, प्रत्येक स्तंभ आणि प्रत्येक कर्ण यांची बेरीज समान संख्या येत असेल तर त्या चौरसाकृती चौकटीला जादूई चौरस म्हणतात. या बेरजेला ‘जादूई बेरीज’ म्हणतात.
1 ते 9 या संख्या वापरून बनवलेल्या 3×3 जादूई चौरसाची जादूई बेरीज 15 असते आणि केंद्रस्थानी नेहमी 5 ही संख्या असते. तसेच 1 आणि 9 कोपऱ्यात येऊ शकत नाहीत.
विरहंक-फिबोनसी क्रम: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… या क्रमाला विरहंक-फिबोनसी क्रम म्हणतात. यातील पुढील संख्या ही मागील दोन संख्या मिळवून दिली जाते.
क्रिप्टॉरिथम्स: अशा गणितातील क्रिया जिथे अंकांऐवजी मुळाक्षरे वापरलेली असतात (वेषांतरातील अंक).

पहिली संख्या	दुसरी संख्या	बेरीज (समानता)
सम	सम	सम
विषम	विषम	सम
सम	विषम	विषम

बहुपर्यायी प्रश्न (MCQ)

1. दोन विषम संख्यांची बेरीज काय असते?

A) सम
B) विषम
C) सांगता येत नाही
D) शून्य

उत्तर पहा

उत्तर: A) सम

2. n वी सम संख्या काढण्याचे सूत्र कोणते आहे?

A) n + 1
B) 2n
C) 2n – 1
D) n – 1

उत्तर पहा

उत्तर: B) 2n

3. n वी विषम संख्या काढण्याचे सूत्र कोणते आहे?

A) 2n
B) 2n + 1
C) 2n – 1
D) n / 2

उत्तर पहा

उत्तर: C) 2n – 1

4. 1 ते 9 संख्या वापरून तयार केलेल्या 3×3 जादूई चौरसाची ‘जादूई बेरीज’ किती असते?

A) 12
B) 45
C) 34
D) 15

उत्तर पहा

उत्तर: D) 15

5. 1 ते 9 संख्या वापरून बनवलेल्या 3×3 जादूई चौरसाच्या केंद्रस्थानी कोणती संख्या असणे आवश्यक आहे?

A) 1
B) 9
C) 5
D) 3

उत्तर पहा

उत्तर: C) 5

6. 100 वी सम संख्या कोणती असेल?

A) 100
B) 199
C) 200
D) 201

उत्तर पहा

उत्तर: C) 200

7. 100 वी विषम संख्या कोणती असेल?

A) 100
B) 199
C) 200
D) 101

उत्तर पहा

उत्तर: B) 199

8. 3×3 च्या जादूई चौरसात 1 आणि 9 या संख्या कोठे येऊ शकत नाहीत?

A) मध्यभागी
B) कोपऱ्यात
C) सीमेवर
D) कुठेही नाही

उत्तर पहा

उत्तर: B) कोपऱ्यात

9. 1, 2, 3, 5, 8, 13… या संख्यांच्या क्रमाला काय म्हणतात?

A) सम क्रम
B) विषम क्रम
C) विरहंक-फिबोनसी क्रम
D) जादूई क्रम

उत्तर पहा

उत्तर: C) विरहंक-फिबोनसी क्रम

10. विरहंक क्रमात 13 आणि 21 नंतर कोणती संख्या येईल?

A) 34
B) 44
C) 55
D) 25

उत्तर पहा

उत्तर: A) 34 (कारण 13 + 21 = 34)

11. डैझी (daisy) फुलावरील पाकळ्यांची संख्या सामान्यतः कोणत्या क्रमात असते?

A) विरहंक संख्या
B) सम संख्या
C) फक्त मूळ संख्या
D) यापैकी नाही

उत्तर पहा

उत्तर: A) विरहंक संख्या

12. भारतातील खजुराहो येथील जैन मंदिरात आढळणाऱ्या 4×4 जादूई चौरसाला कोणते यंत्र म्हणतात?

A) कुबेर यंत्र
B) नवग्रह यंत्र
C) चौतीस यंत्र
D) सूर्य यंत्र

उत्तर पहा

उत्तर: C) चौतीस यंत्र

13. प्राचीन चीनमधील 3×3 आकाराच्या चौकटीदार चौरसाला काय म्हणतात?

A) लो शु चौरस
B) कुबेर चौरस
C) पिंगळा चौरस
D) यापैकी नाही

उत्तर पहा

उत्तर: A) लो शु चौरस

14. 1 ते 9 संख्या वापरून बनवलेल्या 3×3 जादूई चौरसात सर्व 9 संख्यांची एकूण बेरीज किती असते?

A) 15
B) 30
C) 45
D) 90

उत्तर पहा

उत्तर: C) 45

15. ज्या प्रश्नांमध्ये अंकांची जागा मुळाक्षरांनी घेतलेली असते, त्यांना काय म्हणतात?

A) भूमितीची कोडी
B) जादूई चौरस
C) क्रिप्टॉरिथम्स (वेषांतरातील अंक)
D) चौतीस यंत्र

उत्तर पहा

उत्तर: C) क्रिप्टॉरिथम्स (वेषांतरातील अंक)

रिकाम्या जागा भरा

1. कोणत्याही दोन क्रमगत संख्यांची बेरीज ही नेहमी असते.

उत्तर पहा

उत्तर: विषम

2. सम संख्या आणि सम संख्या यांची बेरीज नेहमी असते.

उत्तर पहा

उत्तर: सम

3. 3×3 च्या चौकटीमध्ये एकूण लहान चौरस असतात.

उत्तर पहा

उत्तर: 9

4. विरहंक क्रमात पुढील संख्या ही मागील संख्या मिळवून (बेरीज करून) दिली जाते.

उत्तर पहा

उत्तर: दोन

5. कुबेर यंत्राच्या 3×3 जादूई चौरसामध्ये केंद्रस्थानी ही संख्या असते.

उत्तर पहा

उत्तर: 24

एका वाक्यात उत्तरे लिहा (1 Mark Questions)

1. ‘समानता’ (Parity) म्हणजे काय?

उत्तर पहा

उत्तर: सम आणि विषम संख्या असण्याचा गुणधर्म दर्शवण्यासाठी ‘समानता’ हा शब्द वापरतात.

2. जादूई चौरस म्हणजे काय?

उत्तर पहा

उत्तर: ज्या चौरसाकृती चौकटीत प्रत्येक पंक्ती, स्तंभ आणि कर्णाची बेरीज समान संख्या येते, त्याला जादूई चौरस असे म्हणतात.

3. 3×3 च्या जादूई चौरसात (1 ते 9 संख्या वापरून) प्रत्येक पंक्तीची बेरीज 15 का असते?

उत्तर पहा

उत्तर: 1 ते 9 या संख्यांची एकूण बेरीज 45 असते आणि चौरसात 3 पंक्ती असल्याने प्रत्येक पंक्तीची बेरीज 45 भागिले 3 बरोबर 15 येते.

4. 3×3 जादूई चौरसात 9 ही संख्या केंद्रस्थानी का येऊ शकत नाही?

उत्तर पहा

उत्तर: जर 9 केंद्रस्थानी ठेवला आणि त्याच्यासोबत 8 घेतला, तर 9 + 8 = 17 होते, जे जादूई बेरीज 15 पेक्षा मोठे आहे, त्यामुळे ते शक्य नाही.

5. विरहंक-फिबोनसी क्रमातील पहिल्या 5 संख्या लिहा.

उत्तर पहा

उत्तर: 1, 2, 3, 5, 8.

पान क्रमांक 142

1. पुस्तकाच्या शेवटी दिलेल्या काड्यांच्या आधारे खालील चित्राची मांडणी (रचना) करा किंवा क्रमाचे वाचन होईल अशी उंचीची रचना (मांडणी) करा.
(a) 0, 1, 1, 2, 4, 1, 5
(b) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(c) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
(d) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0
(e) 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(f) 0, 0, 0, 3, 3, 3, 3

स्पष्टीकरण: येथे नियम असा आहे की, “प्रत्येक बालक हे त्याच्या समोर असलेल्या त्याच्यापेक्षा उंच मुलाची संख्या उच्चारते.” आपण या नियमानुसार उंचीची रचना समजून घेऊया.

(a) 0, 1, 1, 2, 4, 1, 5: पहिला सर्वात उंच, नंतरचे त्याच्यापेक्षा लहान, मग हळूहळू उंची बदलत जाते. शेवटचा ५ जणांपेक्षा लहान आहे.

(b) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0: सर्व मुले समान उंचीची आहेत किंवा ते चढत्या क्रमाने उभे आहेत (कोणीही त्यांच्या समोरील मुलापेक्षा लहान नाही).

(c) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6: मुले उतरत्या क्रमाने उभी आहेत. सर्वात उंच मुलगा पुढे आणि सर्वात लहान मागे.

(d) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0: मुले आलटून-पालटून उंच-लहान-उंच-लहान अशी उभी आहेत.

(e) 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1: पहिला मुलगा सर्वात उंच आहे आणि बाकीचे सर्वजण त्याच्यापेक्षा लहान आणि एकमेकांसमान उंचीचे आहेत.

(f) 0, 0, 0, 3, 3, 3, 3: पहिले तीन मुले समान उंचीचे (किंवा चढत्या क्रमाने) आहेत, आणि नंतरचे चार मुले पहिल्या तिघांपेक्षा लहान आणि एकमेकांसमान उंचीचे आहेत.

2. खाली दिलेल्या प्रत्येक विधानासाठी ते जर नेहमी सत्य आहे का, फक्त काही वेळेला सत्य किंवा कधीही सत्य नाही याचा विचार करा. तुमचा तर्क सांगा.
(a) जर एखाद्या व्यक्तीने ‘0’ म्हटले तर तो गटातील सर्वात उंच आहे.
(b) जर एखादी व्यक्ती सर्वात उंच असेल तर त्याची संख्या ‘0’ आहे.
(c) पहिल्या व्यक्तीची संख्या ‘0’ आहे.
(d) जर एखादी व्यक्ती रांगेत पहिल्या किंवा शेवटच्या क्रमांकावर नसेल (म्हणजेच जर ती मध्ये कुठेतरी उभी असेल) तर ती ‘0’ म्हणू शकत नाही.
(e) सर्वात मोठी संख्या उच्चारणारी व्यक्ती ही सर्वात लहान असते.
(f) 8 लोकांच्या गटातील शक्य असणारी सर्वात मोठी संख्या कोणती ?

(a) जर एखाद्या व्यक्तीने ‘0’ म्हटले तर तो गटातील सर्वात उंच आहे: फक्त काही वेळेला सत्य. तो त्याच्या पुढील सर्व लोकांपेक्षा उंच असू शकतो, पण तो गटातील ‘सर्वात’ उंच असेलच असे नाही (त्याच्या मागे त्याच्यापेक्षा उंच कोणी असू शकतो).

(b) जर एखादी व्यक्ती सर्वात उंच असेल तर त्याची संख्या ‘0’ आहे: नेहमी सत्य. जर तो सर्वात उंच असेल, तर त्याच्या समोर त्याच्यापेक्षा उंच कोणीही असणार नाही, म्हणून तो 0 म्हणेल.

(c) पहिल्या व्यक्तीची संख्या ‘0’ आहे: नेहमी सत्य. पहिल्या व्यक्तीच्या समोर कोणीही नसते, त्यामुळे तो नेहमी 0 म्हणेल.

(d) जर एखादी व्यक्ती मध्ये उभी असेल तर ती ‘0’ म्हणू शकत नाही: कधीही सत्य नाही (असत्य). जर मधली व्यक्ती तिच्या समोरील सर्वांपेक्षा उंच असेल, तर ती 0 म्हणू शकते.

(e) सर्वात मोठी संख्या उच्चारणारी व्यक्ती ही सर्वात लहान असते: फक्त काही वेळेला सत्य. ती व्यक्ती लहान असू शकते, पण सर्वात लहान असेलच असे नाही. ती व्यक्ती रांगेत सर्वात शेवटी असल्यास आणि तिचे सर्व समोरील व्यक्ती तिच्यापेक्षा उंच असल्यास असे होऊ शकते.

(f) 8 लोकांच्या गटातील शक्य असणारी सर्वात मोठी संख्या कोणती? 7. जर शेवटची व्यक्ती सर्वात लहान असेल आणि समोरील सर्व 7 व्यक्ती तिच्यापेक्षा उंच असतील, तर ती 7 म्हणेल.

पान क्रमांक 145

1. सम आणि विषम संख्यांच्या चित्रमय प्रतिनिधीत्वाच्या आकलनाचा उपयोग करून खालील बेरजेची समानता काढा.
(a) 2 सम संख्या आणि 2 विषम संख्यांची बेरीज शोधा.
(b) 2 विषम संख्या आणि 3 सम संख्येची बेरीज शोधा.
(c) 5 सम संख्यांची बेरीज शोधा.
(d) 8 विषम संख्यांची बेरीज शोधा.

नियम: सम + सम = सम, विषम + विषम = सम, सम + विषम = विषम.

(a) 2 सम संख्या आणि 2 विषम संख्यांची बेरीज:
2 सम संख्यांची बेरीज = सम.
2 विषम संख्यांची बेरीज = सम.
सम + सम = सम संख्या.

(b) 2 विषम संख्या आणि 3 सम संख्येची बेरीज:
2 विषम संख्यांची बेरीज = सम.
3 सम संख्यांची बेरीज = सम.
सम + सम = सम संख्या.

(c) 5 सम संख्यांची बेरीज:
कोणत्याही सम संख्यांची बेरीज नेहमी सम संख्या येते.

(d) 8 विषम संख्यांची बेरीज:
8 ही सम संख्या आहे. विषम संख्या सम वेळा जोडल्यास उत्तर सम संख्या येते (उदा. विषम + विषम = सम, असे 4 जोड्या बनतील. 4 सम संख्यांची बेरीज = सम).

2. लकपाकडे त्याच्या पिगी बँकेत विषम संख्या असणारी ₹1 ची नाणी, विषम संख्या असणारी ₹5 ची नाणी आणि सम संख्या असणारी ₹10 ची नाणी आहेत. त्याने एकूण हिशेब केला आणि त्याला ₹ 205 मिळाले. त्याने चूक केली आहे का? जर त्याने चूक केली असेल तर का ते स्पष्ट करा. जर त्याने चूक केली नसेल तर त्याच्याकडे प्रत्येक प्रकारची किती नाणी असू शकतात ?

पायरी 1: रक्कमेची समानता (Parity) तपासूया.

₹1 ची नाणी (विषम संख्येत) = 1 x विषम = विषम रक्कम.

₹5 ची नाणी (विषम संख्येत) = 5 x विषम = विषम रक्कम.

₹10 ची नाणी (सम संख्येत) = 10 x सम = सम रक्कम.

पायरी 2: एकूण रक्कमेची समानता तपासू.

एकूण = (विषम रक्कम) + (विषम रक्कम) + (सम रक्कम)

एकूण = (सम रक्कम) + (सम रक्कम) = सम रक्कम.

निष्कर्ष: लकपाची एकूण रक्कम नेहमी सम संख्या यायला हवी. परंतु त्याने ₹205 (विषम संख्या) मोजले आहेत.

उत्तर: होय, त्याने चूक केली आहे. कारण विषम + विषम + सम = सम रक्कम यायला हवी, पण 205 ही विषम रक्कम आहे.

3. आपल्याला माहित आहे की, (a) सम + सम = सम, (b) विषम + विषम = सम, (c) सम + विषम = विषम. त्याचप्रमाणे खालील घटनांची समानता काढा.
(d) सम – सम =
(e) विषम – विषम =
(f) सम – विषम =
(g) विषम – सम =

वजाबाकीचे नियम बेरजेच्या नियमांसारखेच असतात.

(d) सम – सम = सम

(e) विषम – विषम = सम

(f) सम – विषम = विषम

(g) विषम – सम = विषम

पान क्रमांक 146

1. 3×3 च्या चौकटीमध्ये 9 लहान चौरस असून ती विषम संख्या आहे. तथापि 3×4 च्या चौकटीमध्ये 12 लहान चौरस असून ती सम संख्या आहे. चौकटीची परिमाणे दिली असता गुणाकार न करता तुम्ही लहान चौरसांच्या संख्येंची समानता सांगू शकता का ? या चौकटीतील लहान चौरसांच्या संख्येची समानता काढा.
a) 27 x 13
b) 42 x 78
c) 135 x 654

गुणाकाराचा नियम:
विषम x विषम = विषम
सम x सम = सम
सम x विषम = सम.

a) 27 x 13: 27 (विषम) x 13 (विषम). उत्तर: विषम

b) 42 x 78: 42 (सम) x 78 (सम). उत्तर: सम

c) 135 x 654: 135 (विषम) x 654 (सम). उत्तर: सम

2. राशींची समानता: 3n+4 ही बैजिक राशी विचारात घ्या. नेहमी सम स्थिती असलेली राशी शोधा (काढा). 100p आणि 48w-2 ही काही उदाहरणे आहेत. नेहमी विषम स्थिती असलेली राशी काढा. 3n+4 प्रमाणे विषम किंवा सम स्थिती असणाऱ्या इतर राशी काढा.

नेहमी सम स्थिती असलेली राशी: या राशीमध्ये गुणक सम असावा लागतो आणि मिळवली जाणारी संख्याही सम असावी लागते (किंवा काहीच मिळवू नये).
उदाहरणे: 2n, 4x + 6, 10y – 2.

नेहमी विषम स्थिती असलेली राशी: या राशीमध्ये गुणक सम असावा लागतो आणि मिळवली जाणारी संख्या विषम असावी लागते.
उदाहरणे: 2n + 1, 4x – 3, 6k + 5.

3n + 4 प्रमाणे (n च्या किमतीवर अवलंबून असलेली) राशी: या राशीमध्ये गुणक विषम असावा लागतो.
उदाहरणे: 5x + 1, 7y – 2, 9k + 3.

पान क्रमांक 151

1. 1-9 या संख्या वापरून किती वेगवेगळे जादूई चौरस बनविता येतात ?

1-9 संख्या वापरून 3×3 चा 1 मूळ जादूई चौरस बनवता येतो (केंद्रात 5 ठेवून).

परंतु, या चौरसाला फिरवून (rotations) आणि प्रतिबिंबित करून (reflections) एकूण 8 वेगवेगळे जादूई चौरस बनवता येतात.

2. 2-10 या संख्या वापरून एक जादूई चौरस तयार करा. यासाठी तुम्ही कोणती युक्ती वापराल? 1-9 या संख्या वापरून बनविलेल्या जादूई चौरसाशी त्याची तुलना करा.

युक्ती: 1-9 चा जादूई चौरस घ्या आणि त्यातील प्रत्येक संख्येत 1 मिळवा.

1-9 चा चौरस (जादूई बेरीज 15):
8 1 6
3 5 7
4 9 2

2-10 चा चौरस (जादूई बेरीज 18):
9 2 7
4 6 8
5 10 3

तुलना: मध्यभागी 5 ऐवजी 6 आहे, आणि जादूई बेरीज 15 ऐवजी 18 झाली आहे.

3. एक जादूई चौरस घ्या आणि
a) प्रत्येक संख्या 1 ने वाढवा.
b) प्रत्येक संख्या दुप्पट करा.
प्रत्येक घटनेतील परिणामी चौकटी ही सुद्धा एक जादूई चौरस आहे का? प्रत्येक घटनेत जादूई बेरीज कशी बदलते ?

a) प्रत्येक संख्या 1 ने वाढवा:
होय, ती चौकट सुद्धा एक जादूई चौरस राहते. (उदा. 2-10 चा चौरस).
जादूई बेरीज: प्रत्येक ओळीत 3 संख्या असतात, त्यामुळे जादूई बेरीज 3 ने वाढते. (15 + 3 = 18).

b) प्रत्येक संख्या दुप्पट करा:
होय, ती चौकट सुद्धा एक जादूई चौरस राहते.
जादूई बेरीज: प्रत्येक संख्या दुप्पट झाल्याने, जादूई बेरीजही दुप्पट होते. (15 x 2 = 30).

4. एका जादूई चौरसावर कोणती इतर क्रिया करून दुसरा जादूई चौरस मिळविता येईल ?

एका जादूई चौरसावरून दुसरा जादूई चौरस मिळवण्यासाठी खालील क्रिया करता येतात:

1. बेरीज/वजाबाकी: प्रत्येक संख्येत एखादी समान संख्या मिळवणे किंवा वजा करणे.

2. गुणाकार/भागाकार: प्रत्येक संख्येला एखाद्या समान संख्येने गुणणे किंवा भागणे.

3. फिरवणे (Rotation): चौरसाला 90°, 180° किंवा 270° ने फिरवणे.

4. प्रतिबिंब (Reflection): चौरसाचे आरशातील प्रतिबिंब घेणे (आडवे किंवा उभे).

5. क्रमगत 9 संख्याच्या कोणत्याही संचाचा वापर करून एक जादूई चौरस तयार करण्याच्या प्रकाराची चर्चा करा. (जसे की 2-10, 3-11, 9-17 इत्यादी)

क्रमगत 9 संख्या वापरून जादूई चौरस बनवण्याची पद्धत:

1. केंद्र शोधा: त्या 9 संख्यांची मध्यक (Median) संख्या किंवा मधली संख्या शोधा आणि ती चौरसाच्या केंद्रात ठेवा. (उदा. 3-11 मध्ये मधली संख्या 7 आहे).

2. जादूई बेरीज शोधा: मधल्या संख्येला 3 ने गुणा. ती तुमची जादूई बेरीज असेल. (उदा. 7 x 3 = 21).

3. 1-9 च्या मूळ जादूई चौरसाच्या आकृतीबंधानुसार (pattern) बाकीच्या संख्या त्यांच्या योग्य स्थानी मांडा. मूळ चौरसातील ‘5’ च्या जागी नवीन ‘मधली संख्या’ येईल आणि बाकी संख्या क्रमाने येतील.

1. या सामान्यीकरण नमुन्याचा उपयोग करून केंद्रस्थानी 25 संख्या असणारा एक जादूई चौरस काढा.

स्पष्टीकरण: 1 ते 9 संख्यांचा मूळ जादूई चौरस विचारात घ्या ज्याच्या केंद्रस्थानी 5 ही संख्या असते. जर आपल्याला केंद्रस्थानी 25 हवा असेल, तर मूळ चौरसातील प्रत्येक संख्येला 5 ने गुणावे लागेल (कारण 5 x 5 = 25).

40	5	30
15	25	35
20	45	10

या चौरसाची जादूई बेरीज 75 आहे.

2. कोणत्याही पंक्ती, स्तंभ किंवा कर्णाची 3 पदे मिळवून कोणती राशी मिळते ?

स्पष्टीकरण: जर जादूई चौरसाच्या केंद्रस्थानी ‘m’ ही मूळाक्षर संख्या असेल, तर कोणत्याही पंक्ती, स्तंभ किंवा कर्णाची 3 पदे मिळवून 3m ही राशी मिळते.

3. यापासून मिळणारा निकाल लिहा.

निकाल: कोणत्याही 3×3 जादूई चौरसाची जादूई बेरीज ही नेहमी त्याच्या केंद्रस्थानी असलेल्या संख्येच्या तिप्पट (3 पट) असते.

4. जादूई बेरीज 60 असणारा एक जादूई चौरस तयार करा:
a) सामान्यीकरण नमुन्यातील प्रत्येक पदामध्ये 15 मिळवून.
b) सामान्यीकरण नमुन्यातील प्रत्येक पद दुप्पट करून. (येथे आपण मूळ 30 बेरीज असलेल्या चौरसाला दुप्पट करू)

जादूई बेरीज 60 हवी असल्यास केंद्रस्थानी 60 / 3 = 20 ही संख्या असली पाहिजे.

a) प्रत्येक पदामध्ये 15 मिळवून: मूळ चौरसाच्या (ज्याची बेरीज 15 आहे) प्रत्येक पदामध्ये 15 मिळवले.

23	16	21
18	20	22
19	24	17

b) पदे दुप्पट करून: समजा आपण जादूई बेरीज 30 असलेला चौरस घेतला (ज्याचा केंद्र 10 आहे) आणि त्याची पदे दुप्पट केली. (मूळ चौरसाला 4 ने गुणले).

32	4	24
12	20	28
16	36	8

5. 9 क्रमगत नसलेल्या संख्या भरून एक जादूई चौरस मिळविणे शक्य आहे का ?

होय, हे शक्य आहे.

स्पष्टीकरण: जादूई चौरस तयार करण्यासाठी संख्या क्रमगतच (1, 2, 3…) असल्या पाहिजेत असे नाही. कोणत्याही समान फरकाने वाढणाऱ्या 9 संख्या (उदा. 10, 20, 30, 40…) वापरून आपण जादूई चौरस तयार करू शकतो.

1. एक विद्युत दिवा चालू आहे. दोर्जी त्याचे बटण 77 वेळा चालू बंद करतो तर दिवा चालू किंवा बंद आहे? का ?

उत्तर: दिवा बंद (OFF) असेल.

स्पष्टीकरण: दिवा सुरुवातीला चालू आहे. 1 वेळा बटण दाबल्यास तो बंद होईल, 2 वेळा दाबल्यास पुन्हा चालू होईल. म्हणजेच विषम (Odd) वेळी बटण दाबल्यास दिवा बंद होतो आणि सम (Even) वेळी दाबल्यास तो चालू राहतो. 77 ही विषम संख्या असल्यामुळे 77 व्या वेळी दिवा बंद होईल.

2. लिस्वीनीकडे एक मोठा जुना शब्दकोश आहे. जेव्हा तिने तो उघडला तेव्हा त्यातून अनेक मोकळी पाने पडली. दोन्ही बाजूला मुद्रित असलेली प्रत्येकी एकूण 50 पाने तिने मोजली. मोकळी पाने असलेल्या पानांच्या संख्येंची बेरीज 6000 असू शकेल काय? का किंवा का नाही ?

उत्तर: होय, हे असू शकेल.

स्पष्टीकरण: एका पानाच्या दोन बाजूंवर एक सम आणि एक विषम पृष्ठ क्रमांक असतो. (उदा. 1 आणि 2). सम आणि विषम संख्येची बेरीज नेहमी विषम (Odd) येते. लिस्वीनीकडे अशी 50 पाने आहेत. 50 विषम संख्यांची बेरीज केली असता उत्तर नेहमी सम (Even) संख्या येते. 6000 ही सम संख्या आहे, त्यामुळे हे गणितीयदृष्ट्या शक्य आहे. (6000 / 50 = 120, म्हणजे सरासरी पृष्ठ क्रमांक 59 आणि 60 असू शकतात).

3. येथे 2×3 आकाराचा एक चौकट आहे. पंक्ती आणि स्तंभाच्या बेरजेच्या समानतेची पूर्तता करण्यासाठी 6 चौरस 3 विषम संख्या (‘o’) आणि 3 सम संख्या (‘e’) ने भरा. (स्तंभांची बेरीज अनुक्रमे e, e, o आणि पंक्तींची बेरीज o, e यायला हवी)

आपल्याला 3 ‘e’ आणि 3 ‘o’ अशा प्रकारे मांडायचे आहेत की पहिल्या पंक्तीची बेरीज ‘o’, दुसऱ्याची ‘e’ येईल आणि स्तंभांची बेरीज ‘e’, ‘e’, ‘o’ येईल.

e	o	e
e	o	o

तपासणी:
पहिली पंक्ती: e + o + e = o (विषम)
दुसरी पंक्ती: e + o + o = e (सम)
पहिला स्तंभ: e + e = e (सम)
दुसरा स्तंभ: o + o = e (सम)
तिसरा स्तंभ: e + o = o (विषम)

4. जादूई चौरस ‘0’ असणारे एक 3×3 चे जादूई चौरस तयार करा. सर्व संख्या ‘0’ असू शकणार नाहीत. गरज असल्यास ऋण संख्याचा वापर करा.

स्पष्टीकरण: केंद्रस्थानी 0 ठेवून आणि -4 ते 4 या संख्या वापरून आपण ज्याची जादूई बेरीज 0 आहे असा चौरस बनवू शकतो.

-1	4	-3
-2	0	2
3	-4	1

5. सम किंवा विषम संख्यानी खालील रिकाम्या जागा भरा.
a) सम संख्यांची विषम संख्येशी बेरीज _____ आहे.
b) विषम संख्यांची सम संख्येशी बेरीज _____ आहे.
c) सम संख्यांची सम संख्येशी बेरीज _____ आहे.
d) विषम संख्यांची विषम संख्येशी बेरीज _____ आहे.

a) सम संख्यांची विषम संख्येशी बेरीज विषम आहे.

b) विषम संख्यांची सम संख्येशी बेरीज विषम आहे.

c) सम संख्यांची सम संख्येशी बेरीज सम आहे.

d) विषम संख्यांची विषम संख्येशी बेरीज सम आहे.

6. 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांच्या बेरजेची समानता किती आहे ?

उत्तर: समानता सम (Even) आहे.

स्पष्टीकरण: 1 ते 100 मध्ये 50 विषम संख्या आणि 50 सम संख्या आहेत. 50 (सम वेळा) विषम संख्यांची बेरीज केल्यास उत्तर ‘सम’ येते. सम संख्यांची बेरीज ‘सम’ च असते. म्हणून एकूण बेरीज सम असेल. (बेरीज 5050 येते, जी सम आहे).

7. विरहंक क्रमातील दोन क्रमगत संख्या 987 आणि 1597 आहेत. क्रमातील पुढील दोन संख्या कोणत्या आहेत ? क्रमातील मागील (अगोदरच्या) दोन संख्या कोणत्या आहेत ?

विरहंक क्रमानुसार पुढील संख्या ही मागील दोन संख्यांच्या बेरजेइतकी असते.

पुढील दोन संख्या:
पहिली: 987 + 1597 = 2584
दुसरी: 1597 + 2584 = 4181

मागील दोन संख्या:
पहिली मागील संख्या: 1597 – 987 = 610
दुसरी मागील संख्या: 987 – 610 = 377

8. अंगनला 8 पायऱ्यांचा जिना चढावयाचा आहे. त्याचा खेळकर नियम असा आहे की तो एकावेळी एक किंवा 2 पायऱ्या चढू शकतो. तर तो किती वेगवेगळ्या मार्गानी शिखरावर (माथ्यावर) पोहोचू शकतो ?

स्पष्टीकरण: पायऱ्या चढण्याचे मार्ग विरहंक (Fibonacci) क्रमानुसार वाढतात. 8 व्या पायरीसाठी आपल्याला विरहंक क्रमाचे 8 वे पद काढावे लागेल.

क्रम: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

उत्तर: तो 34 वेगवेगळ्या मार्गांनी माथ्यावर पोहोचू शकतो.

9. विरहंक क्रमाच्या 20 व्या पदाची समानता किती आहे ?

उत्तर: 20 वे पद विषम (Odd) असेल.

स्पष्टीकरण: विरहंक क्रमाची समानता ‘विषम, विषम, सम, विषम, विषम, सम…’ अशा पद्धतीने चालते. म्हणजेच प्रत्येक 3 रे पद सम असते. 20 ला 3 ने पूर्ण भाग जात नाही, म्हणून 20 वे पद विषम असेल.

10. सत्य असलेली विधाने ओळखा.
a) 4m – 1 ही राशी नेहमी विषम संख्या देते.
b) सर्व सम संख्या 6j – 4 मध्ये व्यक्त करता येतात.
c) 2P + 1 आणि 2q – 1 या दोन्ही राशी सर्व विषम संख्यांचे वर्णन करतात.
d) 2f + 3 ही राशी सम आणि विषम या दोन्ही संख्या देते.

सत्य विधाने:

a) सत्य: 4m ही नेहमी सम संख्या असते, आणि सम संख्येतून 1 वजा केल्यास विषम संख्या मिळते.

c) सत्य: सम संख्येत 1 मिळवणे किंवा 1 वजा करणे नेहमी विषम संख्या देते, त्यामुळे त्या सर्व विषम संख्यांचे वर्णन करतात.

(टीप: b असत्य आहे कारण 6j – 4 सर्व सम संख्या देऊ शकत नाही. d असत्य आहे कारण 2f+3 नेहमी विषम संख्याच देते.)

11. क्रिप्टॅरिथम सोडवा.
UT + TA = TAT

स्पष्टीकरण:
एकम स्थान: T + A = T, याचाच अर्थ A = 0 असला पाहिजे.
दशक स्थान: U + T = T0 (येथे T आणि 0 मिळून दोन अंकी संख्या बनते, आणि A=0 असल्याने ते T0 झाले).
दोन एक-अंकी संख्यांची (U+T) बेरीज जास्तीत जास्त 17 असू शकते (उदा. 9+8). त्यामुळे शतक स्थानचा अंक T हा 1 च असला पाहिजे.
जर T = 1 असेल, तर U + 1 = 10, म्हणून U = 9 असेल.

पडताळणी: 91 + 10 = 101.

उत्तर: U = 9, T = 1, A = 0.

Join WhatsApp Channel Join Now

Telegram Group Join Now