इयत्ता 6 वी गणित: 5.आद्य (मूळ) वेळ

BySmart Guruji
OnApril 30, 2026
Read Time6 mins

Table of Contents

इयत्ता 6 वी गणित: प्रकरणातील महत्त्वाचे मुद्दे

प्रकरणातील महत्त्वाचे मुद्दे: आद्य (मूळ) वेळ

१. अवयव आणि गुणक (Factors and Multiples)

जर एका संख्येला दुसऱ्या संख्येने पूर्ण भाग जात असेल, तर दुसऱ्या संख्येला पहिल्या संख्येचा अवयव (Factor) असे म्हणतात. उदाहरणार्थ, 12 ला 4 ने पूर्ण भाग जातो (12 ÷ 4 = 3), म्हणून 4 हा 12 चा अवयव आहे.
दिलेल्या संख्येच्या पटीत येणाऱ्या संख्यांना त्या संख्येचे गुणक (Multiples) असे म्हणतात (उदा. 3 चे गुणक: 3, 6, 9, 12…).

२. मूळ संख्या आणि संयुक्त संख्या (Prime and Composite Numbers)

अविभाज्य किंवा मूळ संख्या (Prime Numbers): ज्या संख्यांना फक्त दोनच अवयव असतात – 1 आणि ती स्वतः संख्या, त्यांना मूळ संख्या म्हणतात. उदा. 2, 3, 5, 7, 11….
संयुक्त संख्या (Composite Numbers): ज्या संख्यांना 2 पेक्षा जास्त अवयव असतात, त्यांना संयुक्त संख्या म्हणतात. उदा. 4, 6, 8, 9….
1 ही संख्या मूळही नाही आणि संयुक्तही नाही, कारण तिला फक्त एकच अवयव असतो.
इरॅटोस्थेनेसची चाळण (Sieve of Eratosthenes): 1 ते 100 मधील मूळ संख्या शोधण्यासाठी वापरण्यात येणारी ही एक प्राचीन आणि सोपी पद्धत आहे.

३. मूळ अवयवीकरण (Prime Factorization)

1 पेक्षा मोठी असलेली कोणतीही संयुक्त संख्या मूळ संख्यांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात लिहिता येते. या प्रक्रियेला मूळ अवयवीकरण असे म्हणतात.
उदाहरणार्थ, 84 चे मूळ अवयवीकरण: 84 = 2 × 2 × 3 × 7.
अवयवांचा क्रम कसाही असला, तरी कोणत्याही संख्येचे मूळ अवयवीकरण हे एकच (अद्वितीय) असते.

४. सह-अविभाज्य संख्या (Co-Prime Numbers)

जर दोन संख्यांमध्ये 1 व्यतिरिक्त कोणताही सामायिक (Common) अवयव नसेल, तर त्या संख्यांना सह-अविभाज्य संख्या म्हणतात.
उदा. 4 आणि 9 या संख्या सह-अविभाज्य आहेत, कारण त्यांच्यात 1 व्यतिरिक्त कोणताही सामायिक अवयव नाही.
दोन संख्या सह-अविभाज्य आहेत की नाही हे तपासण्यासाठी, प्रथम त्यांचे मूळ अवयव काढावेत आणि त्यांच्यात कोणताही सामायिक मूळ अवयव नाही याची खात्री करावी.

५. विभाज्यतेच्या कसोट्या (Tests for Divisibility)

दीर्घ भागाकार न करता एखाद्या संख्येला दुसऱ्या संख्येने भाग जातो की नाही हे तपासण्याच्या सोप्या पद्धती:

10 ची कसोटी: ज्या संख्येच्या एकक स्थानी ‘0‘ असतो, त्या संख्येला 10 ने पूर्ण भाग जातो.
5 ची कसोटी: ज्या संख्येच्या एकक स्थानी ‘0‘ किंवा ‘5‘ असतो, त्या संख्येला 5 ने पूर्ण भाग जातो.
2 ची कसोटी: ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 0, 2, 4, 6 किंवा 8 यांपैकी एखादा अंक असतो (म्हणजेच ती सम संख्या असते), तिला 2 ने पूर्ण भाग जातो.
4 ची कसोटी: दिलेल्या संख्येच्या शेवटच्या दोन अंकांपासून तयार होणाऱ्या संख्येला जर 4 ने भाग जात असेल, तर त्या पूर्ण संख्येला 4 ने भाग जातो.
8 ची कसोटी: दिलेल्या संख्येच्या शेवटच्या तीन अंकांपासून तयार होणाऱ्या संख्येला जर 8 ने भाग जात असेल, तर त्या पूर्ण संख्येला 8 ने भाग जातो.

इयत्ता ६ वी गणित – प्रकरण ५: आद्य (मूळ) वेळ

‘शोधा पाहू’ – पृष्ठ क्र. 104 आणि 105 ची उत्तरे

1. 310 आणि 410 मधील 40 चे सर्व गुणक काढा.

उत्तर: 40 च्या पटीतील (गुणक) संख्या शोधायच्या आहेत.
40 x 8 = 320
40 x 9 = 360
40 x 10 = 400
म्हणून 310 आणि 410 मधील 40 चे गुणक 320, 360 आणि 400 हे आहेत.

2. मी कोण आहे?
a) 40 पेक्षा लहान असणारी मी एक संख्या आहे. माझा एक अवयव 7 आहे. माझ्या अंकांची बेरीज 8 आहे.
b) 100 पेक्षा लहान असणारी मी एक संख्या आहे. माझे दोन अवयव 3 आणि 5 हे आहेत. माझा 1 अंक दुसऱ्यापेक्षा 1 ने अधिक आहे.

उत्तर:
a) 40 पेक्षा लहान 7 चे गुणक: 7, 14, 21, 28, 35.
यापैकी ज्याच्या अंकांची बेरीज 8 आहे ती संख्या म्हणजे 35 (कारण 3 + 5 = 8).
b) 3 आणि 5 हे दोन्ही अवयव आहेत, म्हणजेच ती संख्या 15 च्या पटीत (15 चा गुणक) आहे. 100 पेक्षा लहान 15 चे गुणक: 15, 30, 45, 60, 75, 90.
यापैकी असा गुणक ज्याचा एक अंक दुसऱ्यापेक्षा 1 ने जास्त आहे ती संख्या म्हणजे 45 (कारण 5 – 4 = 1).

3. ज्या संख्येसाठी त्यांच्या सर्व अवयवांची बेरीज संख्येच्या दुप्पट असते तिला परिपूर्ण संख्या (Perfect Number) असे म्हणतात. 28 ही परिपूर्ण संख्या आहे… 1 आणि 10 मधील परिपूर्ण संख्या काढा.

उत्तर: 1 ते 10 मधील संख्यांचे अवयव तपासून पाहू.
6 चे अवयव = 1, 2, 3, 6.
यांची बेरीज = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
ही बेरीज 6 च्या दुप्पट (6 x 2 = 12) आहे. म्हणून 6 ही परिपूर्ण संख्या आहे.

4. सामान्य (सामाईक) अवयव काढा.
a) 20 आणि 28
b) 35 आणि 50
c) 4, 8 आणि 12
d) 5, 15 आणि 25

उत्तर:
a) 20 चे अवयव: 1, 2, 4, 5, 10, 20. | 28 चे अवयव: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
सामान्य अवयव: 1, 2, 4.

b) 35 चे अवयव: 1, 5, 7, 35. | 50 चे अवयव: 1, 2, 5, 10, 25, 50.
सामान्य अवयव: 1, 5.

c) 4 चे अवयव: 1, 2, 4. | 8 चे अवयव: 1, 2, 4, 8. | 12 चे अवयव: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
सामान्य अवयव: 1, 2, 4.

d) 5 चे अवयव: 1, 5. | 15 चे अवयव: 1, 3, 5, 15. | 25 चे अवयव: 1, 5, 25.
सामान्य अवयव: 1, 5.

5. 25 या संख्येचे गुणक असणाऱ्या परंतु 50 च्या गुणक नसणाऱ्या कोणत्याही तीन संख्या काढा.

उत्तर: 25 चे गुणक (पाढा): 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175…
यामधून 50 च्या पटीतील (50, 100, 150) संख्या वगळल्यास: 25, 75, 125, 175 या संख्या मिळतील.

6. अंशू आणि त्याचे मित्र दोन संख्यांचा ‘इडली वडा’ हा खेळ खेळतात जे दोन्ही 10 पेक्षा लहान आहेत. 50 संख्येनंतर कोणीतरी पहिल्यांदा ‘इडली वडा’ असे म्हटले आहे. ‘इडली’ आणि ‘वडा’ असे सुचविणाऱ्या कोणत्या दोन संख्या असू शकतात?

उत्तर: ‘इडली वडा’ म्हणणे म्हणजे ती संख्या दोन्ही संख्यांचा ‘लसावि’ (LCM) किंवा सामाईक गुणक असणे. 50 पेक्षा मोठी पहिली संख्या जिथे हे घडते ती संख्या 50 च्या जवळची असावी.
जर आपण 7 आणि 8 या संख्या घेतल्या (ज्या 10 पेक्षा लहान आहेत), तर त्यांचा पहिला सामाईक गुणक 56 येतो (7 x 8 = 56).
म्हणून त्या दोन संख्या 7 आणि 8 असू शकतात (किंवा 6 आणि 9, ज्यांचा सामाईक गुणक 54 आहे).

7. खजिना शिकारीच्या खेळामध्ये ग्रम्पी 28 आणि 70 वर खजिना ठेवतो. दोन्ही संख्येंवर उतरण्यासाठी उड्यांचा आकार किती असेल?

उत्तर: उड्यांचा आकार हा 28 आणि 70 चा सामाईक अवयव (Common Factor) असला पाहिजे.
28 चे अवयव: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
70 चे अवयव: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.
सामाईक अवयव: 1, 2, 7, 14. यापैकी कोणत्याही आकाराची उडी मारल्यास जम्पी दोन्ही खजिन्यांवर पोहोचू शकतो.

8. खालील चित्रातील सामान्य गुणक वगळता इतर सर्व संख्या गुणाने खोडल्या आहेत. तर तेथे असणाऱ्या कोणत्या संख्या ते काढा आणि मोकळ्या जागेत गाळलेल्या संख्या भरा.

उत्तर: आकृतीमध्ये मध्यभागी (छेदनबिंदूत) 24, 48, 72 या संख्या दिल्या आहेत. हे सामान्य (सामाईक) गुणक आहेत.
या संख्या 8 आणि 12 (किंवा 12 आणि 24, किंवा 6 आणि 8) च्या सामाईक पटीतील (Common Multiples) असू शकतात.
सर्वात योग्य जोडी: 8 चे गुणक आणि 12 चे गुणक. (कारण 8 आणि 12 यांचा लसावि 24 आहे, आणि पुढील सामाईक गुणक 48, 72 येतात).

9. 7 व्यतिरिक्त 1 ते 10 पर्यंतच्या सर्व संख्यांचा गुणक असणारी लहानात लहान संख्या काढा.

उत्तर: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 या सर्व संख्यांनी भाग जाणारी लहानात लहान संख्या (लसावि) काढायची आहे.
यासाठी या संख्यांचे मूळ अवयव पाहू:
कमाल घातांक: 2³ (8 मधून), 3² (9 मधून), 5 (5 मधून).
लसावि = 8 x 9 x 5 = 360.
म्हणून ती संख्या 360 आहे.

10. 1 ते 10 पर्यंतच्या सर्व संख्यांचा गुणक असणारी लहानात लहान संख्या काढा.

उत्तर: येथे 1 ते 10 पर्यंतच्या सर्व संख्यांचा लसावि काढायचा आहे.
मागील प्रश्नात आपण 7 वगळून लसावि 360 काढला होता. आता त्यात 7 चा गुणाकार करावा लागेल.
लसावि = 360 x 7 = 2520.
म्हणून 1 ते 10 सर्व संख्यांनी भाग जाणारी लहानात लहान संख्या 2520 आहे.

इयत्ता 6 वी गणित: आद्य (मूळ) वेळ – महत्त्वाचे मुद्दे आणि ‘शोधा पाहू’ उत्तरे

‘शोधा पाहू’ ची उत्तरे – पृष्ठ क्र. 107

1) आम्हाला असे दिसून येते की 2 ही मूळ संख्या आहे आणि सम संख्या सुद्धा आहे. तेथे कोणत्याही इतर सम अविभाज्य संख्या आहेत का?

उत्तर: नाही, 2 व्यतिरिक्त इतर कोणतीही सम संख्या मूळ (अविभाज्य) संख्या नाही. इतर सर्व सम संख्यांना 2 ने भाग जातो, त्यामुळे त्या संयुक्त संख्या ठरतात.

2) 100 पर्यंत असणाऱ्या सर्व अविभाज्य संख्येच्या यादीकडे पहा. दोन क्रमवार / सलग मूळ संख्येमधील कमीत कमी फरक किती आहे? मोठ्यात मोठा फरक किती आहे?

उत्तर:
दोन सलग मूळ संख्यांमधील कमीत कमी फरक 1 आहे. (उदा. 2 आणि 3).
दोन सलग मूळ संख्यांमधील मोठ्यात मोठा फरक 8 आहे. (उदा. 89 आणि 97 या दोन मूळ संख्या आहेत आणि त्यांच्यामध्ये 8 चा फरक आहे).

3) मागील पानावरील कोष्टकातील प्रत्येक पंक्तीमध्ये आढळणाऱ्या मुळ संख्यांची संख्या तेथे समान आहे काय? कोणत्या दशकात अविभाज्य संख्या कमीत कमी आहेत? सर्वात जास्त अविभाज्य संख्या कोणत्या आहेत?

उत्तर:
नाही, प्रत्येक पंक्तीतील (दशकातील) मूळ संख्यांची संख्या समान नाही.
सर्वात कमी मूळ संख्या 91 ते 100 या दशकात आहेत (फक्त एकच: 97).
सर्वात जास्त मूळ संख्या 1 ते 10 या दशकात आहेत (चार: 2, 3, 5, 7).

‘शोधा पाहू’ ची उत्तरे – पृष्ठ क्र. 108

4) खालीलपैकी कोणत्या संख्या अविभाज्य आहेत? 23, 51, 37, 26

उत्तर: 23 आणि 37 या अविभाज्य (मूळ) संख्या आहेत. (51 ला 3 ने व 26 ला 2 ने भाग जातो).

5) 20 पेक्षा लहान असून ज्यांची बेरीज 5 चे गुणक असणाऱ्या मूळ संख्यांच्या तीन जोड्या लिहा.

उत्तर:
1) 2 + 3 = 5
2) 3 + 17 = 20
3) 7 + 13 = 20

6) 13 आणि 31 या अविभाज्य संख्या आहेत. या दोन्ही संख्यांना 1 व 3 हे सारखेच अंक आहेत. 100 पर्यंत असणाऱ्या अशा संख्यांच्या जोड्या काढा.

उत्तर: 100 पर्यंतच्या अशा जोड्या खालीलप्रमाणे आहेत:
17 आणि 71
37 आणि 73
79 आणि 97

7) 1 आणि 100 मधील सात क्रमगत संयुक्त संख्या काढा.

उत्तर: 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 या सात सलग येणाऱ्या संयुक्त संख्या आहेत (यांच्यामध्ये एकही मूळ संख्या येत नाही).

8) फरक 2 असणाऱ्या अविभाज्य संख्यांच्या जोड्या या जुळ्या अविभाज्य संख्या आहेत. उदाहरणार्थ 3 आणि 5. 1 आणि 100 मधील इतर जुळ्या अविभाज्य संख्या काढा.

उत्तर: 1 ते 100 मधील जुळ्या मूळ संख्या (Twin Primes): (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73).

10) खालीलपैकी कोणत्या संख्या फक्त तीन वेगवेगळ्या अविभाज्य संख्यांचा गुणाकार आहे. 45, 60, 91, 105, 330?

उत्तर:
105 = 3 × 5 × 7 (तीन वेगळ्या मूळ संख्या)
330 = 2 × 3 × 5 × 11 (चार वेगळ्या मूळ संख्या)
म्हणून उत्तर 105 आहे.

12) निरीक्षण करा की 3 ही एक अविभाज्य संख्या आहे आणि 2 × 3 + 1 = 7 ही सुद्धा एक अविभाज्य संख्या आहे. तेथे अविभाज्य संख्येची दुप्पट करून 1 मिळविल्यास दुसरी अविभाज्य संख्या कोणती मिळते?

उत्तर: अशा अनेक संख्या आहेत:
2 (मूळ) → 2 × 2 + 1 = 5 (मूळ)
5 (मूळ) → 5 × 2 + 1 = 11 (मूळ)

‘शोधा पाहू’ ची उत्तरे – पृष्ठ क्र. 113

1) खालील संख्यांचे मूळ अवयवीकरण काढा. 64, 104, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000

उत्तर:

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
104 = 2 × 2 × 2 × 13
105 = 3 × 5 × 7
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5

2) एका संख्येचे मूळ अवयवीकरण हे 2 एकदा, 3 दोन वेळा आणि 11 एकदा आहेत तर ती संख्या कोणती?

उत्तर: ती संख्या = 2 × 3 × 3 × 11 = 198 आहे.

3) ज्यांचा गुणाकार 1955 असणाऱ्या 30 पेक्षा सर्व लहान असणाऱ्या तीन मूळ संख्या काढा.

उत्तर: 1955 चे मूळ अवयव काढल्यास: 5 × 17 × 23 = 1955. या तिन्ही मूळ संख्या 30 पेक्षा लहान आहेत.

4) प्रथमतः गुणाकार न करता ह्या संख्येचे मूळ अवयवीकरण काढा. a) 56 × 25

उत्तर:
56 = 2 × 2 × 2 × 7
25 = 5 × 5
म्हणून, 56 × 25 चे मूळ अवयवीकरण = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7

Class 6 Maths Chapter 5: Prime Time Highlights & Solutions

‘शोधा पाहू’ ची उत्तरे (पृष्ठ क्र. 115, 116 आणि 119)

पृष्ठ क्रमांक 115 आणि 116 वरील उत्तरे

1) खालील संख्यांच्या जोड्या सह-अविभाज्य आहेत काय? प्रथमतः ओळखा आणि तुमच्या उत्तराचा पडताळा करण्यासाठी नंतर मूळ अवयवीकरणाचा उपयोग करा.

a) 30 आणि 45:
मूळ अवयवीकरण: 30 = 2 × 3 × 5 आणि 45 = 3 × 3 × 5.
येथे 3 आणि 5 हे सामाईक मूळ अवयव आहेत. म्हणून या सह-अविभाज्य नाहीत.

b) 57 आणि 85:
मूळ अवयवीकरण: 57 = 3 × 19 आणि 85 = 5 × 17.
येथे कोणताही सामाईक मूळ अवयव नाही. म्हणून या सह-अविभाज्य आहेत.

c) 121 आणि 1331:
मूळ अवयवीकरण: 121 = 11 × 11 आणि 1331 = 11 × 11 × 11.
येथे 11 हा सामाईक अवयव आहे. म्हणून या सह-अविभाज्य नाहीत.

d) 343 आणि 216:
मूळ अवयवीकरण: 343 = 7 × 7 × 7 आणि 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3.
येथे कोणताही सामाईक अवयव नाही. म्हणून या सह-अविभाज्य आहेत.

2) पहिल्या संख्येला दुसऱ्या संख्येने भाग जातो का? मूळ अवयवीकरण वापरा.

a) 225 आणि 27:
225 = 3 × 3 × 5 × 5
27 = 3 × 3 × 3
दुसऱ्या संख्येचे (27) मूळ अवयव (3 × 3 × 3) हे पहिल्या संख्येच्या (225) मूळ अवयवांमध्ये पूर्णपणे समाविष्ट नाहीत (येथे 3 तीन वेळा हवा, पण तो फक्त दोन वेळा आहे). म्हणून भाग जात नाही.

b) 96 आणि 24:
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
24 = 2 × 2 × 2 × 3
24 चे सर्व अवयव 96 च्या अवयवांमध्ये आहेत. म्हणून भाग जातो.

c) 343 आणि 17:
343 = 7 × 7 × 7
17 (ही स्वतः मूळ संख्या आहे). 17 हा 343 च्या अवयवांमध्ये नाही. म्हणून भाग जात नाही.

d) 999 आणि 99:
999 = 3 × 3 × 3 × 37
99 = 3 × 3 × 11
99 चा अवयव 11 हा 999 च्या अवयवांमध्ये नाही. म्हणून भाग जात नाही.

3) पहिल्या संख्येचे मूळ अवयवीकरण 2 × 3 × 7 आहे आणि दुसऱ्या संख्येचे मूळ अवयवीकरण 3 × 7 × 11 आहे. त्या सह – अविभाज्य आहेत का? त्यापैकी एका संख्येने दुसऱ्या संख्येला भाग जातो काय?

दोन्ही संख्यांमध्ये 3 आणि 7 हे सामाईक अवयव आहेत, त्यामुळे त्या सह-अविभाज्य नाहीत.
तसेच, पहिल्या संख्येचे सर्व अवयव दुसऱ्या संख्येत नाहीत आणि दुसऱ्याचे पहिल्यामध्ये नाहीत. म्हणून एका संख्येने दुसऱ्या संख्येला पूर्ण भाग जात नाही.

4) गुना म्हणतो “कोणत्याही दोन अविभाज्य संख्या ह्या सह-अविभाज्य असतात.” तो बरोबर आहे?

होय, गुना बरोबर आहे. कोणत्याही दोन वेगळ्या अविभाज्य (मूळ) संख्यांचे अवयव फक्त 1 आणि ती स्वतः संख्या हेच असतात. त्यामुळे दोन वेगळ्या मूळ संख्यांमध्ये 1 व्यतिरिक्त कोणताही सामाईक अवयव नसतो. म्हणून त्या नेहमी सह-अविभाज्य असतात. (उदा. 5 आणि 7).

पृष्ठ क्रमांक 119 वरील उत्तरे

1) 2024 हे लीप वर्ष आहे. a) तुमच्या जन्मापासून आतापर्यंत कोणती वर्षे लीप वर्षे होती? b) सन 2024 पासून 2099 पर्यंत किती लीप वर्षे आहेत?

a) विद्यार्थ्याने आपल्या जन्मवर्षापासून 4 च्या पटीतील वर्षे लिहावीत. उदा. जन्मवर्ष 2012 असल्यास: 2012, 2016, 2020, 2024.

b) 2024 ते 2099 या कालावधीत (76 वर्षे) प्रत्येक 4 वर्षांनी एक लीप वर्ष येते. 2024 धरून एकूण 19 लीप वर्षे येतील. (2024, 2028, 2032… 2096).

2) 4 ने भाग जाणाऱ्या सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान 4 अंकी संख्या आणि पॉलींनड्रोम्स सुद्धा काढा.

लहान 4-अंकी संख्या: 1000 (ही 4 ने विभाज्य आहे).
मोठी 4-अंकी संख्या: 9996 (9999 ला भाग जात नाही, 9996 ला जातो).

4 ने भाग जाणारे 4-अंकी पॉलींड्रोम (Palindromes):
पॉलींड्रोम संख्या दोन्ही बाजूने सारखीच वाचता येते (उदा. abba). संख्येला 4 ने भाग जायचा असेल तर ती सम (Even) हवी, म्हणजे सुरुवातीचा आणि शेवटचा अंक 2, 4, 6, 8 पैकी एक असावा.
सर्वात लहान पॉलींड्रोम (4 ने विभाज्य): 2112. (शेवटचे दोन अंक 12, ज्याला 4 ने भाग जातो).
सर्वात मोठा पॉलींड्रोम (4 ने विभाज्य): 8888 किंवा 8998 (शेवटचे दोन अंक 98 ला 4 ने भाग जात नाही, त्यामुळे 8888 हे योग्य उत्तर आहे).

3) शोध घ्या आणि प्रत्येक विधान नेहमी सत्य आहे ते काढा…

a) दोन सम संख्यांची बेरीज ही 4 ची पट देते: हे विधान कधीतरी सत्य आहे.
उदा. 2 + 6 = 8 (सत्य). पण 2 + 4 = 6 (4 ची पट नाही, म्हणून असत्य).

b) दोन विषम संख्यांची बेरीज ही 4 ची पट देते: हे विधानही कधीतरी सत्य आहे.
उदा. 3 + 5 = 8 (सत्य). पण 3 + 7 = 10 (4 ची पट नाही, म्हणून असत्य).

4) जेव्हा खालील प्रत्येक संख्येला i) 10 ii) 5 iii) 2 ने भागले असता मिळणारी बाकी काढा: 78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345.

संख्या	10 ने भागल्यावर बाकी	5 ने भागल्यावर बाकी	2 ने भागल्यावर बाकी
78	8	3	0
99	9	4	1
173	3	3	1
572	2	2	0
980	0	0	0
1111	1	1	1
2345	5	0	1

5) जर शिक्षकाने 14560 ला 2, 4, 5, 8 आणि 10 ने भाग जातो काय असे विचारले. यापैकी फक्त दोन संख्येने 14560 ची विभाज्यता गुनाने तपासली आणि नंतर असे जाहीर करण्यात आले की त्या सर्व संख्यांना सुद्धा भाग जातो. तर त्या दोन संख्या कोणत्या?

त्या दोन संख्या 8 आणि 10 असू शकतात.
कारण जर एखाद्या संख्येला 8 ने भाग जात असेल, तर तिला 2 आणि 4 ने नक्कीच भाग जातो. आणि जर संख्येला 10 ने भाग जात असेल, तर तिला 2 आणि 5 ने सुद्धा नक्की भाग जातो. त्यामुळे फक्त 8 आणि 10 ची कसोटी तपासणे पुरेसे आहे.

6) खालीलपैकी कोणत्या संख्यांना 2, 4, 5, 8 आणि 10 या सर्व संख्यांनी भाग जातो: 572, 2352, 5600, 6000, 77622160

वरील नियमानुसार, ज्या संख्यांना 8 आणि 10 ने भाग जातो, त्यांना या सर्व संख्यांनी भाग जातो. 10 ची कसोटी म्हणजे शेवटी ‘0‘ हवा. 8 ची कसोटी म्हणजे शेवटच्या तीन अंकांना 8 ने भाग जायला हवा.
– 5600: शेवटी 0 आहे, आणि 600 ला 8 ने भाग जातो (600 / 8 = 75).
– 6000: शेवटी 0 आहे, आणि 000 ला 8 ने भाग जातो.
– 77622160: शेवटी 0 आहे, आणि 160 ला 8 ने भाग जातो (160 / 8 = 20).
उत्तर: 5600, 6000, 77622160 या संख्यांना सर्व दिलेल्या संख्यांनी भाग जातो.

7) 10000 गुणाकार असणाऱ्या दोन संख्या लिहा. त्या दोन संख्यांच्या एकक स्थानात 0 हा अंक नसेल?

10000 चे मूळ अवयवीकरण: 10000 = 10 × 10 × 10 × 10 = (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5) × (2 × 5)
= 2⁴ × 5⁴ = 16 × 625.
जर आपण 16 आणि 625 यांचा गुणाकार केला तर तो 10000 येतो आणि या दोन्ही संख्यांच्या एकक स्थानी शून्य (0) नाही.
उत्तर: त्या दोन संख्या 16 आणि 625 आहेत.

गणिताचे कोडे – इयत्ता ६ वी

एक मूळ कोडे (पृष्ठ क्र. 121)

नियम: फक्त ‘अविभाज्य (मूळ) संख्या’ वापरून रिक्त जागा भरा, जेणेकरून:
1. प्रत्येक पंक्तीचा (Row) गुणाकार हा पंक्तीच्या उजव्या बाजूच्या संख्येशी जुळेलbr> 2. प्रत्येक स्तंभाचा (Column) गुणाकार हा स्तंभाच्या खालील संख्येशी जुळेल.

कोडे 1

2	5	3	30
2	5	7	70
7	5	2	70
28	125	42

(टीप: 28 = 2 × 2 × 7; 125 = 5 × 5 × 5; 42 = 3 × 7 × 2)

कोडे 2 (पुस्तकातील उदाहरण)

5	5	3	75
2	3	7	42
17	2	3	102
170	30	63

कोडे 3

3	3	7	63
3	3	3	27
5	2	19	190
45	18	399

(टीप: 45 = 3 × 3 × 5; 18 = 3 × 3 × 2; शेवटच्या स्तंभाचा गुणाकार 7 × 3 × 19 = 399 येतो, पुस्तकात तिथे 171 छापले असावे, पण 171 = 3 × 3 × 19 असल्याने उजवीकडील संख्यांशी ताळमेळ बसत नाही. योग्य संख्या 399 आहे.)

कोडे 4

7	7	7	343
2	2	11	44
2	11	3	66
28	154	231

(टीप: 28 = 7 × 2 × 2; 154 = 7 × 2 × 11; 231 = 7 × 11 × 3. तसेच, शेवटच्या ओळीची बेरीज 660 छापली आहे, ती 66 (2×11×3) असावी किंवा स्तंभात 5 आवश्यक आहे.)

Join WhatsApp Channel Join Now

Telegram Group Join Now