प्रकरण 2: रेषा आणि कोन – महत्त्वाचे मुद्दे
भूमितीतील मूलभूत संकल्पना
- बिंदू (Point): बिंदू हा एक अचूक स्थान निश्चित करतो. त्याला लांबी, रुंदी व उंची नसते. तो नेहमी इंग्रजी कॅपिटल मुळाक्षराने (उदा. A, B, P) दर्शवितात.
- रेषाखंड (Line Segment): दोन बिंदूंमधील कमीतकमी अंतराला रेषाखंड असे म्हणतात. याला दोन अंत्यबिंदू असतात. (उदा. रेषाखंड AB).
- रेषा (Line): रेषाखंड दोन्ही बाजूंना अमर्यादितपणे वाढविला असता रेषा मिळते. ती दोन्ही बाजूंना कितीही वाढवता येते.
- किरण (Ray): किरण हा रेषेचा एक भाग आहे, ज्याची सुरुवात एका बिंदूतून होते (प्रारंभ बिंदू) आणि तो एकाच दिशेने अमर्यादितपणे वाढविता येतो.
कोन आणि त्याचे मोजमाप
- कोन (Angle): जेव्हा दोन किरण एकाच सामाईक आरंभ बिंदूतून निघतात, तेव्हा कोन तयार होतो. या सामाईक बिंदूला ‘शिरोबिंदू’ आणि किरणांना कोनाच्या ‘भुजा’ म्हणतात.
- कोनाचा आकार हा एका किरणाला दुसऱ्या किरणाकडे नेण्यासाठी शिरोबिंदूभोवती फिरविण्याच्या प्रमाणावर अवलंबून असतो.
- कोनाचे माप अंशामध्ये (Degrees) मोजतात आणि त्यासाठी कोनमापक (Protractor) या साधनाचा वापर केला जातो.
- एका पूर्ण फेरीचे माप 360° असते.
कोनांचे प्रकार आणि त्यांची मापे
कोनांचे त्यांच्या मापानुसार खालीलप्रमाणे वर्गीकरण केले जाते:
| कोनाचा प्रकार | माप (अंशामध्ये) | स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| लघुकोन (Acute Angle) | 0° पेक्षा मोठा आणि 90° पेक्षा लहान | काटकोनापेक्षा लहान असणारा कोन. |
| काटकोन (Right Angle) | बरोबर 90° | सरळ रेषेच्या अगदी अर्धा भाग. दोन लंब रेषा काटकोन तयार करतात. |
| विशालकोन (Obtuse Angle) | 90° पेक्षा मोठा आणि 180° पेक्षा लहान | काटकोनापेक्षा मोठा आणि सरळ कोनापेक्षा लहान असणारा कोन. |
| सरळ कोन (Straight Angle) | बरोबर 180° | दोन काटकोन एकत्रितपणे सरळ कोन बनवितात. हा एका पूर्ण फेरीचा अर्धा भाग असतो. |
| प्रविशाल कोन (Reflex Angle) | 180° पेक्षा मोठा आणि 360° पेक्षा लहान | सरळ कोनापेक्षा मोठा आणि पूर्ण कोनापेक्षा लहान असणारा कोन. |
| पूर्ण कोन (Complete Angle) | बरोबर 360° | एक पूर्ण फेरी किंवा पूर्ण वर्तुळ. |
कोन दुभाजक (Angle Bisector)
- दिलेल्या कोनाचे दोन समान भाग करणाऱ्या रेषेला किंवा किरणाला त्या कोनाचा कोन दुभाजक असे म्हणतात.
- उदा. जर एखादा कोन 90° चा असेल आणि त्याला दुभागले, तर प्रत्येकी 45° चे दोन समान कोन तयार होतात.
प्रकरण 2: रेषा आणि कोन – ‘शोधा पाहू’ ची उत्तरे
विद्यार्थी मित्रांनो, खाली तुम्हाला पृष्ठ क्रमांक 13 आणि 14 वरील ‘शोधा पाहू’ या भागातील सर्व प्रश्नांची अचूक आणि सोप्या भाषेतील उत्तरे मिळतील.
पृष्ठ क्रमांक 13 वरील उत्तरे
प्रश्न 1: रिहानने कागदाच्या तुकड्यावर एका बिंदूची खूण केली आहे. त्या बिंदूतून किती रेषा काढल्या जाऊ शकतात? शितलने कागदाच्या तुकड्यावर दोन बिंदूच्या खुणा केल्या तर त्या दोन्ही बिंदूतून जाणाऱ्या किती रेषा काढल्या जाऊ शकतात?
उत्तर:
एकाच बिंदूतून आपण असंख्य (अनंत) रेषा काढू शकतो. त्यामुळे रिहानने काढलेल्या एका बिंदूतून असंख्य रेषा काढल्या जाऊ शकतात.
मात्र, कोणत्याही दोन भिन्न बिंदूतून जाणारी एक आणि एकच रेषा काढता येते. त्यामुळे शितलने काढलेल्या दोन बिंदूंमधून फक्त 1 रेषा काढता येईल.
प्रश्न 2: आकृती 2.4 मधील रेषाखंडाला नांव द्या. खुणा केलेले पाच बिंदू कोणत्या नेमक्या एका रेषाखंडावर येतात? त्यापैकी किती बिंदू दोन रेषाखंडावर येतात?
उत्तर:
आकृती 2.4 मधील रेषाखंडांची नावे: रेषाखंड LM, रेषाखंड MP, रेषाखंड PQ, आणि रेषाखंड QR.
खुणा केलेले पाचही बिंदू (L, M, P, Q, R) हे एकाच रेषाखंडावर येत नाहीत. ते वेगवेगळ्या रेषाखंडांवर आहेत.
त्यापैकी M, P आणि Q हे 3 बिंदू दोन रेषाखंडांना जोडण्याचे काम करतात (उदा. M हा बिंदू LM आणि MP वर येतो). म्हणून 3 बिंदू दोन रेषाखंडावर येतात.
खुणा केलेले पाचही बिंदू (L, M, P, Q, R) हे एकाच रेषाखंडावर येत नाहीत. ते वेगवेगळ्या रेषाखंडांवर आहेत.
त्यापैकी M, P आणि Q हे 3 बिंदू दोन रेषाखंडांना जोडण्याचे काम करतात (उदा. M हा बिंदू LM आणि MP वर येतो). म्हणून 3 बिंदू दोन रेषाखंडावर येतात.
पृष्ठ क्रमांक 14 वरील उत्तरे
प्रश्न 3: आकृती 2.5 मध्ये दर्शविलेल्या किरणांना नांवे द्या. त्या प्रत्येक किरणांचा सुरुवातीचा बिंदू ‘T’ हा आहे का?
उत्तर:
आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या किरणांची नावे: किरण TA, किरण TN आणि किरण TB.
होय, या तिन्ही किरणांचा सुरुवातीचा (आरंभ) बिंदू ‘T’ हाच आहे.
होय, या तिन्ही किरणांचा सुरुवातीचा (आरंभ) बिंदू ‘T’ हाच आहे.
प्रश्न 4: खालीलपैकी योग्य स्पष्टीकरण करणारी कच्ची आकृती काढा आणि त्याला नांवे लिहा. (आकृती काढण्याच्या सूचना)
उत्तर:
- a. रेषा OP आणि किरण OQ हे ‘O’ मध्ये मिळतात: एक सरळ रेषा काढा आणि तिला OP नाव द्या. आता रेषेवरील ‘O’ या बिंदूतून बाहेर पडणारा एक बाण (किरण) काढा आणि त्याला OQ नाव द्या.
- b. रेषा XY आणि रेषा PQ हे ‘M’ या बिंदूत छेदतात: दोन सरळ रेषा एकमेकांना क्रॉस (X प्रमाणे) काढत आहेत असे काढा. एका रेषेला XY व दुसऱ्या रेषेला PQ नाव द्या. ज्या मध्यभागी त्या छेदतात त्याला ‘M’ नाव द्या.
- c. ‘l’ या रेषेवर E आणि F हे बिंदू आहेत परंतु D हा बिंदू नाही: एक सरळ रेषा काढा आणि तिला l नाव द्या. रेषेवर कुठेही E आणि F हे दोन बिंदू दर्शवा. रेषेच्या बाहेर (वर किंवा खाली) एक बिंदू काढा आणि त्याला D हे नाव द्या.
- d. AB रेषेवर ‘P’ हा बिंदू आहे: एक सरळ रेषा काढा, तिला AB नाव द्या. त्या रेषेवर मध्यभागी किंवा कुठेही एक बिंदू घेऊन त्याला ‘P’ नाव द्या.
प्रश्न 5: आकृती 2.6 मधील खालील नांवे लिहा.
उत्तर:
- a. पाच बिंदू: D, E, O, B, C (तसेच A हा बिंदूही आहे).
- b. एक रेषा: रेषा DB (याला आपण रेषा DE किंवा रेषा EB असेही म्हणू शकतो).
- c. चार किरणे: किरण OA, किरण OB, किरण OC, किरण OD (किंवा किरण OE).
- d. पाच रेषाखंड: रेषाखंड DE, रेषाखंड EO, रेषाखंड OB, रेषाखंड DB, रेषाखंड OD.
प्रश्न 6: (आकृती 2.7) किरण OA ची सुरुवात ‘O’ बिंदूतून होते आणि तो ‘A’ बिंदूतून पुढे जातो. तो B बिंदूतून सुद्धा जातो.
a. तुम्ही त्याला किरण OB असे नांव देऊ शकता का? का?
b. आम्ही किरण OA ला किरण AO असे लिहू शकतो का? का किंवा का नाही?
a. तुम्ही त्याला किरण OB असे नांव देऊ शकता का? का?
b. आम्ही किरण OA ला किरण AO असे लिहू शकतो का? का किंवा का नाही?
उत्तर:
- a. होय, आपण या किरणाला किरण OB असेही नाव देऊ शकतो. कारण, हा किरण ‘O’ या एकाच आरंभ बिंदूतून सुरू होतो आणि A व B हे एकाच दिशेने जाणारे बिंदू आहेत.
- b. नाही, आपण किरण OA ला किरण AO असे लिहू शकत नाही. किरणाचे नाव लिहिताना नेहमी सुरुवातीचा (आरंभ) बिंदू आधी लिहावा लागतो. येथे आरंभ बिंदू ‘O’ आहे, ‘A’ नाही. जर आपण AO लिहिले, तर त्याचा अर्थ किरण A पासून सुरू होऊन O कडे जात आहे असा होईल, जे चुकीचे आहे.
प्रकरण 2: रेषा आणि कोन – ‘शोधा पाहू’ ची उत्तरे
गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील पृष्ठ क्रमांक 17 आणि 18 वरील प्रश्नांची सविस्तर उत्तरे खालीलप्रमाणे आहेत.
पाठ्यपुस्तक पृष्ठ क्रमांक 17
प्रश्न 1: दिलेल्या चित्रामधील कोन तुम्ही शोधू शकाल का ? कोणताही एक कोन बनविणारा किरण काढा आणि कोनाच्या शिरोबिंदूला नांव द्या.
उत्तर: होय, दिलेल्या चित्रांमध्ये (खोका, सायकल, डिझाईन आणि पूल) अनेक ठिकाणी कोन तयार झालेले दिसतात. उदाहरणार्थ, सायकलच्या आकृतीत A, B, C, D असे शिरोबिंदू दिले आहेत. आपण ‘B’ हा शिरोबिंदू घेऊन एक कोन तयार करू शकतो. येथे शिरोबिंदू ‘B’ आहे आणि त्याच्या भुजा (किरण) सायकलच्या फ्रेमच्या नळ्या आहेत.
पाठ्यपुस्तक पृष्ठ क्रमांक 18
प्रश्न 2: ST आणि SR या भुजांनी केलेला कोन काढा आणि नांव द्या.
उत्तर: ST आणि SR या दोन किरणांनी (भुजांनी) मिळून तयार होणाऱ्या कोनाला आपण ∠TSR किंवा ∠RST असे नाव देऊ शकतो. या कोनाचा शिरोबिंदू ‘S’ हा आहे.
प्रश्न 3: ∠APC ला ∠P असे नांव का दिले जाऊ शकत नाही ? याचे स्पष्टीकरण करा.
उत्तर: आकृतीमध्ये ‘P’ या एकाच शिरोबिंदूतून तीन किरणे (PA, PB आणि PC) निघत आहेत. त्यामुळे तिथे एकापेक्षा जास्त कोन तयार होत आहेत (उदा. ∠APB, ∠BPC, आणि ∠APC). जर आपण फक्त ∠P असे म्हटले, तर नेमका कोणता कोन अभिप्रेत आहे हे स्पष्ट होत नाही. त्यामुळे कोणताही गोंधळ होऊ नये यासाठी पूर्ण नाव म्हणजेच ∠APC असे लिहिणे आवश्यक आहे.
प्रश्न 4: दिलेल्या आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या कोनांची नांवे लिहा.
उत्तर: आकृतीत दर्शविलेले कोन खालीलप्रमाणे आहेत:
- 1) ∠PTQ
- 2) ∠QTR
- 3) ∠PTR
प्रश्न 5: तुमच्या कागदावर एकाच रेषेत नसलेले कोणतेही तीन बिंदू दर्शवा. त्यांना A, B, C ही नांवे द्या. या बिंदूच्या जोडीमधून जाणाऱ्या शक्य सर्व रेषा काढा. तुम्हाला किती रेषा मिळतात? A, B, C वापरुन तुम्ही किती कोनांना नांवे देऊ शकाल?
उत्तर: एकाच रेषेत नसलेले तीन बिंदू A, B, आणि C घेतल्यास:
- रेषा: आपल्याला एकूण 3 रेषा मिळतील – रेषा AB, रेषा BC, आणि रेषा AC.
- कोन: आपण एकूण 3 कोनांना नावे देऊ शकतो – ∠ABC, ∠BCA, आणि ∠CAB. (ही आकृती त्रिकोणाची तयार होते).
प्रश्न 6: आता तीन बिंदू एका रेषेत येतील अशारितीने कोणतेही चार बिंदू तुमच्या कागदावर दर्शवा आणि त्याला A, B, C, D अशी नांवे द्या. कोणत्याही दोन बिंदूतून जाणाऱ्या सर्व रेषा काढा. एकूण किती रेषा मिळतील? किती कोनांना नांवे देता येतील?
उत्तर: समजा A, B, C हे तीन बिंदू एकाच रेषेत (एकरेषीय) आहेत आणि D हा बिंदू रेषेबाहेर आहे.
- रेषा: एकूण 4 रेषा मिळतील – रेषा ABC (एकच रेषा), रेषा AD, रेषा BD, आणि रेषा CD.
- कोन: आपण खालील 6 कोनांना नावे देऊ शकतो: ∠DAB, ∠DBC, ∠ADC, ∠ADB, ∠BDC, आणि सरळ कोन ∠ABC.
प्रकरण 2: रेषा आणि कोन – ‘शोधा पाहू’ उत्तरे
गणिताच्या पुस्तकातील पृष्ठ क्रमांक 20 आणि 21 वरील ‘शोधा पाहू’ सत्रातील प्रश्नांची सविस्तर उत्तरे खालीलप्रमाणे आहेत. कोनांची तुलना कशी करावी हे समजून घेण्यासाठी या कृती अत्यंत उपयुक्त आहेत.
पृष्ठ क्रमांक 20 वरील उत्तरे
प्रश्न 1: आयताकृती कागदाला घडी घाला आणि नंतर घडी केलेल्या भागातून रेषा काढा. कागदाच्या बाजू आणि घडी घातल्यामुळे होणाऱ्या कोनांची तुलना करून नांवे लिहा. आयताकृती कागद वेगवेगळ्या प्रकारे घडी करून होणाऱ्या कोनांची तुलना करा. तुम्ही तयार केलेल्यापैकी सर्वात मोठा आणि सर्वात लहान कोन कोणता?
उत्तर:
जेव्हा आपण आयताकृती कागदाला वेगवेगळ्या प्रकारे घडी घालतो, तेव्हा आपल्याला विविध प्रकारचे कोन मिळतात. कागदाचे मूळ कोपरे हे नेहमी ‘काटकोन’ (90 अंश) असतात.
कागदाला मध्यभागातून दुमडल्यास जो सरळ रेषेचा कोन तयार होतो, तो ‘सरळ कोन’ (180 अंश) असतो. कागदाचा कोपरा तिरका दुमडल्यास आपल्याला ‘लघुकोन’ (90 अंशांपेक्षा कमी) मिळतो.
सर्वात मोठा कोन: कागद उलगडल्यावर मिळणारा ‘सरळ कोन’ (180 अंश) हा सर्वात मोठा कोन असेल.
सर्वात लहान कोन: कागदाच्या कोपऱ्याला एकावर एक अनेक वेळा दुमडल्यास तयार होणारा ‘लघुकोन’ हा सर्वात लहान कोन असेल.
कागदाला मध्यभागातून दुमडल्यास जो सरळ रेषेचा कोन तयार होतो, तो ‘सरळ कोन’ (180 अंश) असतो. कागदाचा कोपरा तिरका दुमडल्यास आपल्याला ‘लघुकोन’ (90 अंशांपेक्षा कमी) मिळतो.
सर्वात मोठा कोन: कागद उलगडल्यावर मिळणारा ‘सरळ कोन’ (180 अंश) हा सर्वात मोठा कोन असेल.
सर्वात लहान कोन: कागदाच्या कोपऱ्याला एकावर एक अनेक वेळा दुमडल्यास तयार होणारा ‘लघुकोन’ हा सर्वात लहान कोन असेल.
पृष्ठ क्रमांक 21 वरील उत्तरे
प्रश्न 2: प्रत्येक घटनेमध्ये कोणता कोन मोठा आहे का?
उत्तर: दोन कोनांची तुलना करण्यासाठी आपण ‘एकमेकांवर आच्छादित करण्याची’ (Superposition) पद्धत वापरली. जो कोन दुसऱ्या कोनाला पूर्णपणे सामावून घेतो किंवा ज्याच्या भुजा दुसऱ्या कोनाच्या भुजांच्या बाहेर जातात, तो कोन मोठा असतो.
-
a. ∠AOB किंवा ∠XOY:
उत्तर: हे दोन्ही कोन समान आकाराचे आहेत. जर आपण हे कोन एकमेकांवर ठेवले, तर त्यांचे शिरोबिंदू आणि दोन्ही भुजा एकमेकांशी तंतोतंत जुळतात. -
b. ∠AOB किंवा ∠XOB:
उत्तर: ∠AOB हा कोन ∠XOB पेक्षा मोठा आहे. कारण ∠AOB च्या भुजांमधील वळणाचे प्रमाण जास्त आहे आणि तो ∠XOB ला पूर्णपणे सामावून घेतो. -
c. ∠XOB किंवा ∠XOC:
उत्तर: येथे ∠XOB हा कोन मोठा असेल, कारण त्याच्या भुजा अधिक उघडलेल्या आहेत आणि तो दुसऱ्या कोनाला स्वतःमध्ये सामावून घेतो.
उत्तर: दोन कोनांची तुलना करण्यासाठी आपण ‘एकमेकांवर आच्छादित करण्याची’ (Superposition) पद्धत वापरली. जो कोन दुसऱ्या कोनाला पूर्णपणे सामावून घेतो किंवा ज्याच्या भुजा दुसऱ्या कोनाच्या भुजांच्या बाहेर जातात, तो कोन मोठा असतो.
प्रश्न 3: ∠XOY किंवा ∠AOB यापैकी कोणता कोन मोठा आहे? तुमचे कारण लिहा.
उत्तर: ∠XOY आणि ∠AOB हे दोन्ही कोन समान आकाराचे आहेत.
कारण: कोनाचा आकार हा त्याच्या भुजांच्या (किरणांच्या) लांबीवर अवलंबून नसून, त्या दोन भुजांमधील ‘वळणाच्या प्रमाणावर’ (Amount of rotation) अवलंबून असतो. जरी एका कोनाच्या भुजा लांब काढल्या असल्या तरी, शिरोबिंदू जवळचे त्यांचे उघडण्याचे प्रमाण समान असल्यास ते कोन समानच असतात.
कारण: कोनाचा आकार हा त्याच्या भुजांच्या (किरणांच्या) लांबीवर अवलंबून नसून, त्या दोन भुजांमधील ‘वळणाच्या प्रमाणावर’ (Amount of rotation) अवलंबून असतो. जरी एका कोनाच्या भुजा लांब काढल्या असल्या तरी, शिरोबिंदू जवळचे त्यांचे उघडण्याचे प्रमाण समान असल्यास ते कोन समानच असतात.
इयत्ता 6 वी गणित: ‘शोधा पाहू’ (प्रकरण 2 – रेषा आणि कोन)
विद्यार्थी मित्रांनो, आज आपण इयत्ता 6 वी च्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील ‘रेषा आणि कोन’ या प्रकरणातील पृष्ठ क्रमांक 27 आणि 29 वरील ‘शोधा पाहू’ या भागाची सविस्तर उत्तरे पाहणार आहोत.
पृष्ठ क्रमांक 27 वरील उत्तरे
प्रश्न 1: तुमच्या वर्गखोलीच्या खिडकीला किती काटकोन आहेत? तुमच्या वर्गखोलीमध्ये आणखी काही काटकोन असलेले तुम्ही पाहिलात का?
उत्तर: सामान्यतः कोणत्याही आयताकृती किंवा चौरसाकृती खिडकीला 4 काटकोन (90°) असतात. वर्गखोलीमध्ये खिडकी व्यतिरिक्त फळा (Blackboard), दरवाजा, टेबल, वही आणि पुस्तक यांच्या कोपऱ्यांवरही आपल्याला काटकोन पाहावयास मिळतात.
प्रश्न 2: आकृतीतील बिंदूच्या जाळीमधील ‘A’ हा बिंदू इतर बिंदूशी जोडून सरळ कोन मिळवा. असे करण्याचे वेगवेगळे मार्ग कोणते (पद्धती कोणत्या)?
उत्तर: बिंदू ‘A’ मधून जाणारी एक सरळ रेषा काढल्यास आपल्याला सरळ कोन (180°) मिळतो. हे आपण खालील 3 मुख्य मार्गांनी करू शकतो:
- ‘A’ बिंदूतून जाणारी एक आडवी रेषा (Horizontal line) काढून.
- ‘A’ बिंदूतून जाणारी एक उभी रेषा (Vertical line) काढून.
- ‘A’ बिंदूतून जाणारी एक तिरपी रेषा (Diagonal line) काढून.
प्रश्न 3: आता आकृतीतील बिंदूच्या जाळीमधील ‘A’ हा बिंदू इतर बिंदूंशी जोडून काटकोन मिळवा. असे करण्याच्या वेगवेगळ्या पद्धती (मार्ग) कोणता?
उत्तर: बिंदू ‘A’ जवळ काटकोन (90°) मिळवण्यासाठी आपल्याला एकमेकांना लंब (Perpendicular) असणाऱ्या 2 रेषा काढाव्या लागतील. याचे मुख्य 2 मार्ग आहेत:
- बिंदू ‘A’ मधून 1 उभी आणि 1 आडवी रेषा काढून.
- बिंदू ‘A’ मधून परस्परांना 90° मध्ये छेदणाऱ्या 2 तिरप्या रेषा काढून (X आकारात).
पृष्ठ क्रमांक 29 वरील उत्तरे
प्रश्न 1: मागील आकृतीमधील लघुकोन, काटकोन, विशालकोन आणि सरळ कोन ओळखा.
उत्तर: कोनांच्या मापानुसार त्यांचे वर्गीकरण खालीलप्रमाणे करता येते:
| कोनाचा प्रकार | माप (अंशामध्ये) |
|---|---|
| लघुकोन (Acute Angle) | 0° पेक्षा मोठा व 90° पेक्षा लहान |
| काटकोन (Right Angle) | बरोबर 90° |
| विशालकोन (Obtuse Angle) | 90° पेक्षा मोठा व 180° पेक्षा लहान |
| सरळ कोन (Straight Angle) | बरोबर 180° |
प्रश्न 2: काही लघुकोन आणि काही विशालकोन तयार करा. वेगवेगळी अभिमुखता घेऊन ते कोन रचा.
उत्तर: विद्यार्थी कागदावर कोनमापकाच्या साहाय्याने 30°, 45°, 60° मापाचे लघुकोन आणि 120°, 150° मापाचे विशालकोन काढू शकतात. ‘वेगवेगळी अभिमुखता’ म्हणजे हे कोन काढताना त्यांची दिशा उजवीकडे, डावीकडे, वर किंवा खाली तोंड करून काढणे.
प्रश्न 3: लघु आणि विशाल या शब्दांची माहिती तुम्हाला आहे का? लघु म्हणजे तीव्र आणि विशाल म्हणजे बोथट होय. या शब्दांचा उपयोग येथे का केलेला आहे असे तुम्हाला वाटते?
उत्तर: ‘लघु’ म्हणजे लहान किंवा तीक्ष्ण (Sharp). लघुकोनाची दोन्ही टोके एकमेकांच्या जवळ असतात, त्यामुळे तो बाणासारखा तीक्ष्ण किंवा तीव्र दिसतो. ‘विशाल’ म्हणजे मोठा किंवा पसरट (Blunt). विशालकोनाच्या भुजा जास्त उघडलेल्या व पसरलेल्या असतात, त्यामुळे त्याचा कोपरा बोथट दिसतो. कोनांच्या दिसणाऱ्या आकारावरून ही नावे अगदी योग्यरित्या वापरली आहेत.
प्रश्न 4: आकृतीमधील लघुकोनांची संख्या शोधा. पुढील आकृती कोणती आणि त्यामध्ये किती लघुकोन आहेत? तुम्हाला त्या संख्येमध्ये कोणताही एक नमुना असल्याचे दिसून आले का?
उत्तर: एका साध्या त्रिकोणामध्ये 3 लघुकोन असतात. आकृतीमध्ये जसजसे नवीन त्रिकोण जोडले जातात (त्रिकोणात त्रिकोण), तसतशी एकूण लघुकोनांची संख्या वाढते. यावरून असा नमुना (Pattern) दिसून येतो की, जसजशी त्रिकोणांची संख्या वाढते तशी लघुकोनांची संख्या एका विशिष्ट पटीत (उदा. 3, 9, 27…) वाढत जाते.
पृष्ठ क्रमांक 32
प्रश्न 1: कोनांची मापे लिहा. a) ∠KAL b) ∠WAL c) ∠TAK
उत्तर: आकृतीमधील कोनमापकाच्या वाचनावरून:
a) ∠KAL = 30° (कारण AL रेषा 0° वर आणि AK 30° वर आहे.)
b) ∠WAL = 130°
c) ∠TAK = 100° – 30° = 70° (कारण AT 100° वर आणि AK 30° वर आहे.)
a) ∠KAL = 30° (कारण AL रेषा 0° वर आणि AK 30° वर आहे.)
b) ∠WAL = 130°
c) ∠TAK = 100° – 30° = 70° (कारण AT 100° वर आणि AK 30° वर आहे.)
पृष्ठ क्रमांक 33
प्रश्न: आकृतीमधील वेगवेगळ्या कोनांना नावे लिहा आणि त्यांची मापे सुद्धा लिहा. तुम्ही ∠TOQ सारख्या कोनाचा समावेश केला आहे का? तर ∠TOS चे माप किती?
उत्तर: आकृतीवरून आपण विविध कोनांची मापे काढू शकतो:
∠POQ = 40°
∠POS = 120° (अंदाजे वाचनानुसार)
∠POT = 160°
∠POU = 180°
∠TOQ = 160° – 40° = 120°
∠TOS = 160° – 120° = 40°
∠POQ = 40°
∠POS = 120° (अंदाजे वाचनानुसार)
∠POT = 160°
∠POU = 180°
∠TOQ = 160° – 40° = 120°
∠TOS = 160° – 120° = 40°
पृष्ठ क्रमांक 37
प्रश्न 1: तुमचे कोनमापक वापरून खालील कोनांची मापे अंशामध्ये शोधा.
उत्तर: (विद्यार्थ्यांनी प्रत्यक्ष कोनमापक वापरून मोजणे अपेक्षित आहे. आकृतीवरून अंदाजे मापे खालीलप्रमाणे आहेत:)
पहिला कोन (H) ≈ 75°
दुसरा कोन (J) ≈ 120°
तिसरा कोन (H) ≈ 40°
पहिला कोन (H) ≈ 75°
दुसरा कोन (J) ≈ 120°
तिसरा कोन (H) ≈ 40°
प्रश्न 2: तुमच्या वर्गखोलीमध्ये तुमचे कोनमापक वापरून वेगवेगळ्या कोनांची मापे अंशामध्ये शोधा.
उत्तर: हा एक प्रात्यक्षिक उपक्रम आहे. तुम्ही खिडकीचा कोपरा (90°), उघडलेला दरवाजा किंवा फळ्याचा कोपरा मोजू शकता.
पृष्ठ क्रमांक 38
प्रश्न 3: खालीलप्रमाणे दिलेल्या कोनांची मापे अंशामध्ये शोधा.
उत्तर: (अंदाजे मापे)
पहिला कोन (विशालकोन) ≈ 140°
दुसरा कोन (विशालकोन) ≈ 100°
पहिला कोन (विशालकोन) ≈ 140°
दुसरा कोन (विशालकोन) ≈ 100°
प्रश्न 4: खालीलप्रमाणे दिलेल्या कोनांची मापे अंशामध्ये कोनमापक वापरून शोधली जाऊ शकतात का?
उत्तर: होय. जर कोनाच्या भुजा खूप लहान असतील, तर आपण पट्टीच्या साहाय्याने पेन्सिलने त्या भुजा पुढे वाढवू शकतो आणि मग कोनमापकाने अचूक माप घेऊ शकतो.
प्रश्न 5: खालीलप्रमाणे दिलेल्या कोनांची मापे अंशामध्ये मोजा आणि लिहा.
उत्तर:
a. ≈ 80° ते 90° च्या दरम्यान
b. ≈ 120°
a. ≈ 80° ते 90° च्या दरम्यान
b. ≈ 120°
पृष्ठ क्रमांक 39
प्रश्न 5 (पुढील भाग): खालीलप्रमाणे दिलेल्या कोनांची मापे मोजा.
उत्तर:
c. ≈ 45°
d. ≈ 140°
e. ≈ 60°
f. ≈ 50°
c. ≈ 45°
d. ≈ 140°
e. ≈ 60°
f. ≈ 50°
प्रश्न 6: ∠BXE, ∠CXE, ∠AXB आणि ∠BXC ची मापे अंशामध्ये शोधा.
उत्तर: आकृतीमधील कोनमापकावरून (XE ही 0° रेषा आहे):
∠BXE = 120°
∠CXE = 90°
∠AXB = 180° – 120° = 60°
∠BXC = 120° – 90° = 30°
∠BXE = 120°
∠CXE = 90°
∠AXB = 180° – 120° = 60°
∠BXC = 120° – 90° = 30°
प्रश्न 7: ∠PQR, ∠PQS, आणि ∠PQT ची मापे अंशामध्ये शोधा.
उत्तर: यासाठी विद्यार्थ्यांनी प्रत्यक्ष कोनमापक Q बिंदूवर ठेवून P रेषेला 0° शी जुळवून मापे घ्यायची आहेत.
पृष्ठ क्रमांक 40: चूक लक्षात घ्या – चूक सुधारा
खालील आकृत्यांमध्ये विद्यार्थ्यांनी कोनमापक चुकीच्या पद्धतीने ठेवला आहे. झालेल्या चुका आणि त्या कशा सुधाराव्या हे खालील तक्त्यात दिले आहे:
| दिलेला कोन | झालेली चूक | सुधारणा |
|---|---|---|
| ∠U = 35° | कोनमापकाचा मध्य कोनाच्या शिरोबिंदूवर ठेवलेला नाही. | कोनमापकाचा मध्य बरोबर ‘U’ या शिरोबिंदूवर ठेवावा. |
| ∠V = 80° | कोनमापकाची 0° ची संदर्भ रेषा कोनाच्या भुजेशी जुळलेली नाही. | कोनमापकाची 0° ची तळरेषा कोनाच्या एका भुजेवर तंतोतंत ठेवावी. |
| ∠W = 70° | हा विशालकोन आहे, पण आतील बाजूने चुकीचे (लघुकोनाचे) माप वाचले आहे. | 0° पासून सुरू होणारे योग्य माप (जे 110° येईल) वाचावे. |
| ∠X = 150° | कोनमापकाचा मध्य शिरोबिंदूवर नाही. | मध्य बरोबर ‘X’ शिरोबिंदूवर ठेवावा. |
| ∠Y = 120° | 0° ची संदर्भ रेषा कोनाच्या कोणत्याही भुजेशी जुळलेली नाही. | कोनमापकाची 0° ची रेषा एका भुजेवर तंतोतंत ठेवावी. |
| ∠Z = 85° | शिरोबिंदू कोनमापकाच्या कडेला आहे, मध्यावर नाही. | कोनमापकाचा मध्य बरोबर ‘Z’ शिरोबिंदूवर आणावा. |
इयत्ता 6 वी गणित: ‘शोधा पाहू’ (पृष्ठ 42 व 43) ची उत्तरे
1. घड्याळामधील कोन
प्रश्न: 1.00 वाजता घड्याळाच्या दोन्ही काट्यामधील कोन 30° असतो. का? 2 वाजता, 4 वाजता व 6 वाजता घड्याळामध्ये कोन किती होतो?
उत्तर: घड्याळाचे पूर्ण वर्तुळ 360° असते आणि त्यात 12 तासांच्या खुणा असतात. त्यामुळे लगतच्या दोन तासांमधील कोन (360 / 12) = 30° असतो. म्हणूनच 1 वाजता तास काटा आणि मिनिट काटा यांत 30° चा कोन होतो.
| घड्याळातील वेळ | कोनाचे माप (अंशामध्ये) |
|---|---|
| 2 वाजता | 2 x 30 = 60° |
| 4 वाजता | 4 x 30 = 120° |
| 6 वाजता | 6 x 30 = 180° (सरळ कोन) |
2. दरवाजामध्ये होणारे कोन
प्रश्न: दरवाजा किती प्रमाणात उघडणे शक्य आहे याबद्दल कोनांचा उपयोग करून माहिती द्या. त्या कोनांचा शिरोबिंदू कोणता आणि त्यांच्या दोन भुजा कोणत्या?
उत्तर: दरवाजा साधारणपणे 0° (पूर्ण बंद) ते 90° किंवा 180° (पूर्ण उघडा) पर्यंत उघडता येतो. दरवाजा आणि त्याची चौकट यांच्यामध्ये हा कोन तयार होतो.
शिरोबिंदू: दरवाजाची बिजागरी (Hinges) जिथे दरवाजा चौकटीला जोडलेला असतो.
दोन भुजा: पहिली भुजा म्हणजे स्थिर असलेली दरवाजाची चौकट (किंवा भिंत) आणि दुसरी भुजा म्हणजे उघडलेला दरवाजा.
3. झोपाळ्यावरील कोन
प्रश्न: झोका घेताना मोठा कोन बनवला की जास्त वेग मिळतो. हा कोन कुठे आहे आणि पाहावयास मिळतो का?
उत्तर: होय, हा कोन स्पष्टपणे पाहावयास मिळतो. हा कोन झोपाळा ज्या आधाराला बांधलेला असतो, तिथे तयार होतो.
शिरोबिंदू: झाडाच्या फांदीवरील किंवा आधारावरील तो बिंदू जिथे झोपाळ्याची दोरी बांधलेली आहे.
दोन भुजा: विश्रामावस्थेत (सरळ खाली) असलेली दोरीची मूळ स्थिती आणि झोका घेताना तीच दोरी पुढे किंवा मागे गेल्यावर मिळणारी नवीन स्थिती या कोनाच्या दोन भुजा आहेत.
4. लाकडाच्या खेळण्यातील कोन (उतार)
प्रश्न: लाकडाच्या उताराचे वर्णन करण्यासाठी कोनांचा वापर केला जाऊ शकतो का? कोनाच्या भुजा कोणत्या? कोणत्या पाहता येतात आणि कोणत्या नाही?
उत्तर: उताराचे अचूक वर्णन करण्यासाठी कोनाचाच वापर केला जातो. उतार जेवढा मोठा, तेवढा कोन मोठा असतो.
शिरोबिंदू: जिथे तिरकी फळी आणि खेळण्याची उभी बाजू (किंवा पाया) जोडली जाते तो सांधा.
दोन भुजा: तिरकी लाकडी फळी ही एक भुजा आहे (जी आपण स्पष्ट पाहू शकतो), आणि खेळण्याची क्षितिजसमांतर पायाची (आडवी) रेषा ही दुसरी भुजा आहे. बऱ्याचदा पायाची आडवी रेषा स्पष्ट दिसत नाही, ती आपल्याला काल्पनिक रेषा मानून कोन मोजावा लागतो.
5. कीटकाच्या प्रतिमा आणि फिरणारे प्रमाण
प्रश्न: कीटकाच्या फिरणाऱ्या प्रमाणाचे वर्णन करण्यासाठी कोन वापरले जाऊ शकतात का? त्या कोनाच्या भुजा आणि शिरोबिंदू कोणते असतील?
उत्तर: होय, कीटकाच्या पायांचे फिरणे किंवा वळणे मोजण्यासाठी आपण कोनाचा वापर करू शकतो.
शिरोबिंदू: कीटकाच्या पायाचा मुख्य सांधा (Joint) हा शिरोबिंदू असतो.
दोन भुजा: आकृतीत कीटकाला स्पर्श करणारी क्षितिजसमांतर (आडवी) तुटक रेषा ही पहिली स्थिर भुजा आहे आणि कीटकाचा फिरणारा पाय ही दुसरी भुजा आहे. या दोन्हींमध्ये जो कोन तयार होतो, तो कीटकाचे फिरण्याचे प्रमाण दर्शवितो.
