इयत्ता 6 वी गणित: 3.संख्यांचा खेळ

Table of Contents
इयत्ता 6 वी गणित – संख्यांचा खेळ

प्रकरण 3: संख्यांचा खेळ – महत्त्वाचे मुद्दे व उत्तरे

पाठातील महत्त्वाचे मुद्दे

  • भव्य चौकटी: संख्यांच्या तक्त्यामध्ये एखादी संख्या जर तिच्या शेजारील सर्व (उजवी, डावी, वर, खाली) संख्यांपेक्षा मोठी असेल, तर त्या चौकटीला भव्य चौकट म्हणतात.
  • अंकांची बेरीज: अनेक वेगवेगळ्या संख्यांच्या अंकांची बेरीज समान असू शकते. (उदा. 68 आणि 545 या दोन्ही संख्यांच्या अंकांची बेरीज 14 येते).
  • पॉलींड्रोम संख्या (Palindromic Numbers): ज्या संख्या डावीकडून उजवीकडे आणि उजवीकडून डावीकडे सारख्याच वाचल्या जातात त्यांना पॉलींड्रोम संख्या म्हणतात. (उदा. 121, 343, 848).
  • कप्रेकर स्थिरांक (Kaprekar Constant): 6174 या 4-अंकी जादुई संख्येला कप्रेकर स्थिरांक म्हणतात. कोणतीही 4-अंकी संख्या (ज्यात सर्व अंक समान नाहीत) घेऊन त्यातील अंकांपासून मोठी आणि लहान संख्या बनवून वजाबाकी करत गेल्यास शेवटी 6174 ही संख्या मिळते.
  • कोलाट्झ अनुमान (Collatz Conjecture): कोणत्याही पूर्ण संख्येपासून सुरुवात करून, जर संख्या सम असेल तर तिची निम्मी करा आणि विषम असेल तर 3 ने गुणून 1 मिळवा. ही प्रक्रिया पुन्हा-पुन्हा केल्यास शेवटी क्रम नेहमी 1 वर येऊन पोहोचतो.
  • साधे अंदाज बांधणे (Estimation): अचूक मोजमाप शक्य नसताना किंवा वेळेची बचत करण्यासाठी दैनंदिन जीवनात साधे अंदाज बांधणे उपयुक्त ठरते.
इयत्ता 6 वी गणित: ‘शोधा पाहू’ उत्तरे

गणितामधील नमुने: ‘शोधा पाहू’ (पृष्ठ 54 ते 56)

खालील उत्तरे “6th Marathi Maths 02.pdf” या फाईलमधील भव्य चौकटी आणि संख्या रेषेवरील नमुन्यांवर आधारित आहेत.

पृष्ठ क्रमांक 54 आणि 55: भव्य (उत्कृष्ट) चौकटी

भव्य चौकट (Grand Box) म्हणजे अशी चौकट जिची संख्या तिच्या सर्व शेजारील चौकटींमधील संख्यांपेक्षा मोठी असते.

प्रश्न 1: खालील कोष्टकामधील भव्य चौकटीला खूण करा किंवा रंगवा.

खालील तक्त्यामध्ये भव्य चौकटी हिरव्या रंगाने (Highlight) दर्शविल्या आहेत:

68286709435
378037087308
8000558352

स्पष्टीकरण: 6828, 9435, आणि 8000 या संख्या त्यांच्या सर्व शेजारील संख्यांपेक्षा मोठ्या आहेत, त्यामुळे त्या भव्य चौकटी आहेत.

प्रश्न 3: खालील कोष्टक पूर्ण अशारितीने करा की तुम्हाला अधिक संख्येने भव्य चौकटी शक्य आहेत. (100 ते 1000 मधील संख्या वापरा)

जास्तीत जास्त भव्य चौकटी मिळवण्यासाठी, मोठ्या संख्या एकमेकांच्या शेजारी येणार नाहीत याची काळजी घ्यावी लागते (बुद्धिबळाच्या पटाप्रमाणे). 3×3 च्या कोष्टकात जास्तीत जास्त 4 भव्य चौकटी असू शकतात (चारही कोपऱ्यांवर).

प्रश्न 6: संख्या पुन्हा-पुन्हा न घेता तुम्ही भव्य चौकट भरू शकाल का अशारितीने की त्यामध्ये भव्य चौकट नाही?

नाही. जर आपण वेगवेगळ्या संख्या वापरल्या, तर त्या पूर्ण कोष्टकात एक संख्या अशी असेल जी सर्वांत मोठी (Absolute Maximum) असेल. ती सर्वांत मोठी संख्या तिच्या शेजारील सर्व संख्यांपेक्षा नेहमीच मोठी राहील, त्यामुळे कमीत कमी एक तरी भव्य चौकट नेहमीच तयार होईल.

प्रश्न 7: मोठ्यात मोठी संख्या असलेला चौक हा कोष्टकामधील भव्य चौक आहे का? सर्वात लहान संख्या असलेला चौक हा भव्य चौक आहे का?

होय, कोष्टकातील सर्वांत मोठी संख्या नेहमी भव्य चौकट असते कारण ती तिच्या सर्व शेजाऱ्यांपेक्षा मोठी असते.
नाही, कोष्टकातील सर्वांत लहान संख्या कधीही भव्य चौकट होऊ शकत नाही कारण तिचे सर्व शेजारी तिच्यापेक्षा मोठे असतात.

प्रश्न 8 आणि 9: दुसरी मोठ्यात मोठी संख्या भव्य चौक असते किंवा नसते.
  • जर दुसरी सर्वांत मोठी संख्या, सर्वांत मोठ्या संख्येच्या शेजारी असेल, तर ती भव्य चौकट बनत नाही.
  • जर दुसरी सर्वांत मोठी संख्या, सर्वांत मोठ्या संख्येपासून दूर (शेजारी नसलेली) असेल, तर ती भव्य चौकट बनू शकते.

पृष्ठ क्रमांक 56: संख्या रेषेवरील संख्यांचे नमुने

प्रश्न: खालीलप्रमाणे संख्या रेषेवर दिलेल्या संख्या ओळखा आणि राहिलेल्या स्थानावरील संख्या लिहा.

संख्या रेषेवरील दोन बिंदूंमधील फरक (Interval) ओळखून आपण रिकाम्या जागा भरू शकतो:

a. येथे 2010 आणि 2020 मधील फरक 10 चा आहे. त्यामुळे संख्या रेषा खालीलप्रमाणे असेल:
1970, 1980, 1990, 2000, 2010, 2020, 2030, 2040, 2050

b. येथे 9996 आणि 9997 मधील फरक 1 चा आहे. त्यामुळे संख्या रेषा खालीलप्रमाणे असेल:
9993, 9994, 9995, 9996, 9997, 9998, 9999, 10000, 10001

c. येथे 15077 आणि 15078 मधील फरक 1 चा आहे. त्यामुळे संख्या रेषा खालीलप्रमाणे असेल:
15076, 15077, 15078, 15079, 15080, 15081, 15082, 15083, 15084

d. येथे 86705 आणि 87705 मधील फरक 1000 चा आहे. त्यामुळे संख्या रेषा खालीलप्रमाणे असेल:
83705, 84705, 85705, 86705, 87705, 88705, 89705, 90705, 91705

गणितामधील नमुने (मांडणी) – इयत्ता 6 वी उत्तरे

संख्याचा खेळ: ‘शोधा पाहू’ ची उत्तरे

आपले जीवन संघटीत करत असताना संख्या या वेगवेगळ्या संदर्भावरुन आणि कित्येक वेगवेगळ्या प्रकारे वापरतात. आपल्या नित्य (दैनंदिन) जीवनातील समस्यांचे निवारण करण्यासाठी आम्ही मोज संख्या वापरतो आणि त्यावर मूलभूत क्रिया बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार करतो. इयत्ता 6 वी च्या पाठ्यपुस्तकातील पृष्ठ क्र. 57 आणि 59 वरील प्रश्नांची सविस्तर उत्तरे खालीलप्रमाणे आहेत.

पृष्ठ क्रमांक 57 वरील उत्तरे

प्रश्न 1: 2-अंकी, 3-अंकी, 4-अंकी आणि 5-अंकी किती संख्या आहेत त्या शोधा पाहू.
उत्तर:
  • 1-9 पर्यंतच्या 1-अंकी संख्या: 9
  • 2-अंकी संख्या: 90 (10 ते 99)
  • 3-अंकी संख्या: 900 (100 ते 999)
  • 4-अंकी संख्या: 9000 (1000 ते 9999)
  • 5-अंकी संख्या: 90000 (10000 ते 99999)
प्रश्न 2: अंकाची बेरीज 14 आहे.
उत्तर:
  1. अंकाची बेरीज 14 होणाऱ्या इतर संख्या: 59, 95, 77, 86, 68.
  2. अंकाची बेरीज 14 होणारी लहानात लहान संख्या: 59 (कारण 5+9=14).
  3. अंकांची बेरीज 14 होणारी मोठ्यात मोठी 5-अंकी संख्या: 95000 (कारण 9+5+0+0+0=14).
  4. अंकांची बेरीज 14 होणारी किती मोठी संख्या तुम्ही बनवू शकाल? त्यापेक्षाही मोठी संख्या बनविणे शक्य आहे का?
    उत्तर: अंकांची बेरीज 14 होणारी संख्या अमर्याद मोठी असू शकते. कारण आपण 14 या बेरजेला ‘0’ या अंकाच्या मदतीने हवी तेवढी मोठी करू शकतो. जसे की 9500000000…
प्रश्न 3: 40 पासून 70 पर्यंतच्या सर्व संख्या घेऊन त्यांच्या अंकांची बेरीज काढा.
उत्तर: 40 ते 70 मधील संख्यांची बेरीज खालीलप्रमाणे येईल:
  • 40: 4+0 = 4
  • 41: 4+1 = 5
  • 42: 4+2 = 6
  • …
  • 70: 7+0 = 7
यावरून असे दिसून येते की प्रत्येक दशकामध्ये (40-49, 50-59, 60-69) अंकांची बेरीज 1 ने वाढत जाते.
प्रश्न 4: क्रमवार तीन अंक घेऊन 3-अंकी संख्येच्या अंकाची बेरीज काढा (उदा. 345) तुम्हाला येथे एक नमुना मिळतो का? हा नमुना पुढे चालू राहतो का?
उत्तर:
  • 345: 3+4+5 = 12
  • 456: 4+5+6 = 15
  • 567: 5+6+7 = 18
होय, येथे एक नमुना मिळतो. क्रमवार तीन अंक घेतल्यास, त्यांच्या अंकांची बेरीज ही नेहमी 3 च्या पटीत (मल्टिपल) असते. हा नमुना पुढेही चालू राहतो.
प्रश्न 5: अंक गुप्तहेर (अंक शोधणे) 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्या लिहिल्यानंतर 7 हा अंक किती वेळा लिहिला आहे हे पाहून दिनेश चकित झाला. 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यामध्ये 7 हा अंक किती वेळा येतो? 1 – 1000 या संख्यापैकी किती संख्यामध्ये 7 हा अंक येतो.
उत्तर:
  • 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांमध्ये 7 हा अंक 20 वेळा येतो (7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77(दोनदा), 78, 79, 87, 97).
  • 1 ते 1000 पर्यंतच्या संख्यांमध्ये 7 हा अंक 300 वेळा येतो.

पृष्ठ क्रमांक 59 वरील उत्तरे

प्रश्न 1: 2-अंकी संख्या पासून सुरुवात करून उलट करून पुन्हा-पुन्हा बेरीज केली तर नेहमी आपल्याला पॉलींड्रोम संख्या मिळते का? शोधा आणि शोधून काढा.
उत्तर: बहुतेक वेळा आपल्याला पॉलींड्रोम संख्या मिळते, पण नेहमीच नाही. उदाहरणार्थ, 19 या संख्येची उलट करून बेरीज केल्यास (19+91=110, 110+011=121) पॉलींड्रोम संख्या मिळते. परंतु 196 सारख्या काही संख्या आहेत ज्यांना उलट करून बेरीज करत राहिल्यास पॉलींड्रोम संख्या मिळत नाही. याला ‘Lychrel numbers’ म्हणतात.
प्रश्न 2: कोड्याची वेळ
कोडे: मी 5-अंकी पॉलींड्रोम आहे. मी विषम संख्या आहे. माझा दशक हा सूटे स्थानाच्या दुप्पट आहे. माझा शतक अंक हा दशक स्थानाच्या दुप्पट आहे. तर मी कोण आहे?
उत्तर: समजा ती संख्या ABCDE आहे.
  • संख्या 5-अंकी पॉलींड्रोम आहे: याचा अर्थ A=E आणि B=D आहे (ABCBA).
  • संख्या विषम आहे: म्हणजे A (आणि E) विषम अंक असला पाहिजे (उदा. 1, 3, 5, 7, 9).
  • दशक (D) हा सुटे (E) च्या दुप्पट आहे: D = 2 * E. म्हणून E विषम असला तरी 5 च्या वर असू शकत नाही कारण मग D दोन अंकी होईल. जर E=1 असेल तर D=2. जर E=3 असेल तर D=6.
  • शतक (C) हा दशक (D) च्या दुप्पट आहे: C = 2 * D.
    • जर D=2 (जेव्हा E=1), तर C = 2*2 = 4.
    • जर D=6 (जेव्हा E=3), तर C = 2*6 = 12 (हे शक्य नाही कारण C एकाच अंकी हवा).
म्हणून, E=1, D=2, C=4. पॉलींड्रोम असल्याने A=1 आणि B=2. तर ती संख्या 12421 आहे.
Class 6 Maths Solutions – Pages 60, 61, 62

इयत्ता 6 वी गणित: ‘शोधा पाहू’ उत्तरे

पृष्ठ क्रमांक 60 वरील उत्तरे

प्रश्न: वेगवेगळ्या ४-अंकी संख्या घ्या आणि या पायऱ्या (कप्रेकर स्थिरांक) वापरण्याचा प्रयत्न करा. काय होते ते शोधा.
उत्तर: कप्रेकर यांच्या पद्धतीनुसार आपण कोणतीही ४ अंकी संख्या (जिचे सर्व अंक समान नाहीत) घेतली आणि तिच्या अंकांपासून बनणारी सर्वात मोठी संख्या व सर्वात लहान संख्या यांची वजाबाकी करत गेलो, तर शेवटी आपण 6174 या संख्येपर्यंत पोहोचतो.

उदाहरणासाठी एक संख्या घेऊ: 5381
  • सर्वात मोठी संख्या (A): 8531
  • सर्वात लहान संख्या (B): 1358
  • वजाबाकी (C = A – B): 8531 – 1358 = 7173
आता 7173 साठी हीच पद्धत वापरू:
  • A = 7731, B = 1377
  • C = 7731 – 1377 = 6354
आता 6354 साठी:
  • A = 6543, B = 3456
  • C = 6543 – 3456 = 3087
आता 3087 साठी:
  • A = 8730, B = 0378
  • C = 8730 – 0378 = 8352
आता 8352 साठी:
  • A = 8532, B = 2358
  • C = 8532 – 2358 = 6174 (आपण कप्रेकर स्थिरांकावर पोहोचलो!)
प्रश्न: याच पायऱ्या घेऊन ३-अंकी संख्यासाठी करून पहा. कोणती संख्या पुन्हा-पुन्हा येण्यास सुरुवात होते?
उत्तर: ३-अंकी संख्यांसाठी (सर्व अंक समान नसलेली) हीच प्रक्रिया केल्यास आपण शेवटी 495 या संख्येपर्यंत पोहोचतो.

उदाहरणासाठी संख्या घेऊ: 418
  • सर्वात मोठी (A) = 841, सर्वात लहान (B) = 148
  • C = 841 – 148 = 693
आता 693 साठी:
  • A = 963, B = 369
  • C = 963 – 369 = 594
आता 594 साठी:
  • A = 954, B = 459
  • C = 954 – 459 = 495 (येथे आपल्याला ४९५ ही संख्या मिळाली.)
जर आपण पुन्हा 495 साठी प्रक्रिया केली (954 – 459), तर उत्तर पुन्हा 495 च येते. त्यामुळे ३ अंकी संख्येसाठी 495 ही संख्या पुन्हा पुन्हा येते.

पृष्ठ क्रमांक ६१ वरील उत्तरे

प्रश्न: प्रतिभाने ‘4’, ‘7’, ‘3’ आणि ‘2’ हे अंक वापरून लहानात लहान आणि मोठ्यात मोठी चार अंकी संख्या बनविली (7432 आणि 2347). या दोन संख्यांमधील फरक 5085 आहे आणि बेरीज 9779 आहे. अशा 4-अंकी संख्या तयार करा ज्यांच्या अटी खालीलप्रमाणे असतील:
a. मोठ्यात मोठी संख्या आणि लहानात लहान संख्या यामधील फरक 5085 आहे.
उत्तर: वरील उदाहरणाप्रमाणेच, अंक 2, 3, 4, 7 वापरल्यास मोठी संख्या 7432 व लहान संख्या 2347 मिळते, ज्यांचा फरक 5085 आहे.

b. मोठ्यात मोठी संख्या आणि लहानात लहान संख्या यामधील फरक 5085 पेक्षा लहान आहे.
उत्तर: यासाठी आपण असे अंक निवडू ज्यांच्यातील तफावत कमी आहे. उदा. अंक 5, 6, 7, 8
मोठी संख्या: 8765
लहान संख्या: 5678
फरक: 8765 – 5678 = 3087 (हा 5085 पेक्षा लहान आहे.)

c. मोठ्यात मोठी संख्या आणि लहानात लहान संख्या यामधील फरक 9779 पेक्षा जास्त आहे.
उत्तर: ४ अंकी संख्येत कोणत्याही दोन संख्यांचा फरक 9779 पेक्षा जास्त असू शकत नाही. कारण ४ अंकी सर्वात मोठी संख्या 9999 आणि सर्वात लहान 1000 आहे, ज्यांचा फरक 8999 येतो. त्यामुळे हे शक्य नाही.

पृष्ठ क्रमांक ६२ वरील उत्तरे

प्रश्न d: मोठ्यात मोठी संख्या आणि लहानात लहान संख्या यामधील फरक 9779 पेक्षा लहान आहे.
उत्तर: हा नियम जवळपास सर्व ४-अंकी संख्यांसाठी लागू होतो.
उदा. अंक 1, 2, 3, 4 घेऊ.
मोठी संख्या = 4321, लहान संख्या = 1234
फरक = 4321 – 1234 = 3087. (हा फरक 9779 पेक्षा लहान आहे.)
प्रश्न २: 5-अंकी मोठ्यात मोठी आणि लहानात लहान पॉलींड्रोम यांची बेरीज किती? त्यांची वजाबाकी किती?
उत्तर:
५-अंकी मोठ्यात मोठी पॉलींड्रोम संख्या = 99999
५-अंकी लहानात लहान पॉलींड्रोम संख्या = 10001
बेरीज: 99999 + 10001 = 110000
वजाबाकी: 99999 – 10001 = 89998
प्रश्न ३: आता वेळ 10.01 झाली आहे. तर घड्याळामध्ये पुढील पॉलींड्रोम संख्या किती वेळानंतर येईल? यानंतर सुद्धा किती वेळाने येईल?
उत्तर: १२ तासांच्या घड्याळानुसार विचार केल्यास:
सध्याची वेळ = 10:01
पुढची पॉलींड्रोम वेळ = 11:11 (वेळेतील फरक: १ तास १० मिनिटे)
त्यापुढची पॉलींड्रोम वेळ = 12:21 (वेळेतील फरक: १ तास १० मिनिटे)
प्रश्न ४: 5683 ही संख्या किती फेऱ्यानंतर घेतल्याने कप्रेकर स्थिरांकापर्यंत पोहोचाल?
उत्तर: आपण करून पाहूया:
१ ली फेरी: 8653 – 3568 = 5085
२ री फेरी: 8550 – 0558 = 7992
३ री फेरी: 9972 – 2799 = 7173
४ थी फेरी: 7731 – 1377 = 6354
५ वी फेरी: 6543 – 3456 = 3087
६ वी फेरी: 8730 – 0378 = 8352
७ वी फेरी: 8532 – 2358 = 6174
म्हणजेच 5683 पासून कप्रेकर स्थिरांकापर्यंत पोहोचण्यासाठी एकूण ७ फेऱ्या लागतील.
Class 6 Maths Answers – Page 63, 66, 67

इयत्ता 6 वी गणित – ‘शोधा पाहू’ उत्तरे

संदर्भ: “6th Marathi Maths 01.pdf”

पृष्ठ क्र. 63 वरील उत्तरे

प्रश्न: खालील प्रत्येक परिस्थितीचे शक्य असेल ते उदाहरण लिहा. वरील प्रत्येक घटनेची उदाहरणे तुम्हाला मिळतील का? जर नाही, तर चर्चा करा याचे कारण कोणते?

बेरीज उदाहरणे:

अटउदाहरणबेरीज
5-अंकी + 5-अंकी = 5-अंकी बेरीज मिळते12345 + 2345635801 (ही 5-अंकी संख्या आहे)
5-अंकी + 5-अंकी = 6-अंकी बेरीज मिळते60000 + 50000110000 (ही 6-अंकी संख्या आहे)
4-अंकी + 5-अंकी = 6-अंकी बेरीज मिळतेशक्य नाही.सर्वात मोठी 4-अंकी (9999) आणि सर्वात मोठी 5-अंकी (99999) यांची बेरीज 109998 येते (जी 6-अंकी आहे), परंतु साधारणपणे लहान 4 व 5 अंकी संख्या घेतल्यास 6 अंकी बेरीज मिळणे कठीण असते. उदा. 9999 + 99999 = 109998. त्यामुळे हे शक्य आहे. (उदा. 9999 + 95000 = 104999)
5-अंकी + 5-अंकी = 90,250 पेक्षा अधिक बेरीज मिळते50000 + 4500095000 (ही 90,250 पेक्षा मोठी आहे)
5-अंकी + 5-अंकी = 18,500 ही बेरीज मिळतेशक्य नाही.सर्वात लहान 5-अंकी संख्या 10000 आहे. दोन लहान 5-अंकी संख्यांची बेरीज (10000 + 10000 = 20000) ही नेहमी 20000 किंवा त्याहून अधिक असेल. त्यामुळे बेरीज 18,500 येणे अशक्य आहे.

वजाबाकी उदाहरणे:

अटउदाहरणफरक
5-अंकी – 3-अंकी = 5-अंकी फरक मिळतो25000 – 50024500 (ही 5-अंकी संख्या आहे)
5-अंकी – 4-अंकी = 4-अंकी फरक मिळतो12000 – 30009000 (ही 4-अंकी संख्या आहे)
5-अंकी – 5-अंकी = 4-अंकी फरक मिळतो50000 – 450005000 (ही 4-अंकी संख्या आहे)
5-अंकी – 5-अंकी = 3-अंकी फरक मिळतो25500 – 25000500 (ही 3-अंकी संख्या आहे)
5-अंकी – 5-अंकी = फरक 56,503 पेक्षा कमी मिळतो60000 – 2000040000 (हा फरक 56,503 पेक्षा कमी आहे)
5-अंकी – 5-अंकी = फरक 19,500 मिळतो40000 – 2050019500

निष्कर्ष: वरीलपैकी एक घटना (दोन 5-अंकी संख्यांची बेरीज 18,500 येणे) शक्य नाही, कारण दोन सर्वात लहान 5-अंकी संख्यांची बेरीज कमीत कमी 20,000 असते.

पृष्ठ क्र. 66 वरील उत्तरे

प्रश्न: आपण कांही साधे अंदाज करूया. अचूक संख्येची गरज नाही.

1. चालण्यासाठी तुम्ही घेतलेली (उचललेली) पावले:

  • a. तुम्ही बसलेल्या ठिकाणापासून वर्गखोलीच्या दरवाजापर्यंत: अंदाजे 15 ते 20 पावले.
  • b. शाळेच्या क्रीडांगणाच्या सुरुवातीपासून शेवटपर्यंत: अंदाजे 100 ते 150 पावले (मैदानाच्या आकारानुसार).
  • c. तुमच्या वर्गखोलीच्या दरवाजापासून शाळेच्या प्रवेशद्वारापर्यंत: अंदाजे 50 ते 80 पावले.
  • d. तुमच्या शाळेपासून घरापर्यंत: हे अंतरावर अवलंबून आहे. जर घर जवळ असेल तर अंदाजे 500 ते 1000 पावले लागू शकतात.

2. डोळ्यांची उघड-झाप करण्याची संख्या किंवा तुम्ही घेतलेल्या श्वासाची संख्या:

  • a. एका मिनिटामध्ये: साधारणपणे माणूस एका मिनिटात 15 ते 20 वेळा श्वास घेतो किंवा डोळ्यांची उघडझाप करतो.
  • b. एका तासामध्ये: एका मिनिटात 20 वेळा धरल्यास, एका तासात (60 मिनिटे) अंदाजे 20 x 60 = 1200 वेळा.
  • c. एका दिवसामध्ये: एका तासात 1200 वेळा धरल्यास, 24 तासात अंदाजे 1200 x 24 = 28,800 वेळा.

3. तुमच्या सभोवताली असलेल्या कांही वस्तूंची नावे:

  • a. कांही हजार संख्येने: डोक्यावरील केस, झाडाची पाने, पुस्तकातील शब्द.
  • b. दहा हजारापेक्षा अधिक संख्येने: समुद्रकिनाऱ्यावरील वाळूचे कण, आकाशातील तारे.

पृष्ठ क्र. 67 वरील उत्तरे

प्रश्न: अंदाजे उत्तर द्या (30 सेकंदात अंदाज घेण्याचा प्रयत्न करा).
  • 1. तुमच्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकामधील शब्दांची संख्या:
    उत्तर: a. 5000 पेक्षा अधिक. (एका पानावर सरासरी 100-150 शब्द असतात, पुस्तकात अनेक पाने असल्याने संख्या 5000 पेक्षा नक्कीच जास्त असेल).
  • 2. शाळेला बसमधून प्रवास करणाऱ्या तुमच्या शाळेतील विद्यार्थ्यांची संख्या:
    उत्तर: हे शाळेच्या आकारावर अवलंबून आहे. बहुतांश शाळांमध्ये ही संख्या a. 200 पेक्षा जास्त असू शकते (जर अनेक बसेस असतील).
  • 3. रोशनला 5 लोकांसाठी दूध आणि 3 प्रकारच्या फळांपासून रस बनवायचा आहे. त्याचा अंदाज ₹100 आहे. तुम्ही सहमत आहात का?
    उत्तर: नाही, मी सहमत नाही. 5 लोकांसाठी दूध (उदा. 1 लिटर = ₹60) आणि 3 प्रकारची फळे (उदा. सफरचंद, केळी, आंबे) यांचा एकत्रित खर्च ₹100 पेक्षा नक्कीच जास्त होईल.
  • 4. गुजरातमधील गांधीनगरपासून नागालँडमधील कोहीमापर्यंतच्या अंतराचा अंदाज करा.
    उत्तर: भारताच्या पश्चिम टोकापासून पूर्व टोकापर्यंतचे हे अंतर अंदाजे 2500 ते 3000 किलोमीटरच्या आसपास असेल.
  • 5. शितल 6 वी ला आहे आणि तिने आतापर्यंत 13,000 तास शाळेत घालवले आहेत. सहमत आहात का?
    उत्तर: चला गणित करूया. एका वर्षात साधारण 200 शालेय दिवस असतात. रोज 6 तास शाळा धरल्यास एका वर्षात 1200 तास होतात. पहिली ते पाचवी (5 वर्षे) म्हणजे 5 x 1200 = 6000 तास. बालवाडीची 2-3 वर्षे धरली तरी एकूण तास साधारण 8000 ते 10000 च्या घरात जातील. त्यामुळे 13,000 तास हा अंदाज थोडा जास्त वाटतो.
  • 6. चालत जाण्यासाठी अंदाजे किती वेळ लागेल?
    • a. जवळच्या आवडीच्या ठिकाणापर्यंत: (उदा. बागेत जाण्यासाठी) अंदाजे 15 ते 30 मिनिटे.
    • b. शेजारील राज्याच्या राजधानीपर्यंत: (उदा. मुंबई ते गांधीनगर) शेकडो किलोमीटर अंतर असल्याने सलग चालत गेल्यास अनेक दिवस किंवा आठवडे लागू शकतात.
    • c. भारताच्या दक्षिण टोकापासून उत्तर टोकापर्यंत: (कन्याकुमारी ते काश्मीर) अंतर साधारण 3000 किमी पेक्षा जास्त आहे. रोज 20-25 किमी चालल्यास साधारण 4 ते 5 महिने लागू शकतात.
Class 6 Maths Solutions – Pages 68 & 69

इयत्ता ६ वी: गणितामधील ‘शोधा पाहू’ ची उत्तरे

येथे इयत्ता ६ वी च्या गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील पृष्ठ क्रमांक ६८ आणि ६९ वरील ‘शोधा पाहू’ मधील प्रश्नांची उत्तरे दिली आहेत.

पृष्ठ ६८ आणि ६९ वरील उत्तरे

1. या जाळीमध्ये फक्त एकमेव भव्य चौक (सर्व शेजारील संख्येपेक्षा मोठी संख्या) आहे. जर तुम्ही एका संख्येचे दोन अंक बदलले तर तुम्हाला 4 भव्य चौक मिळतील. तर बदललेले अंक कोणते ते शोधा.
16,20039,34429,765
23,60962,87145,306
19,38150,31938,408
उत्तर: सध्या या जाळीमध्ये 62,871 ही एकमेव भव्य चौक (Grand Square) संख्या आहे, कारण ती तिच्या सर्व शेजारील संख्यांपेक्षा मोठी आहे.
जर आपण मध्यभागी असलेल्या 62,871 या संख्येचे अंक बदलून ती संख्या खूप लहान केली (उदा. 10,000), तर तिच्या सभोवतालच्या इतर मोठ्या संख्या (जसे की 39,344; 29,765; 45,306; 50,319) त्यांच्या स्वतःच्या शेजाऱ्यांपेक्षा मोठ्या होऊन ‘भव्य चौक’ बनू शकतात.
तसेच, जर आपण कोपऱ्यातील संख्यांमधील अंक बदलून त्यांना मोठे केले (उदा. 16,200 ला 96,200 करणे), तर ते नवीन 4 भव्य चौक बनू शकतात.
2. कप्रेकर स्थिरांक मिळविण्यासाठी तुमच्या जन्म वर्षाच्या किती फेऱ्या कराव्या लागतील.
उत्तर: हे उत्तर प्रत्येक विद्यार्थ्याच्या जन्म वर्षानुसार वेगळे असेल.
समजा जन्म वर्ष 2012 आहे. (येथे चारही अंक समान नसावेत, उदा. 2222 चालणार नाही).
पायऱ्या:
1. 2012 या अंकांपासून मोठी संख्या: 2210
2. या अंकांपासून लहान संख्या: 0122
3. वजाबाकी: 2210 – 0122 = 2088
ही प्रक्रिया (मोठी संख्या – लहान संख्या) जोपर्यंत 6174 (कप्रेकर स्थिरांक) मिळत नाही तोपर्यंत करत राहावी. यासाठी साधारणतः 3 ते 7 फेऱ्या लागू शकतात.
3. 35,000 ते 75,000 मधील सर्व विषम अंक घेऊन किती 5-अंकी संख्याचे गट तयार होतील? त्या गटामधील सर्वात मोठी संख्या किती? त्या गटातील सर्वात लहान संख्या कोणती? त्यापैकी कोणती संख्या 50,000 च्या अगदी जवळ येते?
उत्तर:
  • दिलेली अट: 35,000 ते 75,000 दरम्यानच्या संख्या आणि सर्व अंक विषम (1, 3, 5, 7, 9) असावेत.
  • दहा हजाराच्या स्थानी फक्त 3, 5 आणि 7 हेच अंक येऊ शकतात (कारण संख्या 35,000 पेक्षा मोठी व 75,000 पेक्षा लहान हवी).
  • सर्वात मोठी संख्या: 73,999 (कारण 75,000 पेक्षा लहान हवी आणि सर्व अंक विषम).
  • सर्वात लहान संख्या: 35,111 (कारण 35,000 पेक्षा मोठी आणि सर्व अंक विषम).
  • 50,000 च्या अगदी जवळची संख्या: 51,111 (जर 50,000 च्या पुढे पहिली सर्व-विषम-अंकी संख्या शोधायची असेल तर) किंवा 49,999 (ही सुद्धा 50,000 च्या खूप जवळ आहे आणि यात सर्व अंक विषम आहेत).
4. एका वर्षामध्ये आठवड्याचा शेवटचा दिवस, सण आणि सुट्टीचा कालावधी यांचा समावेश करून येणाऱ्या सुट्ट्यांच्या संख्येची अंदाजे किंमत काढा. नंतर बरोबर उत्तर शोधा आणि तुम्ही केलेला अंदाज किती बरोबर आहे ते लिहा.
उत्तर:
अंदाज: एका वर्षात 52 आठवडे असतात, म्हणजे साधारण 52 रविवार. दिवाळी, दसरा, उन्हाळी आणि हिवाळी सुट्ट्या धरून अंदाजे 100 ते 120 सुट्ट्या असू शकतात.
प्रत्यक्ष पडताळणी: शाळेच्या वेळापत्रकानुसार 52 रविवार, उन्हाळी सुट्टी (साधारण 30-40 दिवस), दिवाळी (15-20 दिवस) आणि इतर सार्वजनिक सुट्ट्या (15-20) मिळून एकूण सुट्ट्या साधारण 110 ते 130 च्या घरात येतात. तुमचा अंदाज आणि प्रत्यक्ष शाळेची दिनदर्शिका (कॅलेंडर) तपासून फरक नोंदवा.
5. एक जग, एक बादली आणि मोठी टाकी यामध्ये सामावलेले पाणी अंदाजे लिटरमध्ये काढा.
उत्तर:
  • एक जग: अंदाजे 1 ते 2 लिटर.
  • एक बादली: अंदाजे 15 ते 20 लिटर.
  • मोठी टाकी (घरावरची): अंदाजे 500 ते 1000 लिटर (आकारानुसार).
6. एक 5-अंकी संख्या आणि 2 तीन-अंकी संख्या यांची बेरीज 18,670 होईल त्या संख्या लिहा.
उत्तर: अशा अनेक संख्या असू शकतात. उदाहरणार्थ:
5-अंकी संख्या: 18,000
पहिली 3-अंकी संख्या: 370
दुसरी 3-अंकी संख्या: 300
बेरीज: 18,000 + 370 + 300 = 18,670.
8. प्रकरण-1 मधील कोष्टक – 1 चे स्मरण करून घातांक 2 चा क्रम बनवा. या क्रमामधील सर्व सुरुवातीच्या संख्येसाठी कोलाटझचा अनुमान का सत्य आहे?
उत्तर: घातांक 2 चा क्रम: 2, 4, 8, 16, 32, 64…
कोलाट्झ अनुमान (Collatz Conjecture): जर संख्या सम असेल तर तिची निम्मी करा (भागिले 2).
घातांक 2 च्या क्रमातील कोणतीही संख्या घेतली (उदा. 16), तर ती नेहमी ‘सम’ संख्याच असते. त्यामुळे प्रत्येक पायरीला ती निम्मीच होत जाईल (16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1). या क्रमात कधीही विषम संख्या येत नाही (शेवटी 1 येईपर्यंत), म्हणून गुणाकार करण्याची गरज पडत नाही आणि हा क्रम अत्यंत वेगाने सरळ 1 वर येऊन पोहोचतो. म्हणूनच या संख्यांसाठी हा अनुमान नेहमी आणि लवकर सत्य ठरतो.
9. 100 पासून सुरुवात करून कोलाटझचा अनुमान लागू पडतात ते पहा.
उत्तर: चला 100 पासून सुरुवात करूया:
100 (सम) -> 50
50 (सम) -> 25
25 (विषम) -> (25 x 3) + 1 = 76
76 (सम) -> 38
38 (सम) -> 19
19 (विषम) -> (19 x 3) + 1 = 58
58 (सम) -> 29
29 (विषम) -> (29 x 3) + 1 = 88
88 (सम) -> 44 -> 22 -> 11
11 (विषम) -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.
होय, 100 पासून सुरुवात केल्यावरही हा क्रम शेवटी 1 वर येऊन पोहोचतो.
10. ‘0’ पासून सुरुवात करून एका खेळाडूने 1 आणि 3 मधील संख्या मिळविल्या. 22 या विजयी संख्येला पोहोचणारी पहिली व्यक्ती सांगा. आता त्यांचे जिंकण्याचे धोरण कोणते?
उत्तर: या खेळात प्रत्येक वळणावर खेळाडू 1, 2 किंवा 3 मिळवू शकतो (1 आणि 3 मधील म्हणजे 1, 2, 3).
विजयी संख्या 22 आहे.
जिंकण्याचे धोरण (Winning Strategy): अशा खेळांमध्ये तुम्ही विरोधी खेळाडूला एका विशिष्ट ‘लक्ष्य’ संख्येवर सोडण्याचा प्रयत्न करता.
येथे एक फेरी जास्तीत जास्त 4 (1+3 किंवा 2+2 किंवा 3+1) ची असू शकते.
जर तुम्हाला 22 जिंकायचे असेल, तर तुम्ही खालील टप्प्यांवर (Milestones) पोहोचण्याचा प्रयत्न केला पाहिजे:
22 – 4 = 18
18 – 4 = 14
14 – 4 = 10
10 – 4 = 6
6 – 4 = 2
म्हणून, जर तुम्ही प्रथम खेळत असाल, तर ‘2’ ही संख्या म्हणा. त्यानंतर विरोधी खेळाडूने जेवढे मिळवले, त्यात तुम्ही अशी संख्या मिळवा की दोघांची मिळून बेरीज नेहमी 4 होईल. (उदा. त्याने 1 मिळवला तर तुम्ही 3 मिळवा, त्याने 2 मिळवले तर तुम्ही 2 मिळवा). यामुळे तुम्ही नेहमी 6, 10, 14, 18 आणि शेवटी 22 वर पोहोचाल आणि तुम्हीच जिंकाल!

Join WhatsApp Channel Join Now
Telegram Group Join Now
Share your love

Related Posts