इयत्ता 8 वी गणित – प्रकरण 1: परिमेय संख्या (महत्त्वाचे मुद्दे)
पोस्ट सुरू करण्यापूर्वी विद्यार्थ्यांसाठी खालील महत्त्वाचे मुद्दे लक्षात घेणे आवश्यक आहे:
- परिमेय संख्यांची व्याख्या: ज्या संख्या p/q स्वरूपात लिहिता येतात, जेथे p आणि q हे पूर्णांक आहेत आणि q ≠ 0, त्यांना परिमेय संख्या असे म्हणतात.
- संवृत्तता गुणधर्म (Closure Property): परिमेय संख्या बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकार या क्रियांसाठी संवृत्त असतात. मात्र, परिमेय संख्यांना भागाकाराचा संवृत्तता गुणधर्म लागू पडत नाही कारण कोणत्याही संख्येला 0 ने भागता येत नाही. जर आपण शून्य सोडले तर इतर सर्व परिमेय संख्यांच्या भागाकाराला संवृत्तता गुणधर्म लागू पडतो.
- क्रमनिरपेक्ष गुणधर्म (Commutative Property): परिमेय संख्यांसाठी बेरीज आणि गुणाकार या क्रिया क्रमनिरपेक्ष असतात (उदा. a + b = b + a आणि a × b = b × a). परंतु, वजाबाकी आणि भागाकार या क्रियांसाठी परिमेय संख्या क्रमनिरपेक्ष नसतात.
- साहचर्य गुणधर्म (Associative Property): परिमेय संख्यांसाठी बेरीज आणि गुणाकार या क्रिया साहचर्य असतात (उदा. a + (b + c) = (a + b) + c आणि a × (b × c) = (a × b) × c). वजाबाकी आणि भागाकाराची क्रिया परिमेय संख्येच्या बाबतीत साहचर्य नाही.
- शून्य (0) ची भूमिका: शून्याला (0) परिमेय संख्यांचा ‘बेरजेचा अविकारक घटक’ असे म्हणतात. कोणत्याही परिमेय संख्येत शून्य मिळवले असता तीच संख्या पुन्हा मिळते (उदा. a + 0 = a).
- एक (1) ची भूमिका: एक (1) हा परिमेय संख्यांसाठी ‘गुणाकाराचा अविकारक घटक’ आहे. कोणत्याही परिमेय संख्येला 1 ने गुणले असता गुणाकार म्हणून तीच परिमेय संख्या मिळते (उदा. a × 1 = a).
- वितरण गुणधर्म (Distributive Property): परिमेय संख्यांच्या बेरजेवर आणि वजाबाकीवर गुणाकाराचे वितरण होते. कोणत्याही a, b आणि c या परिमेय संख्यांसाठी: a(b + c) = ab + ac आणि a(b – c) = ab – ac.
- अनंत परिमेय संख्या: दिलेल्या कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांच्या मध्ये अनंत परिमेय संख्या असतात.
परिमेय संख्यांचे गुणधर्म – थोडक्यात तक्ता
| गुणधर्म | बेरीज | वजाबाकी | गुणाकार | भागाकार |
|---|---|---|---|---|
| संवृत्तता (Closure) | होय | होय | होय | नाही |
| क्रमनिरपेक्षता (Commutative) | होय | नाही | होय | नाही |
| साहचर्यता (Associative) | होय | नाही | होय | नाही |
पृष्ठ 5: संवृत्तता गुणधर्म (Closure Property)
| संख्या | संवृत्तता गुणधर्म लागू पडतो | |||
|---|---|---|---|---|
| बेरीज | वजाबाकी | गुणाकार | भागाकार | |
| परिमेय संख्या | होय | होय | होय | नाही |
| पूर्णांक | होय | होय | होय | नाही |
| पूर्ण संख्या | होय | नाही | होय | नाही |
| नैसर्गिक संख्या | होय | नाही | होय | नाही |
पृष्ठ 6: पूर्ण संख्या व पूर्णांक क्रमनिरपेक्षता (Commutativity)
| संख्या प्रकार | बेरीज | वजाबाकी | गुणाकार | भागाकार |
|---|---|---|---|---|
| पूर्ण संख्या | क्रमनिरपेक्ष आहे | क्रमनिरपेक्ष नाही | क्रमनिरपेक्ष आहे | क्रमनिरपेक्ष नाही |
| पूर्णांक | क्रमनिरपेक्ष आहे | क्रमनिरपेक्ष नाही | क्रमनिरपेक्ष आहे | क्रमनिरपेक्ष नाही |
पृष्ठ 7: क्रमनिरपेक्षता गुणधर्म (Commutative Property)
| संख्या | यासाठी क्रमनिरपेक्षता | |||
|---|---|---|---|---|
| बेरीज | वजाबाकी | गुणाकार | भागाकार | |
| परिमेय संख्या | होय | नाही | होय | नाही |
| पूर्णांक | होय | नाही | होय | नाही |
| पूर्ण संख्या | होय | नाही | होय | नाही |
| नैसर्गिक संख्या | होय | नाही | होय | नाही |
पृष्ठ 10: साहचर्यता गुणधर्म (Associative Property)
| संख्या | साहचर्यता | |||
|---|---|---|---|---|
| बेरीज | वजाबाकी | गुणाकार | भागाकार | |
| परिमेय संख्या | होय | नाही | होय | नाही |
| पूर्णांक | होय | नाही | होय | नाही |
| पूर्ण संख्या | होय | नाही | होय | नाही |
| नैसर्गिक संख्या | होय | नाही | होय | नाही |
पृष्ठ 13: प्रयत्न करा – वितरण गुणधर्म वापरून सोडवा
(i) { 7/5 × (-3/12) } + { 7/5 × 5/12 }
वितरण गुणधर्मानुसार a(b + c) = ab + ac :
= 7/5 × ( -3/12 + 5/12 )
= 7/5 × ( 2/12 )
= 7/5 × 1/6 = 7/30
(ii) { 9/16 × 4/12 } + { 9/16 × -3/9 }
वितरण गुणधर्मानुसार :
= 9/16 × ( 4/12 + -3/9 )
(येथे 4/12 = 1/3 आणि -3/9 = -1/3)
= 9/16 × ( 1/3 – 1/3 )
= 9/16 × 0 = 0
स्वाध्याय 1.1 ची उत्तरे
1. खालील प्रत्येक गुणाकारासाठी वापरलेल्या गुणधर्माचे नांव लिहा.
(i) -4/5 × 1 = 1 × -4/5 = -4/5
उत्तर: 1 हा गुणाकाराचा अविकारक घटक आहे (Multiplicative Identity).
(ii) -13/17 × -2/7 = -2/7 × -13/17
उत्तर: गुणाकाराचा क्रमनिरपेक्ष गुणधर्म (Commutative Property of Multiplication).
(iii) -19/29 × 29/-19 = 1
उत्तर: गुणाकार व्यस्त गुणधर्म (Multiplicative Inverse Property).
2. 1/3 × (6 × 4/3) प्रमाणे (1/3 × 6) × 4/3 हे सोडविण्यासाठी तुम्ही कोणता गुणधर्म वापराल ते सांगा.
उत्तर: गुणाकाराचा साहचर्य गुणधर्म (Associative Property of Multiplication).
3. दोन परिमेय संख्येंचा गुणाकार नेहमी असतो ………….
उत्तर: परिमेय संख्या (Rational Number).
इयत्ता 8 वी गणित: परिमेय संख्या – सराव प्रश्न
1. परिमेय संख्यांची व्याख्या काय आहे?
जी संख्या p/q या स्वरूपात लिहिता येते, जेथे p आणि q हे पूर्णांक आहेत आणि q ≠ [span_0](start_span)0 तिला परिमेय संख्या असे म्हणतात[span_0](end_span).
2. परिमेय संख्यांना बेरीज क्रियेसाठी संवृत्तता गुणधर्म लागू पडतो का?
[span_1](start_span)होय, आम्ही असे म्हणू शकतो की, परिमेय संख्यांना बेरीज संवृत्तता गुणधर्म लागू पडतो[span_1](end_span).
3. परिमेय संख्यांसाठी बेरजेचा अविकारक घटक कोणता आहे?
[span_2](start_span)0 (शून्य) हा परिमेय संख्यांचा बेरीज अविकारक घटक आहे[span_2](end_span).
4. परिमेय संख्यांसाठी गुणाकाराचा अविकारक घटक कोणता आहे?
[span_3](start_span)[span_4](start_span)1 (एक) हा परिमेय संख्यांसाठी गुणाकाराचा अविकारक घटक आहे[span_3](end_span)[span_4](end_span).
5. दोन परिमेय संख्यांची बेरीज केल्यास मिळणारी संख्या कोणती असते?
[span_5](start_span)दोन परिमेय संख्येंची बेरीज पून्हा परिमेय संख्याच येते[span_5](end_span).
6. परिमेय संख्यांसाठी भागाकार क्रियेला क्रमनिरपेक्ष गुणधर्म लागू पडतो का?
[span_6](start_span)नाही, परिमेय संख्येसाठी भागाकार हा क्रमनिरपेक्ष नाही[span_6](end_span).
7. a + b = b + a हा कोणता गुणधर्म दर्शवतो?
[span_7](start_span)हा परिमेय संख्येसाठी बेरीज क्रमनिरपेक्ष गुणधर्म आहे[span_7](end_span).
8. परिमेय संख्यांना गुणाकाराचा साहचर्य गुणधर्म लागू पडतो का?
[span_8](start_span)होय, परिमेय संख्याना गुणाकाराचा साहचर्य गुणधर्म लागू पडतो[span_8](end_span).
9. a(b+c) = ab + ac हा कोणता गुणधर्म आहे?
[span_9](start_span)[span_10](start_span)हा गुणाकाराचे बेरजेवर वितरण गुणधर्म आहे[span_9](end_span)[span_10](end_span).
10. दिलेल्या दोन परिमेय संख्यांच्या मध्ये किती परिमेय संख्या असतात?
[span_11](start_span)दिलेल्या दोन परिमेय संख्यांच्या मध्ये अनंत परिमेय संख्या असतात[span_11](end_span).
11. परिमेय संख्येसाठी वजाबाकी ही क्रमनिरपेक्ष आहे का?
[span_12](start_span)[span_13](start_span)नाही, परिमेय संख्येसाठी वजाबाकी ही क्रमनिरपेक्ष नाही[span_12](end_span)[span_13](end_span).
12. a × (b × c) = (a × b) × c हा कोणता गुणधर्म आहे?
[span_14](start_span)हा गुणाकाराचा साहचर्य गुणधर्म आहे[span_14](end_span).
13. कोणतीही परिमेय संख्या a साठी, a ÷ 0 हे काय असते?
कोणतीही परिमेय संख्या a, a ÷ [span_15](start_span)0 हे सिध्द करता येत नाही[span_15](end_span).
14. परिमेय संख्या वजाबाकीसाठी संवृत्त आहेत का?
[span_16](start_span)होय, परिमेय संख्यांना वजाबाकीचा संवृत्तता गुणधर्म लागू पडतो[span_16](end_span).
15. पूर्ण संख्येत 0 मिळविले तर कोणती संख्या मिळते?
[span_17](start_span)जेव्हा पूर्ण संख्येत 0 मिळविले तर त्यांची बेरीज पुन्हा तीच पूर्ण संख्या येते[span_17](end_span).
