Smart Guruji

Table of Contents

इयत्ता – 9वी

विषय – गणित

भाग – 1

प्रकरण 3: सहनिर्देशक भूमिती (Coordinate Geometry)

नमुना उत्तरे

प्रकरण 3: सहनिर्देशक भूमिती (Coordinate Geometry) – महत्त्वाचे मुद्दे

कार्तेशियन प्रतल आणि अक्ष

प्रतलात एखाद्या वस्तू किंवा बिंदूचे स्थान निश्चित करण्यासाठी दोन परस्परांना लंब असणाऱ्या रेषांची आवश्यकता असते.
यातील आडव्या रेषेला x-अक्ष आणि उभ्या रेषेला y-अक्ष म्हणतात.
ज्या प्रतलात हे अक्ष काढले जातात त्याला कार्तेशियन प्रतल किंवा सहनिर्देशक प्रतल म्हणतात.
अक्ष ज्या बिंदूमध्ये एकमेकांना छेदतात त्या छेदनबिंदूला आरंभबिंदू (Origin) म्हणतात.

चरण (Quadrants)

निर्देशक अक्ष प्रतलाला 4 समान भागांमध्ये विभागतात, या भागांना चरण असे म्हणतात.
I, II, III आणि IV ही चरणे घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेने मोजली जातात.

बिंदूचे सहनिर्देशक (Coordinates of a Point)

y-अक्षापासून कोणत्याही बिंदूच्या अंतराला त्याचा x-निर्देशक किंवा भुज (Abscissa) म्हणतात.
x-अक्षापासून बिंदूच्या अंतराला त्याचा y-निर्देशक किंवा कोटी (Ordinate) म्हणतात.
जर बिंदूचा x-निर्देशक x आणि y-निर्देशक y असेल, तर (x, y) ला त्या बिंदूचे सहनिर्देशक म्हणतात.
आरंभबिंदूचे सहनिर्देशक नेहमी (0, 0) असतात.

अक्षांवरील आणि चरणांमधील बिंदूंचे स्वरूप

x-अक्षावरील कोणत्याही बिंदूचे सहनिर्देशक (x, 0) या स्वरूपात असतात.
y-अक्षावरील कोणत्याही बिंदूचे सहनिर्देशक (0, y) या स्वरूपात असतात.
पहिल्या (I) चरणातील बिंदू (+, +) स्वरूपात असतात.
दुसऱ्या (II) चरणातील बिंदू (-, +) स्वरूपात असतात.
तिसऱ्या (III) चरणातील बिंदू (-, -) स्वरूपात असतात.
चौथ्या (IV) चरणातील बिंदू (+, -) स्वरूपात असतात.

स्वाध्याय 3.1

1. तुम्ही तुमच्या खोलीतील अभ्यासाच्या टेबलवरील टेबल लॅम्पचे स्थान दुसऱ्या व्यक्तिला कसे सांगाल?

उत्तर: समजा टेबलचा पृष्ठभाग एक प्रतल (plane) आहे आणि टेबल लॅम्प हा त्यावरील एक बिंदू आहे. टेबलच्या दोन लंब असणाऱ्या कडा (edges) आपण X-अक्ष आणि Y-अक्ष मानू. आता, लॅम्पचे एका कडेपासूनचे लंब अंतर आणि दुसऱ्या कडेपासूनचे लंब अंतर मोजू. उदाहरणार्थ, जर एका कडेपासूनचे अंतर 2 फूट आणि दुसऱ्या कडेपासूनचे अंतर 1.5 फूट असेल, तर या दोन अंतरांचा वापर करून आपण लॅम्पचे अचूक स्थान (2, 1.5) असे सांगू शकतो.

2. (रस्त्याचा नकाशा) : एका शहराला मुख्य दोन रस्ते आहेत… (i) (4, 3) जाणारे किती वळण (क्रॉस) रस्ते मिळतील? (ii) (3, 4) मानले जाणारे किती क्रॉस रस्ते मिळतील?

उत्तर:

(i) (4, 3) जाणारे किती वळण रस्ते मिळतील: केवळ 1 क्रॉस रस्ता मिळेल. कारण प्रतलात (4, 3) हा एक अद्वितीय (unique) बिंदू आहे.
(ii) (3, 4) मानले जाणारे किती क्रॉस रस्ते मिळतील: केवळ 1 क्रॉस रस्ता मिळेल. कारण (3, 4) हे देखील एकाच अद्वितीय क्रॉस रस्त्याचे स्थान दर्शविते.

स्वाध्याय 3.2

1. खालील प्रत्येक प्रश्नांची उत्तरे लिहा.

(i) कार्तेशियन प्रतलात एखाद्या बिंदूचे स्थान दर्शविण्यासाठी आडवी रेषा व उभी रेषा काढली जाते त्यांचे नाव काय ?
उत्तर: आडव्या रेषेला X-अक्ष (x-अक्ष) आणि उभ्या रेषेला Y-अक्ष (y-अक्ष) असे म्हणतात.
(ii) दोन रेषांनी बनलेल्या प्रतलाच्या प्रत्येक भागाचे नाव काय ?
उत्तर: या प्रत्येक भागाला ‘चरण’ (Quadrant) असे म्हणतात.
(iii) जेथे दोन रेषा परस्परास छेदतात त्या छेदन बिंदूचे नाव लिहा.
उत्तर: या छेदन बिंदूला ‘आरंभबिंदू’ (Origin) असे म्हणतात.

2. आकृती 3.14 पहा व खालील उत्तरे लिहा.