प्रकरण 7 : सहनिर्देशक भूमिती (Coordinate Geometry)
पाठाचा सारांश (Summary)
या प्रकरणामध्ये आपण प्रतलावरील बिंदूंचे स्थान निश्चित करण्यासाठी सहनिर्देशक अक्षांचा वापर कसा करायचा हे शिकलो आहोत. x-अक्षावरील कोणत्याही बिंदूचे सहनिर्देशक (x, 0) आणि y-अक्षावरील बिंदूचे सहनिर्देशक (0, y) असतात. या पाठात प्रामुख्याने दोन बिंदूंमधील अंतर शोधणे (अंतराचे सूत्र) आणि एखाद्या रेषाखंडाचे दिलेल्या गुणोत्तरात विभाजन करणाऱ्या बिंदूचे सहनिर्देशक काढणे (खंड सूत्र) यावर भर देण्यात आला आहे.
महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)
- 1. अंतराचे सूत्र (Distance Formula): P(x1, y1) आणि Q(x2, y2) मधील अंतर = √[ (x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 ]
- 2. आरंभबिंदूपासूनचे अंतर: (0, 0) आणि P(x, y) मधील अंतर = √[ x^2 + y^2 ]
- 3. खंड सूत्र (Section Formula): A(x1, y1) आणि B(x2, y2) ला जोडणाऱ्या रेषेला m1 : m2 या प्रमाणात विभाजन करणाऱ्या बिंदूचे सहनिर्देशक = ( (m1*x2 + m2*x1) / (m1 + m2) , (m1*y2 + m2*y1) / (m1 + m2) )
- 4. मध्यबिंदूचे सूत्र (Mid-point Formula): ( (x1 + x2) / 2 , (y1 + y2) / 2 )
स्वाध्याय 7.1 – प्रश्नोत्तरे (Step-by-Step Solutions)
प्रश्न 1. (i): खालील दिलेल्या जोडीच्या बिंदूंमधील अंतर काढा: (2, 3), (4, 1)
येथे, x1 = 2, y1 = 3 आणि x2 = 4, y2 = 1अंतराचे सूत्र: d = √[ (x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 ]d = √[ (4 – 2)^2 + (1 – 3)^2 ]d = √[ (2)^2 + (-2)^2 ]d = √[ 4 + 4 ]d = √8d = 2√2
उत्तर: दोन बिंदूंमधील अंतर 2√2 एकक आहे.
प्रश्न 1. (ii): खालील दिलेल्या जोडीच्या बिंदूंमधील अंतर काढा: (-5, 7), (-1, 3)
येथे, x1 = -5, y1 = 7 आणि x2 = -1, y2 = 3अंतराचे सूत्र: d = √[ (x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 ]d = √[ (-1 – (-5))^2 + (3 – 7)^2 ]d = √[ (-1 + 5)^2 + (-4)^2 ]d = √[ (4)^2 + 16 ]d = √[ 16 + 16 ]d = √32d = 4√2
उत्तर: दोन बिंदूंमधील अंतर 4√2 एकक आहे.
प्रश्न 1. (iii): खालील दिलेल्या जोडीच्या बिंदूंमधील अंतर काढा: (a, b), (-a, -b)
येथे, x1 = a, y1 = b आणि x2 = -a, y2 = -bअंतराचे सूत्र: d = √[ (x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 ]d = √[ (-a – a)^2 + (-b – b)^2 ]d = √[ (-2a)^2 + (-2b)^2 ]d = √[ 4a^2 + 4b^2 ]d = √[ 4 * (a^2 + b^2) ]d = 2√(a^2 + b^2)
उत्तर: दोन बिंदूंमधील अंतर 2√(a^2 + b^2) एकक आहे.
प्रश्न 2: (0,0) आणि (36, 15) बिंदूंमधील अंतर काढा.
येथे, आरंभबिंदूपासूनचे अंतर काढायचे आहे. x = 36, y = 15सूत्र: d = √[ x^2 + y^2 ]d = √[ (36)^2 + (15)^2 ]d = √[ 1296 + 225 ]d = √1521d = 39
उत्तर: दोन बिंदूंमधील अंतर 39 एकक आहे.
प्रश्न 3: बिंदू (1, 5), (2, 3) आणि (-2, -11) एकरेषीय आहेत का हे तपासा.
समजा, A(1, 5), B(2, 3) आणि C(-2, -11) हे तीन बिंदू आहेत.AB = √[ (2 – 1)^2 + (3 – 5)^2 ] = √[ (1)^2 + (-2)^2 ] = √[ 1 + 4 ] = √5BC = √[ (-2 – 2)^2 + (-11 – 3)^2 ] = √[ (-4)^2 + (-14)^2 ] = √[ 16 + 196 ] = √212AC = √[ (-2 – 1)^2 + (-11 – 5)^2 ] = √[ (-3)^2 + (-16)^2 ] = √[ 9 + 256 ] = √265येथे, कोणत्याही दोन अंतरांची बेरीज ही तिसऱ्या अंतराइतकी नाही. (उदा. AB + BC ≠ AC).
उत्तर: म्हणून, दिलेले बिंदू एकरेषीय (Collinear) नाहीत.
स्वाध्याय 7.1 – सहनिर्देशक भूमिती (संपूर्ण उत्तरे)
प्रश्न 1: खालील दिलेल्या प्रत्येक जोडीच्या बिंदूमधील अंतर काढा.
अंतराचे सूत्र (Distance Formula): d = √( (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 )
i) (2, 3), (4, 1)
x1 = 2, y1 = 3 आणि x2 = 4, y2 = 1अंतर = √( (4 – 2)2 + (1 – 3)2 )अंतर = √( (2)2 + (-2)2 )अंतर = √( 4 + 4 ) = √8अंतर = √( 4 * 2 ) = 2√2
उत्तर: 2√2 एकक
ii) (-5, 7), (-1, 3)
x1 = -5, y1 = 7 आणि x2 = -1, y2 = 3अंतर = √( (-1 – (-5))2 + (3 – 7)2 )अंतर = √( (-1 + 5)2 + (-4)2 )अंतर = √( (4)2 + 16 ) = √( 16 + 16 ) = √32अंतर = √( 16 * 2 ) = 4√2
उत्तर: 4√2 एकक
iii) (a, b), (-a, -b)
x1 = a, y1 = b आणि x2 = -a, y2 = -bअंतर = √( (-a – a)2 + (-b – b)2 )अंतर = √( (-2a)2 + (-2b)2 )अंतर = √( 4a2 + 4b2 )अंतर = √( 4(a2 + b2) ) = 2√( a2 + b2 )
उत्तर: 2√( a2 + b2 ) एकक
प्रश्न 2: (0, 0) आणि (36, 15) बिंदूमधील अंतर काढा.
येथे, आरंभबिंदूपासून अंतर काढायचे आहे. सूत्र: d = √( x2 + y2 )अंतर = √( (36)2 + (15)2 )अंतर = √( 1296 + 225 )अंतर = √15211521 चे वर्गमूळ 39 आहे.
उत्तर: बिंदूमधील अंतर 39 एकक आहे.
प्रश्न 3: (1, 5), (2, 3) आणि (-2, 11) एकरेषीय आहेत हे सिद्ध करा.
समजा, A = (1, 5), B = (2, 3) आणि C = (-2, 11). अंतराच्या सूत्राचा वापर करून:AB = √( (2 – 1)2 + (3 – 5)2 ) = √( 12 + (-2)2 ) = √( 1 + 4 ) = √5BC = √( (-2 – 2)2 + (11 – 3)2 ) = √( (-4)2 + (8)2 ) = √( 16 + 64 ) = √80 = 4√5AC = √( (-2 – 1)2 + (11 – 5)2 ) = √( (-3)2 + (6)2 ) = √( 9 + 36 ) = √45 = 3√5आता बेरीज तपासून पाहू:AB + AC = √5 + 3√5 = 4√5आणि BC ची लांबी 4√5 आहे.म्हणून, AB + AC = BC
उत्तर: कोणत्याही दोन अंतरांची बेरीज तिसऱ्या अंतराएवढी आहे, म्हणून हे बिंदू एकरेषीय (Collinear) आहेत.
प्रश्न 4: बिंदू (1, 5), (2, 3) आणि (7, 2) समांतरभूज (समद्विभुज) त्रिकोणाचे शिरोबिंदू आहेत का? सिद्ध करा.
समजा, A = (1, 5), B = (2, 3) आणि C = (7, 2).AB = √( (2 – 1)2 + (3 – 5)2 ) = √( 1 + 4 ) = √5BC = √( (7 – 2)2 + (2 – 3)2 ) = √( 25 + 1 ) = √26AC = √( (7 – 1)2 + (2 – 5)2 ) = √( 36 + 9 ) = √45 = 3√5येथे, AB, BC आणि AC यापैकी कोणत्याही दोन बाजू समान नाहीत. (AB ≠ BC ≠ AC)
उत्तर: कोणत्याही दोन बाजू समान नसल्यामुळे हे समद्विभुज त्रिकोणाचे शिरोबिंदू नाहीत.
प्रश्न 5: चंपा आणि चमेली यांचा आलेख (आकृती 7.8 वरून). A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4), D(6, 1) हे चौरसाचे शिरोबिंदू आहेत का?
सर्व बाजूंची लांबी काढू:AB = √( (6 – 3)2 + (7 – 4)2 ) = √( 9 + 9 ) = √18 = 3√2BC = √( (9 – 6)2 + (4 – 7)2 ) = √( 9 + 9 ) = √18 = 3√2CD = √( (6 – 9)2 + (1 – 4)2 ) = √( 9 + 9 ) = √18 = 3√2DA = √( (3 – 6)2 + (4 – 1)2 ) = √( 9 + 9 ) = √18 = 3√2कर्णांची लांबी:AC = √( (9 – 3)2 + (4 – 4)2 ) = √( 36 + 0 ) = 6BD = √( (6 – 6)2 + (1 – 7)2 ) = √( 0 + 36 ) = 6येथे चारही बाजू समान (3√2) आहेत आणि दोन्ही कर्ण (AC आणि BD) समान (6) आहेत.
उत्तर: होय, ABCD हा चौरस आहे. म्हणून ‘चंपा’ बरोबर बोलत आहे.
प्रश्न 6: खालील बिंदूंचा उपयोग करून चौकोनाचे प्रकार ओळखा आणि कारण सांगा.
i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
समजा A(-1, -2), B(1, 0), C(-1, 2), D(-3, 0).AB = √( (1 – (-1))2 + (0 – (-2))2 ) = √( 4 + 4 ) = √8BC = √( (-1 – 1)2 + (2 – 0)2 ) = √( 4 + 4 ) = √8CD = √( (-3 – (-1))2 + (0 – 2)2 ) = √( 4 + 4 ) = √8DA = √( (-1 – (-3))2 + (-2 – 0)2 ) = √( 4 + 4 ) = √8कर्ण AC = √( (-1 – (-1))2 + (2 – (-2))2 ) = √( 0 + 16 ) = 4कर्ण BD = √( (-3 – 1)2 + (0 – 0)2 ) = √( 16 + 0 ) = 4चारही बाजू समान आणि कर्ण समान आहेत.
उत्तर: हा चौरस आहे.
ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3), D(-1, -4).AB = √( (3 – (-3))2 + (1 – 5)2 ) = √( 36 + 16 ) = √52BC = √( (0 – 3)2 + (3 – 1)2 ) = √( 9 + 4 ) = √13CD = √( (-1 – 0)2 + (-4 – 3)2 ) = √( 1 + 49 ) = √50DA = √( (-3 – (-1))2 + (5 – (-4))2 ) = √( 4 + 81 ) = √85येथे कोणत्याही बाजू समान नाहीत.
उत्तर: हा एक सामान्य चौकोन आहे (विशिष्ट प्रकार नाही).
iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), D(1, 2).AB = √( (7 – 4)2 + (6 – 5)2 ) = √( 9 + 1 ) = √10BC = √( (4 – 7)2 + (3 – 6)2 ) = √( 9 + 9 ) = √18 = 3√2CD = √( (1 – 4)2 + (2 – 3)2 ) = √( 9 + 1 ) = √10DA = √( (4 – 1)2 + (5 – 2)2 ) = √( 9 + 9 ) = √18 = 3√2समोरासमोरील बाजू समान आहेत (AB = CD आणि BC = DA).कर्ण AC = √( (4 – 4)2 + (3 – 5)2 ) = √( 0 + 4 ) = 2कर्ण BD = √( (1 – 7)2 + (2 – 6)2 ) = √( 36 + 16 ) = √52कर्ण समान नाहीत.
उत्तर: हा समांतरभुज चौकोन (Parallelogram) आहे.
प्रश्न 7: (2, -5) आणि (-2, 9) समान अंतरावर असणाऱ्या x-अक्षावरील बिंदू काढा.
x-अक्षावरील बिंदूचे सहनिर्देशक P(x, 0) मानू.A(2, -5) आणि B(-2, 9) दिले आहेत.PA = PB असल्यामुळे, PA2 = PB2(x – 2)2 + (0 – (-5))2 = (x – (-2))2 + (0 – 9)2(x – 2)2 + 25 = (x + 2)2 + 81x2 – 4x + 4 + 25 = x2 + 4x + 4 + 81-4x + 29 = 4x + 85-4x – 4x = 85 – 29-8x = 56x = 56 / (-8) = -7
उत्तर: तो बिंदू (-7, 0) आहे.
प्रश्न 8: बिंदू P(2, -3) आणि Q(10, y) या मधील अंतर 10 एकक असेल तर ‘y’ ची किंमत काढा.
PQ = 10 म्हणून PQ2 = 100(10 – 2)2 + (y – (-3))2 = 100(8)2 + (y + 3)2 = 10064 + (y + 3)2 = 100(y + 3)2 = 100 – 64(y + 3)2 = 36वर्गमूळ काढल्यास:y + 3 = 6 किंवा y + 3 = -6y = 6 – 3 किंवा y = -6 – 3y = 3 किंवा y = -9
उत्तर: y ची किंमत 3 किंवा -9 आहे.
प्रश्न 9: जर P(5, -3) आणि R(x, 6) पासून Q(0, 1) बिंदू समान अंतरावर असेल तर x ची किंमत काढा आणि QR व PR मधील अंतर काढा.
QP = QR असल्यामुळे, QP2 = QR2(5 – 0)2 + (-3 – 1)2 = (x – 0)2 + (6 – 1)225 + (-4)2 = x2 + 5225 + 16 = x2 + 2516 = x2x = 4 किंवा x = -4आता QR आणि PR काढू:जर x = 4 असेल तर R(4, 6):QR = √( (4 – 0)2 + (6 – 1)2 ) = √( 16 + 25 ) = √41PR = √( (4 – 5)2 + (6 – (-3))2 ) = √( (-1)2 + 92 ) = √( 1 + 81 ) = √82जर x = -4 असेल तर R(-4, 6):QR = √( (-4 – 0)2 + (6 – 1)2 ) = √( 16 + 25 ) = √41PR = √( (-4 – 5)2 + (6 – (-3))2 ) = √( (-9)2 + 92 ) = √( 81 + 81 ) = √162 = 9√2
उत्तर: x = 4 किंवा -4.
QR = √41. PR = √82 किंवा 9√2.
प्रश्न 10: (3, 6) आणि (-3, 4) समान अंतरावर असणाऱ्या (x, y) बिंदूमधील x आणि y मधील संबंध ओळखा.
समजा P(x, y) हा बिंदू A(3, 6) आणि B(-3, 4) पासून समान अंतरावर आहे.PA2 = PB2(x – 3)2 + (y – 6)2 = (x – (-3))2 + (y – 4)2(x – 3)2 + (y – 6)2 = (x + 3)2 + (y – 4)2(x2 – 6x + 9) + (y2 – 12y + 36) = (x2 + 6x + 9) + (y2 – 8y + 16)दोन्ही बाजूंनी x2 आणि y2 वजा करून:-6x – 12y + 45 = 6x – 8y + 25-6x – 6x – 12y + 8y = 25 – 45-12x – 4y = -20समीकरणाला -4 ने भागल्यावर:3x + y = 5
उत्तर: x आणि y मधील संबंध 3x + y – 5 = 0 असा आहे.
स्वाध्याय 7.2 – संपूर्ण उत्तरे
प्रश्न 1: जर (-1, 7) आणि (4, -3) हे बिंदू जोडणारी रेषा 2:3 मध्ये विभागत असेल तर त्या रेषेचे सहनिर्देशक बिंदू काढा.
खंड सूत्र (Section Formula): x = (m1 * x2 + m2 * x1) / (m1 + m2) आणि y = (m1 * y2 + m2 * y1) / (m1 + m2)
येथे, (x1, y1) = (-1, 7) आणि (x2, y2) = (4, -3)
गुणोत्तर m1 : m2 = 2 : 3
x = (2 * 4 + 3 * -1) / (2 + 3)
x = (8 – 3) / 5 = 5 / 5 = 1
y = (2 * -3 + 3 * 7) / (2 + 3)
y = (-6 + 21) / 5 = 15 / 5 = 3
गुणोत्तर m1 : m2 = 2 : 3
x = (2 * 4 + 3 * -1) / (2 + 3)
x = (8 – 3) / 5 = 5 / 5 = 1
y = (2 * -3 + 3 * 7) / (2 + 3)
y = (-6 + 21) / 5 = 15 / 5 = 3
उत्तर: त्या बिंदूचे सहनिर्देशक (1, 3) आहेत.
प्रश्न 2: (4, -1) आणि (-2, -3) यांना जोडणाऱ्या रेषेशी सम-त्रिभाजन करणाऱ्या बिंदूचे सहनिर्देशक काढा.
समजा A(4, -1) आणि B(-2, -3) आहेत. P आणि Q हे बिंदू AB चे तीन समान भाग करतात.
बिंदू P साठी: P हा AB ला 1:2 या गुणोत्तरात विभागतो.
x = (1 * -2 + 2 * 4) / (1 + 2) = (-2 + 8) / 3 = 6 / 3 = 2
y = (1 * -3 + 2 * -1) / (1 + 2) = (-3 – 2) / 3 = -5 / 3
P चे सहनिर्देशक (2, -5/3) आहेत.
बिंदू Q साठी: Q हा AB ला 2:1 या गुणोत्तरात विभागतो.
x = (2 * -2 + 1 * 4) / 3 = (-4 + 4) / 3 = 0
y = (2 * -3 + 1 * -1) / 3 = (-6 – 1) / 3 = -7 / 3
Q चे सहनिर्देशक (0, -7/3) आहेत.
बिंदू P साठी: P हा AB ला 1:2 या गुणोत्तरात विभागतो.
x = (1 * -2 + 2 * 4) / (1 + 2) = (-2 + 8) / 3 = 6 / 3 = 2
y = (1 * -3 + 2 * -1) / (1 + 2) = (-3 – 2) / 3 = -5 / 3
P चे सहनिर्देशक (2, -5/3) आहेत.
बिंदू Q साठी: Q हा AB ला 2:1 या गुणोत्तरात विभागतो.
x = (2 * -2 + 1 * 4) / 3 = (-4 + 4) / 3 = 0
y = (2 * -3 + 1 * -1) / 3 = (-6 – 1) / 3 = -7 / 3
Q चे सहनिर्देशक (0, -7/3) आहेत.
उत्तर: सम-त्रिभाजन करणारे बिंदू (2, -5/3) आणि (0, -7/3) आहेत.
प्रश्न 3: मैदानावर निहारिका 2 ऱ्या पंक्तीवरून AD चा 1/4 भाग पळते आणि हिरवा झेंडा रोवते. प्रीत 8 व्या पंक्तीवरून AD चा 1/5 भाग पळते आणि लाल झेंडा रोवते. झेंड्यांमधील अंतर काढा. रश्मीला निळा झेंडा दोघांच्या मध्यभागी रोवायचा असल्यास तिने कुठे रोवावा?
AD ची लांबी = 100m.
निहारिकाने कापलेले अंतर = 1/4 * 100 = 25m. तिचे स्थान N(2, 25).
प्रीतने कापलेले अंतर = 1/5 * 100 = 20m. तिचे स्थान P(8, 20).
अंतराचे सूत्र: d = √[(x2 – x1)² + (y2 – y1)²] NP मधील अंतर = √[(8 – 2)² + (20 – 25)²]
= √[(6)² + (-5)²]
= √[36 + 25] = √61 m.
मध्यबिंदू सूत्र: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2 निळा झेंडा रोवण्याचे ठिकाण = ((2 + 8) / 2 , (25 + 20) / 2)
= (10 / 2 , 45 / 2) = (5, 22.5)
निहारिकाने कापलेले अंतर = 1/4 * 100 = 25m. तिचे स्थान N(2, 25).
प्रीतने कापलेले अंतर = 1/5 * 100 = 20m. तिचे स्थान P(8, 20).
अंतराचे सूत्र: d = √[(x2 – x1)² + (y2 – y1)²] NP मधील अंतर = √[(8 – 2)² + (20 – 25)²]
= √[(6)² + (-5)²]
= √[36 + 25] = √61 m.
मध्यबिंदू सूत्र: x = (x1 + x2) / 2, y = (y1 + y2) / 2 निळा झेंडा रोवण्याचे ठिकाण = ((2 + 8) / 2 , (25 + 20) / 2)
= (10 / 2 , 45 / 2) = (5, 22.5)
उत्तर: दोन्ही झेंड्यांमधील अंतर √61 m आहे. रश्मीने तिचा झेंडा 5 व्या पंक्तीवर 22.5 m अंतरावर रोवावा.
प्रश्न 4: जर बिंदू (-1, 6) हा बिंदू A(-3, 10) आणि B(6, -8) यांना जोडणाऱ्या रेषेला विभागत असेल तर त्या रेषांचे गुणोत्तर काढा.
समजा बिंदू P(-1, 6) हा रेषाखंडाला k:1 या गुणोत्तरात विभागतो.
खंड सूत्रानुसार, x = (k * x2 + 1 * x1) / (k + 1)
-1 = (k * 6 + 1 * -3) / (k + 1)
-1 * (k + 1) = 6k – 3
-k – 1 = 6k – 3
-1 + 3 = 6k + k
2 = 7k
k = 2 / 7
खंड सूत्रानुसार, x = (k * x2 + 1 * x1) / (k + 1)
-1 = (k * 6 + 1 * -3) / (k + 1)
-1 * (k + 1) = 6k – 3
-k – 1 = 6k – 3
-1 + 3 = 6k + k
2 = 7k
k = 2 / 7
उत्तर: तो बिंदू त्या रेषेला 2:7 या गुणोत्तरात विभागतो.
प्रश्न 5: जर x-अक्ष हा बिंदू A(1, -5) आणि B(-4, 5) यांना जोडणाऱ्या रेषेला विभागत असेल तर त्या रेषांचे गुणोत्तर काढा. तसेच विभागलेल्या बिंदूचे सहनिर्देशक ओळखा.
x-अक्षावर असणाऱ्या कोणत्याही बिंदूचा y-सहनिर्देशक 0 असतो. म्हणून बिंदू P(x, 0) मानू.
समजा गुणोत्तर k:1 आहे.
y = (k * y2 + 1 * y1) / (k + 1)
0 = (k * 5 + 1 * -5) / (k + 1)
0 = 5k – 5
5k = 5 => k = 1
म्हणजेच गुणोत्तर 1:1 आहे (P हा मध्यबिंदू आहे).
आता x ची किंमत काढू:
x = (1 * -4 + 1 * 1) / (1 + 1) = (-4 + 1) / 2 = -3 / 2
समजा गुणोत्तर k:1 आहे.
y = (k * y2 + 1 * y1) / (k + 1)
0 = (k * 5 + 1 * -5) / (k + 1)
0 = 5k – 5
5k = 5 => k = 1
म्हणजेच गुणोत्तर 1:1 आहे (P हा मध्यबिंदू आहे).
आता x ची किंमत काढू:
x = (1 * -4 + 1 * 1) / (1 + 1) = (-4 + 1) / 2 = -3 / 2
उत्तर: गुणोत्तर 1:1 आहे आणि त्या बिंदूचे सहनिर्देशक (-3/2, 0) आहेत.
प्रश्न 6: जर (1, 2), (4, y), (x, 6) आणि (3, 5) हे समांतरभुज चौकोनाचे शिरोबिंदू असतील तर x आणि y काढा.
समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात. याचा अर्थ दोन्ही कर्णांचा मध्यबिंदू एकच असतो.
समजा A(1, 2), B(4, y), C(x, 6), D(3, 5).
कर्ण AC चा मध्यबिंदू = कर्ण BD चा मध्यबिंदू
((1 + x) / 2 , (2 + 6) / 2) = ((4 + 3) / 2 , (y + 5) / 2)
((1 + x) / 2 , 4) = (7 / 2 , (y + 5) / 2)
तुलना करून:
(1 + x) / 2 = 7 / 2 => 1 + x = 7 => x = 6
4 = (y + 5) / 2 => 8 = y + 5 => y = 3
समजा A(1, 2), B(4, y), C(x, 6), D(3, 5).
कर्ण AC चा मध्यबिंदू = कर्ण BD चा मध्यबिंदू
((1 + x) / 2 , (2 + 6) / 2) = ((4 + 3) / 2 , (y + 5) / 2)
((1 + x) / 2 , 4) = (7 / 2 , (y + 5) / 2)
तुलना करून:
(1 + x) / 2 = 7 / 2 => 1 + x = 7 => x = 6
4 = (y + 5) / 2 => 8 = y + 5 => y = 3
उत्तर: x = 6 आणि y = 3.
प्रश्न 7: AB हा वर्तुळाचा व्यास असून वर्तुळमध्य (2, -3) आहे आणि B चे सहनिर्देशक (1, 4) आहेत. तेव्हा बिंदू A चे सहनिर्देशक ओळखा.
वर्तुळाचा केंद्रबिंदू हा व्यासाचा मध्यबिंदू असतो.
समजा A चे सहनिर्देशक (x, y) आहेत.
केंद्रबिंदू C(2, -3) आणि B(1, 4).
मध्यबिंदू सूत्रानुसार:
x-सहनिर्देशक: (x + 1) / 2 = 2 => x + 1 = 4 => x = 3
y-सहनिर्देशक: (y + 4) / 2 = -3 => y + 4 = -6 => y = -10
समजा A चे सहनिर्देशक (x, y) आहेत.
केंद्रबिंदू C(2, -3) आणि B(1, 4).
मध्यबिंदू सूत्रानुसार:
x-सहनिर्देशक: (x + 1) / 2 = 2 => x + 1 = 4 => x = 3
y-सहनिर्देशक: (y + 4) / 2 = -3 => y + 4 = -6 => y = -10
उत्तर: बिंदू A चे सहनिर्देशक (3, -10) आहेत.
प्रश्न 8: जर A आणि B अनुक्रमे (-2, -2) आणि (2, -4) असून AB या रेषेवर P बिंदू आहे आणि AP = 3/7 AB असेल तर बिंदू P चे सहनिर्देशक काढा.
दिलेले आहे: AP = 3/7 AB
याचा अर्थ AP : PB = 3 : 4 (कारण PB = 4/7 AB असेल).
गुणोत्तर m1 : m2 = 3 : 4
x = (3 * 2 + 4 * -2) / (3 + 4) = (6 – 8) / 7 = -2 / 7
y = (3 * -4 + 4 * -2) / (3 + 4) = (-12 – 8) / 7 = -20 / 7
याचा अर्थ AP : PB = 3 : 4 (कारण PB = 4/7 AB असेल).
गुणोत्तर m1 : m2 = 3 : 4
x = (3 * 2 + 4 * -2) / (3 + 4) = (6 – 8) / 7 = -2 / 7
y = (3 * -4 + 4 * -2) / (3 + 4) = (-12 – 8) / 7 = -20 / 7
उत्तर: बिंदू P चे सहनिर्देशक (-2/7, -20/7) आहेत.
प्रश्न 9: जर बिंदू A(-2, 2) आणि बिंदू B(2, 8) यांना जोडणाऱ्या AB रेषेला चार समान भागात विभागत असलेल्या बिंदूचे सहनिर्देशक ओळखा.
रेषाखंडाला 4 समान भागात विभागण्यासाठी 3 बिंदू (P, Q, R) लागतात.
येथे Q हा AB चा मध्यबिंदू असेल.
Q = ((-2 + 2) / 2 , (2 + 8) / 2) = (0, 5)
P हा AQ चा मध्यबिंदू असेल.
P = ((-2 + 0) / 2 , (2 + 5) / 2) = (-1, 7/2)
R हा QB चा मध्यबिंदू असेल.
R = ((0 + 2) / 2 , (5 + 8) / 2) = (1, 13/2)
येथे Q हा AB चा मध्यबिंदू असेल.
Q = ((-2 + 2) / 2 , (2 + 8) / 2) = (0, 5)
P हा AQ चा मध्यबिंदू असेल.
P = ((-2 + 0) / 2 , (2 + 5) / 2) = (-1, 7/2)
R हा QB चा मध्यबिंदू असेल.
R = ((0 + 2) / 2 , (5 + 8) / 2) = (1, 13/2)
उत्तर: चार समान भागात विभागणारे बिंदू (-1, 7/2), (0, 5) आणि (1, 13/2) आहेत.
प्रश्न 10: (3, 0), (4, 5), (-1, 4) आणि (-2, -1) असणाऱ्या समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ काढा.
समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = (1/2) * (कर्णांचा गुणाकार)
शिरोबिंदू: A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4), D(-2, -1).
कर्ण AC ची लांबी: √[(-1 – 3)² + (4 – 0)²] = √[(-4)² + 4²] = √[16 + 16] = √32 = 4√2
कर्ण BD ची लांबी: √[(-2 – 4)² + (-1 – 5)²] = √[(-6)² + (-6)²] = √[36 + 36] = √72 = 6√2
क्षेत्रफळ = (1/2) * (4√2) * (6√2)
= (1/2) * 24 * 2 = 24
शिरोबिंदू: A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4), D(-2, -1).
कर्ण AC ची लांबी: √[(-1 – 3)² + (4 – 0)²] = √[(-4)² + 4²] = √[16 + 16] = √32 = 4√2
कर्ण BD ची लांबी: √[(-2 – 4)² + (-1 – 5)²] = √[(-6)² + (-6)²] = √[36 + 36] = √72 = 6√2
क्षेत्रफळ = (1/2) * (4√2) * (6√2)
= (1/2) * 24 * 2 = 24
उत्तर: समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ 24 चौरस एकक आहे.
हे पण पहा..
इयत्ता 10वी गणित स्वाध्याय प्रश्नोत्तरे:
1. वास्तव संख्या (Real Numbers) 2. बहुपदी (Polynomials) 3. दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांची जोडी 4. वर्गसमीकरणे (Quadratic Equations) 5. अंकगणिती क्रम (Arithmetic Progressions) 6. त्रिकोण (Triangles)इयत्ता 10 वी गणित – 1 गुणांचे महत्त्वाचे प्रश्न व उत्तरे
1. x-अक्षावरील सहनिर्देशकांचे बिंदू कोणत्या स्वरूपात असतात?
उत्तर: x-अक्षावरील सहनिर्देशकांचे बिंदू (x, 0) या स्वरूपात असतात.
2. y-अक्षावरील सहनिर्देशकांचे बिंदू कोणत्या स्वरूपात असतात?
उत्तर: y-अक्षावरील सहनिर्देशकांचे बिंदू (0, y) या स्वरूपात असतात.
3. आरंभ बिंदूपासून P(x, y) बिंदूचे अंतर काढण्याचे सूत्र काय आहे?
उत्तर: आरंभ बिंदूपासूनचे अंतर = वर्गमूळात (x2 + y2) असते.
4. दोन बिंदू P(x1, y1) आणि Q(x2, y2) मधील अंतर काढण्याचे सूत्र कोणते?
उत्तर: अंतराचे सूत्र = वर्गमूळात [(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2] आहे.
5. P(x1, y1) आणि Q(x2, y2) या दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषेचा मध्यबिंदू काढण्याचे सूत्र सांगा.
उत्तर: मध्यबिंदू सूत्र = ((x1 + x2) / 2 , (y1 + y2) / 2) आहे.
6. सर्व वर्तुळे आणि सर्व चौरस नेहमी कसे असतात?
उत्तर: सर्व वर्तुळे आणि सर्व चौरस नेहमी समरूप असतात.
7. कोणत्या प्रकारचे त्रिकोण नेहमी समरूप असतात?
उत्तर: सर्व समभुज त्रिकोण नेहमी समरूप असतात.
8. दोन बहुभुजाकृती समरूप असण्यासाठी त्यांच्या संगत बाजू कशा असाव्यात?
उत्तर: दोन बहुभुजाकृती समरूप असण्यासाठी त्यांच्या संगत बाजू प्रमाणात असल्या पाहिजेत.
9. मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार (थेल्सचा प्रमेय), त्रिकोणाच्या एका बाजूस समांतर असणारी रेषा इतर दोन बाजूंना कशी विभागते?
उत्तर: ती रेषा त्या दोन बाजूंना समान प्रमाणात विभागते.
10. त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंना एक रेषा समान प्रमाणात छेदत असेल, तर ती रेषा तिसऱ्या बाजूला कशी असते?
उत्तर: ती रेषा तिसऱ्या बाजूला समांतर असते.
11. दोन त्रिकोणांमध्ये जर तिन्ही संगत कोन समान असतील, तर ते त्रिकोण कोणत्या कसोटीनुसार समरूप असतात?
उत्तर: AAA (कोन, कोन, कोन) समरूपता कसोटीनुसार ते त्रिकोण समरूप असतात.
12. अंकगणिती क्रमामध्ये (AP) प्रत्येक पुढील पद मिळवण्यासाठी मागील पदात जी निश्चित संख्या मिळवली जाते, तिला काय म्हणतात?
उत्तर: त्या निश्चित संख्येला ‘सामान्य फरक’ (d) असे म्हणतात.
13. पहिले पद ‘a’ व सामान्य फरक ‘d’ असणाऱ्या AP चे n वे पद काढण्याचे सूत्र सांगा.
उत्तर: n वे पद काढण्याचे सूत्र: an = a + (n – 1)d आहे.
14. जर ‘l’ हे AP चे शेवटचे पद असेल, तर पहिल्या n पदांची बेरीज (S) काढण्याचे सूत्र काय आहे?
उत्तर: बेरीज काढण्याचे सूत्र: S = n / 2 (a + l) आहे.
15. जर a, b आणि c ही तीन पदे AP ची असतील, तर ‘b’ ला a आणि c चा काय म्हणतात?
उत्तर: ‘b’ ला a आणि c चा अंकगणिती मध्य म्हणतात.
महत्त्वाचे दुवे आणि शैक्षणिक व्हिडिओ
SSLC ENGLISH (TL)Letter writing Questions With Answershttps://smartguruji.in/2025/01/sslc-model-letter-writing-3rd-language-english.html
SSLC बोर्ड परीक्षा 2017- 2025 मध्ये वारंवार विचारण्यात आलेले प्रश्न व उत्तरेविषय – मराठी (FL)https://smartguruji.in/2026/01/sslc-repeated-imp-questions-marathi.html
10वी विद्यार्थ्यांसाठी खास शैक्षणिक व्हिडिओ!10वी गणित – प्रकरण 8 – त्रिकोणमितीचा परिचय (स्वाध्याय 8.1)https://youtu.be/1mbKfKsrszs
त्रिकोणमितीचा परिचयhttps://youtu.be/TabmpU_nuQU
Subscribe for more videos:Easy, fun & informative!https://www.youtube.com/@SmartGuruji2025
