इयत्ता 10 वी गणित: प्रकरण 4 – वर्गसमीकरणे
पाठाचा सारांश आणि महत्त्वाची सूत्रे:
- x चलपद असणाऱ्या वर्गसमीकरणाचे सामान्य स्वरूप ax² + bx + c = 0 असते, जिथे a, b आणि c या वास्तव संख्या आहेत आणि a शून्य नसतो (a ≠ 0).
- वर्गसमीकरणाची बीजे शोधण्यासाठी वर्ग सूत्र (Quadratic Formula) वापरले जाते:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a - वर्गसमीकरणाच्या बीजांचे स्वरूप (Nature of roots) b² – 4ac या विवेचकावर (Discriminant) अवलंबून असते:
- जर b² – 4ac > 0 असेल, तर समीकरणाला दोन भिन्न वास्तव बीजे असतात.
- जर b² – 4ac = 0 असेल, तर समीकरणाला दोन समान वास्तव बीजे असतात.
- जर b² – 4ac < 0 असेल, तर समीकरणाला वास्तव बीजे नसतात.
इयत्ता 10 वी गणित – प्रकरण 4: वर्गसमीकरणे (संपूर्ण स्वाध्याय उत्तरे)
स्वाध्याय 4.1
1. खालील समीकरणे वर्गसमीकरणे आहेत का ते तपासा.
(i) (x + 1)² = 2(x – 3)
उकल: x² + 2x + 1 = 2x – 6
x² + 2x – 2x + 1 + 6 = 0
x² + 7 = 0
हे ax² + bx + c = 0 या स्वरूपात आहे (येथे a = 1, b = 0, c = 7). म्हणून हे वर्गसमीकरण आहे.
(ii) x² – 2x = (-2)(3 – x) उकल: x² – 2x = -6 + 2x x² – 2x – 2x + 6 = 0 x² – 4x + 6 = 0 हे ax² + bx + c = 0 या स्वरूपात आहे. म्हणून हे वर्गसमीकरण आहे.
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3) उकल: x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3 x² – x – 2 = x² + 2x – 3 -3x + 1 = 0 येथे x² चे पद नाही (a = 0). म्हणून हे वर्गसमीकरण नाही.
(iv) (x – 3)(2x + 1) = x(x + 5) उकल: 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0 x² – 10x – 3 = 0 हे वर्गसमीकरण आहे.
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1) उकल: 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5 x² – 11x + 8 = 0 हे वर्गसमीकरण आहे.
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)² उकल: x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4 7x – 3 = 0 येथे a = 0 आहे. म्हणून हे वर्गसमीकरण नाही.
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1) उकल: x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x -x³ + 6x² + 14x + 8 = 0 येथे सर्वात मोठा घातांक 3 आहे. म्हणून हे वर्गसमीकरण नाही.
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³ उकल: x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6x² + 12x – 8 2x² – 13x + 9 = 0 सर्वात मोठा घातांक 2 आहे. म्हणून हे वर्गसमीकरण आहे.
(ii) x² – 2x = (-2)(3 – x) उकल: x² – 2x = -6 + 2x x² – 2x – 2x + 6 = 0 x² – 4x + 6 = 0 हे ax² + bx + c = 0 या स्वरूपात आहे. म्हणून हे वर्गसमीकरण आहे.
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3) उकल: x² + x – 2x – 2 = x² + 3x – x – 3 x² – x – 2 = x² + 2x – 3 -3x + 1 = 0 येथे x² चे पद नाही (a = 0). म्हणून हे वर्गसमीकरण नाही.
(iv) (x – 3)(2x + 1) = x(x + 5) उकल: 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x 2x² – 5x – 3 – x² – 5x = 0 x² – 10x – 3 = 0 हे वर्गसमीकरण आहे.
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1) उकल: 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5 x² – 11x + 8 = 0 हे वर्गसमीकरण आहे.
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)² उकल: x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4 7x – 3 = 0 येथे a = 0 आहे. म्हणून हे वर्गसमीकरण नाही.
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1) उकल: x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x -x³ + 6x² + 14x + 8 = 0 येथे सर्वात मोठा घातांक 3 आहे. म्हणून हे वर्गसमीकरण नाही.
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³ उकल: x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6x² + 12x – 8 2x² – 13x + 9 = 0 सर्वात मोठा घातांक 2 आहे. म्हणून हे वर्गसमीकरण आहे.
2. खालील उदाहरणे वर्गसमीकरणाच्या रूपात मांडा.
(i) एका आयताकृती जमिनीचे क्षेत्रफळ 528 m² आहे. त्याची लांबी रुंदीच्या दुप्पटीपेक्षा 1 m ने अधिक आहे.
उकल: समजा आयताची रुंदी = x मीटर.
लांबी = 2x + 1 मीटर.
क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
528 = (2x + 1) × x
2x² + x – 528 = 0
(ii) दोन क्रमवार धन संख्यांचा गुणाकार 306 आहे. उकल: समजा दोन क्रमवार धन संख्या x आणि x + 1 आहेत. त्यांचा गुणाकार = x(x + 1) = 306 x² + x – 306 = 0
(iii) रोहनच्या आईचे वय सध्या त्याच्या वयापेक्षा 26 वर्षांनी जास्त आहे. 3 वर्षानंतर त्यांच्या वयांचा गुणाकार 360 होईल. उकल: समजा रोहनचे आजचे वय = x वर्षे. आईचे आजचे वय = x + 26 वर्षे. 3 वर्षानंतर: रोहनचे वय = x + 3, आईचे वय = x + 29. (x + 3)(x + 29) = 360 x² + 29x + 3x + 87 = 360 x² + 32x – 273 = 0
(iv) एक आगगाडी 480 किमी अंतर एकसमान वेगाने जाते. वेग 8 किमी/तास ने कमी केल्यास 3 तास जास्त वेळ लागतो. उकल: समजा गाडीचा समान वेग = v किमी/तास. सुरुवातीला लागणारा वेळ = 480 / v नवीन वेळ = 480 / (v – 8) [480 / (v – 8)] – [480 / v] = 3 480[v – (v – 8)] / [v(v – 8)] = 3 480 × 8 = 3v(v – 8) 1280 = v² – 8v v² – 8v – 1280 = 0
(ii) दोन क्रमवार धन संख्यांचा गुणाकार 306 आहे. उकल: समजा दोन क्रमवार धन संख्या x आणि x + 1 आहेत. त्यांचा गुणाकार = x(x + 1) = 306 x² + x – 306 = 0
(iii) रोहनच्या आईचे वय सध्या त्याच्या वयापेक्षा 26 वर्षांनी जास्त आहे. 3 वर्षानंतर त्यांच्या वयांचा गुणाकार 360 होईल. उकल: समजा रोहनचे आजचे वय = x वर्षे. आईचे आजचे वय = x + 26 वर्षे. 3 वर्षानंतर: रोहनचे वय = x + 3, आईचे वय = x + 29. (x + 3)(x + 29) = 360 x² + 29x + 3x + 87 = 360 x² + 32x – 273 = 0
(iv) एक आगगाडी 480 किमी अंतर एकसमान वेगाने जाते. वेग 8 किमी/तास ने कमी केल्यास 3 तास जास्त वेळ लागतो. उकल: समजा गाडीचा समान वेग = v किमी/तास. सुरुवातीला लागणारा वेळ = 480 / v नवीन वेळ = 480 / (v – 8) [480 / (v – 8)] – [480 / v] = 3 480[v – (v – 8)] / [v(v – 8)] = 3 480 × 8 = 3v(v – 8) 1280 = v² – 8v v² – 8v – 1280 = 0
स्वाध्याय 4.2
1. खालील वर्गसमीकरणांची बीजे अवयव पद्धतीने काढा.
(i) x² – 3x – 10 = 0
x² – 5x + 2x – 10 = 0
x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
x = 5 किंवा x = -2
(ii) 2x² – x – 6 = 0 2x² – 4x + 3x – 6 = 0 2x(x – 2) + 3(x – 2) = 0 (x – 2)(2x + 3) = 0 x = 2 किंवा x = -3/2
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0 √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0 x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0 (√2x + 5)(x + √2) = 0 x = -5/√2 किंवा x = -√2
(iv) 2x² – x + 1/8 = 0 संपूर्ण समीकरणाला 8 ने गुणून: 16x² – 8x + 1 = 0 (4x – 1)² = 0 x = 1/4, 1/4
(v) 100x² – 20x + 1 = 0 (10x – 1)² = 0 x = 1/10, 1/10
(ii) 2x² – x – 6 = 0 2x² – 4x + 3x – 6 = 0 2x(x – 2) + 3(x – 2) = 0 (x – 2)(2x + 3) = 0 x = 2 किंवा x = -3/2
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0 √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0 x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0 (√2x + 5)(x + √2) = 0 x = -5/√2 किंवा x = -√2
(iv) 2x² – x + 1/8 = 0 संपूर्ण समीकरणाला 8 ने गुणून: 16x² – 8x + 1 = 0 (4x – 1)² = 0 x = 1/4, 1/4
(v) 100x² – 20x + 1 = 0 (10x – 1)² = 0 x = 1/10, 1/10
3. दोन संख्यांची बेरीज 27 आणि त्यांचा गुणाकार 182 आहे, तर त्या धन संख्या शोधा.
उकल: समजा पहिली संख्या x आहे.
दुसरी संख्या = 27 – x
त्यांचा गुणाकार: x(27 – x) = 182
27x – x² = 182
x² – 27x + 182 = 0
x² – 13x – 14x + 182 = 0
x(x – 13) – 14(x – 13) = 0
(x – 13)(x – 14) = 0
x = 13 किंवा x = 14. त्या संख्या 13 आणि 14 आहेत.
4. दोन क्रमवार संख्यांच्या वर्गांची बेरीज 365 आहे, तर त्या संख्या शोधा.
उकल: समजा दोन क्रमवार धन पूर्णांक x आणि x + 1 आहेत.
x² + (x + 1)² = 365
x² + x² + 2x + 1 = 365
2x² + 2x – 364 = 0
x² + x – 182 = 0 (2 ने भागून)
x² + 14x – 13x – 182 = 0
x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
(x + 14)(x – 13) = 0
x = -14 (अशक्य कारण संख्या धन आहे) किंवा x = 13.
त्या संख्या 13 आणि 14 आहेत.
5. एका काटकोन त्रिकोणाची लंबउंची त्याच्या पायाच्या लांबीपेक्षा 7 सेमी ने कमी आहे, कर्ण 13 सेमी असल्यास इतर दोन बाजू काढा.
उकल: समजा पायाची लांबी = x सेमी.
लंबउंची = x – 7 सेमी.
पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार: (पाया)² + (उंची)² = (कर्ण)²
x² + (x – 7)² = 13²
x² + x² – 14x + 49 = 169
2x² – 14x – 120 = 0
x² – 7x – 60 = 0
(x – 12)(x + 5) = 0
x = 12 किंवा x = -5 (लांबी ऋण नसते).
म्हणून पाया = 12 सेमी आणि उंची = 12 – 7 = 5 सेमी.
6. एका गृहउद्योग कारखान्यात… प्रत्येक वस्तूचा उत्पादन खर्च वस्तूच्या संख्येच्या दुप्पटीपेक्षा 3 ने अधिक आहे. एकूण खर्च 90 रुपये असल्यास वस्तूंची संख्या व किंमत काढा.
उकल: समजा वस्तूंची संख्या = x.
एका वस्तूचा खर्च = 2x + 3.
एकूण खर्च = x(2x + 3) = 90
2x² + 3x – 90 = 0
2x² + 15x – 12x – 90 = 0
x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
(x – 6)(2x + 15) = 0
x = 6 किंवा x = -15/2 (संख्या ऋण नसते).
वस्तूंची संख्या = 6 आणि प्रत्येक वस्तूची किंमत = 2(6) + 3 = 15 रुपये.
स्वाध्याय 4.3
1. वर्गसमीकरणांच्या बीजांचे स्वरूप ओळखा व बीजे वास्तव असतील तर काढा.
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
a = 2, b = -3, c = 5
विवेचक (b² – 4ac) = (-3)² – 4(2)(5) = 9 – 40 = -31
b² – 4ac < 0. म्हणून बीजे वास्तव नाहीत.
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0 a = 3, b = -4√3, c = 4 b² – 4ac = (-4√3)² – 4(3)(4) = 48 – 48 = 0 बीजे समान आणि वास्तव आहेत. बीजे = -b/2a = 4√3 / 6 = 2√3 / 3. दोन्ही बीजे 2√3/3 आहेत.
(iii) 2x² + 6x + 3 = 0 (जर समीकरण 2x² – 6x + 3 = 0 असेल तर चिन्ह त्यानुसार बदलेल, येथे दिलेल्या समीकरणाप्रमाणे) a = 2, b = 6, c = 3 b² – 4ac = (6)² – 4(2)(3) = 36 – 24 = 12 b² – 4ac > 0. बीजे वास्तव आणि भिन्न आहेत. x = [-6 ± √12] / 4 = [-6 ± 2√3] / 4 = [-3 ± √3] / 2.
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0 a = 3, b = -4√3, c = 4 b² – 4ac = (-4√3)² – 4(3)(4) = 48 – 48 = 0 बीजे समान आणि वास्तव आहेत. बीजे = -b/2a = 4√3 / 6 = 2√3 / 3. दोन्ही बीजे 2√3/3 आहेत.
(iii) 2x² + 6x + 3 = 0 (जर समीकरण 2x² – 6x + 3 = 0 असेल तर चिन्ह त्यानुसार बदलेल, येथे दिलेल्या समीकरणाप्रमाणे) a = 2, b = 6, c = 3 b² – 4ac = (6)² – 4(2)(3) = 36 – 24 = 12 b² – 4ac > 0. बीजे वास्तव आणि भिन्न आहेत. x = [-6 ± √12] / 4 = [-6 ± 2√3] / 4 = [-3 ± √3] / 2.
2. खालील वर्गसमीकरणाची बीजे समान आहेत, तर K ची किंमत काढा.
(i) 2x² – Kx + 3 = 0
समान बीजे असल्यामुळे b² – 4ac = 0
(-K)² – 4(2)(3) = 0
K² – 24 = 0 => K² = 24 => K = ±√24 = ±2√6
(ii) Kx(x – 2) + 6 = 0 Kx² – 2Kx + 6 = 0 b² – 4ac = 0 => (-2K)² – 4(K)(6) = 0 4K² – 24K = 0 => 4K(K – 6) = 0 K = 0 किंवा K = 6. (K = 0 असल्यास समीकरण वर्गसमीकरण राहणार नाही). म्हणून K = 6.
(ii) Kx(x – 2) + 6 = 0 Kx² – 2Kx + 6 = 0 b² – 4ac = 0 => (-2K)² – 4(K)(6) = 0 4K² – 24K = 0 => 4K(K – 6) = 0 K = 0 किंवा K = 6. (K = 0 असल्यास समीकरण वर्गसमीकरण राहणार नाही). म्हणून K = 6.
3. एका आंब्याच्या वृक्षवाटिकेची लांबी रुंदीच्या दुप्पट असून क्षेत्रफळ 800 m² आहे. हे शक्य आहे का? असल्यास लांबी व रुंदी काढा.
उकल: समजा रुंदी = x मीटर. लांबी = 2x मीटर.
क्षेत्रफळ = x × 2x = 2x²
2x² = 800 => x² = 400
x = 20 (रुंदी ऋण नसते).
हे शक्य आहे. रुंदी = 20 मीटर, लांबी = 40 मीटर.
4. दोन मित्रांच्या वयांची बेरीज 20 वर्षे आहे. 4 वर्षांपूर्वी त्यांच्या वयांचा गुणाकार 48 होता. ही परिस्थिती शक्य आहे का?
उकल: समजा एकाचे वय x वर्षे, तर दुसऱ्याचे वय 20 – x वर्षे.
4 वर्षांपूर्वी वये: (x – 4) आणि (20 – x – 4) = (16 – x).
गुणाकार = (x – 4)(16 – x) = 48
16x – x² – 64 + 4x = 48
-x² + 20x – 64 = 48
x² – 20x + 112 = 0
विवेचक = b² – 4ac = (-20)² – 4(1)(112) = 400 – 448 = -48
विवेचक ऋण आहे (वास्तव बीजे नाहीत). म्हणून ही परिस्थिती शक्य नाही.
5. 80 m परिमिती आणि 400 m² क्षेत्रफळ असणारी आयताकृती बाग तयार करणे शक्य आहे काय? असल्यास रुंदी आणि लांबी काढा.
उकल: परिमिती = 2(लांबी + रुंदी) = 80 => लांबी + रुंदी = 40.
समजा लांबी = x, तर रुंदी = 40 – x.
क्षेत्रफळ = x(40 – x) = 400
40x – x² = 400 => x² – 40x + 400 = 0
(x – 20)² = 0 => x = 20.
हे शक्य आहे. लांबी = 20 m आणि रुंदी = 20 m (ही बाग चौरसाकृती आहे).
अधिक माहितीसाठी खालील लिंक्सला भेट द्या:
नियंत्रण आणि समन्वय (Niyantran Ani Samanvay) – अधिक जाणून घ्याकर्नाटक राज्य अभ्यासक्रम
इयत्ता – 10वी
विषय – गणित
भाग – 1
नमूना प्रश्नोत्तरे
प्रकरण 4 – वर्ग समीकरणे
स्वाध्याय 4.1
प्रश्न 1: खालील समीकरणे वर्गसमीकरणे आहेत का ते तपासा. (i) (x + 1)2 = 2(x – 3)
उत्तर पहा
(x + 1)2 = 2(x – 3)
x2 + 2x + 1 = 2x – 6
x2 + 2x – 2x + 1 + 6 = 0
x2 + 7 = 0
हे समीकरण ax2 + bx + c = 0 या स्वरूपात आहे (येथे a = 1, b = 0, c = 7 आणि a ≠ 0).
म्हणून, हे वर्गसमीकरण आहे.
प्रश्न 1 (ii): x2 – 2x = (-2)(3 – x)
उत्तर पहा
x2 – 2x = -6 + 2x
x2 – 2x – 2x + 6 = 0
x2 – 4x + 6 = 0
हे समीकरण ax2 + bx + c = 0 या स्वरूपात आहे.
म्हणून, हे वर्गसमीकरण आहे.
प्रश्न 1 (iii): (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
उत्तर पहा
x(x + 1) – 2(x + 1) = x(x + 3) – 1(x + 3)
x2 + x – 2x – 2 = x2 + 3x – x – 3
x2 – x – 2 = x2 + 2x – 3
x2 – x2 – x – 2x – 2 + 3 = 0
-3x + 1 = 0
येथे सर्वात मोठा घातांक 2 नाही (a = 0).
म्हणून, हे वर्गसमीकरण नाही.
प्रश्न 1 (iv): (x – 3)(2x + 1) = x(x + 5)
उत्तर पहा
2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x
2x2 – 5x – 3 – x2 – 5x = 0
x2 – 10x – 3 = 0
म्हणून, हे वर्गसमीकरण आहे.
प्रश्न 2 (i): खालील घटना वर्गसमीकरणाच्या रूपात मांडा: एका आयताकृती जागेचे क्षेत्रफळ 528 m2 आहे. जागेची लांबी ही रुंदीच्या दुप्पटीपेक्षा 1 ने जास्त आहे. आम्हांला जागेची लांबी आणि रुंदी काढायची आहे.
उत्तर पहा
समजा आयताकृती जागेची रुंदी = x मीटर.
दिलेल्या अटीनुसार, लांबी = 2x + 1 मीटर.
आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी = 528
(2x + 1) × x = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x – 528 = 0
हे आवश्यक वर्गसमीकरण आहे.
प्रश्न 2 (ii): दोन क्रमवार धन पूर्णांकांचा गुणाकार 306 आहे तर ते पूर्णांक काढा.
उत्तर पहा
समजा दोन क्रमवार धन पूर्णांक अनुक्रमे x आणि x + 1 आहेत.
दिलेल्या अटीनुसार, त्यांचा गुणाकार = 306
x(x + 1) = 306
x2 + x = 306
x2 + x – 306 = 0
हे आवश्यक वर्गसमीकरण आहे.
प्रश्न 2 (iii): रोहनची आई त्याच्यापेक्षा 26 वर्षांनी मोठी आहे. 3 वर्षानंतर त्यांच्या वयांचा गुणाकार 360 होईल. तर रोहनचे आजचे वय काढा.
उत्तर पहा
समजा रोहनचे आजचे वय = x वर्षे.
रोहनच्या आईचे आजचे वय = x + 26 वर्षे.
3 वर्षानंतर, रोहनचे वय = x + 3 आणि आईचे वय = (x + 26) + 3 = x + 29 वर्षे.
त्यांच्या वयांचा गुणाकार = 360
(x + 3)(x + 29) = 360
x2 + 29x + 3x + 87 = 360
x2 + 32x + 87 – 360 = 0
x2 + 32x – 273 = 0
हे आवश्यक वर्गसमीकरण आहे.
स्वाध्याय 4.2
प्रश्न 1: अवयव पद्धतीने खालील वर्गसमीकरणांची बीजे काढा. (i) x2 – 3x – 10 = 0
उत्तर पहा
x2 – 5x + 2x – 10 = 0
x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
x – 5 = 0 किंवा x + 2 = 0
x = 5 किंवा x = -2
प्रश्न 1 (ii): 2x2 + x – 6 = 0
उत्तर पहा
2x2 + 4x – 3x – 6 = 0
2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
(2x – 3)(x + 2) = 0
2x – 3 = 0 किंवा x + 2 = 0
x = 3/2 किंवा x = -2
प्रश्न 1 (iii): √2x2 + 7x + 5√2 = 0
उत्तर पहा
√2x2 + 5x + 2x + 5√2 = 0
x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
(x + √2)(√2x + 5) = 0
x + √2 = 0 किंवा √2x + 5 = 0
x = -√2 किंवा x = -5/√2
प्रश्न 3: दोन संख्या अशा शोधा की ज्यांची बेरीज 27 आणि गुणाकार 182 असेल.
उत्तर पहा
समजा पहिली संख्या = x.
दोन्ही संख्यांची बेरीज 27 आहे, म्हणून दुसरी संख्या = 27 – x.
त्यांचा गुणाकार = 182
x(27 – x) = 182
27x – x2 = 182
x2 – 27x + 182 = 0
x2 – 13x – 14x + 182 = 0
x(x – 13) – 14(x – 13) = 0
(x – 13)(x – 14) = 0
x = 13 किंवा x = 14
म्हणून त्या दोन संख्या 13 आणि 14 आहेत.
प्रश्न 4: दोन क्रमवार धन पूर्णांक असे शोधा ज्यांच्या वर्गांची बेरीज 365 असेल.
उत्तर पहा
समजा दोन क्रमवार धन पूर्णांक x आणि x + 1 आहेत.
त्यांच्या वर्गांची बेरीज = 365
x2 + (x + 1)2 = 365
x2 + x2 + 2x + 1 = 365
2x2 + 2x – 364 = 0
2 ने भागून: x2 + x – 182 = 0
x2 + 14x – 13x – 182 = 0
x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
(x – 13)(x + 14) = 0
x = 13 किंवा x = -14. परंतु पूर्णांक धन आहे, म्हणून x = 13.
म्हणून ते पूर्णांक 13 आणि 14 आहेत.
स्वाध्याय 4.3
प्रश्न 1: खालील वर्गसमीकरणांच्या बीजांचे स्वरूप ओळखा. जर बीजे वास्तव असतील तर ती काढा. (i) 2x2 – 3x + 5 = 0
उत्तर पहा
येथे a = 2, b = -3, c = 5.
विवेचक (Discriminant) = b2 – 4ac
= (-3)2 – 4(2)(5)
= 9 – 40 = -31
येथे b2 – 4ac < 0 आहे.
म्हणून, या समीकरणाला वास्तव बीजे नाहीत.
प्रश्न 1 (ii): 3x2 – 4√3x + 4 = 0
उत्तर पहा
येथे a = 3, b = -4√3, c = 4.
विवेचक = b2 – 4ac = (-4√3)2 – 4(3)(4)
= 48 – 48 = 0
येथे b2 – 4ac = 0 आहे. म्हणून बीजे समान आणि वास्तव आहेत.
बीजे = -b / 2a = -(-4√3) / 2(3) = 4√3 / 6 = 2√3 / 3
म्हणून बीजे 2/√3 आणि 2/√3 आहेत.
प्रश्न 2: खालील प्रत्येक वर्गसमीकरणांची बीजे समान आहेत असे समजून k ची किंमत काढा. (i) 2x2 + kx + 3 = 0
उत्तर पहा
समीकरणाची बीजे समान आहेत, म्हणून b2 – 4ac = 0.
येथे a = 2, b = k, c = 3.
k2 – 4(2)(3) = 0
k2 – 24 = 0
k2 = 24
k = ±√24 = ±2√6
प्रश्न 4: दोन मित्रांच्या वयाची बेरीज 20 वर्षे आहे. 4 वर्षांपूर्वी त्यांच्या वयांचा गुणाकार 48 होता. ही परिस्थिती शक्य आहे का? जर असेल तर त्यांची आजची वये काढा.
उत्तर पहा
समजा एका मित्राचे आजचे वय = x वर्षे.
दुसऱ्या मित्राचे आजचे वय = 20 – x वर्षे.
4 वर्षांपूर्वी: पहिल्या मित्राचे वय = x – 4, दुसऱ्या मित्राचे वय = 20 – x – 4 = 16 – x.
त्यांचा गुणाकार = 48. म्हणून, (x – 4)(16 – x) = 48
16x – x2 – 64 + 4x = 48
-x2 + 20x – 64 – 48 = 0
-x2 + 20x – 112 = 0 ⇒ x2 – 20x + 112 = 0
विवेचक = b2 – 4ac = (-20)2 – 4(1)(112) = 400 – 448 = -48
येथे विवेचक ऋण (< 0) आहे.
म्हणून, ही परिस्थिती शक्य नाही.
प्रश्न 5: 80 m परिमिती आणि 400 m2 क्षेत्रफळ असणारी आयताकृती बाग तयार करणे शक्य आहे काय? जर असेल तर तिची लांबी आणि रुंदी काढा.
उत्तर पहा
समजा आयताची लांबी = L आणि रुंदी = B.
परिमिती = 2(L + B) = 80 ⇒ L + B = 40 ⇒ B = 40 – L.
क्षेत्रफळ = L × B = 400
L(40 – L) = 400
40L – L2 = 400
L2 – 40L + 400 = 0
(L – 20)2 = 0 ⇒ L = 20
जर L = 20, तर B = 40 – 20 = 20.
होय, ही बाग तयार करणे शक्य आहे. तिची लांबी 20 m आणि रुंदी 20 m असेल (हा एक चौरस आहे).
अधिक अभ्यासासाठी महत्त्वपूर्ण लिंक्स:
SSLC Kannada 2nd Language Question Papers SSLC Practice Question Papers 2022-23
इयत्ता 10 वी गणित: प्रकरण 4 – वर्गसमीकरणे (1 गुणांचे प्रश्न)
प्रश्न 1. वर्गसमीकरणाचे सामान्य स्वरूप (General Form) कोणते असते?
उत्तर पहा
उत्तर: ax² + bx + c = 0
प्रश्न 2. वर्गसमीकरण ax² + bx + c = 0 मध्ये ‘a’ ची किंमत काय असू शकत नाही?
उत्तर पहा
उत्तर: 0 (शून्य)
प्रश्न 3. वर्गसमीकरणाची जास्तीत जास्त किती बीजे (Roots) असू शकतात?
उत्तर पहा
उत्तर: 2
प्रश्न 4. ax² + bx + c = 0 या समीकरणाची बीजे काढण्याचे ‘वर्ग सूत्र’ (Quadratic Formula) कोणते?
उत्तर पहा
उत्तर: x = [-b + √(b² – 4ac)] / 2a आणि x = [-b – √(b² – 4ac)] / 2a
प्रश्न 5. वर्गसमीकरणामध्ये b² – 4ac ला काय म्हणतात?
उत्तर पहा
उत्तर: विवेचक (Discriminant)
प्रश्न 6. जर विवेचक b² – 4ac > 0 असेल, तर समीकरणाच्या बीजांचे स्वरूप कसे असते?
उत्तर पहा
उत्तर: दोन भिन्न वास्तव बीजे (Two distinct real roots) असतात.
प्रश्न 7. जर विवेचक b² – 4ac = 0 असेल, तर समीकरणाच्या बीजांचे स्वरूप कसे असते?
उत्तर पहा
उत्तर: दोन समान वास्तव बीजे (Two equal real roots) असतात.
प्रश्न 8. जर विवेचक b² – 4ac < 0 असेल, तर समीकरणाच्या बीजांचे स्वरूप कसे असते?
उत्तर पहा
उत्तर: वास्तव बीजे नसतात (No real roots).
प्रश्न 9. वर्गसमीकरणाची कोटी (Degree) किती असते?
उत्तर पहा
उत्तर: 2
प्रश्न 10. ax² + bx + c या बहुपदीची शून्ये आणि ax² + bx + c = 0 या समीकरणाची बीजे यांत काय संबंध असतो?
उत्तर पहा
उत्तर: ती दोन्ही समान असतात.
प्रश्न 11. जर वर्गसमीकरणाची दोन बीजे समान असतील, तर विवेचकाची (b² – 4ac) किंमत किती असते?
उत्तर पहा
उत्तर: 0
प्रश्न 12. x² – 9 = 0 या वर्गसमीकरणाची बीजे कोणती आहेत?
उत्तर पहा
उत्तर: 3 आणि -3
प्रश्न 13. ax² + bx + c = 0 या समीकरणात a, b आणि c या कोणत्या प्रकारच्या संख्या असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: वास्तव संख्या (Real numbers)
प्रश्न 14. 2x² + x – 300 = 0 या समीकरणात a, b आणि c च्या किंमती काय आहेत?
उत्तर पहा
उत्तर: a = 2, b = 1, c = -300
प्रश्न 15. वर्गसमीकरण सोडवण्याच्या कोणत्याही दोन पद्धती सांगा.
उत्तर पहा
उत्तर: अवयव पद्धत (Factorisation method) आणि वर्ग सूत्र पद्धत (Quadratic formula method).
प्रश्न 16. x(x + 1) = 300 हे कोणत्या प्रकारचे समीकरण आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: वर्गसमीकरण (Quadratic Equation)
