10वी गणित प्रकरण-5: अंकगणिती क्रम

(i) एका टॅक्सीचे भाडे पहिल्या कि.मी. ला 15 व पुढील प्रत्येक कि.मी. ला 8 ने वाढते.
पहिली रक्कम (a) = 15. पुढील रकमा: 15+8 = 23, 23+8 = 31, 31+8 = 39…
येथे प्रत्येक पदामधील सामान्य फरक (d) 8 आहे, जो समान आहे. म्हणून ही AP आहे.

(ii) सिलींडरमध्ये असणारी हवा जेव्हा वाताकर्षक पंपाने 1/4 राहिलेली हवा काढली असता.
समजा सुरुवातीची हवा = V.
पहिल्यांदा काढल्यावर उरलेली हवा = V – V/4 = 3V/4.
दुसऱ्यांदा काढल्यावर उरलेली हवा = 3V/4 – (1/4)*(3V/4) = 9V/16.
येथे फरक समान नाही (3V/4 – V ≠ 9V/16 – 3V/4). म्हणून ही AP नाही.

(iii) एक विहिर खोदण्याची पहिल्या मीटरला मजुरी 150 आणि पुढील प्रत्येक मीटरला 50 ने वाढते.
रकमा: 150, 150+50 = 200, 200+50 = 250, 300…
येथे सामान्य फरक (d) 50 समान आहे. म्हणून ही AP आहे.

(iv) खात्यामध्ये 10,000 ठेव ठेवले असून पुढील प्रत्येक वर्षी 8% दराने चक्रवाढव्याजाने जमा होणारी रक्कम.
पहिल्या वर्षी: 10000.
दुसऱ्या वर्षी: 10000 + 8% = 10800.
तिसऱ्या वर्षी: 10800 + 8% = 11664.
येथे फरक (10800 – 10000 = 800 आणि 11664 – 10800 = 864) समान नाही. म्हणून ही AP नाही.

(i) a = 10, d = 10
पदे: 10, (10+10)=20, (20+10)=30, (30+10)=40
AP: 10, 20, 30, 40

(ii) a = -2, d = 0
पदे: -2, -2+0=-2, -2, -2
AP: -2, -2, -2, -2

(iii) a = 4, d = -3
पदे: 4, 4+(-3)=1, 1+(-3)=-2, -2+(-3)=-5
AP: 4, 1, -2, -5

(iv) a = -1, d = 1/2
पदे: -1, -1 + 1/2 = -1/2, -1/2 + 1/2 = 0, 0 + 1/2 = 1/2
AP: -1, -1/2, 0, 1/2

(v) a = -1.25, d = 0.25
पदे: -1.25, -1.25+0.25 = -1.00, -1.00+0.25 = -0.75, -0.75+0.25 = -0.50
AP: -1.25, -1.00, -0.75, -0.50

(i) 3, 1, -1, -3…
पहिले पद (a) = 3
सामान्य फरक (d) = a2 – a1 = 1 – 3 = -2

(ii) -5, -1, 3, 7…
पहिले पद (a) = -5
सामान्य फरक (d) = a2 – a1 = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4

(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3…
पहिले पद (a) = 1/3
सामान्य फरक (d) = 5/3 – 1/3 = 4/3

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9…
पहिले पद (a) = 0.6
सामान्य फरक (d) = 1.7 – 0.6 = 1.1

(i) 2, 4, 8, 16…
a2-a1 = 2, a3-a2 = 4. फरक समान नाही. AP नाही.

(ii) 2, 5/2, 3, 7/2…
a2-a1 = 5/2 – 2 = 1/2. a3-a2 = 3 – 5/2 = 1/2. फरक समान आहे.
AP आहे. d = 1/2.
पुढील पदे: 4, 9/2, 5, 11/2

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2…
a2-a1 = -3.2 – (-1.2) = -2.0. फरक समान आहे.
AP आहे. d = -2.
पुढील पदे: -9.2, -11.2, -13.2, -15.2

(iv) -10, -6, -2, 2…
a2-a1 = -6 – (-10) = 4. a3-a2 = 4. फरक समान आहे.
AP आहे. d = 4.
पुढील पदे: 6, 10, 14, 18

(v) 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2…
a2-a1 = √2. a3-a2 = √2. फरक समान आहे.
AP आहे. d = √2.
पुढील पदे: 3+4√2, 3+5√2, 3+6√2, 3+7√2

(vi) 0.2, 0.22, 0.222…
a2-a1 = 0.02, a3-a2 = 0.002. फरक समान नाही. AP नाही.

(vii) 0, -4, -8, -12…
a2-a1 = -4. फरक समान आहे.
AP आहे. d = -4.
पुढील पदे: -16, -20, -24, -28

(viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2…
a2-a1 = 0. फरक समान आहे.
AP आहे. d = 0.
पुढील पदे: -1/2, -1/2, -1/2, -1/2

(ix) 1, 3, 9, 27…
a2-a1 = 2, a3-a2 = 6. फरक समान नाही. AP नाही.

(x) a, 2a, 3a, 4a…
a2-a1 = a. फरक समान आहे.
AP आहे. d = a.
पुढील पदे: 5a, 6a, 7a, 8a

(xi) a, a², a³…
a2-a1 = a²-a. a3-a2 = a³-a². फरक समान नाही. AP नाही.

(xii) √2, √8, √18, √32… (म्हणजेच √2, 2√2, 3√2, 4√2)
a2-a1 = √2. फरक समान आहे.
AP आहे. d = √2.
पुढील पदे: 5√2 (=√50), 6√2 (=√72), 7√2 (=√98), 8√2 (=√128)

(xiii) √3, √6, √9, √12…
a2-a1 = √6-√3, a3-a2 = 3-√6. फरक समान नाही. AP नाही.

(xiv) 1², 3², 5², 7²… (म्हणजेच 1, 9, 25, 49)
a2-a1 = 8, a3-a2 = 16. फरक समान नाही. AP नाही.

(xv) 1², 5², 7², 73… (म्हणजेच 1, 25, 49, 73)
a2-a1 = 24, a3-a2 = 24. फरक समान आहे.
AP आहे. d = 24.
पुढील पदे: 97, 121, 145, 169

सूत्र: a_n = a + (n-1)d

(i) 10, 7, 4 … या AP चे 30 वे पद:
a = 10, d = -3, n = 30
a_30 = 10 + (30-1)(-3) = 10 + 29(-3) = 10 – 87 = -77.
पर्याय (C) बरोबर आहे.

(ii) -3, -1/2, 2… या AP चे 11 वे पद:
a = -3, d = (-1/2) – (-3) = 5/2, n = 11
a_11 = -3 + (11-1)(5/2) = -3 + 10(5/2) = -3 + 25 = 22.
पर्याय (B) बरोबर आहे.

(i) 2, [ ], 26
पहिले पद a = 2, तिसरे पद a + 2d = 26.
2 + 2d = 26 => 2d = 24 => d = 12.
दुसरे पद = a + d = 2 + 12 = 14.

(ii) [ ], 13, [ ], 3
a + d = 13 आणि a + 3d = 3.
वजाबाकी केल्यास: 2d = -10 => d = -5.
पहिले पद (a) = 13 – (-5) = 18.
तिसरे पद = 13 + (-5) = 8.

(iii) 5, [ ], [ ], 9 1/2
a = 5, a + 3d = 9.5
5 + 3d = 9.5 => 3d = 4.5 => d = 1.5
दुसरे पद = 5 + 1.5 = 6.5 (किंवा 13/2).
तिसरे पद = 6.5 + 1.5 = 8.

(iv) -4, [ ], [ ], [ ], [ ], 6
a = -4, a + 5d = 6
-4 + 5d = 6 => 5d = 10 => d = 2.
पदे: -2, 0, 2, 4.

(v) [ ], 38, [ ], [ ], [ ], -22
a + d = 38 आणि a + 5d = -22.
वजाबाकी केल्यास: 4d = -60 => d = -15.
पहिले पद = 38 – (-15) = 53.
पुढील पदे: 38 – 15 = 23, 23 – 15 = 8, 8 – 15 = -7.

येथे a = 3, d = 5, a_n = 78.
a_n = a + (n-1)d
78 = 3 + (n-1)5
75 = (n-1)5
15 = n – 1 => n = 16
उत्तर: 78 हे 16 वे पद आहे.

(i) 7, 13, 19 … 205
a = 7, d = 6, a_n = 205.
205 = 7 + (n-1)6
198 = (n-1)6 => n-1 = 33 => n = 34

(ii) 18, 15 1/2, 13 … -47
a = 18, d = 15.5 – 18 = -2.5, a_n = -47.
-47 = 18 + (n-1)(-2.5)
-65 = (n-1)(-2.5) => n-1 = 26 => n = 27

येथे a = 11, d = -3.
समजा -150 हे n वे पद आहे.
-150 = 11 + (n-1)(-3)
-161 = -3(n-1)
n-1 = 161 / 3 = 53.66
n ची किंमत अपूर्णांक असू शकत नाही (ती नेहमी पूर्ण धन संख्या असावी).
उत्तर: -150 हे या AP चे पद नाही.

दिलेले आहे:
a + 10d = 38 — (समीकरण 1)
a + 15d = 73 — (समीकरण 2)
(2) मधून (1) वजा केल्यास:
5d = 35 => d = 7
समीकरण 1 मध्ये d ची किंमत ठेवून:
a + 10(7) = 38 => a + 70 = 38 => a = -32
आता 31 वे पद (a_31):
a_31 = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178

एकूण पदे n = 50. शेवटचे पद म्हणजे 50 वे पद.
a_3 = 12 => a + 2d = 12
a_50 = 106 => a + 49d = 106
वजाबाकी केल्यास: 47d = 94 => d = 2
a + 2(2) = 12 => a + 4 = 12 => a = 8
29 वे पद (a_29):
a_29 = a + 28d = 8 + 28(2) = 8 + 56 = 64

a + 2d = 4
a + 8d = -8
वजाबाकी केल्यास: 6d = -12 => d = -2
a + 2(-2) = 4 => a – 4 = 4 => a = 8
समजा n वे पद 0 आहे.
0 = 8 + (n-1)(-2)
-8 = -2(n-1) => n-1 = 4 => n = 5
उत्तर: ‘0’ हे या AP चे 5 वे पद आहे.

a_17 – a_10 = 7
(a + 16d) – (a + 9d) = 7
7d = 7 => d = 1
उत्तर: सामान्य फरक 1 आहे.

येथे a = 3, d = 12.
समजा n वे पद 54 व्या पदापेक्षा 132 ने जास्त आहे.
a_n = a_54 + 132
a + (n-1)d = a + 53d + 132
(n-1)12 = 53(12) + 132
(n-1)12 = 636 + 132 = 768
n – 1 = 768 / 12 = 64
n = 65
उत्तर: 65 वे पद.

समजा पहिल्या AP चे पहिले पद ‘a’ आणि दुसऱ्या AP चे ‘A’ आहे. सामान्य फरक ‘d’ समान आहे.
100 व्या पदातील फरक:
(a + 99d) – (A + 99d) = 100
a – A = 100
आता 1000 व्या पदातील फरक:
(a + 999d) – (A + 999d) = a – A.
आपल्याला माहित आहे की a – A = 100.
उत्तर: 1000 व्या पदामधील फरक देखील 100 च असेल.

7 ने भाग जाणाऱ्या 3-अंकी संख्यांची सुरुवात 105 पासून होते आणि शेवट 994 वर होतो.
AP: 105, 112, 119 … 994
a = 105, d = 7, a_n = 994
994 = 105 + (n-1)7
889 = (n-1)7
n – 1 = 127 => n = 128
उत्तर: 7 ने भाग जाणाऱ्या 128 तीन-अंकी संख्या आहेत.

10 नंतरची पहिली 4 ची पट 12 आहे, आणि 250 च्या आतील शेवटची पट 248 आहे.
AP: 12, 16, 20 … 248
a = 12, d = 4, a_n = 248
248 = 12 + (n-1)4
236 = 4(n-1) => n – 1 = 59 => n = 60
उत्तर: 4 च्या पटीतील 60 संख्या आहेत.

पहिला AP: a = 63, d = 2. त्याचे n वे पद = 63 + (n-1)2
दुसरा AP: a = 3, d = 7. त्याचे n वे पद = 3 + (n-1)7
दोन्ही पदे समान आहेत:
63 + 2n – 2 = 3 + 7n – 7
61 + 2n = 7n – 4
65 = 5n => n = 13
उत्तर: 13 व्या पदासाठी.

a_3 = 16 => a + 2d = 16
a_7 – a_5 = 12 => (a + 6d) – (a + 4d) = 12
2d = 12 => d = 6
d ची किंमत ठेवून: a + 2(6) = 16 => a + 12 = 16 => a = 4
उत्तर: AP: 4, 10, 16, 22…

येथे d = 5.
शेवटून पद काढताना आपण AP उलट क्रमाने लिहू शकतो.
उलट AP चे पहिले पद a = 253 आणि सामान्य फरक d = -5 होईल.
a_20 = 253 + 19(-5)
a_20 = 253 – 95 = 158
उत्तर: शेवटून 20 वे पद 158 आहे.

a_4 + a_8 = 24 => (a + 3d) + (a + 7d) = 24 => 2a + 10d = 24 => a + 5d = 12 — (1)
a_6 + a_10 = 44 => (a + 5d) + (a + 9d) = 44 => 2a + 14d = 44 => a + 7d = 22 — (2)
(2) मधून (1) वजा केल्यास:
2d = 10 => d = 5
a + 5(5) = 12 => a + 25 = 12 => a = -13
उत्तर: पहिली तीन पदे: -13, -8, -3

येथे a = 5000, d = 200, a_n = 7000.
7000 = 5000 + (n-1)200
2000 = 200(n-1) => n – 1 = 10 => n = 11
11 व्या वर्षी त्याचा पगार 7000 होईल. (म्हणजेच 1995 + 10 = 2005 सालामध्ये)
उत्तर: 11 व्या वर्षी.

येथे a = 5, d = 1.75, a_n = 20.75.
20.75 = 5 + (n-1)1.75
15.75 = 1.75(n-1)
n – 1 = 15.75 / 1.75 = 9
n = 10
उत्तर: n ची किंमत 10 आहे.