प्रकरण 6 – त्रिकोण (Triangles)
पाठाचा सारांश (Summary)
- दोन आकृत्या सारख्याच रूपात असून समान मापात नसतील त्यांना समरूप आकृत्या म्हणतात.
- सर्व एकरूप आकृत्या समरूप असतात पण सर्व समरूप आकृत्या एकरूप असतातच असे नाही.
- दोन समान बाजू असणाऱ्या बहुभुजाकृती समरूप असतात जेव्हा (i) त्यांचे संगत कोन समान असतात आणि (ii) त्यांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात.
- थेल्सचे प्रमेय (मूलभूत प्रमाणाचे प्रमेय): त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर असणारी रेषा इतर दोन बाजूंना प्रमाणात विभागते.
- थेल्सच्या प्रमेयाचा व्यत्यास: जर त्रिकोणाच्या दोन बाजूंना प्रमाणात विभागणारी रेषा असेल, तर ती रेषा तिसऱ्या बाजूस समांतर असते.
- को-को-को (AAA) समरूपता कसोटी: जर दोन त्रिकोणांत त्यांचे संगत कोन समान असतील तर त्यांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात. म्हणून ते दोन त्रिकोण समरूप होतात.
- को-को (AA) समरूपता कसोटी: जर एका त्रिकोणाचे दोन कोन दुसऱ्या त्रिकोणाच्या दोन कोनांशी समान असतील तर ते दोन त्रिकोण समरूप असतात.
- बा-बा-बा (SSS) समरूपता कसोटी: दोन त्रिकोणांत जर संगत बाजू प्रमाणात असतील तर त्यांचे संगत कोन समान असतात. म्हणजेच दोन्ही त्रिकोण समरूप असतात.
- बा-को-बा (SAS) समरूपता कसोटी: जर एका त्रिकोणाच्या दोन बाजू व एक कोन दुसऱ्या त्रिकोणाच्या संगत कोनाशी व कोन सामाविष्ट करणाऱ्या बाजूंशी प्रमाणात असतील तर ते त्रिकोण समरूप असतात.
स्वाध्याय 6.1 – संपूर्ण उत्तरे
प्रश्न 1. रिकाम्या जागा भरा.
(i) सर्व वर्तुळे समरूप असतात. (एकरूप, समरूप)
(ii) सर्व चौरस समरूप असतात. (समरूप, एकरूप)
(iii) सर्व समभुज त्रिकोण समरूप असतात. (समद्विभुज, समभुज)
(iv) बाजूंची संख्या समान असणाऱ्या दोन बहुभुजाकृती समरूप असतात, जर (a) त्यांचे संगत कोन समान असतात आणि (b) त्यांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात. (समान, प्रमाणात)
प्रश्न 2. प्रत्येकाची दोन वेगवेगळी उदाहरणे द्या.
(i) समरूप आकृत्या:
उत्तर:1. कोणतेही दोन समभुज त्रिकोण.2. कोणतीही दोन वर्तुळे.
(ii) समरूप नसलेल्या आकृत्या:
उत्तर:1. एक समभुज त्रिकोण आणि एक काटकोन त्रिकोण.2. एक चौरस आणि एक वर्तुळ.
प्रश्न 3. खालील चौकोन समरूप आहेत किंवा नाहीत ते सांगा.
(पाठ्यपुस्तकातील आकृती 6.8 मध्ये एक चौकोन PQRS समभुज चौकोन आहे ज्याची बाजू 1.5 cm आहे आणि दुसरा चौकोन ABCD हा चौरस आहे ज्याची बाजू 3 cm आहे.)
स्पष्टीकरण व उत्तर:
दिलेले दोन चौकोन समरूप नाहीत.कारण:1. येथे दोन्ही चौकोनांच्या संगत बाजू प्रमाणात आहेत. (प्रत्येक बाजूचे गुणोत्तर 1.5 / 3.0 = 1/2 आहे).2. परंतु, त्यांचे संगत कोन समान नाहीत. चौकोन ABCD हा चौरस असल्यामुळे त्याचे सर्व कोन 90 अंशांचे आहेत, तर चौकोन PQRS चे कोन 90 अंशांचे नाहीत (तो केवळ समभुज चौकोन आहे).समरूपतेच्या अटीनुसार संगत कोन समान असणे आवश्यक आहे, जे येथे पूर्ण होत नाही. म्हणून हे चौकोन समरूप नाहीत.स्वाध्याय 6.2 – संपूर्ण उत्तरे
प्रश्न 1. आकृती 6.17 (i) आणि (ii) मध्ये DE || BC, तर (i) मध्ये EC ची किंमत आणि (ii) मध्ये AD ची किंमत काढा.
उकल (i):त्रिकोण ABC मध्ये, DE ही रेषा BC ला समांतर आहे (DE || BC).थेल्सच्या प्रमेयानुसार (मूलभूत प्रमाणाचे प्रमेय):
AD / DB = AE / EC
किंमती भरून:1.5 / 3 = 1 / EC1.5 * EC = 1 * 3EC = 3 / 1.5EC = 2 cm
उकल (ii):त्रिकोण ABC मध्ये, DE ही रेषा BC ला समांतर आहे (DE || BC).थेल्सच्या प्रमेयानुसार:
AD / DB = AE / EC
किंमती भरून:AD / 7.2 = 1.8 / 5.4AD = (1.8 * 7.2) / 5.4AD = 1.8 * (7.2 / 5.4)AD = 1.8 * (4 / 3)AD = 0.6 * 4AD = 2.4 cm
प्रश्न 2. त्रिकोण PQR मध्ये E आणि F हे अनुक्रमे PQ आणि PR वर असलेले बिंदू आहेत. तर खालील प्रत्येकाच्या बाबतीत EF || QR आहे का ?
(i) दिलेले आहे: PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm आणि FR = 2.4 cmगुणोत्तर काढूया:PE / EQ = 3.9 / 3 = 1.3PF / FR = 3.6 / 2.4 = 36 / 24 = 1.5येथे PE / EQ आणि PF / FR समान नाहीत.
उत्तर: म्हणून, EF ही रेषा QR ला समांतर नाही.
(ii) दिलेले आहे: PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm आणि RF = 9 cmगुणोत्तर काढूया:PE / QE = 4 / 4.5 = 40 / 45 = 8 / 9PF / RF = 8 / 9येथे PE / QE = PF / RF आहे.
उत्तर: मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयाच्या व्यत्यासानुसार, EF || QR आहे.
(iii) दिलेले आहे: PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm आणि PF = 0.36 cmप्रथम EQ आणि FR ची लांबी काढूया:EQ = PQ – PE = 1.28 – 0.18 = 1.10 cmFR = PR – PF = 2.56 – 0.36 = 2.20 cmआता गुणोत्तर काढूया:PE / EQ = 0.18 / 1.10 = 18 / 110 = 9 / 55PF / FR = 0.36 / 2.20 = 36 / 220 = 9 / 55येथे PE / EQ = PF / FR आहे.
उत्तर: मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयाच्या व्यत्यासानुसार, EF || QR आहे.
प्रश्न 3. आकृती 6.18 मध्ये जर LM || CB आणि LN || CD, तर सिद्ध करा AM / AB = AN / AD.
सिद्धता:त्रिकोण ABC मध्ये, LM || CB (दिलेले आहे).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:
AM / AB = AL / AC … (समीकरण 1)
तसेच, त्रिकोण ADC मध्ये, LN || CD (दिलेले आहे).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:AN / AD = AL / AC … (समीकरण 2)
समीकरण 1 आणि 2 वरून असे दिसून येते की दोन्ही गुणोत्तरे AL / AC ला समान आहेत.म्हणून, AM / AB = AN / AD हे सिद्ध झाले.
प्रश्न 4. आकृती 6.19 मध्ये DE || AC आणि DF || AE तर सिद्ध करा BF / FE = BE / EC.
सिद्धता:त्रिकोण ABC मध्ये, DE || AC (दिलेले आहे).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:
BD / DA = BE / EC … (समीकरण 1)
आता त्रिकोण ABE मध्ये, DF || AE (दिलेले आहे).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:BD / DA = BF / FE … (समीकरण 2)
समीकरण 1 आणि 2 वरून असे दिसून येते की दोन्ही गुणोत्तरे BD / DA ला समान आहेत.म्हणून, BF / FE = BE / EC हे सिद्ध झाले.
प्रश्न 5. आकृती 6.20 मध्ये DE || OQ आणि DF || OR असे दाखवा की EF || QR.
सिद्धता:त्रिकोण POQ मध्ये, DE || OQ (दिलेले आहे).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:
PD / DO = PE / EQ … (समीकरण 1)
तसेच त्रिकोण POR मध्ये, DF || OR (दिलेले आहे).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:PD / DO = PF / FR … (समीकरण 2)
समीकरण 1 आणि 2 वरून:PE / EQ = PF / FRआता त्रिकोण PQR मध्ये, PE / EQ = PF / FR आहे.मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयाच्या व्यत्यासानुसार, EF || QR हे सिद्ध झाले.
प्रश्न 6. आकृती 6.21 मध्ये A, B आणि C हे बिंदू अनुक्रमे OP, OQ आणि OR वर आहेत असे की, AB || PQ आणि AC || PR तर BC || QR असे दाखवा.
सिद्धता:त्रिकोण POQ मध्ये, AB || PQ (दिलेले आहे).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:
OA / AP = OB / BQ … (समीकरण 1)
त्रिकोण POR मध्ये, AC || PR (दिलेले आहे).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:OA / AP = OC / CR … (समीकरण 2)
समीकरण 1 आणि 2 वरून:OB / BQ = OC / CRआता त्रिकोण OQR मध्ये, OB / BQ = OC / CR आहे.मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयाच्या व्यत्यासानुसार, BC || QR हे सिद्ध झाले.
प्रश्न 7. प्रमेय 6.1 चा उपयोग करून सिद्ध करा की, त्रिकोणाच्या एका बाजुच्या मध्यातून जाणारी रेषा त्रिकोणाच्या दुसऱ्या बाजुला समांतर असते व ती तिसऱ्या बाजुस दुभागते.
सिद्धता:समजा त्रिकोण ABC मध्ये D हा AB या बाजूचा मध्यबिंदू आहे.म्हणून, AD = DB. याचाच अर्थ AD / DB = 1 … (समीकरण 1)रेषा l ही D बिंदूतून जाते आणि ती BC ला समांतर आहे. ती AC ला E बिंदूत छेदते.म्हणजेच DE || BC.प्रमेय 6.1 (मूलभूत प्रमाणाचे प्रमेय) नुसार:
AD / DB = AE / EC
समीकरण 1 चा वापर करून:1 = AE / ECम्हणून, AE = ECयाचा अर्थ E हा AC चा मध्यबिंदू आहे.म्हणून ती रेषा तिसऱ्या बाजूस दुभागते हे सिद्ध झाले.
प्रश्न 8. प्रमेय 6.2 चा उपयोग करून सिद्ध करा की, त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजुंचे मध्यबिंदू जोडणारी रेषा तिसऱ्या बाजुस समांतर असते.
सिद्धता:समजा त्रिकोण ABC मध्ये D आणि E हे अनुक्रमे AB आणि AC चे मध्यबिंदू आहेत.म्हणून, AD = DB म्हणजेच AD / DB = 1 … (समीकरण 1)आणि AE = EC म्हणजेच AE / EC = 1 … (समीकरण 2)समीकरण 1 आणि 2 वरून असे दिसून येते की:
AD / DB = AE / EC
प्रमेय 6.2 (मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास) नुसार: जर त्रिकोणाच्या दोन बाजूंना समान प्रमाणात विभागणारी रेषा असेल, तर ती तिसऱ्या बाजूला समांतर असते.म्हणून, DE || BC हे सिद्ध झाले.
प्रश्न 9. ABCD हा समलंब चौकोन आहे. ज्यामध्ये AB || DC आणि त्याचे कर्ण एकमेकांस O बिंदूत छेदतात. तर दाखवा की AO / BO = CO / DO.
सिद्धता:दिलेले आहे: ABCD हा समलंब चौकोन आहे आणि AB || DC आहे. कर्ण AC आणि BD हे O बिंदूत छेदतात.रचना: O बिंदूतून एक रेषाखंड EO काढा जो AB ला समांतर असेल आणि AD ला E बिंदूत छेदेल. (म्हणजेच EO || AB).ज्याअर्थी AB || DC आहे आणि आपण EO || AB काढले आहे, त्यामुळे EO || DC देखील होईल.आता त्रिकोण ADC मध्ये, EO || DC (रचनेनुसार).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:
AE / ED = AO / CO … (समीकरण 1)
त्रिकोण ABD मध्ये, EO || AB (रचनेनुसार).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:DE / EA = DO / OB (याचे व्यस्त केल्यास: AE / ED = OB / DO)AE / ED = OB / DO … (समीकरण 2)
समीकरण 1 आणि 2 वरून:AO / CO = OB / DOजागा बदलून (Cross multiply):AO / BO = CO / DO हे सिद्ध झाले.
प्रश्न 10. ABCD चौकोनाचे कर्ण एकमेकास O बिंदूत छेदतात असे कीं, AO / BO = CO / DO तर ABCD हा समलंब चौकोन आहे हे दाखवा.
सिद्धता:दिलेले आहे: चौकोन ABCD चे कर्ण AC आणि BD हे O बिंदूत छेदतात आणि AO / BO = CO / DO.हेच आपण असेही लिहू शकतो:
AO / CO = BO / DO … (समीकरण 1)
रचना: O बिंदूतून एक रेषाखंड EO काढा जो AB ला समांतर असेल आणि AD ला E बिंदूत छेदेल. (म्हणजेच EO || AB).त्रिकोण ABD मध्ये, EO || AB (रचनेनुसार).मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयानुसार:AE / ED = BO / DO … (समीकरण 2)
समीकरण 1 आणि 2 वरून:AE / ED = AO / COआता त्रिकोण ADC मध्ये, AE / ED = AO / CO आहे.मूलभूत प्रमाणाच्या प्रमेयाच्या व्यत्यासानुसार: EO || DC.पण आपण रचनेनुसार EO || AB घेतले होते. याचा अर्थ असा की AB || DC.ज्या चौकोनाची एक बाजूंची जोडी समांतर असते, त्याला समलंब चौकोन म्हणतात.म्हणून ABCD हा समलंब चौकोन आहे हे सिद्ध झाले.
स्वाध्याय 6.3 – संपूर्ण उत्तरे
प्रश्न 1: आकृती 6.34 मध्ये दिलेल्या त्रिकोणांच्या जोड्यामधून कोणकोणत्या जोड्या समरूप आहेत? यासाठी कोणत्या समरूपता कसोटीचा वापर केलेला आहे ते लिहा. समरूप त्रिकोणांच्या जोड्या चिन्हे वापरून लिहा.
(i) ΔABC आणि ΔPQR मध्ये,
∠A = 60, ∠B = 80, ∠C = 40 आणि ∠P = 60, ∠Q = 80, ∠R = 40.
येथे ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R.
उत्तर: को-को-को (AAA) समरूपता कसोटीनुसार ΔABC ~ ΔPQR.
(ii) ΔABC आणि ΔQRP मध्ये,
AB/QR = 2 / 4 = 1/2
BC/RP = 2.5 / 5 = 1/2
AC/PQ = 3 / 6 = 1/2
सर्व संगत बाजूंचे गुणोत्तर समान आहे.
उत्तर: बा-बा-बा (SSS) समरूपता कसोटीनुसार ΔABC ~ ΔQRP.
(iii) ΔLMP आणि ΔDEF मध्ये,
MP/DE = 2 / 4 = 1/2
LP/DF = 3 / 6 = 1/2
परंतु LM/EF = 2.7 / 5 (हे गुणोत्तर 1/2 नाही).
उत्तर: संगत बाजू प्रमाणात नाहीत. म्हणून हे त्रिकोण समरूप नाहीत.
(iv) ΔMNL आणि ΔQPR मध्ये,
∠M = ∠Q = 70.
MN/PQ = 2.5 / 5 = 1/2
ML/QR = 5 / 10 = 1/2
दोन बाजूंचे गुणोत्तर समान आहे आणि त्यांच्यातील कोन समान आहे.
उत्तर: बा-को-बा (SAS) समरूपता कसोटीनुसार ΔMNL ~ ΔQPR.
(v) ΔABC आणि ΔDEF मध्ये,
∠A = 80 आणि ∠F = 80. AB = 2.5, BC = 3.
येथे दिलेला कोन (∠A) हा दिलेल्या दोन बाजूंच्या (AB आणि BC) मधला (included) कोन नाही.
उत्तर: म्हणून हे त्रिकोण समरूप नाहीत.
(vi) ΔDEF आणि ΔPQR मध्ये,
ΔDEF मध्ये ∠F = 180 – (70 + 80) = 30.
ΔPQR मध्ये ∠P = 180 – (80 + 30) = 70.
येथे ∠D = ∠P = 70, ∠E = ∠Q = 80, ∠F = ∠R = 30.
उत्तर: को-को-को (AAA) समरूपता कसोटीनुसार ΔDEF ~ ΔPQR.
प्रश्न 2: आकृती 6.35 मध्ये, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125 आणि ∠CDO = 70 आहे तर ∠DOC, ∠DCO आणि ∠OAB काढा.
रेषा BD वर O बिंदू आहे. म्हणून ∠DOC आणि ∠BOC हे रेषीय जोडीतील कोन आहेत.
∠DOC + ∠BOC = 180
∠DOC + 125 = 180
∠DOC = 180 – 125 = 55
ΔODC मध्ये, सर्व कोनांची बेरीज 180 असते.
∠DCO + ∠CDO + ∠DOC = 180
∠DCO + 70 + 55 = 180
∠DCO + 125 = 180
∠DCO = 180 – 125 = 55
दिलेले आहे: ΔODC ~ ΔOBA. समरूप त्रिकोणांचे संगत कोन समान असतात.
∠OAB = ∠OCD (म्हणजेच ∠DCO)
∠OAB = 55
प्रश्न 3: ABCD हा समलंब चौकोन आहे. ज्यामध्ये AB || DC आहे. कर्ण AC आणि BD परस्पर O मध्ये छेदतात. दोन त्रिकोणांच्या समरूपता कसोटीचा उपयोग करून सिद्ध करा OA/OC = OB/OD.
ΔOAB आणि ΔOCD मध्ये,
∠AOB = ∠COD (विरुद्ध कोन)
AB || DC असल्यामुळे AC ही छेदिका मानल्यास, ∠OAB = ∠OCD (व्युत्क्रम कोन)
तसेच BD ही छेदिका मानल्यास, ∠OBA = ∠ODC (व्युत्क्रम कोन)
म्हणून, को-को-को (AAA) समरूपता कसोटीनुसार, ΔOAB ~ ΔOCD.
समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात.
म्हणून, OA/OC = OB/OD सिद्ध झाले.
प्रश्न 4: आकृती 6.36 मध्ये QR/QS = QT/PR आणि ∠1 = ∠2 आहे. तर दाखवा की ΔPQS ~ ΔTQR.
ΔPQR मध्ये, ∠1 = ∠2 (दिलेले आहे).
समान कोनांसमोरील बाजू समान असतात, म्हणून PR = PQ.
दिलेले गुणोत्तर: QR/QS = QT/PR.
येथे PR च्या जागी PQ ठेवूया: QR/QS = QT/PQ.
याचाच अर्थ QS/QR = PQ/QT.
आता ΔPQS आणि ΔTQR मध्ये,
QS/QR = PQ/QT (वर सिद्ध केले)
∠PQS = ∠TQR (सामाईक कोन ∠1)
उत्तर: बा-को-बा (SAS) कसोटीनुसार ΔPQS ~ ΔTQR सिद्ध झाले.
प्रश्न 5: ΔPQR च्या बाजू PQ आणि QR वर अनुक्रमे S आणि T हे दोन बिंदू आहेत की ∠P = ∠RTS. तर असे दाखवा की ΔRPQ ~ ΔRTS.
ΔRPQ आणि ΔRTS मध्ये,
∠RPQ = ∠RTS (दिलेले आहे)
∠PRQ = ∠TRS (दोन्ही त्रिकोणांचा सामाईक कोन)
उत्तर: को-को (AA) समरूपता कसोटीनुसार ΔRPQ ~ ΔRTS सिद्ध झाले.
प्रश्न 6: आकृती 6.37 मध्ये जर ΔABE एकरूप ΔACD तर ΔADE ~ ΔABC दाखवा.
दिलेले आहे: ΔABE एकरूप (congruent) ΔACD.
एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू समान असतात. म्हणून, AB = AC आणि AE = AD.
यावरून आपण लिहू शकतो: AD/AB = AE/AC.
आता ΔADE आणि ΔABC मध्ये,
AD/AB = AE/AC (वर सिद्ध केले)
∠DAE = ∠BAC (सामाईक कोन)
उत्तर: बा-को-बा (SAS) समरूपता कसोटीनुसार ΔADE ~ ΔABC सिद्ध झाले.
प्रश्न 7: आकृती 6.38 मध्ये ΔABC चे शिरोलंब AD आणि CE एकमेकांस P बिंदूत छेदतात तर दाखवा: (i) ΔAEP ~ ΔCDP (ii) ΔABD ~ ΔCBE (iii) ΔAEC ~ ΔADB (iv) ΔPDC ~ ΔBEC.
(i) ΔAEP आणि ΔCDP मध्ये:
∠AEP = ∠CDP = 90 (शिरोलंब असल्यामुळे).
∠APE = ∠CPD (विरुद्ध कोन).
को-को (AA) कसोटीनुसार ΔAEP ~ ΔCDP.
(ii) ΔABD आणि ΔCBE मध्ये:
∠ADB = ∠CEB = 90.
∠ABD = ∠CBE (सामाईक कोन B).
को-को (AA) कसोटीनुसार ΔABD ~ ΔCBE.
(iii) ΔAEC आणि ΔADB मध्ये:
∠AEC = ∠ADB = 90.
∠CAE = ∠DAB (सामाईक कोन A).
को-को (AA) कसोटीनुसार ΔAEC ~ ΔADB.
(iv) ΔPDC आणि ΔBEC मध्ये:
∠PDC = ∠BEC = 90.
∠PCD = ∠BCE (सामाईक कोन C).
को-को (AA) कसोटीनुसार ΔPDC ~ ΔBEC.
प्रश्न 8: समांतरभुज चौकोन ABCD ची बाजू AD वाढविली आहे. त्यावर E हा बिंदू आहे आणि BE बाजू CD ला F मध्ये छेदते तर सिद्ध करा की ΔABE ~ ΔCFB.
ABCD समांतरभुज चौकोन आहे. म्हणून, ∠A = ∠C (समोरासमोरील कोन).
AD || BC असल्यामुळे, वाढवलेली रेषा AE || BC होईल.
BE ही छेदिका मानल्यास, ∠AEB = ∠CBF (व्युत्क्रम कोन).
आता ΔABE आणि ΔCFB मध्ये,
∠A = ∠C
∠AEB = ∠CBF
उत्तर: को-को (AA) समरूपता कसोटीनुसार ΔABE ~ ΔCFB सिद्ध झाले.
प्रश्न 9: आकृती 6.39 मध्ये ΔABC आणि ΔAMP हे दोन काटकोन त्रिकोण असून ∠B आणि ∠M हे अनुक्रमे काटकोन आहेत. तर सिद्ध करा (i) ΔABC ~ ΔAMP (ii) CA/PA = BC/MP.
(i) ΔABC आणि ΔAMP मध्ये,
∠ABC = ∠AMP = 90 (दिलेले आहे).
∠BAC = ∠MAP (सामाईक कोन).
को-को (AA) कसोटीनुसार ΔABC ~ ΔAMP सिद्ध झाले.
(ii) समरूप त्रिकोणांच्या बाजू प्रमाणात असतात.
ΔABC ~ ΔAMP असल्यामुळे त्यांच्या संगत बाजू खालीलप्रमाणे प्रमाणात असतील:
CA / PA = BC / MP सिद्ध झाले.
प्रश्न 10: CD आणि GH हे अनुक्रमे ∠ACB आणि ∠EGF चे कोन दुभाजक आहेत असे की D आणि H हे अनुक्रमे ΔABC आणि ΔEFG च्या AB व FE बाजूवर आहेत. जर ΔABC ~ ΔFEG तर दाखवा (i) CD/GH = AC/FG (ii) ΔDCB ~ ΔHGE (iii) ΔDCA ~ ΔHGF.
दिलेले आहे: ΔABC ~ ΔFEG. म्हणून ∠A = ∠F, ∠B = ∠E, आणि ∠ACB = ∠FGE.
CD आणि GH हे कोन दुभाजक आहेत, म्हणून:
∠ACD = ∠DCB = 1/2 ∠ACB आणि ∠FGH = ∠HGE = 1/2 ∠FGE.
∠ACB = ∠FGE असल्यामुळे, ∠ACD = ∠FGH आणि ∠DCB = ∠HGE.
(iii) ΔDCA आणि ΔHGF मध्ये:
∠A = ∠F (दिलेले आहे) आणि ∠ACD = ∠FGH (वर सिद्ध केले).
को-को (AA) कसोटीनुसार ΔDCA ~ ΔHGF.
(i) ΔDCA ~ ΔHGF असल्यामुळे:
समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात.
म्हणून, CD/GH = AC/FG सिद्ध झाले.
(ii) ΔDCB आणि ΔHGE मध्ये:
∠B = ∠E (दिलेले आहे) आणि ∠DCB = ∠HGE (वर सिद्ध केले).
को-को (AA) कसोटीनुसार ΔDCB ~ ΔHGE.
प्रश्न 11: आकृती 6.40 मध्ये AB = AC असणारा एक समद्विभुज त्रिकोण ABC च्या वाढवलेल्या CB बाजूवर E हा एक बिंदू आहे. जर AD लंब BC आणि EF लंब AC आहे तर सिद्ध करा ΔABD ~ ΔECF.
ΔABC हा समद्विभुज त्रिकोण असून AB = AC.
समान बाजूंसमोरील कोन समान असतात, म्हणून ∠B = ∠C.
आता ΔABD आणि ΔECF मध्ये,
∠ADB = ∠EFC = 90 (AD लंब BC आणि EF लंब AC).
∠ABD = ∠ECF (कारण ∠B = ∠C).
उत्तर: को-को (AA) समरूपता कसोटीनुसार ΔABD ~ ΔECF सिद्ध झाले.
प्रश्न 12: ΔABC च्या बाजू AB आणि BC व मध्यगा AD या अनुक्रमे दुसऱ्या ΔPQR च्या बाजू PQ व QR आणि मध्यगा PM यांच्याशी प्रमाणात आहेत. तर सिद्ध करा ΔABC ~ ΔPQR.
दिलेले आहे: AB/PQ = BC/QR = AD/PM.
AD आणि PM मध्यगा आहेत, म्हणून BD = 1/2 BC आणि QM = 1/2 QR.
BC/QR गुणोत्तरामध्ये किंमती ठेवल्यास: (2 * BD) / (2 * QM) = BD/QM.
म्हणून आपल्याला मिळते: AB/PQ = BD/QM = AD/PM.
यावरून बा-बा-बा (SSS) समरूपता कसोटीनुसार ΔABD ~ ΔPQM.
समरूप त्रिकोणांचे संगत कोन समान असतात, म्हणून ∠B = ∠Q.
आता संपूर्ण ΔABC आणि ΔPQR मध्ये:
AB/PQ = BC/QR (दिलेले आहे) आणि ∠B = ∠Q (सिद्ध केले).
उत्तर: बा-को-बा (SAS) कसोटीनुसार ΔABC ~ ΔPQR सिद्ध झाले.
प्रश्न 13: ΔABC च्या BC बाजूवर D हा बिंदू असा आहे की, ∠ADC = ∠BAC आहे. दाखवा की, CA² = CB * CD.
ΔADC आणि ΔBAC मध्ये,
∠ADC = ∠BAC (दिलेले आहे).
∠ACD = ∠BCA (दोन्ही त्रिकोणांचा सामाईक कोन).
को-को (AA) कसोटीनुसार ΔADC ~ ΔBAC.
समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात, म्हणून:
CA / CB = CD / CA
तिरपा गुणाकार (Cross multiply) केल्यास:
CA * CA = CB * CD
उत्तर: CA² = CB * CD सिद्ध झाले.
प्रश्न 15: एका 6m उंचीच्या उभ्या खांबाची सावलीची लांबी 4 m आहे. याच वेळेला एका मनोऱ्याची सावलीची लांबी 28 मी आहे. तर मनोऱ्याची उंची काढा.
खांबाची उंची = 6 m, खांबाची सावली = 4 m.
समजा मनोऱ्याची उंची = h m, मनोऱ्याची सावली = 28 m.
एकाच वेळी सूर्याचे उन्नत कोन (Angle of elevation) समान असतात, म्हणून तयार होणारे काटकोन त्रिकोण समरूप असतात.
समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात:
(खांबाची उंची) / (मनोऱ्याची उंची) = (खांबाची सावली) / (मनोऱ्याची सावली)
6 / h = 4 / 28
6 / h = 1 / 7
h = 6 * 7
h = 42
उत्तर: मनोऱ्याची उंची 42 मीटर आहे.
प्रश्न 16: AD आणि PM या अनुक्रमे ΔABC आणि ΔPQR च्या मध्यगा आहेत. जर ΔABC ~ ΔPQR आहेत, तर सिद्ध करा की, AB/PQ = AD/PM.
दिलेले आहे: ΔABC ~ ΔPQR.
म्हणून AB/PQ = BC/QR = AC/PR आणि ∠B = ∠Q.
AD आणि PM मध्यगा आहेत, म्हणून BD = 1/2 BC आणि QM = 1/2 QR.
BC/QR = (2 * BD) / (2 * QM) = BD/QM.
म्हणून आपल्याला मिळते: AB/PQ = BD/QM.
आता ΔABD आणि ΔPQM मध्ये,
AB/PQ = BD/QM (वर सिद्ध केले)
∠B = ∠Q (दिलेले आहे)
बा-को-बा (SAS) कसोटीनुसार ΔABD ~ ΔPQM.
समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतात.
उत्तर: म्हणून, AB/PQ = AD/PM सिद्ध झाले.
इयत्ता 10 वी गणित: प्रकरण 6 – त्रिकोण (1 मार्काचे प्रश्न)
1. ज्या दोन आकृत्यांचे रूप समान असते (आकार समान असतीलच असे नाही), त्या आकृत्यांना काय म्हणतात?
उत्तर: ज्या दोन आकृत्यांचे रूप समान असते त्यांना समरूप आकृत्या म्हणतात.
2. सर्व एकरूप आकृत्या समरूप असतात का?
उत्तर: होय, सर्व एकरूप आकृत्या समरूप असतात.
3. सर्व समरूप आकृत्या नेहमी एकरूप असतात का?
उत्तर: नाही, सर्व समरूप आकृत्या एकरूप असतातच असे नाही.
4. सर्व वर्तुळे एकमेकांशी कशी असतात?
उत्तर: सर्व वर्तुळे एकमेकांशी समरूप असतात.
5. सर्व चौरस एकमेकांशी कसे असतात?
उत्तर: सर्व चौरस एकमेकांशी समरूप असतात.
6. कोणते त्रिकोण नेहमी एकमेकांशी समरूप असतात?
उत्तर: सर्व समभुज त्रिकोण नेहमी एकमेकांशी समरूप असतात.
7. समान बाजूंच्या दोन बहुभुजाकृती समरूप असण्याची पहिली अट कोणती?
उत्तर: त्यांचे सर्व संगत कोन समान असले पाहिजेत.
8. समान बाजूंच्या दोन बहुभुजाकृती समरूप असण्याची दुसरी अट कोणती?
उत्तर: त्यांच्या सर्व संगत बाजू प्रमाणात असल्या पाहिजेत.
9. दोन समकोन त्रिकोणांमध्ये कोणत्याही दोन संगत बाजूंचे गुणोत्तर कसे असते?
उत्तर: दोन समकोन त्रिकोणांमध्ये कोणत्याही दोन संगत बाजूंचे गुणोत्तर नेहमी समान असते.
10. मूलभूत प्रमाणाचा प्रमेय कोणत्या ग्रीक गणितज्ञाने सांगितला आहे?
उत्तर: मूलभूत प्रमाणाचा प्रमेय (BPT) थेल्स या ग्रीक गणितज्ञाने सांगितला आहे.
11. थेल्सचा प्रमेय (मूलभूत प्रमाणाचा प्रमेय) काय सांगतो?
उत्तर: त्रिकोणाच्या एका बाजूस समांतर असणारी रेषा इतर दोन बाजूंना छेदत असेल तर ती रेषा त्या बाजूंना प्रमाणात विभागते.
12. थेल्सच्या प्रमेयाचा व्यत्यास काय आहे?
उत्तर: जर त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंना एक रेषा समान प्रमाणात छेदत असेल तर ती रेषा तिसऱ्या बाजूला समांतर असते.
13. त्रिकोणांच्या समरूपतेची ‘AAA’ (कोन-कोन-कोन) कसोटी काय आहे?
उत्तर: दोन त्रिकोणांमध्ये जर तिन्ही संगत कोन समान असतील तर त्यांच्या संगत बाजू समान प्रमाणात असतात, म्हणून ते त्रिकोण समरूप असतात.
14. त्रिकोणांच्या समरूपतेची ‘SSS’ (बाजू-बाजू-बाजू) कसोटी काय आहे?
उत्तर: दोन त्रिकोणांत जर एका त्रिकोणाच्या बाजू दुसऱ्या त्रिकोणाच्या संगत बाजूंशी प्रमाणात असतील, तर त्यांचे संगत कोन समान असतात आणि ते दोन त्रिकोण समरूप असतात.
15. त्रिकोणांच्या समरूपतेची ‘SAS’ (बाजू-कोन-बाजू) कसोटी काय आहे?
उत्तर: जर एका त्रिकोणाचा एक कोन दुसऱ्या त्रिकोणाच्या एका संगत कोनाशी समान असेल आणि त्या कोनांना समाविष्ट करणाऱ्या बाजू प्रमाणात असतील, तर ते दोन त्रिकोण समरूप असतात.
