इयत्ता 10 वी गणित : दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांची जोडी
प्रश्न 1: अखिला आपल्या गावातील जत्रेला गेली होती. ती चक्राकार पाळणा आणि हुपला हा खेळ खेळणार होती. तिने हुपला खेळ जितक्या वेळा खेळला, ती संख्या चक्राकार पाळणा खेळलेल्या संख्येच्या निम्मी आहे. चक्राकार पाळणा खेळायला ₹3 आणि हुपला खेळायला ₹4 खर्च येत असेल आणि तिने एकूण ₹20 खर्च केले असतील, तर या माहितीवरून रेषीय समीकरणे कशी तयार कराल?
उत्तर पहा
समजा, अखिलाने चक्राकार पाळणा खेळलेली वेळ = x मानू.
आणि हुपला खेळ खेळलेली वेळ = y मानू.
पहिल्या अटीनुसार: हुपला खेळण्याची संख्या ही पाळणा खेळलेल्या संख्येच्या निम्मी आहे.
समीकरण: y = x / 2 म्हणजेच x – 2y = 0 … (समीकरण 1)
दुसऱ्या अटीनुसार: पाळणा खेळण्याचा खर्च ₹3 आणि हुपला खेळण्याचा खर्च ₹4 आहे, व एकूण खर्च ₹20 आहे.
समीकरण: 3x + 4y = 20 … (समीकरण 2)
ही दोन समीकरणे दिलेल्या परिस्थितीचे बैजिक प्रतिनिधित्व करतात.
प्रश्न 2: दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांच्या जोड्यांचा आलेख काढल्यास कोणत्या तीन स्थिती (शक्यता) निर्माण होतात?
उत्तर पहा
दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांचा आलेख काढल्यास खालील तीनपैकी एक स्थिती निर्माण होते:
1) रेषा एकमेकांना एका बिंदूत छेदतात: या स्थितीत समीकरणाला एक आणि एकच (अद्वितीय) उकल असते. ही समीकरणांची जोडी सुसंगत (Consistent) असते.
2) रेषा एकरेषीय (संपाती) असतात: दोन्ही रेषा एकमेकांवर तंतोतंत जुळतात. या स्थितीत समीकरणांना अनंत अनेक उकली असतात. ही समीकरणांची जोडी सुसंगत असते.
3) रेषा समांतर असतात: रेषा एकमेकांना कधीच छेदत नाहीत. या स्थितीत समीकरणाला कोणतीही उकल नसते. ही समीकरणाची जोडी असंगत (Inconsistent) असते.
प्रश्न 3: दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांची उकल काढण्यासाठी कोणत्या बैजिक (Algebraic) पद्धतींचा वापर केला जातो?
उत्तर पहा
रेषीय समीकरणांची उकल काढण्यासाठी प्रामुख्याने खालील दोन बैजिक पद्धतींचा वापर केला जातो:
1) पर्यायी पद्धत (Substitution Method): एका चलाची किंमत दुसऱ्या चलाच्या रूपात काढून ती दुसऱ्या समीकरणात ठेवली जाते.
2) लोप पद्धत (Elimination Method): एका चलाचा लोप (elimination) करण्यासाठी समीकरणांची बेरीज किंवा वजाबाकी केली जाते.
प्रश्न 4: जर a1x + b1y + c1 = 0 आणि a2x + b2y + c2 = 0 ही रेषीय समीकरणे दिलेली असतील, तर त्यांच्या सहगुणकांच्या गुणोत्तरांवरून समीकरणांच्या जोडीचे स्वरूप कसे ठरवाल?
उत्तर पहा
| सहगुणकांचे गुणोत्तर | आलेखाचे स्वरूप | उकलीची संख्या व सुसंगतता |
|---|
| a1/a2 ≠ b1/b2 | रेषा छेदतात | अद्वितीय उकल (सुसंगत जोडी) |
| a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 | रेषा संपाती (एकरेषीय) असतात | अनंत अनेक उकली (सुसंगत जोडी) |
| a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 | रेषा समांतर असतात | उकल नाही (असंगत जोडी) |
स्वाध्याय 3.1
प्रश्न 1: आफताब त्याच्या मुलीला म्हणाला, “7 वर्षांपूर्वी माझे वय तुझ्या त्यावेळच्या वयाच्या 7 पट होते. तसेच आतापासून 3 वर्षांनंतर माझे वय तुझ्या त्यावेळच्या वयाच्या 3 पट असेल.” ही स्थिती बैजिक आणि आलेखीय स्वरूपात मांडा.
उत्तर पहा
पायरी 1: समजा आफताबचे सध्याचे वय x वर्षे आणि त्याच्या मुलीचे सध्याचे वय y वर्षे आहे.
पायरी 2: 7 वर्षांपूर्वी आफताबचे वय = x – 7 आणि मुलीचे वय = y – 7.
पहिल्या अटीनुसार: x – 7 = 7(y – 7)
x – 7 = 7y – 49
x – 7y = –42 … (समीकरण 1)
पायरी 3: 3 वर्षांनंतर आफताबचे वय = x + 3 आणि मुलीचे वय = y + 3.
दुसऱ्या अटीनुसार: x + 3 = 3(y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x – 3y = 6 … (समीकरण 2)
हे दिलेल्या स्थितीचे बैजिक स्वरूप आहे. आलेख काढण्यासाठी x आणि y च्या विविध किंमती काढून आलेख कागदावर रेषा काढा.
प्रश्न 2: क्रिकेट संघाच्या प्रशिक्षकाने 3900 रुपयांना 3 बॅट आणि 6 चेंडू विकत घेतले. नंतर त्याने त्याच प्रकारची 1 बॅट आणि 3 चेंडू 1300 रुपयांना विकत घेतले. ही स्थिती बैजिक आणि भूमितीय स्वरूपात मांडा.
उत्तर पहा
पायरी 1: समजा एका बॅटची किंमत x रुपये आणि एका चेंडूची किंमत y रुपये आहे.
पायरी 2: पहिल्या अटीनुसार 3 बॅट आणि 6 चेंडूंची किंमत 3900 रुपये आहे.
3x + 6y = 3900 … (समीकरण 1)
पायरी 3: दुसऱ्या अटीनुसार 1 बॅट आणि 3 चेंडूंची किंमत 1300 रुपये आहे.
x + 3y = 1300 … (समीकरण 2)
हे या स्थितीचे बैजिक स्वरूप आहे.
प्रश्न 3: एका दिवशी 2 किलो सफरचंद आणि 1 किलो द्राक्षे यांची किंमत 160 रुपये होती. एका महिन्यानंतर 4 किलो सफरचंद आणि 2 किलो द्राक्षे यांची किंमत 300 रुपये झाली. ही स्थिती बैजिक आणि भूमितीय स्वरूपात मांडा.
उत्तर पहा
पायरी 1: समजा 1 किलो सफरचंदाची किंमत x रुपये आणि 1 किलो द्राक्षांची किंमत y रुपये आहे.
पायरी 2: पहिल्या अटीनुसार: 2x + y = 160 … (समीकरण 1)
पायरी 3: दुसऱ्या अटीनुसार: 4x + 2y = 300 … (समीकरण 2)
हे या स्थितीचे बैजिक स्वरूप आहे.
स्वाध्याय 3.2
प्रश्न 1: खालील समस्यांवरून रेषीय समीकरणांची जोडी तयार करा आणि त्यांची उकल आलेख पद्धतीने काढा: इयत्ता 10 वी च्या 10 विद्यार्थ्यांनी गणिताच्या प्रश्नमंजुषेत भाग घेतला. जर मुलींची संख्या मुलांच्या संख्येपेक्षा 4 ने जास्त असेल, तर भाग घेतलेल्या मुलांची आणि मुलींची संख्या काढा.
उत्तर पहा
पायरी 1: समजा मुलांची संख्या x आणि मुलींची संख्या y आहे.
एकूण विद्यार्थी 10 आहेत. म्हणून: x + y = 10 … (समीकरण 1)
पायरी 2: मुलींची संख्या मुलांपेक्षा 4 ने जास्त आहे. म्हणून: y = x + 4
म्हणजेच -x + y = 4 … (समीकरण 2)
पायरी 3: आलेख काढल्यास, या दोन्ही रेषा (3, 7) या बिंदूत छेदतात.
म्हणून मुलांची संख्या = 3 आणि मुलींची संख्या = 7 आहे.
प्रश्न 2: a1/a2, b1/b2 आणि c1/c2 या गुणोत्तरांची तुलना करून खालील रेषीय समीकरणांच्या जोड्या एका बिंदूत छेदतात, समांतर आहेत की एकरेषीय (संपाती) आहेत ते ठरवा:
(i) 5x – 4y + 8 = 0 ; 7x + 6y – 9 = 0
उत्तर पहा
पायरी 1: a1/a2 = 5/7
पायरी 2: b1/b2 = –4/6 = –2/3
पायरी 3: येथे a1/a2 ≠ b1/b2 आहे.
म्हणून या समीकरणांच्या रेषा एका बिंदूत छेदतात आणि त्यांना एकच उकल आहे.
स्वाध्याय 3.3
प्रश्न 1: खालील रेषीय समीकरणांची जोडी पर्यायी पद्धतीने (Substitution method) सोडवा:
x + y = 14
x – y = 4
उत्तर पहा
पायरी 1: x – y = 4 या समीकरणावरून: x = y + 4
पायरी 2: ही x ची किंमत x + y = 14 मध्ये ठेवू.
(y + 4) + y = 14
2y + 4 = 14
2y = 14 – 4
2y = 10 म्हणून y = 5
पायरी 3: y = 5 ही किंमत x = y + 4 मध्ये ठेवू.
x = 5 + 4 = 9
म्हणून उकल: x = 9, y = 5
प्रश्न 2: खालील रेषीय समीकरणांची जोडी पर्यायी पद्धतीने सोडवा:
s – t = 3
s/3 + t/2 = 6
उत्तर पहा
पायरी 1: s – t = 3 या समीकरणावरून: s = t + 3
पायरी 2: ही s ची किंमत s/3 + t/2 = 6 मध्ये ठेवू.
(t + 3)/3 + t/2 = 6
पायरी 3: लसावी 6 काढून समीकरण सोडवू: 2(t + 3) + 3t = 36
2t + 6 + 3t = 36
5t = 36 – 6
5t = 30 म्हणून t = 6
पायरी 4: t = 6 ही किंमत s = t + 3 मध्ये ठेवू.
s = 6 + 3 = 9
म्हणून उकल: s = 9, t = 6
प्रश्न 3: दोन संख्यांमधील फरक 26 आहे आणि एक संख्या दुसरीच्या तीन पट आहे. पर्यायी पद्धत वापरून त्या संख्या शोधा.
उत्तर पहा
पायरी 1: समजा मोठी संख्या x आणि लहान संख्या y आहे.
पहिल्या अटीनुसार: x – y = 26 … (समीकरण 1)
दुसऱ्या अटीनुसार: x = 3y … (समीकरण 2)
पायरी 2: x ची किंमत समीकरण 1 मध्ये ठेवू.
3y – y = 26
2y = 26 म्हणून y = 13
पायरी 3: y ची किंमत समीकरण 2 मध्ये ठेवू.
x = 3(13) = 39
म्हणून त्या संख्या 39 आणि 13 आहेत.
इयत्ता 10 वी गणित : दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांची जोडी – 1 गुणांचे प्रश्न
प्रश्न 1: दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणाचे सामान्य रूप (Standard form) काय आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: ax + by + c = 0
प्रश्न 2: जर दोन रेषा एकाच बिंदूत छेदत असतील, तर त्या समीकरणांच्या जोडीला किती उकली असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: 1 (अद्वितीय उकल)
प्रश्न 3: जर a1 / a2 ≠ b1 / b2 असेल, तर त्या समीकरणांच्या आलेखाच्या रेषा कशा असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: छेदणाऱ्या रेषा (Intersecting lines)
प्रश्न 4: जर दोन रेषा एकमेकांना समांतर असतील, तर त्या समीकरणांना किती उकली असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: 0 (एकही उकल नसते)
प्रश्न 5: जर a1 / a2 = b1 / b2 ≠ c1 / c2 असेल, तर त्या समीकरणांच्या आलेखाच्या रेषा कशा असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: समांतर रेषा (Parallel lines)
प्रश्न 6: जर दोन रेषा एकरेषीय (संपाती / Coincident) असतील, तर त्या समीकरणांना किती उकली असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: अनंत अनेक उकली (Infinitely many solutions)
प्रश्न 7: जर a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2 असेल, तर त्या समीकरणांच्या आलेखाच्या रेषा कशा असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: एकरेषीय किंवा संपाती रेषा (Coincident lines)
प्रश्न 8: ज्या समीकरणांच्या जोडीला किमान एक उकल असते, त्या जोडीला काय म्हणतात?
उत्तर पहा
उत्तर: सुसंगत जोडी (Consistent pair)
प्रश्न 9: ज्या समीकरणांच्या जोडीला कोणतीही उकल नसते, त्या जोडीला काय म्हणतात?
उत्तर पहा
उत्तर: असंगत जोडी (Inconsistent pair)
प्रश्न 10: दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांचा आलेख नेहमी कसा असतो?
उत्तर पहा
उत्तर: सरळ रेषा (Straight line)
प्रश्न 11: x + y = 5 आणि x – y = 1 या समीकरणांची उकल काय आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: x = 3, y = 2
स्पष्टीकरण: समीकरणे मिळवल्यास: 2x = 6 → x = 3. किंमत ठेवल्यास y = 2.
प्रश्न 12: रेषीय समीकरणांची उकल काढण्याच्या कोणत्याही दोन बैजिक पद्धतींची नावे सांगा.
उत्तर पहा
उत्तर: 1) पर्यायी पद्धत (Substitution method), 2) लोप पद्धत (Elimination method)
प्रश्न 13: जर 2x + 3y = 5 आणि 4x + ky = 10 या संपाती (coincident) रेषा असतील, तर k ची किंमत किती?
उत्तर पहा
उत्तर: k = 6
स्पष्टीकरण: a1/a2 = b1/b2 → 2/4 = 3/k → 1/2 = 3/k → k = 6
प्रश्न 14: जर x = 2 आणि y = 3 ही 3x + 2y = k या समीकरणाची उकल असेल, तर k ची किंमत काढा.
उत्तर पहा
उत्तर: k = 12
स्पष्टीकरण: 3(2) + 2(3) = k → 6 + 6 = k → k = 12
प्रश्न 15: ‘दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांची जोडी’ या प्रकरणात x आणि y या चलपदांचा सर्वात मोठा घातांक (power) किती असतो?
उत्तर पहा
उत्तर: 1
प्रश्न 16: जर x = 0 असेल, तर हा आलेख कोणत्या अक्षाचा समीकरण दर्शवितो?
उत्तर पहा
उत्तर: Y-अक्ष
