इयत्ता 8वी गणित भाग-1 प्रकरण-4 माहिती हाताळणे : महत्वाचे मुद्दे
माहिती (Data) व तिचे सादरीकरण
दैनंदिन जीवनात मिळणाऱ्या किंवा एकत्र केलेल्या ज्ञानाला माहिती असे म्हणतात. माहितीपासून अर्थपूर्ण निष्कर्ष काढण्यासाठी ती व्यवस्थित रचलेली असणे आवश्यक असते.
आलेखांचे विविध प्रकार
चित्रालेख: दिलेली माहिती काही चिन्हांचा वापर करून चित्रमय रूपात दर्शविली जाते.
स्तंभालेख: दिलेल्या माहितीवरून एकसमान रुंदी व किमतीच्या प्रमाणात उंची घेऊन आयताकार स्तंभाच्या रूपात माहिती दर्शविली जाते.
दुहेरी स्तंभालेख: या आलेखात एका पाठोपाठ एक दिलेले 2 माहितीचे गट दर्शविले जातात, ज्याचा उपयोग माहितीची तुलना करण्यासाठी होतो.
वर्तुळालेख (त्रिज्यांतर खंडालेख): पूर्ण वर्तुळ आणि त्याचे भाग यामधील संबंध दाखवणाऱ्या आलेखाला वर्तुळालेख म्हणतात. या आलेखात वर्तुळमध्याशी असणाऱ्या सर्व कोनांची बेरीज 360 अंश असते.
स्तंभालेख: दिलेल्या माहितीवरून एकसमान रुंदी व किमतीच्या प्रमाणात उंची घेऊन आयताकार स्तंभाच्या रूपात माहिती दर्शविली जाते.
दुहेरी स्तंभालेख: या आलेखात एका पाठोपाठ एक दिलेले 2 माहितीचे गट दर्शविले जातात, ज्याचा उपयोग माहितीची तुलना करण्यासाठी होतो.
वर्तुळालेख (त्रिज्यांतर खंडालेख): पूर्ण वर्तुळ आणि त्याचे भाग यामधील संबंध दाखवणाऱ्या आलेखाला वर्तुळालेख म्हणतात. या आलेखात वर्तुळमध्याशी असणाऱ्या सर्व कोनांची बेरीज 360 अंश असते.
संधी आणि संभाव्यता
यादृच्छिक प्रयोग: असा प्रयोग ज्यामध्ये मिळणारे निष्कर्ष अगोदर निश्चित काढता येत नाहीत.
सम संभाव्य निष्पत्ती: जेव्हा प्रयोगातील प्रत्येक निष्पत्ती मिळण्याची संधी समान असते, तेव्हा त्या निष्पत्तींना सम संभाव्य निष्पत्ती म्हणतात.
घटना: प्रयोगातील प्रत्येक निष्पत्ती किंवा निष्पत्तीचा गट यांनी मिळून एक घटना तयार होते.
संभाव्यतेचे सूत्र: जेव्हा सर्व निष्पत्ती सम संभाव्य असतात तेव्हा, एका घटनेची संभाव्यता = घटनेशी अनुकूल घटनांची संख्या / प्रयोगातील एकूण निष्पत्तींची संख्या.
सम संभाव्य निष्पत्ती: जेव्हा प्रयोगातील प्रत्येक निष्पत्ती मिळण्याची संधी समान असते, तेव्हा त्या निष्पत्तींना सम संभाव्य निष्पत्ती म्हणतात.
घटना: प्रयोगातील प्रत्येक निष्पत्ती किंवा निष्पत्तीचा गट यांनी मिळून एक घटना तयार होते.
संभाव्यतेचे सूत्र: जेव्हा सर्व निष्पत्ती सम संभाव्य असतात तेव्हा, एका घटनेची संभाव्यता = घटनेशी अनुकूल घटनांची संख्या / प्रयोगातील एकूण निष्पत्तींची संख्या.
“प्रयत्न करा उत्तरे”
1. खालील माहिती दर्शविणारा योग्य आलेख कोणता हे सांगा:
| महिना | जुलै | ऑगस्ट | सप्टेंबर | ऑक्टोबर | नोव्हेंबर | डिसेंबर |
|---|---|---|---|---|---|---|
| घड्याळ विक्रीची संख्या | 1000 | 1500 | 1500 | 2000 | 2500 | 1500 |
या माहितीसाठी ‘स्तंभालेख’ (Bar Graph) काढणे योग्य ठरेल. कारण यामध्ये एकाच प्रकारच्या घटकाची (महिन्यानुसार घड्याळांची विक्री) माहिती दिलेली आहे.
2. खालील माहिती दर्शविणारा योग्य आलेख कोणता हे सांगा:
| विद्यार्थ्यांची आवड | शाळा A | शाळा B | शाळा C |
|---|---|---|---|
| चालणे | 40 | 55 | 15 |
| सायकल चालवणे | 45 | 25 | 35 |
या माहितीसाठी ‘दुहेरी स्तंभालेख’ (Double Bar Graph) काढणे योग्य ठरेल. कारण यामध्ये एकाच वेळी दोन घटकांची (चालणे आणि सायकल चालवणे) वेगवेगळ्या शाळांनुसार तुलना करायची आहे.
3. आठ अव्वल क्रिकेट संघांची एकदिवशीय आंतरराष्ट्रीय सामने जिंकण्याची टक्केवारी (2006 पर्यंत आणि 2007 मधील) दर्शविणारा योग्य आलेख कोणता हे सांगा.
या माहितीसाठी ‘दुहेरी स्तंभालेख’ (Double Bar Graph) काढणे योग्य ठरेल. कारण यामध्ये प्रत्येक क्रिकेट संघाच्या दोन वेगवेगळ्या कालावधीतील कामगिरीची तुलना करायची आहे.
4. आकृती 4.2 (i) च्या त्रिज्यांतर खंडालेखामध्ये ‘मुली 50%’ आणि ‘मुले 50%’ दिले आहेत. प्रत्येकासाठी वर्तुळाचा भाग दर्शविणारा अपूर्णांक सांगा.
मुलींचा भाग = 50% = 50 / 100 = 1 / 2
मुलांचा भाग = 50% = 50 / 100 = 1 / 2
मुलांचा भाग = 50% = 50 / 100 = 1 / 2
5. आकृती 4.2 (ii) च्या त्रिज्यांतर खंडालेखामध्ये शाळेला येण्याची वाहतूक: ‘चालणे 40%’, ‘बस किंवा कार 40%’, आणि ‘सायकल 20%’ दिली आहे. प्रत्येकासाठी वर्तुळाचा भाग दर्शविणारा अपूर्णांक सांगा.
चालणे = 40% = 40 / 100 = 2 / 5
बस किंवा कार = 40% = 40 / 100 = 2 / 5
सायकल = 20% = 20 / 100 = 1 / 5
बस किंवा कार = 40% = 40 / 100 = 2 / 5
सायकल = 20% = 20 / 100 = 1 / 5
6. आकृती 4.2 (iii) च्या त्रिज्यांतर खंडालेखामध्ये गणिताविषयी ‘द्वेष 15%’ आणि उर्वरित भाग ‘आवड’ दर्शवितो. प्रत्येकासाठी वर्तुळाचा भाग दर्शविणारा अपूर्णांक सांगा.
द्वेष = 15% = 15 / 100 = 3 / 20
आवड = एकूण 100% – 15% = 85%
आवड दर्शविणारा अपूर्णांक = 85 / 100 = 17 / 20
आवड = एकूण 100% – 15% = 85%
आवड दर्शविणारा अपूर्णांक = 85 / 100 = 17 / 20
7. आकृती 4.3 (टी.व्ही कार्यक्रम पाहणारे प्रेक्षक) च्या त्रिज्यांतर खंडालेखावरून सांगा: कोणत्या प्रकारचा कार्यक्रम जास्त प्रेक्षक पाहतात?
सर्वात जास्त प्रेक्षक ‘मनोरंजन’ (50%) हा कार्यक्रम पाहतात.
8. आकृती 4.3 च्या आधारावर सांगा: कोणत्या दोन प्रकारच्या प्रेक्षकांची संख्या एका ‘खेळ’ चॅनेलच्या प्रेक्षकांच्या संख्येइतकी आहे?
‘खेळ’ चॅनेल पाहणाऱ्या प्रेक्षकांची संख्या 25% आहे.
‘बातम्या’ (15%) आणि ‘माहिती’ (10%) पाहणाऱ्या प्रेक्षकांची बेरीज 15% + 10% = 25% होते.
म्हणून, ‘बातम्या’ आणि ‘माहिती’ पाहणाऱ्या प्रेक्षकांची एकूण संख्या ‘खेळ’ चॅनेल पाहणाऱ्यांच्या संख्येइतकी आहे.
‘बातम्या’ (15%) आणि ‘माहिती’ (10%) पाहणाऱ्या प्रेक्षकांची बेरीज 15% + 10% = 25% होते.
म्हणून, ‘बातम्या’ आणि ‘माहिती’ पाहणाऱ्या प्रेक्षकांची एकूण संख्या ‘खेळ’ चॅनेल पाहणाऱ्यांच्या संख्येइतकी आहे.
स्वाध्याय 4.1
1. एका शहरातील काही तरुणांच्या संगीताच्या पसंतीचे सर्वेक्षण करण्यात आले. बाजुला दिलेल्या त्रिज्यांतर खंडालेखात त्या सर्वेक्षणाची माहिती दिली आहे. या त्रिज्यांतर खंडालेखावरून खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या.
(i) जर शास्त्रीय संगीत 20 तरुणांना आवडते तर किती तरुणांचे सर्वेक्षण केले होते?
(ii) जास्तीत जास्त लोकांना आवडणारे संगीत कोणत्या प्रकारचे आहे?
(iii) जर कॅसेट कंपनीने वेगवेगळ्या संगीतांच्या एकूण 1000 सीडी तयार केल्या तर प्रत्येक प्रकारच्या किती सीडी तयार केल्या?
(i) जर शास्त्रीय संगीत 20 तरुणांना आवडते तर किती तरुणांचे सर्वेक्षण केले होते?
(ii) जास्तीत जास्त लोकांना आवडणारे संगीत कोणत्या प्रकारचे आहे?
(iii) जर कॅसेट कंपनीने वेगवेगळ्या संगीतांच्या एकूण 1000 सीडी तयार केल्या तर प्रत्येक प्रकारच्या किती सीडी तयार केल्या?
उत्तरे:
(i) आलेखावरून, शास्त्रीय संगीत आवडणाऱ्या तरुणांची टक्केवारी 10% आहे.
जर 10% = 20 तरुण असतील, तर एकूण तरुण (100%) = (20 / 10) × 100 = 200.
म्हणून, एकूण 200 तरुणांचे सर्वेक्षण केले होते.
(ii) आलेखात सर्वात मोठा भाग हलके संगीत (40%) याचा आहे. म्हणून जास्तीत जास्त लोकांना ‘हलके संगीत’ आवडते.
(iii) एकूण सीडी = 1000
– शास्त्रीय संगीत (10%) = 1000 च्या 10% = 100 सीडी
– उपशास्त्रीय संगीत (20%) = 1000 च्या 20% = 200 सीडी
– लोकगीत (30%) = 1000 च्या 30% = 300 सीडी
– हलके संगीत (40%) = 1000 च्या 40% = 400 सीडी
(i) आलेखावरून, शास्त्रीय संगीत आवडणाऱ्या तरुणांची टक्केवारी 10% आहे.
जर 10% = 20 तरुण असतील, तर एकूण तरुण (100%) = (20 / 10) × 100 = 200.
म्हणून, एकूण 200 तरुणांचे सर्वेक्षण केले होते.
(ii) आलेखात सर्वात मोठा भाग हलके संगीत (40%) याचा आहे. म्हणून जास्तीत जास्त लोकांना ‘हलके संगीत’ आवडते.
(iii) एकूण सीडी = 1000
– शास्त्रीय संगीत (10%) = 1000 च्या 10% = 100 सीडी
– उपशास्त्रीय संगीत (20%) = 1000 च्या 20% = 200 सीडी
– लोकगीत (30%) = 1000 च्या 30% = 300 सीडी
– हलके संगीत (40%) = 1000 च्या 40% = 400 सीडी
2. 360 लोकांच्या गटाला त्यांच्या पसंतीच्या ऋतुसाठी मतदान करण्यास सांगितले. ते तीन ऋतु उन्हाळा, पावसाळा आणि हिवाळा असे आहेत. प्राप्त माहिती (उन्हाळा: 90, पावसाळा: 120, हिवाळा: 150) दिली आहे.
(i) कोणत्या ऋतुला जास्त मते मिळाली आहेत?
(ii) प्रत्येक वर्तुळखंडाचा केंद्राशी होणारा कोन काढा.
(iii) ही माहिती दाखविणारा त्रिज्यांतर खंडालेख काढा. (येथे कोनांची माहिती तक्त्यात दिलेली आहे)
(i) कोणत्या ऋतुला जास्त मते मिळाली आहेत?
(ii) प्रत्येक वर्तुळखंडाचा केंद्राशी होणारा कोन काढा.
(iii) ही माहिती दाखविणारा त्रिज्यांतर खंडालेख काढा. (येथे कोनांची माहिती तक्त्यात दिलेली आहे)
उत्तरे:
(i) सर्वात जास्त मते हिवाळा (150 मते) या ऋतूला मिळाली आहेत.
(ii) व (iii) एकूण मते = 90 + 120 + 150 = 360.
केंद्राशी होणारा कोन काढण्यासाठी सूत्र: (घटकाची किंमत / एकूण किंमत) × 360°
या कोनांच्या मापांचा वापर करून वर्तुळालेख (त्रिज्यांतर खंडालेख) काढता येतो.
(i) सर्वात जास्त मते हिवाळा (150 मते) या ऋतूला मिळाली आहेत.
(ii) व (iii) एकूण मते = 90 + 120 + 150 = 360.
केंद्राशी होणारा कोन काढण्यासाठी सूत्र: (घटकाची किंमत / एकूण किंमत) × 360°
| ऋतू | मते | अपूर्णांक | केंद्रस्थ कोन |
|---|---|---|---|
| उन्हाळा | 90 | 90 / 360 = 1/4 | (1/4) × 360° = 90° |
| पावसाळा | 120 | 120 / 360 = 1/3 | (1/3) × 360° = 120° |
| हिवाळा | 150 | 150 / 360 = 5/12 | (5/12) × 360° = 150° |
या कोनांच्या मापांचा वापर करून वर्तुळालेख (त्रिज्यांतर खंडालेख) काढता येतो.
3. खालील तक्त्यामध्ये काही लोकांनी पसंद केलेले रंग दर्शविले आहेत. या माहितीवरून त्रिज्यांतर खंडालेख काढा (कोनांची मापे शोधा).
रंग: निळा (18), हिरवा (9), लाल (6), पिवळा (3). एकूण = 36.
रंग: निळा (18), हिरवा (9), लाल (6), पिवळा (3). एकूण = 36.
उत्तर:
एकूण लोकांची संख्या = 36. केंद्रस्थ कोन शोधण्यासाठीचा तक्ता:
एकूण लोकांची संख्या = 36. केंद्रस्थ कोन शोधण्यासाठीचा तक्ता:
| रंग | लोकांची संख्या | अपूर्णांक | केंद्रस्थ कोन |
|---|---|---|---|
| निळा | 18 | 18 / 36 = 1/2 | (1/2) × 360° = 180° |
| हिरवा | 9 | 9 / 36 = 1/4 | (1/4) × 360° = 90° |
| लाल | 6 | 6 / 36 = 1/6 | (1/6) × 360° = 60° |
| पिवळा | 3 | 3 / 36 = 1/12 | (1/12) × 360° = 30° |
4. बाजूला दिलेल्या त्रिज्यांतर खंडालेखात एका विद्यार्थ्यांने एका परीक्षेत हिंदी (70°), इंग्लीश (55°), गणित (90°), समाज शास्त्र (65°) आणि विज्ञान (80°) विषयांत मिळविलेले गुण दिले आहेत. त्या विद्यार्थ्याने एकूण 540 गुण मिळविले आहेत. तर खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या.
(i) विद्यार्थ्याने कोणत्या विषयात 105 गुण मिळविले आहेत?
(ii) हिंदीपेक्षा गणितामध्ये किती जास्त गुण मिळविले आहेत?
(iii) समाज शास्त्र आणि गणितामध्ये मिळविलेल्या गुणांची बेरीज ही विज्ञान आणि हिंदी मध्ये मिळविलेल्या गुणापेक्षा जास्त आहे का हे तपासा.
(i) विद्यार्थ्याने कोणत्या विषयात 105 गुण मिळविले आहेत?
(ii) हिंदीपेक्षा गणितामध्ये किती जास्त गुण मिळविले आहेत?
(iii) समाज शास्त्र आणि गणितामध्ये मिळविलेल्या गुणांची बेरीज ही विज्ञान आणि हिंदी मध्ये मिळविलेल्या गुणापेक्षा जास्त आहे का हे तपासा.
उत्तरे:
(i) 105 गुणांसाठी केंद्रस्थ कोन = (105 / 540) × 360° = 70°.
आलेखानुसार 70° हा कोन हिंदी विषयाचा आहे. त्यामुळे हिंदी विषयात 105 गुण मिळाले आहेत.
(ii) गणिताचा केंद्रस्थ कोन 90° आहे.
गणिताचे गुण = (90° / 360°) × 540 = 135 गुण.
हिंदीचे गुण 105 आहेत. फरक = 135 – 105 = 30 गुण.
म्हणून, हिंदीपेक्षा गणितामध्ये 30 गुण जास्त मिळविले आहेत.
(iii) केंद्रस्थ कोनांची तुलना करू:
समाज शास्त्र आणि गणित = 65° + 90° = 155°
विज्ञान आणि हिंदी = 80° + 70° = 150°
येथे 155° > 150° आहे. म्हणून समाज शास्त्र आणि गणितामध्ये मिळविलेल्या गुणांची बेरीज ही विज्ञान आणि हिंदी मध्ये मिळविलेल्या गुणापेक्षा जास्त आहे (होय).
(i) 105 गुणांसाठी केंद्रस्थ कोन = (105 / 540) × 360° = 70°.
आलेखानुसार 70° हा कोन हिंदी विषयाचा आहे. त्यामुळे हिंदी विषयात 105 गुण मिळाले आहेत.
(ii) गणिताचा केंद्रस्थ कोन 90° आहे.
गणिताचे गुण = (90° / 360°) × 540 = 135 गुण.
हिंदीचे गुण 105 आहेत. फरक = 135 – 105 = 30 गुण.
म्हणून, हिंदीपेक्षा गणितामध्ये 30 गुण जास्त मिळविले आहेत.
(iii) केंद्रस्थ कोनांची तुलना करू:
समाज शास्त्र आणि गणित = 65° + 90° = 155°
विज्ञान आणि हिंदी = 80° + 70° = 150°
येथे 155° > 150° आहे. म्हणून समाज शास्त्र आणि गणितामध्ये मिळविलेल्या गुणांची बेरीज ही विज्ञान आणि हिंदी मध्ये मिळविलेल्या गुणापेक्षा जास्त आहे (होय).
5. एका वसतीगृहातील विविध भाषा बोलणाऱ्या विद्यार्थ्यांची संख्या खाली दिली आहे. या माहितीवरून त्रिज्यांतर खंडालेख तयार करा (कोनांची मापे काढा).
भाषा: हिंदी (40), इंग्लीश (12), मराठी (9), तमिळ (7), बंगाली (4). एकूण = 72.
भाषा: हिंदी (40), इंग्लीश (12), मराठी (9), तमिळ (7), बंगाली (4). एकूण = 72.
उत्तर:
एकूण विद्यार्थी संख्या = 72. केंद्रस्थ कोनांची मापे काढण्याचा तक्ता:
या कोनांच्या मापांचा वापर करून वर्तुळालेख (त्रिज्यांतर खंडालेख) काढता येतो.
एकूण विद्यार्थी संख्या = 72. केंद्रस्थ कोनांची मापे काढण्याचा तक्ता:
| भाषा | विद्यार्थ्यांची संख्या | अपूर्णांक | केंद्रस्थ कोन |
|---|---|---|---|
| हिंदी | 40 | 40 / 72 = 5/9 | (5/9) × 360° = 200° |
| इंग्लीश | 12 | 12 / 72 = 1/6 | (1/6) × 360° = 60° |
| मराठी | 9 | 9 / 72 = 1/8 | (1/8) × 360° = 45° |
| तमिळ | 7 | 7 / 72 = 7/72 | (7/72) × 360° = 35° |
| बंगाली | 4 | 4 / 72 = 1/18 | (1/18) × 360° = 20° |
या कोनांच्या मापांचा वापर करून वर्तुळालेख (त्रिज्यांतर खंडालेख) काढता येतो.
(प्रयत्न करा – उत्तरे)
पान क्रमांक 54 वरील ‘प्रयत्न करा’
1. जर तुम्ही स्कूटर चालू करण्याचा प्रयत्न करत असाल, तर संभाव्य निष्पत्ती कोणत्या?
जेव्हा तुम्ही स्कूटर चालू करण्याचा प्रयत्न करता, तेव्हा दोन संभाव्य निष्पत्ती असतात:
1. स्कूटर चालू होईल.
2. स्कूटर चालू होणार नाही.
1. स्कूटर चालू होईल.
2. स्कूटर चालू होणार नाही.
2. जेव्हा एक फासा वर फेकला जातो, तेव्हा कोणत्या सहा निष्पत्तींची शक्यता असते?
जेव्हा एक फासा वर फेकला जातो, तेव्हा खालील सहा निष्पत्तींची शक्यता असते:
1, 2, 3, 4, 5, किंवा 6
1, 2, 3, 4, 5, किंवा 6
3. आकृती (4.6) मध्ये दाखविल्याप्रमाणे जेव्हा आपण चाक फिरवितो तेव्हा कोणत्या निष्पत्तींची शक्यता आहे? यादी करा. (याची निष्पत्ती म्हणजे दर्शक कोणत्या खंडात थांबतो.)
आकृती 4.6 नुसार, चाक फिरविल्यास खालील निष्पत्तींची शक्यता आहे:
A, B, किंवा C (दर्शक यापैकी कोणत्याही एका अक्षरावर थांबू शकतो).
A, B, किंवा C (दर्शक यापैकी कोणत्याही एका अक्षरावर थांबू शकतो).
4. तुमच्याकडे असलेल्या एका पिशवीत सारखेच पण वेगवेगळ्या रंगाचे पाच चेंडू आहेत. आणि तुम्ही पिशवीत न पाहता त्यातील चेंडू उचलावयाचा आहे. त्यातून तुम्हाला मिळालेल्या निष्पत्तींची यादी बनवा. (आकृती 4.7)
आकृती 4.7 नुसार, पिशवीत W (पांढरा), R (लाल), B (निळा), G (हिरवा), आणि Y (पिवळा) रंगाचे चेंडू आहेत. त्यामुळे संभाव्य निष्पत्ती खालीलप्रमाणे असतील:
W (पांढरा चेंडू मिळणे), R (लाल चेंडू मिळणे), B (निळा चेंडू मिळणे), G (हिरवा चेंडू मिळणे), किंवा Y (पिवळा चेंडू मिळणे).
W (पांढरा चेंडू मिळणे), R (लाल चेंडू मिळणे), B (निळा चेंडू मिळणे), G (हिरवा चेंडू मिळणे), किंवा Y (पिवळा चेंडू मिळणे).
पान क्रमांक 57 वरील ‘प्रयत्न करा’
समजा तुम्ही चाक फिरविले (आकृती 4.8) तर:
(i) हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर येण्याची निष्पत्ती संख्या व हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर न येण्याची निष्पत्ती संख्या यांची यादी करा.
(i) हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर येण्याची निष्पत्ती संख्या व हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर न येण्याची निष्पत्ती संख्या यांची यादी करा.
आकृती 4.8 नुसार, चाकावर एकूण 8 त्रिज्यांतरखंड आहेत (5 हिरवे (G) आणि 3 लाल (R)).
* **हिरव्या (G) त्रिज्यांतरखंडावर येण्याची निष्पत्ती संख्या:** 5
* **हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर न येण्याची (म्हणजेच लाल (R) वर येण्याची) निष्पत्ती संख्या:** 3
* **हिरव्या (G) त्रिज्यांतरखंडावर येण्याची निष्पत्ती संख्या:** 5
* **हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर न येण्याची (म्हणजेच लाल (R) वर येण्याची) निष्पत्ती संख्या:** 3
(ii) हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर येण्याची संभाव्यता काढा.
एकूण संभाव्य निष्पत्ती = 8
हिरवा (G) खंड मिळण्याच्या अनुकूल निष्पत्ती = 5
**हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर येण्याची संभाव्यता** = 5/8
हिरवा (G) खंड मिळण्याच्या अनुकूल निष्पत्ती = 5
**हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर येण्याची संभाव्यता** = 5/8
(iii) हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर न येण्याची संभाव्यता काढा.
एकूण संभाव्य निष्पत्ती = 8
हिरवा खंड न मिळण्याच्या (म्हणजेच लाल मिळण्याच्या) अनुकूल निष्पत्ती = 3
**हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर न येण्याची संभाव्यता** = 3/8
हिरवा खंड न मिळण्याच्या (म्हणजेच लाल मिळण्याच्या) अनुकूल निष्पत्ती = 3
**हिरव्या त्रिज्यांतरखंडावर न येण्याची संभाव्यता** = 3/8
स्वाध्याय 4.2
1. या प्रयोगामध्ये दिसून येणाऱ्या निष्कर्षांची यादी करा.
(a) चाक फिरविणे (आकृतीत दर्शविलेले A, B, C, D, A).
(b) दोन नाणी एकाचवेळी वर उडविणे.
- (a) चाक फिरविणे: आकृतीमध्ये चाकावर 5 खंड आहेत ज्यावर A, B, C, D आणि A ही अक्षरे आहेत. त्यामुळे मिळणारे संभाव्य निष्कर्ष A, B, C, D हे आहेत.
- (b) दोन नाणी एकाचवेळी उडविणे: समजा H म्हणजे छाप (Head) आणि T म्हणजे काटा (Tail). दोन नाणी एकाचवेळी उडविल्यास खालील निष्कर्ष मिळू शकतात: HH, HT, TH, TT.
2. जेव्हा एक फासा वर फेकला जातो, तेव्हा मिळणाऱ्या संभाव्य घटनांच्या निष्कर्षांची यादी करा.
(i) (a) मूळ संख्या आहे (b) मूळ संख्या नाही.
(ii) (a) 5 पेक्षा मोठी एक संख्या (b) 5 पेक्षा मोठी संख्या नाही.
फासा फेकल्यावर 1, 2, 3, 4, 5, 6 यांपैकी कोणताही एक अंक मिळतो.
- (i) (a) मूळ संख्या आहे: 2, 3, 5
- (i) (b) मूळ संख्या नाही: 1, 4, 6 (लक्षात ठेवा 1 ही मूळ संख्याही नाही आणि संयुक्त संख्याही नाही, म्हणून ती मूळ संख्या नाही).
- (ii) (a) 5 पेक्षा मोठी एक संख्या: 6
- (ii) (b) 5 पेक्षा मोठी संख्या नाही: 1, 2, 3, 4, 5
3. संभाव्यता काढा.
(a) दर्शक D वर थांबण्याची संभाव्यता? (प्रश्न 1-(a) मध्ये)
(b) उत्तम पिसलेल्या 52 पत्यांच्या जोडातून एक एक्का येण्याची संभाव्यता?
(c) लाल सफरचंद येण्याची संभाव्यता (आकृतीत G आणि R सफरचंद आहेत)?
- (a) दर्शक D वर थांबण्याची संभाव्यता: चाकावर एकूण 5 खंड आहेत, त्यापैकी D असणारा 1 खंड आहे.
संभाव्यता = 1/5 - (b) एक एक्का येण्याची संभाव्यता: पत्त्यांच्या जोडात एकूण 52 पत्ते असतात. त्यात 4 एक्के असतात.
संभाव्यता = 4/52 = 1/13 - (c) लाल सफरचंद येण्याची संभाव्यता: आकृतीमध्ये एकूण 7 सफरचंद आहेत, त्यापैकी लाल (R) सफरचंद 4 आहेत.
संभाव्यता = 4/7
4. दहा वेगवेगळ्या चिठ्ठयावर 1 ते 10 संख्या लिहिलेल्या आहेत (एका चिठ्ठीवर एक संख्या) व त्या चिठ्ठया एका पेटीमध्ये उत्तम रितीने मिसळून ठेवल्या आहेत. पेटीत न पाहता एक चिठ्ठी उचलली तर खालील बाबतीत संभाव्यता काढा.
(i) 6 ही संख्या मिळण्याची
(ii) 6 पेक्षा लहान एक संख्या मिळण्याची
(iii) 6 पेक्षा मोठी एक संख्या मिळण्याची
(iv) 1 अंकी एक संख्या मिळण्याची
एकूण संभाव्य निष्पत्ती = 10 (कारण 1 ते 10 संख्या आहेत).
- (i) 6 ही संख्या मिळण्याची: 6 ही संख्या 10 चिठ्ठ्यांमध्ये फक्त 1 वेळा आहे.
संभाव्यता = 1/10 - (ii) 6 पेक्षा लहान संख्या मिळण्याची: 6 पेक्षा लहान संख्या 1, 2, 3, 4, 5 (एकूण 5) आहेत.
संभाव्यता = 5/10 = 1/2 - (iii) 6 पेक्षा मोठी संख्या मिळण्याची: 6 पेक्षा मोठी संख्या 7, 8, 9, 10 (एकूण 4) आहेत.
संभाव्यता = 4/10 = 2/5 - (iv) 1 अंकी एक संख्या मिळण्याची: 1 ते 9 या 1 अंकी संख्या आहेत (एकूण 9).
संभाव्यता = 9/10
5. तुमच्याकडे 3 हिरवे त्रिज्यांतरखंड असलेले 1 निळा त्रिज्यांतरखंड आणि 1 लाल त्रिज्यांतरखंड असणारे एक फिरणारे चाक आहे. तर एक हिरवे त्रिज्यांतरखंड मिळण्याची संभाव्यता किती? निळा त्रिज्यांतरखंड नसलेले त्रिज्यांतरखंड मिळण्याची संभाव्यता किती?
एकूण त्रिज्यांतरखंड = 3 (हिरवे) + 1 (निळा) + 1 (लाल) = 5.
- हिरवे त्रिज्यांतरखंड मिळण्याची संभाव्यता: हिरवे खंड 3 आहेत.
संभाव्यता = 3/5 - निळा त्रिज्यांतरखंड नसलेले मिळण्याची संभाव्यता: निळा नसलेले खंड म्हणजे हिरवे आणि लाल मिळून एकूण (3 + 1) = 4 खंड आहेत.
संभाव्यता = 4/5
6. प्रश्न 2 मध्ये दिलेल्या घटनांची संभाव्यता काढा.
फासा फेकण्याच्या प्रयोगात एकूण निष्पत्ती = 6 आहेत.
- (i) (a) मूळ संख्या मिळण्याची संभाव्यता: मूळ संख्या 3 आहेत (2, 3, 5).
संभाव्यता = 3/6 = 1/2 - (i) (b) मूळ संख्या नसलेली संख्या मिळण्याची संभाव्यता: मूळ नसलेल्या संख्या 3 आहेत (1, 4, 6).
संभाव्यता = 3/6 = 1/2 - (ii) (a) 5 पेक्षा मोठी संख्या मिळण्याची संभाव्यता: 5 पेक्षा मोठी संख्या 1 आहे (फक्त 6).
संभाव्यता = 1/6 - (ii) (b) 5 पेक्षा मोठी संख्या नसलेली मिळण्याची संभाव्यता: 5 पेक्षा मोठी नसलेल्या संख्या 5 आहेत (1, 2, 3, 4, 5).
संभाव्यता = 5/6
माहिती हाताळणे – सराव प्रश्न (1 गुण)
1. दैनंदिन जीवनात मिळवलेल्या किंवा एकत्र केलेल्या ज्ञानाला काय म्हणतात?
उत्तर: माहिती (Data)
2. दिलेल्या दोन माहितींच्या गटांची तुलना करण्यासाठी कोणत्या आलेखाचा उपयोग होतो?
उत्तर: दुहेरी स्तंभालेख (Double Bar Graph)
3. वर्तुळालेखात वर्तुळमध्याशी असणाऱ्या सर्व कोनांची बेरीज किती असते?
उत्तर: 360 अंश
4. वर्तुळालेखाला दुसऱ्या कोणत्या नावाने ओळखले जाते?
उत्तर: त्रिज्यांतर खंडालेख
5. ज्या प्रयोगाचे निष्कर्ष अगोदर निश्चित काढू शकत नाही, अशा प्रयोगाला काय म्हणतात?
उत्तर: यादृच्छिक प्रयोग
6. एक नाणे फेकले असता कोणकोणत्या संभाव्य निष्पत्ती मिळतात?
उत्तर: छाप किंवा काटा
7. एक फासा (Dice) फेकला असता एकूण किती संभाव्य निष्पत्ती मिळतात?
उत्तर: 6 (उदा. 1, 2, 3, 4, 5, 6)
8. जेव्हा प्रयोगातील प्रत्येक निष्पत्ती मिळण्याची संधी समान असते, तेव्हा त्यांना काय म्हणतात?
उत्तर: सम संभाव्य निष्पत्ती
9. एक नाणे एकदा उडविले असता ‘छाप’ (Head) मिळण्याची संभाव्यता किती असते?
उत्तर: 1/2
10. प्रयोगातील एक किंवा अनेक निष्पत्ती मिळून काय तयार होते?
उत्तर: घटना (Event)
11. फासा फेकण्याच्या प्रयोगात सम संख्या मिळण्याची संभाव्यता किती असते?
उत्तर: 3/6 म्हणजेच 1/2
12. स्तंभालेखात दोन स्तंभांमधील अंतर कसे असते?
उत्तर: दोन स्तंभांमधील अंतर समान असते.
