प्रकरण 2: अपूर्णांक आणि दशांश – महत्त्वाचे मुद्दे
1. अपूर्णांकांचा गुणाकार
- दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार हा त्यांचा अंश आणि छेद यांचा वेगवेगळा गुणाकार असतो.
सूत्र: अंशांचा गुणाकार / छेदांचा गुणाकार.
उदाहरणार्थ: 2/3 × 5/7 = (2 × 5) / (3 × 7) = 10/21. - अपूर्णांकामध्ये गणितातील ‘चे’ (of) या शब्दाचा अर्थ गुणाकार असा होतो.
उदाहरणार्थ: 2 चे 1/2 = 1/2 × 2 = 1. - सम अपूर्णांकांचा गुणाकार: दोन सम अपूर्णांकांचा (Proper Fractions) गुणाकार हा नेहमी त्या गुणाकार केलेल्या प्रत्येक अपूर्णांकापेक्षा लहान असतो.
- विषम अपूर्णांकांचा गुणाकार: दोन विषम अपूर्णांकांचा (Improper Fractions) गुणाकार हा नेहमी त्या दोन अपूर्णांकांपेक्षा मोठा असतो.
- सम आणि विषम अपूर्णांकांचा गुणाकार हा विषम अपूर्णांकापेक्षा लहान आणि सम अपूर्णांकापेक्षा मोठा असतो.
- मिश्र अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना, प्रथम त्याचे रूपांतर विषम अपूर्णांकात (Improper Fraction) करावे आणि नंतर गुणाकार करावा.
2. अपूर्णांकांचा व्यस्त (Reciprocal)
- अपूर्णांकांचा व्यस्त हा मूळ अपूर्णांकातील ‘अंश’ आणि ‘छेद’ यांची अदलाबदल केल्याने (वरची संख्या खाली आणि खालची संख्या वर) मिळतो.
- ज्या शून्यरहित संख्यांचा एकमेकांशी गुणाकार 1 येतो, त्यांना एकमेकांचे ‘गुणाकार व्यस्त’ (Multiplicative Inverse) म्हणतात.
उदाहरणार्थ: 5/9 चा व्यस्त 9/5 आहे.
3. अपूर्णांकांचा भागाकार
- पूर्ण संख्येला अपूर्णांकाने भागणे: पूर्ण संख्येला अपूर्णांकाने भाग देताना, पूर्ण संख्येला त्या अपूर्णांकाच्या ‘व्यस्तांकाने’ (Reciprocal) गुणावे लागते.
उदाहरणार्थ: 2 ÷ 3/5 = 2 × 5/3 = 10/3. - अपूर्णांकाला पूर्ण संख्येने भागणे: अपूर्णांकाला पूर्ण संख्येने भागताना, अपूर्णांकाला त्या पूर्ण संख्येच्या व्यस्तांकाने गुणावे.
उदाहरणार्थ: 2/3 ÷ 7 = 2/3 × 1/7 = 2/21. - अपूर्णांकाला दुसऱ्या अपूर्णांकाने भागणे: एका अपूर्णांकाला दुसऱ्या अपूर्णांकाने भाग देताना पहिल्या अपूर्णांकाला दुसऱ्या अपूर्णांकाच्या व्यस्तांकाने गुणावे.
उदाहरणार्थ: 2/3 ÷ 5/7 = 2/3 × 7/5 = 14/15.
4. दशांश संख्यांचा (Decimal Numbers) गुणाकार
- दोन दशांश संख्यांचा गुणाकार करताना, सुरुवातीला दशांश बिंदूकडे (Decimal Point) दुर्लक्ष करून पूर्ण संख्यांचा नेहमीप्रमाणे गुणाकार करावा.
- त्यानंतर, गुणाकार करण्यात आलेल्या दोन्ही दशांश संख्यांमधील दशांश बिंदूच्या उजव्या बाजूकडील एकूण अंक मोजावेत आणि त्यांची बेरीज करावी.
- मिळालेल्या अंतिम गुणाकारात, उजव्या बाजूकडून मोजलेल्या अंकांच्या बेरजेइतकी घरे डावीकडे सरकून दशांश बिंदू ठेवावा.
- 10, 100 किंवा 1000 ने गुणताना: दशांश संख्येला 10, 100 किंवा 1000 ने गुणताना, 1 च्या उजव्या बाजूला जेवढे शून्य (0) आहेत, तेवढी स्थाने दशांश बिंदू उजव्या बाजूला सरकतो.
उदा. 0.53 × 10 = 5.3; 0.53 × 100 = 53.
5. दशांश संख्यांचा भागाकार
- दशांश संख्येला पूर्ण संख्येने भागणे: प्रथम पूर्ण संख्येप्रमाणे भागाकार करावा आणि नंतर भागाकारात दशांश चिन्ह मूळ संख्येप्रमाणे योग्य स्थानी ठेवावे.
उदा. 8.4 ÷ 4 = 2.1. - 10, 100 किंवा 1000 ने भागणे: दशांश संख्येला 10, 100 किंवा 1000 ने भागताना, 1 च्या उजव्या बाजूला जेवढे शून्य आहेत, तेवढी स्थाने दशांश बिंदू डाव्या बाजूला सरकतो.
उदा. 23.9 ÷ 10 = 2.39; 23.9 ÷ 100 = 0.239. - दशांश संख्येला दुसऱ्या दशांश संख्येने भागणे: भागाकार सोपा करण्यासाठी प्रथम दोन्ही संख्यांमधील दशांश बिंदू उजवीकडे समान स्थाने सरकवून भाजकाचे (Divisor) पूर्ण संख्येत रूपांतर करावे आणि नंतर भागाकार करावा.
उदा. 2.4 ÷ 0.2 = 24 ÷ 2 = 12.
दशांश बिंदू सरकवण्याचे नियम (थोडक्यात)
| क्रिया | 10 ने (1 शून्य) | 100 ने (2 शून्य) | 1000 ने (3 शून्य) |
|---|---|---|---|
| गुणाकार (×) | बिंदू 1 घर उजवीकडे | बिंदू 2 घरे उजवीकडे | बिंदू 3 घरे उजवीकडे |
| भागाकार (÷) | बिंदू 1 घर डावीकडे | बिंदू 2 घरे डावीकडे | बिंदू 3 घरे डावीकडे |
स्वाध्याय 2.1 – प्रश्न आणि उत्तरे
(i) 2 × 1/5 उत्तर: (d) [कारण येथे 2 वर्तुळे आहेत आणि प्रत्येकाचा 1/5 भाग छायांकित आहे.]
(ii) 2 × 1/2 उत्तर: (b) [कारण येथे 2 चौरस आहेत आणि प्रत्येकाचा 1/2 भाग छायांकित आहे.]
(iii) 3 × 2/3 उत्तर: (a) [कारण येथे 3 वर्तुळे आहेत आणि प्रत्येकाचा 2/3 भाग छायांकित आहे.]
(iv) 3 × 1/4 उत्तर: (c) [कारण येथे 3 चौरस आहेत आणि प्रत्येकाचा 1/4 भाग छायांकित आहे.]
(i) 3 × 1/5 = 3/5 उत्तर: (c)
(ii) 2 × 1/3 = 2/3 उत्तर: (a)
(iii) 3 × 3/4 = 2 1/4 उत्तर: (b)
गुणाकार व संक्षिप्त रूप
(ii) 4 × 1/3 = (4 × 1)/3 = 4/3 = 1 1/3
(iii) 2 × 6/7 = (2 × 6)/7 = 12/7 = 1 5/7
(iv) 5 × 2/9 = (5 × 2)/9 = 10/9 = 1 1/9
(v) 2/3 × 4 = (2 × 4)/3 = 8/3 = 2 2/3
(vi) 5/2 × 6 = (5 × 6)/2 = 30/2 = 15
(vii) 11 × 4/7 = (11 × 4)/7 = 44/7 = 6 2/7
(viii) 20 × 4/5 = (20 × 4)/5 = 80/5 = 16
(ix) 13 × 1/3 = (13 × 1)/3 = 13/3 = 4 1/3
(x) 15 × 3/5 = (15 × 3)/5 = 45/5 = 9
(i) बॉक्स (a) मधील वर्तुळांचा 1/2 भाग.
उत्तर: एकूण 12 वर्तुळे आहेत, त्यापैकी 6 वर्तुळे छायांकित करावीत.
(ii) बॉक्स (b) मधील त्रिकोणांचा 2/3 भाग.
उत्तर: एकूण 9 त्रिकोण आहेत, त्यापैकी 6 त्रिकोण छायांकित करावेत.
(iii) बॉक्स (c) मधील चौरसांचा 3/5 भाग.
उत्तर: एकूण 15 चौरस आहेत, त्यापैकी 9 चौरस छायांकित करावेत.
किंमत शोधा
(b) (i) 18 चे 2/3 = 12, (ii) 27 चे 2/3 = 18
(c) (i) 16 चे 3/4 = 12, (ii) 36 चे 3/4 = 27
(d) (i) 20 चे 4/5 = 16, (ii) 35 चे 4/5 = 28
(b) 5 × 6 3/4 = 5 × 27/4 = 135/4 = 33 3/4
(c) 7 × 2 1/4 = 7 × 9/4 = 63/4 = 15 3/4
(d) 4 × 6 1/3 = 4 × 19/3 = 76/3 = 25 1/3
(e) 3 1/4 × 6 = 13/4 × 6 = 78/4 = 19 1/2
(f) 3 2/5 × 8 = 17/5 × 8 = 136/5 = 27 1/5
(ii) 4 2/9 चे 1/2 = 38/9 × 1/2 = 19/9 = 2 1/9
(b) (i) 3 5/6 चे 5/8 = 23/6 × 5/8 = 115/48 = 2 19/48
(ii) 9 2/3 चे 5/8 = 29/3 × 5/8 = 145/24 = 6 1/24
(i) विद्याने किती पाणी प्याले?
उकल: 5 × 2/5 = 2 लिटर.
(ii) प्रतापने एकूण पाण्यापैकी किती भाग पाणी प्याले?
उकल: एकूण भाग 1 मानल्यास, 1 – 2/5 = 3/5 भाग.
इयत्ता 7 वी गणिताच्या पाठ्यपुस्तकातील पृष्ठ क्रमांक 33 आणि 34 वरील ‘स्वाध्याय 2.2’ मधील प्रश्नांची सविस्तर उत्तरे ….
(i) (a) 1/4 चे 1/4 = 1/4 × 1/4 = 1/16
(i) (b) 3/5 चे 1/4 = 3/5 × 1/4 = 3/20
(i) (c) 4/3 चे 1/4 = 4/3 × 1/4 = 4/12 = 1/3
(ii) (a) 2/9 चे 1/7 = 2/9 × 1/7 = 2/63
(ii) (b) 6/5 चे 1/7 = 6/5 × 1/7 = 6/35
(ii) (c) 3/10 चे 1/7 = 3/10 × 1/7 = 3/70
(i) 2/3 × 2 2/3 = 2/3 × 8/3 = 16/9 = 1 7/9
(ii) 2/7 × 7/9 = (2 × 7) / (7 × 9) = 14/63 = 2/9 (अंश आणि छेदामधून 7 कॅन्सल)
(iii) 3/8 × 6/4 = 18/32 = 9/16
(iv) 9/5 × 3/5 = 27/25 = 1 2/25
(v) 1/3 × 15/8 = 15/24 = 5/8 (संक्षिप्त रूप)
(vi) 11/2 × 3/10 = 33/20 = 1 13/20
(vii) 4/5 × 12/7 = 48/35 = 1 13/35
(i) 2/5 × 5 1/4 = 2/5 × 21/4 = 42/20 = 21/10 = 2 1/10
(ii) 6 2/5 × 7/9 = 32/5 × 7/9 = 224/45 = 4 44/45
(iii) 3/2 × 5 1/3 = 3/2 × 16/3 = 48/6 = 8
(iv) 5/6 × 2 3/7 = 5/6 × 17/7 = 85/42 = 2 1/42
(v) 3 2/5 × 4/7 = 17/5 × 4/7 = 68/35 = 1 33/35
(vi) 2 3/5 × 3 = 13/5 × 3 = 39/5 = 7 4/5
(vii) 3 4/7 × 3/5 = 25/7 × 3/5 = 75/35 = 15/7 = 2 1/7
(i) 3/4 चे 2/7 किंवा 5/8 चे 3/5
पहिली किंमत: 3/4 × 2/7 = 6/28 = 3/14
दुसरी किंमत: 5/8 × 3/5 = 15/40 = 3/8
आता 3/14 आणि 3/8 ची तुलना करू. अंश समान (3) असताना, ज्याचा छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा असतो. 8 हा 14 पेक्षा लहान आहे.
म्हणून, 3/8 > 3/14. म्हणजेच 5/8 चे 3/5 हा अपूर्णांक मोठा आहे.
(ii) 6/7 चे 1/2 किंवा 3/7 चे 2/3
पहिली किंमत: 6/7 × 1/2 = 6/14 = 3/7
दुसरी किंमत: 3/7 × 2/3 = 6/21 = 2/7
आता 3/7 आणि 2/7 ची तुलना करू. छेद समान (7) असताना, ज्याचा अंश मोठा तो अपूर्णांक मोठा असतो. 3 हा 2 पेक्षा मोठा आहे.
म्हणून, 3/7 > 2/7. म्हणजेच 6/7 चे 1/2 हा अपूर्णांक मोठा आहे.
साईलीने एका ओळीत लावलेली एकूण रोपे = 4
त्यामुळे 4 रोपांच्या मध्ये एकूण 3 अंतरे (गॅप्स) तयार होतील.
दोन लगतच्या रोपांमधील अंतर = 3/4 मीटर.
पहिल्या आणि शेवटच्या (चौथ्या) रोपामधील एकूण अंतर = अंतरांची संख्या × दोन रोपांमधील अंतर
एकूण अंतर = 3 × 3/4 = 9/4 मीटर
9/4 मीटर म्हणजेच 2 1/4 मीटर.
लिपिकाने एका दिवसात वाचलेला वेळ = 1 3/4 तास = 7/4 तास.
पुस्तक वाचण्यासाठी लागलेले एकूण दिवस = 6.
एकूण लागलेले तास = दिवसांची संख्या × एका दिवसातील वेळ
एकूण तास = 6 × 7/4 = 42/4 = 21/2 तास.
21/2 तास म्हणजेच 10 1/2 (साडेदहा) तास.
1 लिटर पेट्रोलमध्ये कापलेले अंतर = 16 किमी.
एकूण पेट्रोल = 2 3/4 लिटर = 11/4 लिटर.
एकूण कापलेले अंतर = 1 लिटर मधील अंतर × एकूण पेट्रोल
एकूण अंतर = 16 × 11/4 = (16 / 4) × 11 = 4 × 11 = 44
म्हणून, ती कार 44 किलोमीटर अंतर जाईल.
(a) (i) 2/3 × [ ] = 10/30
अंश: 2 × ? = 10 (म्हणून अंश 5 असेल)
छेद: 3 × ? = 30 (म्हणून छेद 10 असेल)
बॉक्समधील संख्या = 5/10
(ii) मिळालेल्या संख्येचे संक्षिप्त रूप: 5/10 चे संक्षिप्त रूप 1/2 आहे.
(b) (i) 3/5 × [ ] = 24/75
अंश: 3 × ? = 24 (म्हणून अंश 8 असेल)
छेद: 5 × ? = 75 (म्हणून छेद 15 असेल)
बॉक्समधील संख्या = 8/15
(ii) मिळालेल्या संख्येचे संक्षिप्त रूप: 8 आणि 15 मध्ये कोणताही सामायिक अवयव नसल्याने, संक्षिप्त रूप 8/15 हेच राहील.
स्वाध्याय 2.3 (पृष्ठ क्र. 38)
| अपूर्णांक | व्यस्त | वर्गीकरण |
|---|---|---|
| (i) 3/7 | 7/3 | विषम अपूर्णांक |
| (ii) 5/8 | 8/5 | विषम अपूर्णांक |
| (iii) 9/7 | 7/9 | सम अपूर्णांक |
| (iv) 6/5 | 5/6 | सम अपूर्णांक |
| (v) 12/7 | 7/12 | सम अपूर्णांक |
| (vi) 1/8 | 8/1 = 8 | पूर्ण संख्या |
| (vii) 1/11 | 11/1 = 11 | पूर्ण संख्या |
स्वाध्याय 2.4 (पृष्ठ क्र. 43)
स्वाध्याय 2.5 (पान क्र. 48) ची उत्तरे
(i) 0.4 ÷ 2 = 0.2
(ii) 0.35 ÷ 5 = 0.07
(iii) 2.48 ÷ 4 = 0.62
(iv) 65.4 ÷ 6 = 10.9
(v) 651.2 ÷ 4 = 162.8
(vi) 14.49 ÷ 7 = 2.07
(vii) 3.96 ÷ 4 = 0.99
(viii) 0.80 ÷ 5 = 0.16
नियम: दशांश बिंदू 1 स्थान डावीकडे सरकतो.
(i) 4.8 ÷ 10 = 0.48
(ii) 52.5 ÷ 10 = 5.25
(iii) 0.7 ÷ 10 = 0.07
(iv) 33.1 ÷ 10 = 3.31
(v) 272.23 ÷ 10 = 27.223
(vi) 0.56 ÷ 10 = 0.056
(vii) 3.97 ÷ 10 = 0.397
नियम: दशांश बिंदू 2 स्थाने डावीकडे सरकतो.
(i) 2.7 ÷ 100 = 0.027
(ii) 0.3 ÷ 100 = 0.003
(iii) 0.78 ÷ 100 = 0.0078
(iv) 432.6 ÷ 100 = 4.326
(v) 23.6 ÷ 100 = 0.236
(vi) 98.53 ÷ 100 = 0.9853
नियम: दशांश बिंदू 3 स्थाने डावीकडे सरकतो.
(i) 7.9 ÷ 1000 = 0.0079
(ii) 26.3 ÷ 1000 = 0.0263
(iii) 38.53 ÷ 1000 = 0.03853
(iv) 128.9 ÷ 1000 = 0.1289
(v) 0.5 ÷ 1000 = 0.0005
नियम: भाजकातील दशांश काढून टाकण्यासाठी भाज्य आणि भाजक दोन्हीकडे दशांश बिंदू समान स्थाने उजवीकडे सरकवा.
(i) 7 ÷ 3.5 → 70 ÷ 35 = 2
(ii) 36 ÷ 0.2 → 360 ÷ 2 = 180
(iii) 3.25 ÷ 0.5 → 32.5 ÷ 5 = 6.5
(iv) 30.94 ÷ 0.7 → 309.4 ÷ 7 = 44.2
(v) 0.5 ÷ 0.25 → 50 ÷ 25 = 2
(vi) 7.75 ÷ 0.25 → 775 ÷ 25 = 31
(vii) 76.5 ÷ 0.15 → 7650 ÷ 15 = 510
(viii) 37.8 ÷ 1.4 → 378 ÷ 14 = 27
(ix) 2.73 ÷ 1.3 → 27.3 ÷ 13 = 2.1
उकल:
दिलेले आहे:
- 2.4 लिटर पेट्रोलमध्ये आक्रमिलेले अंतर = 43.2 कि.मी.
म्हणून, 1 लिटर पेट्रोलमध्ये आक्रमिलेले अंतर शोधण्यासाठी आपल्याला 43.2 ला 2.4 ने भागावे लागेल.
43.2 ÷ 2.4
दोन्हीकडचे दशांश चिन्ह एक स्थान उजवीकडे सरकवून (किंवा 10 ने गुणून):
= 432 ÷ 24
= 18
उत्तर: ते वाहन 1 लिटर पेट्रोलमध्ये 18 कि.मी. अंतर जाईल.
