IMP मुद्दे: एक चलपदाची रेषीय समीकरणे
- 1. चलपदांचा समावेश असणारी बैजिक समीकरणे समानता दर्शवितात. यामध्ये बरोबर चिन्हाच्या एका बाजूच्या राशीची किंमत ही दुसऱ्या बाजूच्या राशीच्या किंमतीशी समान असते.
- 2. VI, VII आणि VIII वी च्या वर्गात आम्ही अभ्यासलेली समीकरणे एक चलपदाची रेषीय समीकरणे आहेत. या प्रकारच्या समीकरणात फक्त एक चलपद असते आणि ते रेषीय समीकरण असते म्हणजेच, समीकरणात चलपदाचा मोठ्यात मोठा घातांक 1 असतो.
- 3. समीकरणात दोन्ही बाजूला रेषीय राशी असू शकतात. आम्ही VI आणि VII च्या इयत्तेत जी समीकरणे अभ्यासली त्यांच्या एका बाजुला संख्या होती.
- 4. समीकरणाच्या एका बाजूकडील संख्या आणि चलपदे समीकरणाच्या दुसऱ्या बाजुला पक्षांतर करता येतात.
- 5. कांही वेळा समीकरणाची रचना करण्यापूर्वी त्याला नेहमीच्या पध्दतीने सरळ रूप द्यावे लागते. कांही समीकरणे सुरवातीला रेषीय नसली तरी, त्यांना योग्य राशीने दोन्ही बाजूला गुणून रेषीय स्वरूपात आणता येते.
- 6. रेषीय समीकरणांचे अनेक उपयोग आहेत. संख्येंवरील अनेक गणिती उदाहरणे, वय, परिमिती, आणि चलनी नोटांचे एकत्रीकरण इत्यादीवरील उदाहरणे सोडविण्यासाठी रेषीय समीकरणांचा उपयोग होतो.
स्वाध्याय 2.1
खालील समीकरणे सोडवा आणि तुमचे उत्तर पड़ताळा.
1. 3x = 2x + 18
उकल:
3x – 2x = 18
x = 18
x = 18
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = 3(18) = 54
उजवी बाजू (RHS) = 2(18) + 18 = 36 + 18 = 54
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = 2(18) + 18 = 36 + 18 = 54
डावी बाजू = उजवी बाजू.
2. 5t – 3 = 3t – 5
उकल:
5t – 3t = -5 + 3
2t = -2
t = -1
2t = -2
t = -1
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = 5(-1) – 3 = -5 – 3 = -8
उजवी बाजू (RHS) = 3(-1) – 5 = -3 – 5 = -8
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = 3(-1) – 5 = -3 – 5 = -8
डावी बाजू = उजवी बाजू.
3. 5x + 9 = 5 + 3x
उकल:
5x – 3x = 5 – 9
2x = -4
x = -2
2x = -4
x = -2
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = 5(-2) + 9 = -10 + 9 = -1
उजवी बाजू (RHS) = 5 + 3(-2) = 5 – 6 = -1
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = 5 + 3(-2) = 5 – 6 = -1
डावी बाजू = उजवी बाजू.
4. 4z + 3 = 6 + 2z
उकल:
4z – 2z = 6 – 3
2z = 3
z = 3 / 2
2z = 3
z = 3 / 2
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = 4(3 / 2) + 3 = 6 + 3 = 9
उजवी बाजू (RHS) = 6 + 2(3 / 2) = 6 + 3 = 9
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = 6 + 2(3 / 2) = 6 + 3 = 9
डावी बाजू = उजवी बाजू.
5. 2x – 1 = 14 – x
उकल:
2x + x = 14 + 1
3x = 15
x = 5
3x = 15
x = 5
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9
उजवी बाजू (RHS) = 14 – 5 = 9
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = 14 – 5 = 9
डावी बाजू = उजवी बाजू.
6. 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
उकल:
8x + 4 = 3x – 3 + 7
8x + 4 = 3x + 4
8x – 3x = 4 – 4
5x = 0
x = 0
8x + 4 = 3x + 4
8x – 3x = 4 – 4
5x = 0
x = 0
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = 8(0) + 4 = 4
उजवी बाजू (RHS) = 3(0 – 1) + 7 = -3 + 7 = 4
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = 3(0 – 1) + 7 = -3 + 7 = 4
डावी बाजू = उजवी बाजू.
7. x = (4 / 5)(x + 10)
उकल:
समीकरणाला 5 ने गुणून:
5x = 4(x + 10)
5x = 4x + 40
5x – 4x = 40
x = 40
5x = 4(x + 10)
5x = 4x + 40
5x – 4x = 40
x = 40
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = 40
उजवी बाजू (RHS) = (4 / 5)(40 + 10) = (4 / 5)(50) = 40
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = (4 / 5)(40 + 10) = (4 / 5)(50) = 40
डावी बाजू = उजवी बाजू.
8. (2x / 3) + 1 = (7x / 15) + 3
उकल:
(2x / 3) – (7x / 15) = 3 – 1
छेद समान करून (लसावि 15):
(10x / 15) – (7x / 15) = 2
3x / 15 = 2
x / 5 = 2
x = 10
छेद समान करून (लसावि 15):
(10x / 15) – (7x / 15) = 2
3x / 15 = 2
x / 5 = 2
x = 10
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = (2(10) / 3) + 1 = 20 / 3 + 3 / 3 = 23 / 3
उजवी बाजू (RHS) = (7(10) / 15) + 3 = 70 / 15 + 45 / 15 = 115 / 15 = 23 / 3
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = (7(10) / 15) + 3 = 70 / 15 + 45 / 15 = 115 / 15 = 23 / 3
डावी बाजू = उजवी बाजू.
9. 2y + (5 / 3) = (26 / 3) – y
उकल:
2y + y = (26 / 3) – (5 / 3)
3y = 21 / 3
3y = 7
y = 7 / 3
3y = 21 / 3
3y = 7
y = 7 / 3
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = 2(7 / 3) + 5 / 3 = 14 / 3 + 5 / 3 = 19 / 3
उजवी बाजू (RHS) = (26 / 3) – (7 / 3) = 19 / 3
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = (26 / 3) – (7 / 3) = 19 / 3
डावी बाजू = उजवी बाजू.
10. 3m = 5m – (8 / 5)
उकल:
8 / 5 = 5m – 3m
2m = 8 / 5
m = 8 / (5 * 2)
m = 8 / 10 = 4 / 5
2m = 8 / 5
m = 8 / (5 * 2)
m = 8 / 10 = 4 / 5
पडताळा:
डावी बाजू (LHS) = 3(4 / 5) = 12 / 5
उजवी बाजू (RHS) = 5(4 / 5) – (8 / 5) = 20 / 5 – 8 / 5 = 12 / 5
डावी बाजू = उजवी बाजू.
उजवी बाजू (RHS) = 5(4 / 5) – (8 / 5) = 20 / 5 – 8 / 5 = 12 / 5
डावी बाजू = उजवी बाजू.
स्वाध्याय 2.2
खालील रेषीय समीकरणे सोडवा.
1. x/2 – 1/5 = x/3 + 1/4
उकल:
x/2 – x/3 = 1/4 + 1/5 (x पदे एका बाजूला घेऊन)
(3x – 2x) / 6 = (5 + 4) / 20
x / 6 = 9 / 20
x = (9 × 6) / 20
x = 54 / 20
x = 27/10
2. n/2 – 3n/4 + 5n/6 = 21
उकल:
2, 4 आणि 6 चा लसावि 12 आहे.
(6n – 9n + 10n) / 12 = 21
7n / 12 = 21
7n = 21 × 12
n = (21 × 12) / 7
n = 3 × 12
n = 36
3. x + 7 – 8x/3 = 17/6 – 5x/2
उकल:
x – 8x/3 + 5x/2 = 17/6 – 7
डाव्या आणि उजव्या बाजूचा लसावि 6 काढून:
(6x – 16x + 15x) / 6 = (17 – 42) / 6
दोन्ही बाजूंचे छेद समान असल्याने, छेद काढून टाकू:
6x – 16x + 15x = 17 – 42
5x = -25
x = -25 / 5
x = -5
4. (x – 5) / 3 = (x – 3) / 5
उकल:
तिरकस गुणाकार करून,
5(x – 5) = 3(x – 3)
5x – 25 = 3x – 9
5x – 3x = 25 – 9
2x = 16
x = 16 / 2
x = 8
5. (3t – 2) / 4 – (2t + 3) / 3 = 2/3 – t
उकल:
दोन्ही बाजूंना 12 ने गुणून (4 आणि 3 चा लसावि),
12 × [(3t – 2) / 4] – 12 × [(2t + 3) / 3] = 12 × [2/3] – 12 × t
3(3t – 2) – 4(2t + 3) = 8 – 12t
9t – 6 – 8t – 12 = 8 – 12t
t – 18 = 8 – 12t
t + 12t = 8 + 18
13t = 26
t = 2
6. m – (m – 1) / 2 = 1 – (m – 2) / 3
उकल:
दोन्ही बाजूंना 6 ने गुणून (2 आणि 3 चा लसावि),
6m – 3(m – 1) = 6 – 2(m – 2)
6m – 3m + 3 = 6 – 2m + 4
3m + 3 = 10 – 2m
3m + 2m = 10 – 3
5m = 7
m = 7/5
खालील रेषीय समीकरणे साधे स्वरूप देऊन सोडवा.
7. 3(t – 3) = 5(2t + 1)
उकल:
3t – 9 = 10t + 5
3t – 10t = 5 + 9
-7t = 14
t = 14 / (-7)
t = -2
8. 15(y – 4) – 2(y – 9) + 5(y + 6) = 0
उकल:
15y – 60 – 2y + 18 + 5y + 30 = 0
(15y – 2y + 5y) + (-60 + 18 + 30) = 0
18y – 12 = 0
18y = 12
y = 12 / 18
y = 2/3
9. 3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17
उकल:
15z – 21 – 18z + 22 = 32z – 52 – 17
-3z + 1 = 32z – 69
-3z – 32z = -69 – 1
-35z = -70
z = -70 / (-35)
z = 2
10. 0.25(4f – 3) = 0.05(10f – 9)
उकल:
दोन्ही बाजूंना 100 ने गुणून,
25(4f – 3) = 5(10f – 9)
100f – 75 = 50f – 45
100f – 50f = -45 + 75
50f = 30
f = 30 / 50
f = 3/5 (किंवा 0.6)
सराव प्रश्न – एक चलपदाची रेषीय समीकरणे
1. समीकरणात कोणते चिन्ह वापरले जाते?
समीकरणात समानता (=) चिन्ह वापरतात.
2. रेषीय राशीमध्ये चलपदाचा मोठा घातांक किती असतो?
रेषीय राशीमध्ये चलपदाचा मोठा घातांक 1 असतो.
3. समीकरणात बरोबर चिन्हाच्या डाव्या बाजूला असणाऱ्या राशीला काय म्हणतात?
बरोबर चिन्हाच्या डाव्या बाजूला असणाऱ्या राशीला डावी बाजू (LHS) म्हणतात.
4. समीकरणात बरोबर चिन्हाच्या उजव्या बाजूला असणाऱ्या राशीला काय म्हणतात?
बरोबर चिन्हाच्या उजव्या बाजूला असणाऱ्या राशीला उजवी बाजू (RHS) म्हणतात.
5. 2x – 3 = 7 या समीकरणात डावी बाजू कोणती आहे?
2x – 3 ही डावी बाजू आहे.
6. एक चलपदाच्या रेषीय समीकरणात किती चलपदे असतात?
या प्रकारच्या समीकरणात फक्त 1 चलपद असते.
7. दोन राशींच्या किंमतीची समानता म्हणजे काय?
दोन राशींच्या किंमतीची समानता म्हणजे समीकरण होय.
8. समीकरणाची उकल म्हणजे काय?
समीकरणात डावी बाजू आणि उजवी बाजू यांच्यातील राशींची किंमत समान असते, ज्या किंमतीवर हे सत्य असते त्या किंमती त्या समीकरणाची उकली असतात.
9. 2x – 3 = x + 2 या समीकरणात उजवी बाजू कोणती आहे?
या समीकरणात उजवी बाजू x + 2 आहे.
10. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूतून x वजा करणे म्हणजे काय?
दोन्ही बाजूतून x वजा करणे म्हणजे डाव्या बाजूकडे x पक्षांतर करणे.
11. समीकरण सोडवताना दोन्ही बाजूला समान बैजिक क्रिया केल्यास समानतेला काय होते?
समीकरणाच्या दोन्ही बाजुला समान बैजिक क्रिया केल्यास समानतेला धक्का पोहोचत नाही.
12. 2x – 3 = 7 या समीकरणाची उकल काय आहे?
x = 5 ही समीकरणाची उकल आहे.
13. समीकरण साध्या स्वरूपात आणताना दोन्ही बाजूंना कशाने गुणता येते?
समीकरणाच्या दोन्ही बाजूला छेदांच्या लसावि ने गुणता येते.
14. रेषीय समीकरणांचा उपयोग कशासाठी होतो?
संख्येंवरील अनेक गणिती उदाहरणे, वय, परिमिती, चलनी नोटांचे एकत्रीकरण इत्यादीवरील उदाहरणे सोडविण्यासाठी रेषीय समीकरणांचा उपयोग होतो.
15. कांही समीकरणे सुरवातीला रेषीय नसली तरी त्यांना रेषीय स्वरूपात कसे आणता येते?
कांही समीकरणे सुरवातीला रेषीय नसली तरी, त्यांना योग्य राशीने दोन्ही बाजूला गुणून रेषीय स्वरूपात आणता येते.
