प्रकरण 3: चौकोनांचे आकलन – महत्वाचे मुद्दे
बहुभुजाकृती (Polygons)
- फक्त रेषाखंडांनी बनलेल्या साध्या बंदिस्त आकृतीला बहुभुजाकृती म्हणतात.
- ज्या बहिर्वक्र बहुभुजाकृती (Convex polygons) आहेत त्यांच्या कर्णांचा कोणताही भाग बाह्यभागात नसतो.
- नियमित (सुसम) बहुभुजाकृतीमध्ये सर्व कोन समान आणि सर्व बाजू समान असतात.
- कोणत्याही बहुभुजाकृतीच्या सर्व बाह्यकोनांची बेरीज 360° असते.
चौकोनांचे प्रकार आणि त्यांचे गुणधर्म
- समलंब चौकोन (Trapezium): हा असा चौकोन आहे ज्याची बाजूची एक जोडी समांतर असते.
- पतंग (Kite): यात दोन लगतच्या बाजूंच्या जोड्या अचूक आणि समान लांबीच्या असतात. पतंगाचे कर्ण परस्परांना लंब असतात आणि एक कर्ण दुसऱ्या कर्णाला दुभागतो.
- समांतरभुज चौकोन (Parallelogram): समांतरभुज चौकोन हा असा चौकोन आहे की ज्याच्या विरुद्ध बाजू समांतर असतात. या चौकोनात लगतचे (संलग्न) कोन पूरक कोन असतात.
| चौकोनाचा प्रकार | प्रमुख गुणधर्म |
|---|---|
| समांतरभुज चौकोन |
|
| समभुज चौकोन (Rhombus) |
|
| आयत (Rectangle) |
|
| चौरस (Square) |
|
स्वाध्याय 3.1
प्रश्न 1: येथे काही आकृत्या दिलेल्या आहेत (1 ते 8). त्यातील, प्रत्येकीचे वर्गीकरण खालील आधारानुसार करा.
- (a) साधी वक्र: 1, 2, 5, 6, 7
- (b) साधी बंदिस्त वक्र: 1, 2, 5, 6, 7
- (c) बहुभुजाकृती: 1, 2
- (d) बर्हिर्वक्र भुजाकृती: 2
- (e) अंतर्वक्र बहुभुजाकृती: 1
प्रश्न 2: सुसम बहुभुजाकृती म्हणजे काय ? खालील सुसम बहुभुजाकृतींना नांवे द्या.
उत्तर: नियमित (सुसम) बहुभुजाकृतील सर्व कोन समान आणि सर्व बाजू समान असतात.
- (a) 3 बाजू: समभुज त्रिकोण
- (b) 4 बाजू: चौरस
- (c) 6 बाजू: सुसम षटकोन
स्वाध्याय 3.2 – संपूर्ण उत्तरे
1. खालील आकृतीमध्ये x चे माप शोधा.
(a) उकल (त्रिकोणासाठी):
कोणत्याही बहुभुजाकृतीच्या सर्व बाह्यकोनांची बेरीज 360° असते.
येथे, 125° + 125° + x = 360°
250° + x = 360°
x = 360° – 250°
x = 110°
(b) उकल (पंचकोनासाठी):
आकृतीतील बाह्यकोन अनुक्रमे x, 70°, 90°, 60° आणि 90° आहेत (कारण एक आंतरकोन 90° असल्याने त्याचा रेषीय जोडीतील बाह्यकोनही 90° असेल).
x + 70° + 90° + 60° + 90° = 360°
x + 310° = 360°
x = 360° – 310°
x = 50°
2. खालील प्रमाणे बाजू असणाऱ्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बाह्यकोनाचे माप काढा.
कोणत्याही बहुभुजाकृतीच्या सर्व बाह्यकोनांची बेरीज 360° असते.
प्रत्येक बाह्यकोनाचे माप = 360° / बाजुंची संख्या
(i) 9 बाजू:
बाह्यकोनाचे माप = 360° / 9
उत्तर = 40°
(ii) 15 बाजू:
बाह्यकोनाचे माप = 360° / 15
उत्तर = 24°
3. प्रत्येक बाह्यकोनाचे माप 24° असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीला किती बाजू असतील?
सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजुंची संख्या = 360° / प्रत्येक बाह्यकोनाचे माप
बाजुंची संख्या = 360 / 24
बाजुंची संख्या = 15
4. सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक आंतरकोनाचे माप 165° असल्यास त्याच्या बाजुंची संख्या किती असेल?
येथे आंतरकोन = 165°
आंतरकोन आणि बाह्यकोन हे रेषीय जोडीतील कोन असतात.
म्हणून, बाह्यकोनाचे माप = 180° – 165° = 15°
बाजुंची संख्या = 360° / बाह्यकोनाचे माप
बाजुंची संख्या = 360 / 15
बाजुंची संख्या = 24
5. (a) प्रत्येक बाह्यकोनाचे माप 22° असलेली सुसम बहुभुजाकृती शक्य आहे काय?
(b) वरील कोन एका सुसम बहुभुजाकृतीचा आंतरकोन असू शकतो का? असल्यास का?
(b) वरील कोन एका सुसम बहुभुजाकृतीचा आंतरकोन असू शकतो का? असल्यास का?
(a) उकल: नाही. सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजुंची संख्या पूर्णांकात असणे आवश्यक आहे. 360 ला 22 ने पूर्ण भाग जात नाही (360 / 22 = 16.36). त्यामुळे अशी बहुभुजाकृती शक्य नाही.
(b) उकल: नाही. जर आंतरकोन 22° असेल, तर बाह्यकोन 180° – 22° = 158° होईल. 360 ला 158 ने पूर्ण भाग जात नाही. त्यामुळे हा सुसम बहुभुजाकृतीचा आंतरकोन असू शकत नाही.
6. (a) एका सुसम बहुभुजाकृतीला कमीतकमी किती मापाचा आंतरकोन असू शकतो? का?
(b) एका सुसम बहुभुजाकृतीला जास्तीत जास्त किती मापाचा बाह्यकोन असू शकतो?
(b) एका सुसम बहुभुजाकृतीला जास्तीत जास्त किती मापाचा बाह्यकोन असू शकतो?
(a) उकल: कमीत कमी 3 बाजू असलेली सुसम बहुभुजाकृती म्हणजे ‘समभुज त्रिकोण’ होय. समभुज त्रिकोणाचा प्रत्येक आंतरकोन 60° असतो. म्हणून, कोणत्याही सुसम बहुभुजाकृतीला कमीत कमी 60° मापाचा आंतरकोन असू शकतो.
(b) उकल: आंतरकोन आणि बाह्यकोन रेषीय जोडीत असतात. जेव्हा आंतरकोन सर्वात कमी (60°) असतो, तेव्हा बाह्यकोन सर्वात जास्त असतो. म्हणून, जास्तीत जास्त बाह्यकोनाचे माप = 180° – 60° = 120° असू शकते.
स्वाध्याय 3.3 – संपूर्ण उत्तरे
1. ABCD हा समांतरभुज चौकोन दिलेला आहे. वापरलेल्या व्याख्या किंवा गुणधर्मावरून खालील विधाने पूर्ण करा.
- AD = BC (कारण: समांतरभुज चौकोनाच्या संमुख बाजू समान लांबीच्या असतात.)
- ∠DCB = ∠DAB (कारण: समांतरभुज चौकोनाचे संमुख कोन समान मापाचे असतात.)
- OC = OA (कारण: समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात.)
- m∠DAB + m∠CDA = 180° (कारण: समांतरभुज चौकोनात लगतचे कोन पूरक असतात.)
2. खालील समांतरभुज चौकोन विचारात घ्या आणि त्यातील x, y, z च्या किंमती काढा.
- y = 100° (संमुख कोन).
x = 180° – 100° = 80° (लगतचे कोन पूरक असतात).
z = 80° (x चा संमुख कोन). - y = 180° – 50° = 130° (लगतचे कोन).
x = 180° – 50° = 130° (लगतचे कोन).
z = 130° (x शी संगत कोन किंवा 50° च्या संमुख कोनाचा बाह्यकोन). - कर्ण एकमेकांना काटकोनात छेदत आहेत, म्हणून हा समभुज चौकोन आहे. x = 90°.
त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° असते, म्हणून y + x + 30° = 180° → y + 120° = 180° → y = 60°.
z = y = 60° (व्युत्क्रम कोन). - y = 80° (संमुख कोन).
x = 180° – 80° = 100° (लगतचे कोन).
z = 80° (80° कोनाचा संगत कोन). - y = 112° (संमुख कोन).
त्रिकोणामध्ये: 40° + y + x = 180° → 40° + 112° + x = 180° → 152° + x = 180° → x = 28°.
z = x = 28° (व्युत्क्रम कोन).
3. चौकोन ABCD हा समांतरभुज चौकोन असू शकतो का? जर:
- ∠D + ∠B = 180° ? होय, असू शकतो (जर तो आयत किंवा चौरस असेल), परंतु तो नेहमीच समांतरभुज चौकोन असेल असे नाही.
- AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm आणि BC = 4.4 cm ? नाही, कारण समांतरभुज चौकोनात संमुख बाजूंच्या दोन्ही जोड्या समान लांबीच्या असणे आवश्यक आहे. येथे AD आणि BC ची लांबी समान नाही.
- ∠A = 70° आणि ∠C = 65° ? नाही, कारण समांतरभुज चौकोनाचे संमुख कोन समान मापाचे असतात. येथे 70° आणि 65° समान नाहीत.
4. समांतरभुज चौकोन नसलेल्या एका चौकोनाची कच्ची आकृती काढा परंतु त्याचे दोन सम्मुख कोन समान मापाचे आहेत.
याचे उत्तम उदाहरण म्हणजे पतंग (Kite). पतंग हा समांतरभुज चौकोन नसतो, परंतु त्याच्या संमुख कोनांची एक जोडी (ज्या बाजू समान लांबीच्या नसतात त्यांच्या मधील कोन) समान मापाची असते.
5. एका समांतरभुज चौकोनाच्या लगतच्या दोन कोनांच्या मापाचे गुणोत्तर 3:2 आहे. तर त्या समांतरभुज चौकोनाच्या प्रत्येक कोनाचे माप काढा.
समजा लगतचे कोन 3a आणि 2a आहेत.
समांतरभुज चौकोनात लगतचे कोन पूरक असतात.
म्हणून, 3a + 2a = 180°
5a = 180° → a = 36°.
पहिला कोन = 3 × 36° = 108°.
दुसरा कोन = 2 × 36° = 72°.
उत्तर: त्या चौकोनाचे चार कोन 108°, 72°, 108° आणि 72° असतील.
समांतरभुज चौकोनात लगतचे कोन पूरक असतात.
म्हणून, 3a + 2a = 180°
5a = 180° → a = 36°.
पहिला कोन = 3 × 36° = 108°.
दुसरा कोन = 2 × 36° = 72°.
उत्तर: त्या चौकोनाचे चार कोन 108°, 72°, 108° आणि 72° असतील.
6. समांतरभुज चौकोनाच्या दोन लगतच्या कोनांची मापे समान आहेत. समांतरभुज चौकोनाच्या प्रत्येक कोनाचे माप काढा.
समजा लगतचे दोन्ही कोन x आहेत.
लगतच्या कोनांची बेरीज 180° असते.
x + x = 180° → 2x = 180° → x = 90°.
उत्तर: त्या समांतरभुज चौकोनाचा प्रत्येक कोन 90° मापाचा असेल (हा एक आयत आहे).
लगतच्या कोनांची बेरीज 180° असते.
x + x = 180° → 2x = 180° → x = 90°.
उत्तर: त्या समांतरभुज चौकोनाचा प्रत्येक कोन 90° मापाचा असेल (हा एक आयत आहे).
7. बाजूची आकृती समांतरभुज चौकोन HOPE आहे. x, y आणि z यांची मापे काढा. ती शोधण्यासाठी उपयोग आणलेले गुणधर्म लिहा.
बाह्यकोन 70° आहे.
अंतर्कोन ∠HOP = 180° – 70° = 110° (रेषीय जोडीतील कोन).
x = 110° (संमुख कोन समान असतात).
y = 40° (EP || HO, म्हणून ते व्युत्क्रम कोन आहेत).
बाह्यकोनाच्या गुणधर्मानुसार (त्रिकोण EPH मध्ये), बाह्यकोन = विरुद्ध अंतर्कोनांची बेरीज.
70° = 40° + z → z = 30°.
अंतर्कोन ∠HOP = 180° – 70° = 110° (रेषीय जोडीतील कोन).
x = 110° (संमुख कोन समान असतात).
y = 40° (EP || HO, म्हणून ते व्युत्क्रम कोन आहेत).
बाह्यकोनाच्या गुणधर्मानुसार (त्रिकोण EPH मध्ये), बाह्यकोन = विरुद्ध अंतर्कोनांची बेरीज.
70° = 40° + z → z = 30°.
8. खालील आकृत्यामध्ये GUNS आणि RUNS हे समांतरभुज चौकोन आहेत. तर x आणि y च्या किंमती काढा. (लांबी सेंमीमध्ये आहे)
(i) GUNS: (संमुख बाजू समान असतात)
3y – 1 = 26 → 3y = 27 → y = 9.
3x = 18 → x = 6.
(ii) RUNS: (कर्ण परस्परांना दुभागतात)
y + 7 = 20 → y = 13.
x + y = 16 → x + 13 = 16 → x = 3.
3y – 1 = 26 → 3y = 27 → y = 9.
3x = 18 → x = 6.
(ii) RUNS: (कर्ण परस्परांना दुभागतात)
y + 7 = 20 → y = 13.
x + y = 16 → x + 13 = 16 → x = 3.
9. दिलेल्या आकृतीत RISK आणि CLUE हे दोन्ही समांतरभुज चौकोन आहेत. x ची किंमत शोधा.
समांतरभुज चौकोन RISK मध्ये:
∠K = 120°. म्हणून लगतचा कोन ∠RIS = 180° – 120° = 60°.
समांतरभुज चौकोन CLUE मध्ये:
∠L = 70°. म्हणून संमुख कोन ∠CEU = 70°.
मध्यभागी तयार होणाऱ्या छोट्या त्रिकोणाचा विचार करा. त्या त्रिकोणाचे दोन कोन 60° आणि 70° आहेत.
त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म: x + 60° + 70° = 180°.
x + 130° = 180° → x = 50°.
∠K = 120°. म्हणून लगतचा कोन ∠RIS = 180° – 120° = 60°.
समांतरभुज चौकोन CLUE मध्ये:
∠L = 70°. म्हणून संमुख कोन ∠CEU = 70°.
मध्यभागी तयार होणाऱ्या छोट्या त्रिकोणाचा विचार करा. त्या त्रिकोणाचे दोन कोन 60° आणि 70° आहेत.
त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म: x + 60° + 70° = 180°.
x + 130° = 180° → x = 50°.
10. बाजूला दिलेली आकृती समलंब चौकोन कशी आहे त्याचे वर्णन करा. कोणत्या दोन बाजू समांतर आहेत ?
येथे ∠M = 100° आणि ∠L = 80° दिलेले आहेत.
∠M + ∠L = 100° + 80° = 180°.
जेव्हा छेदिकेच्या एकाच बाजूकडील आंतरकोन पूरक असतात, तेव्हा त्या दोन रेषा समांतर असतात.
म्हणून, रेषा NM || KL.
चौकोनात संमुख बाजूंची एक जोडी समांतर असल्यामुळे, तो समलंब चौकोन (Trapezium) आहे.
∠M + ∠L = 100° + 80° = 180°.
जेव्हा छेदिकेच्या एकाच बाजूकडील आंतरकोन पूरक असतात, तेव्हा त्या दोन रेषा समांतर असतात.
म्हणून, रेषा NM || KL.
चौकोनात संमुख बाजूंची एक जोडी समांतर असल्यामुळे, तो समलंब चौकोन (Trapezium) आहे.
11. आकृती 3.27 मध्ये जर AB || DC तर m∠C काढा.
AB || DC असल्यामुळे, छेदिका BC मुळे तयार होणारे आंतरकोन पूरक असतात.
∠B + ∠C = 180°
120° + ∠C = 180°
∠C = 60°.
∠B + ∠C = 180°
120° + ∠C = 180°
∠C = 60°.
12. आकृती 3.28 मध्ये SP || RQ. तर ∠P आणि ∠S ची मापे काढा.
दिले आहे SP || RQ.
∠R = 90° दिलेला आहे. आंतरकोन पूरक असतात, म्हणून ∠S + ∠R = 180°.
∠S + 90° = 180° → ∠S = 90°.
तसेच, ∠P आणि ∠Q हे देखील आंतरकोन आहेत.
∠P + 130° = 180° → ∠P = 50°.
(इतर पद्धत: चौकोनाच्या सर्व कोनांची बेरीज 360° असते हा गुणधर्म वापरूनही ∠P काढता येतो. 90° + 90° + 130° + ∠P = 360° → 310° + ∠P = 360° → ∠P = 50°).
∠R = 90° दिलेला आहे. आंतरकोन पूरक असतात, म्हणून ∠S + ∠R = 180°.
∠S + 90° = 180° → ∠S = 90°.
तसेच, ∠P आणि ∠Q हे देखील आंतरकोन आहेत.
∠P + 130° = 180° → ∠P = 50°.
(इतर पद्धत: चौकोनाच्या सर्व कोनांची बेरीज 360° असते हा गुणधर्म वापरूनही ∠P काढता येतो. 90° + 90° + 130° + ∠P = 360° → 310° + ∠P = 360° → ∠P = 50°).
स्वाध्याय 3.4 – उत्तरे
1. चूक की बरोबर ते सांगा.
(a) सर्व आयत चौरस असतात.
उत्तर: चूक (कारण आयताच्या सर्व बाजू समान नसतात).
(b) सर्व समभुज चौकोन हे समांतरभुज चौकोन असतात.
उत्तर: बरोबर.
(c) सर्व चौरस हे समभुज चौकोन आणि आयत सुध्दा असतात.
उत्तर: बरोबर.
(d) सर्व चौरस हे समांतरभुज चौकोन नसतात.
उत्तर: चूक.
(e) सर्व पतंग हे समभुज चौकोन असतात.
उत्तर: चूक (कारण पतंगाच्या सर्व बाजू समान नसतात).
(f) सर्व समभुज चौकोन हे पतंग असतात.
उत्तर: बरोबर.
(g) सर्व समांतरभुज चौकोन हे समलंब चौकोन असतात.
उत्तर: बरोबर.
(h) सर्व चौरस हे समलंब चौकोन असतात.
उत्तर: बरोबर.
2. सर्व चौकोन ओळखा:
(a) चारही बाजू समान लांबी असलेले.
उत्तर: समभुज चौकोन आणि चौरस.
(b) चारही कोन काटकोन असलेले.
उत्तर: आयत आणि चौरस.
3. चौरस कसा आहे ते स्पष्ट करा.
(i) चौकोन
उत्तर: चौरसाला 4 बाजू असतात, म्हणून तो एक चौकोन आहे.
(ii) समांतरभुज चौकोन
उत्तर: चौरसाच्या विरुद्ध बाजू एकमेकांना समांतर असतात, म्हणून तो समांतरभुज चौकोन आहे.
(iii) समभुज चौकोन
उत्तर: चौरसाच्या चारही बाजू समान लांबीच्या असतात, म्हणून तो समभुज चौकोन आहे.
(iv) आयत
उत्तर: चौरसाचे चारही कोन काटकोन (90 अंश) असतात, म्हणून तो एक आयत सुद्धा आहे.
4. खालील प्रमाणे कर्ण असणाऱ्या चौकोनांची नावे लिहा.
(a) एकमेकांना दुभागतात.
उत्तर: समांतरभुज चौकोन, आयत, समभुज चौकोन आणि चौरस.
(b) एकमेकांचे लंबदुभाजक असतात.
उत्तर: समभुज चौकोन आणि चौरस.
(c) समान असतात.
उत्तर: आयत आणि चौरस.
5. आयत हा बहिर्वक्र चौकोन का आहे त्याचे वर्णन करा.
उत्तर: आयताचा कोणताही कोन 180 अंशांपेक्षा मोठा नसतो. तसेच त्याचे दोन्ही कर्ण आकृतीच्या पूर्णपणे आंतरभागात (आतल्या बाजूला) असतात. या गुणधर्मामुळे आयत हा एक बहिर्वक्र चौकोन आहे.
6. ABC हा काटकोन त्रिकोण असून त्याच्या काटकोना समोरील बाजूचा मध्यबिंदू ‘O’ आहे. तर ‘O’ बिंदू A, B आणि C पासून समान अंतरावर का आहे ते स्पष्ट करा. (तुम्हाला मदत व्हावी म्हणून तुटक रेषा काढल्या आहेत).
उत्तर: जर आपण दिलेल्या आकृतीतील तुटक रेषा पूर्ण केल्या, तर ABCD हा एक आयत तयार होतो. आपल्याला माहित आहे की आयताचे कर्ण लांबीने समान असतात आणि ते परस्परांना दुभागतात. त्यामुळे बिंदू O हा AC आणि BD या दोन्ही कर्णांचा मध्यबिंदू ठरतो. म्हणजेच, OA = OB = OC = OD. या कारणास्तव ‘O’ हा बिंदू A, B आणि C पासून समान अंतरावर आहे.
इयत्ता 8 वी गणित: चौकोनांचे आकलन – सराव प्रश्न
1. कोणत्याही बहुभुजाकृतीच्या सर्व बाह्यकोनांची बेरीज किती असते?
कोणत्याही बहुभुजाकृतीच्या सर्व बाह्यकोनांची बेरीज 360° असते.
2. समलंब चौकोन (trapezium) म्हणजे काय?
समलंब चौकोन हा असा चौकोन आहे ज्याची बाजुची एक जोडी समांतर असते.
3. समांतरभुज चौकोनाच्या संमुख (समोरासमोरील) बाजुंचा गुणधर्म काय आहे?
समांतरभुज चौकोनाच्या संमुख बाजू समान लांबीच्या असतात.
4. समांतरभुज चौकोनाच्या लगतच्या (संलग्न) कोनांचा गुणधर्म सांगा.
समांतरभुज चौकोनात लगतचे (संलग्न) कोन पूरक कोन असतात.
5. कोणत्या प्रकारच्या चौकोनाचे कर्ण एकमेकांचे लंबदुभाजक असतात?
समभुज चौकोनाचे आणि चौरसाचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात.
6. आयताचा प्रत्येक कोन किती अंशाचा असतो?
आयताचा प्रत्येक कोन 90° (काटकोन) असतो.
7. कोणत्या प्रकारच्या समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण समान लांबीचे असतात?
आयत आणि चौरस यांचे कर्ण समान लांबीचे असतात.
8. नियमित (सुसम) बहुभुजाकृती म्हणजे काय?
नियमित बहुभुजाकृतील सर्व कोन समान आणि सर्व बाजू समान असतात (बहुभुजाकृती समकोन व समभुज असते).
9. चौरसाची व्याख्या कशी केली जाते?
चौरस हा समान बाजू असलेला आयत आहे.
10. समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना काय करतात?
समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना (एकमेकांना) दुभागतात.
