सराव परीक्षेपूर्वी उजळणी (Quick Revision)
(मित्रांनो, Quiz सोडवण्याआधी हे महत्त्वाचे नियम आणि सूत्रे नक्की वाचा!)
१. दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांची जोडी (Linear Equations):
सामान्य रूप:
\( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) आणि \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)
आलेखाचे स्वरूप आणि उकली ओळखण्याची सोपी पद्धत:
१) जर \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) असेल रेषा एकमेकींना छेदतात (Intersecting Lines). याला एकच (अद्वितीय) उकल असते आणि जोडी ‘सुसंगत’ असते.
२) जर \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) असेल रेषा एकरेषीय/संपाती (Coincident Lines) असतात. याला अनंत अनेक उकली असतात आणि जोडी ‘सुसंगत’ किंवा ‘अवलंबून’ असते.
३) जर \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) असेल रेषा समांतर (Parallel Lines) असतात. याला उकल नसते आणि जोडी ‘विसंगत’ असते.
बैजिक पद्धती का वापराव्या? जेव्हा आलेखातील छेदबिंदूचे निर्देशक अपूर्णांक किंवा अपरिमेय (उदा. \( \sqrt{3}, \frac{1}{7} \)) असतात, तेव्हा अचूक उकल काढण्यासाठी ‘पर्यायी पद्धत’ (Substitution) किंवा ‘लोप पद्धत’ (Elimination) या बैजिक पद्धतींचा वापर केला जातो.
२. अंकगणिती क्रम (Arithmetic Progressions – AP):
AP मध्ये पहिले पद सोडून पुढील प्रत्येक पद हे मागील पदात एक निश्चित संख्या मिळवून मिळते. या निश्चित संख्येला सामाईक फरक (d) म्हणतात.
AP चे \( n \) वे पद काढण्याचे सूत्र:
\( a_n = a + (n – 1)d \)
पहिल्या \( n \) पदांची बेरीज काढण्याचे सूत्र:
\( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n – 1)d] \)
जर शेवटचे पद ‘l’ दिले असेल, तर बेरजेचे सूत्र:
\( S = \frac{n}{2} (a + l) \)
बोर्ड परीक्षेसाठी खास टिप्स (Exam Strategy):
प्रश्न काळजीपूर्वक वाचा: परीक्षेत ‘पर्यायी पद्धत’ विचारली आहे की ‘लोप पद्धत’ हे ओळखूनच सोडवायला सुरुवात करा.
चिन्हांच्या चुका टाळा: लोप पद्धतीत वजाबाकी करताना (-) चिन्हामुळे समीकरणातील पुढील सर्व चिन्हे बदलतात, विद्यार्थ्यांचे बहुतांश गुण इथेच कापले जातात.
उकलीचा पडताळा घ्या: शेवटी आलेली x आणि y ची किंमत मूळ समीकरणात ठेवून तुमचे उत्तर बरोबर असल्याची खात्री परीक्षेतच करून घ्या.
इयत्ता 10 वी: गणित
दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणांची जोडी – सराव परीक्षा (१५ गुण)
