10वी गणित प्रश्नोत्तरे:
प्रकरण 5 – अंकगणिती क्रम (IMP Points)
- अंकगणिती क्रम (Arithmetic Progression): अंकगणिती क्रम म्हणजे संख्यांची अशी यादी आहे की, ज्यामध्ये मिळणारे प्रत्येक पद हे एक निश्चित संख्या d ही मागील पदात मिळविली जाते (पहिले पद सोडून).
- सामान्य फरक (Common Difference): अंकगणिती क्रमात मिळवल्या जाणाऱ्या निश्चित संख्या d ला ‘सामान्य फरक’ असे म्हणतात. हा फरक धन, ऋण किंवा 0 असू शकतो.
- सामान्य नमुना (General Form): A.P चा सामान्य नमुना a, a+d, a+2d, a+3d… असा असतो, जेथे ‘a’ हे पहिले पद आहे.
- A.P. ओळखण्याची पद्धत: दिलेल्या संख्यांची यादी a1, a2, a3 ही AP आहे जर त्यांचा फरक a2-a1, a3-a2, a4-a3 समान असेल.
- n वे पद काढण्याचे सूत्र: पहिले पद a व सामान्य फरक d असणाऱ्या AP चे n वे पद काढण्याचे सूत्र an = a + (n – 1)d आहे.
- पहिल्या n पदांची बेरीज (Sum of first n terms): AP च्या पहिल्या n पदांची बेरीज काढण्याचे सूत्र Sn = n/2 [2a + (n – 1)d] आहे.
- शेवटचे पद दिले असताना बेरीज: जर l हे AP चे शेवटचे पद असेल तर n पदांची बेरीज S = n/2 (a + l) या सूत्राने काढता येते.
- अंकगणिती मध्य (Arithmetic Mean): जर a, b, c ही पदे AP ची आहेत तर b = (a + c) / 2 असते आणि b ला a आणि c चा अंकगणिती मध्य म्हणतात.
स्वाध्याय 5.1
प्रश्न 1: खालील कोणत्या स्थितीत संख्यांची यादी AP बनते का ? कारण स्पष्ट करा.
(i) एका टॅक्सीचे भाडे प्रत्येक कि.मी. ला जेव्हा पहिल्या कि.मी.ला ₹ 15 व पुढील प्रत्येक कि.मी. ला ₹ 8 ने वाढते.
उकल:
पहिल्या किलोमीटरचे भाडे (a) = 15
दुसऱ्या किलोमीटरचे भाडे = 15 + 8 = 23
तिसऱ्या किलोमीटरचे भाडे = 23 + 8 = 31
मिळणारी यादी: 15, 23, 31, 39, …
येथे प्रत्येक सलग पदामधील फरक (d) समान म्हणजे 8 आहे.
निष्कर्ष: म्हणून, ही यादी अंकगणिती क्रम (AP) आहे.
(ii) सिलींडरमध्ये असणारी हवा जेव्हा वाताकर्षक पंपाने 1/4 राहिलेली हवा काढली असता.
उकल:
समजा, सिलींडरमधील सुरुवातीची हवा = V
पहिल्यांदा पंप केल्यानंतर काढलेली हवा = V/4, म्हणून शिल्लक हवा = V – (V/4) = 3V/4
दुसऱ्यांदा पंप केल्यानंतर काढलेली हवा = (3V/4) * (1/4) = 3V/16, म्हणून शिल्लक हवा = 3V/4 – 3V/16 = 9V/16
मिळणारी यादी: V, 3V/4, 9V/16, …
येथे सलग पदामधील फरक समान नाही. (3V/4 – V आहे -V/4 आणि 9V/16 – 3V/4 आहे -3V/16)
निष्कर्ष: म्हणून, ही यादी अंकगणिती क्रम (AP) नाही.
(iii) एक विहिर खोदण्याची पहिल्या मीटरला मजुरी ₹ 150 आणि पुढील प्रत्येक मीटरला ₹ 50 ने वाढते. तर प्रत्येक मीटरची विहिर खोदण्याची मजूरी.
उकल:
पहिल्या मीटरची मजुरी (a) = 150
दुसऱ्या मीटरची मजुरी = 150 + 50 = 200
तिसऱ्या मीटरची मजुरी = 200 + 50 = 250
मिळणारी यादी: 150, 200, 250, 300, …
येथे प्रत्येक सलग पदामधील फरक (d) समान म्हणजे 50 आहे.
निष्कर्ष: म्हणून, ही यादी अंकगणिती क्रम (AP) आहे.
(iv) खात्यामध्ये ₹ 10,000 ठेव ठेवले असून पुढील प्रत्येक वर्षी 8% दराने चक्रवाढव्याजाने खात्यामध्ये प्रत्येक वर्षी जमा होणारी रक्कम.
उकल:
सुरुवातीची रक्कम = 10000
पहिल्या वर्षानंतर रक्कम = 10000 + (10000 * 8/100) = 10800
दुसऱ्या वर्षानंतर रक्कम = 10800 + (10800 * 8/100) = 11664
मिळणारी यादी: 10000, 10800, 11664, …
येथे सलग पदामधील फरक समान नाही. (10800 – 10000 = 800 परंतु 11664 – 10800 = 864)
निष्कर्ष: म्हणून, ही यादी अंकगणिती क्रम (AP) नाही.
प्रश्न 2: पहिले पद a आणि सामान्य फरक d दिला असता AP ची पहिली चार पदे लिहा.
(i) a = 10, d = 10
पदे: a, a+d, a+2d, a+3d
पहिली चार पदे: 10, (10+10), (10+20), (10+30) = 10, 20, 30, 40
(ii) a = -2, d = 0
पहिली चार पदे: -2, (-2+0), (-2+0), (-2+0) = -2, -2, -2, -2
(iii) a = 4, d = -3
पहिली चार पदे: 4, (4-3), (4-6), (4-9) = 4, 1, -2, -5
(iv) a = -1, d = 1/2
पहिली चार पदे: -1, (-1 + 1/2), (-1 + 1), (-1 + 3/2) = -1, -1/2, 0, 1/2
(v) a = -1.25, d = -0.25
पहिली चार पदे: -1.25, (-1.25 – 0.25), (-1.25 – 0.50), (-1.25 – 0.75) = -1.25, -1.50, -1.75, -2.00
प्रश्न 3: खालील AP मधील पहिले पद व सामान्य फरक लिहा.
(i) 3, 1, -1, -3…..
पहिले पद (a) = 3
सामान्य फरक (d) = 1 – 3 = -2
(ii) -5, -1, 3, 7,……….
पहिले पद (a) = -5
सामान्य फरक (d) = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3….
पहिले पद (a) = 1/3
सामान्य फरक (d) = 5/3 – 1/3 = 4/3
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 ……
पहिले पद (a) = 0.6
सामान्य फरक (d) = 1.7 – 0.6 = 1.1
प्रश्न 4: खालील पैकी कोणते क्रम AP आहेत ? जर AP असतील तर सामान्य फरक d काढा आणि पुढील 4 पदे लिहा.
(i) 2, 4, 8, 16
फरक: 4 – 2 = 2 आणि 8 – 4 = 4. फरक समान नाही. ही AP नाही.
(ii) 2, 5/2, 3, 7/2
फरक: 5/2 – 2 = 1/2 आणि 3 – 5/2 = 1/2. फरक समान (1/2) आहे. ही AP आहे.
d = 1/2. पुढील 4 पदे: 4, 9/2, 5, 11/2
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2
फरक: -3.2 – (-1.2) = -2. फरक समान (-2) आहे. ही AP आहे.
d = -2. पुढील 4 पदे: -9.2, -11.2, -13.2, -15.2
(iv) -10, -6, -2, 2
फरक: -6 – (-10) = 4. फरक समान (4) आहे. ही AP आहे.
d = 4. पुढील 4 पदे: 6, 10, 14, 18
(v) 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2
फरक: (3+√2) – 3 = √2. फरक समान (√2) आहे. ही AP आहे.
d = √2. पुढील 4 पदे: 3+4√2, 3+5√2, 3+6√2, 3+7√2
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222
फरक: 0.22 – 0.2 = 0.02 आणि 0.222 – 0.22 = 0.002. फरक समान नाही. ही AP नाही.
(vii) 0, -4, -8, -12
फरक: -4 – 0 = -4. फरक समान (-4) आहे. ही AP आहे.
d = -4. पुढील 4 पदे: -16, -20, -24, -28
(viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2
फरक: -1/2 – (-1/2) = 0. फरक समान (0) आहे. ही AP आहे.
d = 0. पुढील 4 पदे: -1/2, -1/2, -1/2, -1/2
(ix) 1, 3, 9, 27
फरक: 3 – 1 = 2 आणि 9 – 3 = 6. फरक समान नाही. ही AP नाही.
(x) a, 2a, 3a, 4a
फरक: 2a – a = a. फरक समान (a) आहे. ही AP आहे.
d = a. पुढील 4 पदे: 5a, 6a, 7a, 8a
(xi) a, a2, a3, a4
फरक: a2 – a = a(a-1) आणि a3 – a2 = a2(a-1). फरक समान नाही. ही AP नाही.
(xii) √2, √8, √18, √32
पदे सोडवून लिहिल्यास: √2, 2√2, 3√2, 4√2. फरक: 2√2 – √2 = √2. फरक समान (√2) आहे. ही AP आहे.
d = √2. पुढील 4 पदे: 5√2, 6√2, 7√2, 8√2 म्हणजेच √50, √72, √98, √128
(xiii) √3, √6, √9, √12
फरक: √6 – √3 आणि √9 – √6 समान नाहीत. ही AP नाही.
(xiv) 12, 32, 52, 72
पदे: 1, 9, 25, 49. फरक: 9 – 1 = 8 आणि 25 – 9 = 16. फरक समान नाही. ही AP नाही.
(xv) 12, 52, 72, 73
पदे: 1, 25, 49, 73. फरक: 25 – 1 = 24 आणि 49 – 25 = 24. फरक समान (24) आहे. ही AP आहे.
d = 24. पुढील 4 पदे: (73+24), (97+24), (121+24), (145+24) म्हणजेच 97, 121, 145, 169
स्वाध्याय 5.2 (संपूर्ण उकल)
सूत्र: an = a + (n – 1)d
प्रश्न 1: दिलेल्या कोष्टकातील रिकाम्या जागा भरा. (a हे पहिले पद व d सामान्य फरक आणि an हे AP चे n वे पद आहे.)
| अ.क्र. | a | d | n | an |
|---|---|---|---|---|
| (i) | 7 | 3 | 8 | 28 |
| (ii) | -18 | 2 | 10 | 0 |
| (iii) | 46 | -3 | 18 | -5 |
| (iv) | -18.9 | 2.5 | 10 | 3.6 |
| (v) | 3.5 | 0 | 105 | 3.5 |
स्पष्टीकरण (उकल):
(i) a = 7, d = 3, n = 8. सूत्रानुसार: an = a + (n – 1)d a8 = 7 + (8 – 1)3 = 7 + (7)(3) = 7 + 21 = 28
(ii) a = -18, n = 10, an = 0. सूत्रानुसार: 0 = -18 + (10 – 1)d 0 = -18 + 9d 18 = 9d म्हणून d = 18 / 9 = 2
(iii) d = -3, n = 18, an = -5. सूत्रानुसार: -5 = a + (18 – 1)(-3) -5 = a + 17(-3) -5 = a – 51 a = 51 – 5 = 46
(iv) a = -18.9, d = 2.5, an = 3.6. सूत्रानुसार: 3.6 = -18.9 + (n – 1)2.5 3.6 + 18.9 = (n – 1)2.5 22.5 = (n – 1)2.5 n – 1 = 22.5 / 2.5 = 9 n = 9 + 1 = 10
(v) a = 3.5, d = 0, n = 105. सूत्रानुसार: an = 3.5 + (105 – 1)0 an = 3.5 + 0 = 3.5
प्रश्न 2: खालील पैकी योग्य पर्यायाची निवड करा व स्पष्ट करा.
(i) 10, 7, 4 … या AP चे 30 वे पद(A) 97 (B) 77 (C) -77 (D) -87
उकल: येथे a = 10, d = 7 – 10 = -3, n = 30a30 = a + (30 – 1)d = 10 + 29(-3) = 10 – 87 = -77.योग्य पर्याय: (C) -77
(ii) -3, -1/2, 2, … या AP चे 11 वे पद(A) 28 (B) 22 (C) -38 (D) -48 1/2
उकल: येथे a = -3, d = (-1/2) – (-3) = -1/2 + 3 = 5/2, n = 11a11 = a + (11 – 1)d = -3 + 10(5/2) = -3 + 5(5) = -3 + 25 = 22.योग्य पर्याय: (B) 22
प्रश्न 3: खालील AP मध्ये चौकोनातील पदे शोधा.
(i) 2, [ 14 ], 26उकल: पहिले पद a = 2, तिसरे पद a3 = 26.a3 = a + 2d म्हणून 26 = 2 + 2d2d = 24 म्हणून d = 12.दुसरे पद = a + d = 2 + 12 = 14.
(ii) [ 18 ], 13, [ 8 ], 3उकल: दुसरे पद a2 = 13 आणि चौथे पद a4 = 3.a + d = 13 — (समीकरण 1)a + 3d = 3 — (समीकरण 2)समीकरण 2 मधून समीकरण 1 वजा केल्यास: 2d = -10 म्हणून d = -5.a + (-5) = 13 म्हणून a = 18. (पहिले पद: 18)तिसरे पद a3 = a + 2d = 18 + 2(-5) = 18 – 10 = 8.
(iii) 5, [ 6.5 ], [ 8 ], 9 1/2उकल: पहिले पद a = 5, चौथे पद a4 = 9.5 (किंवा 19/2).a + 3d = 9.5 म्हणून 5 + 3d = 9.53d = 4.5 म्हणून d = 1.5.दुसरे पद = 5 + 1.5 = 6.5 (किंवा 6 1/2)तिसरे पद = 6.5 + 1.5 = 8.
(iv) -4, [ -2 ], [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ], 6उकल: a = -4, सहावे पद a6 = 6.a + 5d = 6 म्हणून -4 + 5d = 65d = 10 म्हणून d = 2.पदे: -4 + 2 = -2, -2 + 2 = 0, 0 + 2 = 2, 2 + 2 = 4.
(v) [ 53 ], 38, [ 23 ], [ 8 ], [ -7 ], -22उकल: a2 = 38 आणि a6 = -22.a + d = 38 — (समीकरण 1)a + 5d = -22 — (समीकरण 2)समीकरण 2 मधून समीकरण 1 वजा केल्यास: 4d = -60 म्हणून d = -15.a – 15 = 38 म्हणून a = 53. (पहिले पद)तिसरे पद = 38 – 15 = 23, चौथे पद = 23 – 15 = 8, पाचवे पद = 8 – 15 = -7.
प्रश्न 4: 3, 8, 13, 18, …… या AP चे 78 हे कितवे पद आहे ?
उकल:येथे a = 3, d = 8 – 3 = 5, आणि an = 78. आपणास n शोधायचे आहे.an = a + (n – 1)d78 = 3 + (n – 1)578 – 3 = 5(n – 1)75 = 5(n – 1)n – 1 = 75 / 5 = 15n = 15 + 1 = 16म्हणून, 78 हे दिलेल्या AP चे 16 वे पद आहे.
प्रश्न 5: खालील AP मध्ये असणारी पदांची संख्या काढा.
(i) 7, 13, 19 … 205उकल: a = 7, d = 13 – 7 = 6, शेवटचे पद an = 205.an = a + (n – 1)d205 = 7 + (n – 1)6205 – 7 = 6(n – 1)198 = 6(n – 1)n – 1 = 198 / 6 = 33n = 33 + 1 = 34. (पदांची संख्या 34 आहे)
(ii) 18, 15 1/2, 13 … -47उकल: a = 18, d = 15.5 – 18 = -2.5, शेवटचे पद an = -47.-47 = 18 + (n – 1)(-2.5)-47 – 18 = -2.5(n – 1)-65 = -2.5(n – 1)n – 1 = -65 / -2.5 = 650 / 25 = 26n = 26 + 1 = 27. (पदांची संख्या 27 आहे)
प्रश्न 6: 11, 8, 5, 2 …. या AP मध्ये -150 हे पद आहे काय ? शोधा.
उकल:a = 11, d = 8 – 11 = -3. समजा -150 हे n वे पद आहे.-150 = 11 + (n – 1)(-3)-150 – 11 = -3(n – 1)-161 = -3(n – 1)n – 1 = 161 / 3 = 53.66n = 54.66पदांची संख्या (n) ही नेहमी पूर्ण धन संख्या (Natural Number) असायला हवी. येथे n अपूर्णांक आला आहे.म्हणून, -150 हे दिलेल्या AP चे पद नाही.
प्रश्न 7: एका AP चे 11 वे पद 38 आहे व 16 वे पद 73 आहे तर, त्याचे 31 वे पद काढा.
उकल:a11 = a + 10d = 38 — (समीकरण 1)a16 = a + 15d = 73 — (समीकरण 2)समीकरण 2 मधून समीकरण 1 वजा करू:(a + 15d) – (a + 10d) = 73 – 385d = 35 म्हणून d = 7.d ची किंमत समीकरण 1 मध्ये ठेवू:a + 10(7) = 38a + 70 = 38 म्हणून a = 38 – 70 = -32.आता 31 वे पद (a31) काढू:a31 = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178.दिलेल्या AP चे 31 वे पद 178 आहे.
प्रश्न 8: 50 पदांच्या AP मध्ये 3 रे पद 12 आणि शेवटचे पद 106 तर 29 वे पद काढा.
उकल:n = 50. तिसरे पद a3 = 12 आणि शेवटचे म्हणजे 50 वे पद a50 = 106.a + 2d = 12 — (समीकरण 1)a + 49d = 106 — (समीकरण 2)समीकरण 2 मधून 1 वजा करू:47d = 106 – 12 = 94d = 94 / 47 = 2.d ची किंमत समीकरण 1 मध्ये ठेवू:a + 2(2) = 12 म्हणून a + 4 = 12 म्हणून a = 8.आता 29 वे पद (a29) काढू:a29 = a + 28d = 8 + 28(2) = 8 + 56 = 64.29 वे पद 64 आहे.
प्रश्न 9: एका AP चे 3 रे आणि 9 वे पद अनुक्रमे 4 आणि -8 आहेत. तर याच AP चे ‘0’ हे पद कितवे आहे काढा.
उकल:a3 = 4 आणि a9 = -8.a + 2d = 4 — (समीकरण 1)a + 8d = -8 — (समीकरण 2)समीकरण 2 मधून 1 वजा करू:6d = -8 – 4 = -12 म्हणून d = -2.d ची किंमत समीकरण 1 मध्ये ठेवू:a + 2(-2) = 4 म्हणून a – 4 = 4 म्हणून a = 8.समजा n वे पद 0 आहे. an = 0a + (n – 1)d = 08 + (n – 1)(-2) = 0(n – 1)(-2) = -8n – 1 = -8 / -2 = 4n = 4 + 1 = 5.या AP चे 5 वे पद 0 आहे.
प्रश्न 10: एका AP चे 17 वे पद हे 10 व्या पदापेक्षा 7 ने अधिक आहे. सामान्य फरक सांगा.
उकल:दिलेल्या माहितीनुसार, a17 = a10 + 7सूत्रानुसार, (a + 16d) = (a + 9d) + 7दोन्ही बाजूचे ‘a’ रद्द होतील.16d – 9d = 77d = 7 म्हणून d = 1.सामान्य फरक (d) 1 आहे.
प्रश्न 11: 3, 15, 27, 39 या AP चे कितवे पद हे त्याच्या 54 व्या पदापेक्षा 132 ने अधिक आहे.
उकल:येथे a = 3, d = 15 – 3 = 12.प्रथम 54 वे पद (a54) काढू:a54 = a + 53d = 3 + 53(12) = 3 + 636 = 639.आपल्याला असे n वे पद काढायचे आहे जे 639 पेक्षा 132 ने अधिक आहे.म्हणजेच, an = 639 + 132 = 771.आता an चे सूत्र वापरू:771 = 3 + (n – 1)12771 – 3 = 12(n – 1)768 = 12(n – 1)n – 1 = 768 / 12 = 64n = 64 + 1 = 65.दिलेल्या AP चे 65 वे पद हे 54 व्या पदापेक्षा 132 ने अधिक असेल.
प्रश्न 12: दोन AP चा सामान्य फरक सारखाच असून त्यांच्या 100 व्या पदातील फरक 100 आहे तर त्यांच्या 1000 व्या पदामधील फरक काढा ?
उकल:समजा पहिल्या AP चे पहिले पद ‘a’ आहे आणि दुसऱ्या AP चे पहिले पद ‘A’ आहे.दोन्हीचा सामान्य फरक ‘d’ समान आहे.पहिल्या AP चे 100 वे पद = a + 99dदुसऱ्या AP चे 100 वे पद = A + 99dदिलेल्या माहितीनुसार त्यांच्यातील फरक 100 आहे:(a + 99d) – (A + 99d) = 100a – A = 100 — (समीकरण 1)आता 1000 व्या पदांमधील फरक काढू:(a + 999d) – (A + 999d) = a – Aसमीकरण 1 नुसार a – A = 100 आहे.म्हणून, त्यांच्या 1000 व्या पदामधील फरक सुद्धा 100 च असेल.
प्रश्न 13: 7 ने भाग जाणाऱ्या तीन अंकी संख्या किती आहेत ?
उकल:7 ने भाग जाणारी पहिली तीन अंकी संख्या 105 आहे. (105 / 7 = 15)7 ने भाग जाणारी शेवटची तीन अंकी संख्या 994 आहे. (994 / 7 = 142)या संख्यांची AP खालीलप्रमाणे असेल: 105, 112, 119, … , 994.येथे a = 105, d = 7, an = 994. आपल्याला n काढायचे आहे.an = a + (n – 1)d994 = 105 + (n – 1)7994 – 105 = 7(n – 1)889 = 7(n – 1)n – 1 = 889 / 7 = 127n = 127 + 1 = 128.7 ने भाग जाणाऱ्या एकूण तीन अंकी संख्या 128 आहेत.
प्रश्न 14: 10 ते 250 मध्ये असणाऱ्या 4 च्या पटीतील संख्या किती ?
उकल:10 च्या पुढील 4 ची पटीतील पहिली संख्या 12 आहे.250 च्या आधीची 4 च्या पटीतील शेवटची संख्या 248 आहे.AP अशी तयार होईल: 12, 16, 20, … , 248.येथे a = 12, d = 4, an = 248.an = a + (n – 1)d248 = 12 + (n – 1)4248 – 12 = 4(n – 1)236 = 4(n – 1)n – 1 = 236 / 4 = 59n = 59 + 1 = 60.10 ते 250 मध्ये 4 च्या पटीतील एकूण 60 संख्या आहेत.
प्रश्न 15: n च्या कोणत्या किंमतीला AP: 63, 65, 67… आणि AP: 3, 10, 17… चे n वे पद समान होते ?
उकल:पहिल्या AP साठी: a = 63, d = 2.याचे n वे पद = 63 + (n – 1)2 = 63 + 2n – 2 = 61 + 2nदुसऱ्या AP साठी: a = 3, d = 7.याचे n वे पद = 3 + (n – 1)7 = 3 + 7n – 7 = 7n – 4दिलेल्या अटीनुसार दोन्हीचे n वे पद समान आहे:61 + 2n = 7n – 461 + 4 = 7n – 2n65 = 5nn = 65 / 5 = 13.n च्या 13 या किंमतीला दोन्ही AP चे n वे पद समान होईल.
प्रश्न 16: जर 3 रे पद 16 आणि 7 वे पद 5 व्या पदापेक्षा 12 ने मोठे आहे. तर तो अंकगणिती क्रम लिहा.
उकल:दिलेल्या माहितीनुसार, a3 = 16a + 2d = 16 — (समीकरण 1)दुसरी अट: a7 = a5 + 12a + 6d = (a + 4d) + 126d – 4d = 122d = 12 म्हणून d = 6.d ची किंमत समीकरण 1 मध्ये ठेवू:a + 2(6) = 16a + 12 = 16 म्हणून a = 4.पहिले पद = 4. दुसरे पद = 4+6=10. तिसरे पद = 10+6=16. चौथे पद = 16+6=22.अपेक्षित अंकगणिती क्रम (AP): 4, 10, 16, 22, …
प्रश्न 17: 3, 8, 13 … 253 या AP चे 20 वे पद शेवटच्या पदावरून काढा.
उकल:शेवटच्या पदावरून पद काढण्यासाठी आपण AP उलट क्रमाने लिहू.उलट AP: 253, …, 13, 8, 3.या नवीन AP साठी: पहिले पद a = 253.मूळ AP चा d = 8 – 3 = 5 होता. उलट AP चा d = -5 होईल.आपल्याला 20 वे पद (n = 20) काढायचे आहे.a20 = a + (n – 1)da20 = 253 + (20 – 1)(-5)a20 = 253 + 19(-5)a20 = 253 – 95 = 158.शेवटच्या पदावरून 20 वे पद 158 आहे.
प्रश्न 18: एका AP च्या 4 थ्या व 8 व्या पदांची बेरीज 24 आहे आणि 6 व्या व 10 व्या पदांची बेरीज 44 आहे. तर AP ची पहिली तीन पदे लिहा.
उकल:पहिली अट: a4 + a8 = 24(a + 3d) + (a + 7d) = 242a + 10d = 24a + 5d = 12 — (समीकरण 1)दुसरी अट: a6 + a10 = 44(a + 5d) + (a + 9d) = 442a + 14d = 44a + 7d = 22 — (समीकरण 2)समीकरण 2 मधून 1 वजा करू:(a + 7d) – (a + 5d) = 22 – 122d = 10 म्हणून d = 5.d ची किंमत समीकरण 1 मध्ये ठेवू:a + 5(5) = 12a + 25 = 12 म्हणून a = 12 – 25 = -13.पहिली तीन पदे: -13, (-13 + 5), (-8 + 5)AP ची पहिली तीन पदे: -13, -8, -3.
प्रश्न 19: सुब्बारावने वार्षीक 5000 पगारावर 1995 ला काम सुरू केले आणि वर्षाला 200 पगार वाढ मिळाली. तर कोणत्या वर्षाला त्याचा पगार 7000 रू होतो ?
उकल:सुरुवातीचा पगार (a) = 5000वार्षिक वाढ (d) = 200अंतिम पगार (an) = 7000. आपल्याला n (वर्षे) काढायचे आहे.an = a + (n – 1)d7000 = 5000 + (n – 1)2007000 – 5000 = 200(n – 1)2000 = 200(n – 1)n – 1 = 2000 / 200 = 10n = 10 + 1 = 11.म्हणजेच 11 व्या वर्षी पगार 7000 होईल. (सुरुवात 1995 ला झाली, म्हणून 1995 च्या 11 व्या वर्षी, म्हणजेच 1995 + 10 = 2005 या वर्षाला त्याचा पगार 7000 होईल.)
प्रश्न 20: रामकलीने वर्षाच्या पहिल्या आठवड्याला 5 ची बचत केली व त्यानंतर प्रत्येक आठवड्याला 1.75 बचत वाढवत गेली. जर तिची nth आठवडयाला 20.75 बचत झाली. तर n ची किंमत काढा.
उकल:पहिल्या आठवड्याची बचत (a) = 5आठवडी वाढ (d) = 1.75n व्या आठवड्याची बचत (an) = 20.75an = a + (n – 1)d20.75 = 5 + (n – 1)1.7520.75 – 5 = 1.75(n – 1)15.75 = 1.75(n – 1)n – 1 = 15.75 / 1.75दशांश चिन्ह काढल्यास: n – 1 = 1575 / 175 = 9n = 9 + 1 = 10.म्हणून, n ची किंमत 10 आहे.
