इयत्ता 7 वी गणित प्रकरण 7: तीन छेदक रेषांची कहाणी (त्रिकोण)

प्रकरण 7: तीन छेदक रेषांची कहाणी (त्रिकोण)

प्रकरण 7: तीन छेदक रेषांची कहाणी

महत्त्वाचे मुद्दे (Important Points)

  • त्रिकोण रचना: त्रिकोण हा सर्वात मूलभूत बंदिस्त आकार आहे ज्याला 3 शिरोबिंदू, 3 बाजू आणि 3 कोन असतात. (पान 162)
  • त्रिकोणाची असमानता: त्रिकोण तयार होण्यासाठी कोणत्याही दोन लहान बाजूंच्या लांबीची बेरीज ही सर्वात मोठ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा जास्त असावी लागते. (पान 175)
  • कोनांची बेरीज: कोणत्याही त्रिकोणाच्या तीन कोनांची बेरीज नेहमी 180° असते. (त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म) (पान 183)
  • बाह्यकोन: त्रिकोणाची एक बाजू वाढविल्यास तयार होणाऱ्या कोनाला त्रिकोणाचा बाह्यकोन म्हणतात. बाह्यकोन व त्याचा लगतचा आंतरकोन यांची बेरीज 180° असते. (पान 184)
  • त्रिकोणाची उंची: त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूपासून त्याच्या विरुद्ध बाजूपर्यंत काढलेला लंब रेषाखंड म्हणजे त्रिकोणाची उंची होय. अचूक उंची काढण्यासाठी त्रिकोणी गुण्याचा वापर करतात. (पान 185, 186)
  • त्रिकोणांचे बाजूवरून प्रकार: समभूज (तिन्ही बाजू समान), समद्विभूज (दोन बाजू समान), विषमभूज (तिन्ही बाजू वेगवेगळ्या). (पान 187)
  • त्रिकोणांचे कोनावरून प्रकार: लघुकोन त्रिकोण (सर्व कोन 90° पेक्षा कमी), काटकोन त्रिकोण (एक कोन 90°), विशालकोन त्रिकोण (एक कोन 90° पेक्षा जास्त). (पान 187)
  • द एलिमेंट्स: त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म ग्रीक गणिततज्ञ युक्लिड यांच्या ‘द एलिमेंट्स’ या ग्रंथात आढळतो (सुमारे 300 इ.स.पूर्व). (पान 183)

बहुपर्यायी प्रश्न (MCQ)

1. त्रिकोणाला किती शिरोबिंदू असतात? (पान 162)
  • A) 1
  • B) 2
  • C) 3
  • D) 4
उत्तर पहा
उत्तर: C) 3
2. ज्या त्रिकोणाच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या असतात त्याला कोणता त्रिकोण म्हणतात? (पान 162)
  • A) समद्विभूज त्रिकोण
  • B) समभूज त्रिकोण
  • C) विषमभूज त्रिकोण
  • D) काटकोन त्रिकोण
उत्तर पहा
उत्तर: B) समभूज त्रिकोण
3. कोणत्याही त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज किती असते? (पान 183)
  • A) 90°
  • B) 180°
  • C) 270°
  • D) 360°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 180°
4. त्रिकोण अस्तित्वात असण्यासाठी कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूच्या तुलनेत कशी असावी लागते? (पान 175)
  • A) कमी
  • B) समान
  • C) जास्त (मोठी)
  • D) निम्मी
उत्तर पहा
उत्तर: C) जास्त (मोठी)
5. खालीलपैकी कोणत्या बाजूंच्या लांबीचा त्रिकोण काढता येणार नाही? (पान 175)
  • A) 3 cm, 4 cm, 5 cm
  • B) 10 cm, 15 cm, 30 cm
  • C) 5 cm, 5 cm, 8 cm
  • D) 4 cm, 5 cm, 8 cm
उत्तर पहा
उत्तर: B) 10 cm, 15 cm, 30 cm (कारण 10+15 = 25 जे 30 पेक्षा लहान आहे)
6. त्रिकोणाची एक बाजू वाढविल्यास तयार होणाऱ्या कोनाला काय म्हणतात? (पान 184)
  • A) लघुकोन
  • B) बाह्यकोन
  • C) काटकोन
  • D) विशालकोन
उत्तर पहा
उत्तर: B) बाह्यकोन
7. बाह्यकोन आणि त्याचा लगतचा आंतरकोन मिळून किती अंशाचा कोन तयार करतात? (पान 184)
  • A) 90°
  • B) 180°
  • C) 270°
  • D) 360°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 180° (सरळ कोन)
8. त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूपासून त्याच्या विरुद्ध बाजूपर्यंत काढलेला लंब रेषाखंड म्हणजे काय? (पान 185)
  • A) मध्यगा
  • B) बाजू
  • C) त्रिकोणाची उंची
  • D) कोनदुभाजक
उत्तर पहा
उत्तर: C) त्रिकोणाची उंची
9. त्रिकोणाची अचूक उंची काढण्यासाठी कोणत्या साधनाचा वापर करतात? (पान 185)
  • A) कोनमापक
  • B) कंपास
  • C) त्रिकोणी गुण्या
  • D) कर्कटक
उत्तर पहा
उत्तर: C) त्रिकोणी गुण्या
10. ‘द एलिमेंट्स’ (The Elements) हे पुस्तक कोणत्या ग्रीक गणिततज्ञाने लिहिले आहे? (पान 183)
  • A) आर्यभट्ट
  • B) युक्लिड
  • C) पायथागोरस
  • D) रामानुजन
उत्तर पहा
उत्तर: B) युक्लिड
11. ज्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान लांबीच्या असतात त्याला काय म्हणतात? (पान 187)
  • A) समभूज त्रिकोण
  • B) समद्विभूज त्रिकोण
  • C) विषमभूज त्रिकोण
  • D) काटकोन त्रिकोण
उत्तर पहा
उत्तर: B) समद्विभूज त्रिकोण
12. ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू वेगवेगळ्या लांबीच्या असतात त्याला काय म्हणतात? (पान 187)
  • A) समभूज त्रिकोण
  • B) समद्विभूज त्रिकोण
  • C) विषमभूज त्रिकोण
  • D) लघुकोन त्रिकोण
उत्तर पहा
उत्तर: C) विषमभूज त्रिकोण
13. ज्या त्रिकोणात एक कोन 90° असतो त्याला कोणता त्रिकोण म्हणतात? (पान 187)
  • A) लघुकोन त्रिकोण
  • B) विशालकोन त्रिकोण
  • C) काटकोन त्रिकोण
  • D) समभूज त्रिकोण
उत्तर पहा
उत्तर: C) काटकोन त्रिकोण
14. त्रिकोणाच्या कोनांवरून किती प्रकार पडतात? (पान 187)
  • A) 2
  • B) 3
  • C) 4
  • D) 5
उत्तर पहा
उत्तर: B) 3 (लघुकोन, काटकोन, विशालकोन)
15. जर त्रिकोणाचे दोन कोन 50° आणि 70° असतील, तर तिसऱ्या कोनाचे माप किती असेल? (पान 181)
  • A) 50°
  • B) 60°
  • C) 70°
  • D) 80°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 60° (कारण 180° – 120° = 60°)
16. लघुकोन त्रिकोणात सर्व कोन कसे असतात? (पान 187)
  • A) 90° चे
  • B) 90° पेक्षा जास्त
  • C) 90° पेक्षा कमी (लघुकोन)
  • D) 180° चे
उत्तर पहा
उत्तर: C) 90° पेक्षा कमी (लघुकोन)
17. विशालकोन त्रिकोणात किती कोन विशालकोन असतात? (पान 187)
  • A) एक
  • B) दोन
  • C) तीन
  • D) शून्य
उत्तर पहा
उत्तर: A) एक
18. 3 cm, 4 cm आणि 5 cm बाजू असलेला त्रिकोण अस्तित्वात असू शकतो का? (पान 170)
  • A) होय
  • B) नाही
  • C) सांगता येत नाही
  • D) फक्त काटकोन त्रिकोण असल्यास
उत्तर पहा
उत्तर: A) होय (कारण 3+4=7 > 5)
19. दोन समांतर रेषांना एका छेदिकेने छेदल्यास एकाच बाजूच्या आंतरकोनांची बेरीज किती असते? (पान 180)
  • A) 90°
  • B) 180°
  • C) 270°
  • D) 360°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 180°
20. त्रिकोण रचना करताना दोन वर्तुळे एकमेकांना अंतर्गत छेदतात, याचा अर्थ काय? (पान 175)
  • A) त्रिकोण अस्तित्वात नाही
  • B) त्रिकोण अस्तित्वात आहे
  • C) त्रिकोण एक रेषीय आहे
  • D) त्रिकोण चौकोन बनतो
उत्तर पहा
उत्तर: B) त्रिकोण अस्तित्वात आहे

रिकाम्या जागा भरा

1. त्रिकोण हा सर्वात मूलभूत आकार आहे. (पान 162)
उत्तर पहा
उत्तर: बंदिस्त
2. त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज अंश असते. (पान 183)
उत्तर पहा
उत्तर: 180°
3. समभूज त्रिकोणाच्या सर्व बाजू लांबीच्या असतात. (पान 162)
उत्तर पहा
उत्तर: समान
4. त्रिकोण तयार होण्यासाठी कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा असावी लागते. (पान 175)
उत्तर पहा
उत्तर: जास्त / मोठी
5. ज्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान लांबीच्या असतात त्याला त्रिकोण म्हणतात. (पान 187)
उत्तर पहा
उत्तर: समद्विभूज
6. ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू वेगवेगळ्या लांबीच्या असतात त्याला त्रिकोण म्हणतात. (पान 187)
उत्तर पहा
उत्तर: विषमभूज
7. त्रिकोणाचा एक कोन 90 अंश असेल तर त्याला त्रिकोण म्हणतात. (पान 187)
उत्तर पहा
उत्तर: काटकोन
8. लघुकोन त्रिकोणात सर्व कोन असतात. (पान 187)
उत्तर पहा
उत्तर: लघुकोन
9. विशालकोन त्रिकोणात एक कोन असतो. (पान 187)
उत्तर पहा
उत्तर: विशालकोन
10. ‘द एलिमेंट्स’ हे प्रसिद्ध पुस्तक ग्रीक गणिततज्ञ यांनी लिहिले आहे. (पान 183)
उत्तर पहा
उत्तर: युक्लिड
11. त्रिकोणाची एक बाजू वाढविल्यास तयार होणाऱ्या कोनाला म्हणतात. (पान 184)
उत्तर पहा
उत्तर: बाह्यकोन
12. त्रिकोणाचा बाह्यकोन आणि त्याचा लगतचा आंतरकोन यांची बेरीज अंश असते. (पान 184)
उत्तर पहा
उत्तर: 180°
13. त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूपासून त्याच्या विरुद्ध बाजूवर टाकलेल्या लंबाला त्रिकोणाची म्हणतात. (पान 185)
उत्तर पहा
उत्तर: उंची
14. अचूक लंब काढण्यासाठी मोजपट्टीसोबत गुण्याचा वापर करतात. (पान 185)
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणी
15. ग्रीक गणिततज्ञ युक्लिड हे सुमारे इ.स.पूर्व हयात होते. (पान 183)
उत्तर पहा
उत्तर: 300
16. 3 cm, 4 cm आणि 8 cm बाजू असलेला त्रिकोण काढणे आहे. (पान 170)
उत्तर पहा
उत्तर: अशक्य / शक्य नाही
17. त्रिकोणाला एकूण शिरोबिंदू असतात. (पान 162)
उत्तर पहा
उत्तर: 3
18. त्रिकोणाची उंची काढण्यासाठी पायावर काढावा लागतो. (पान 185)
उत्तर पहा
उत्तर: लंब
19. कोणत्याही त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज पाहण्यासाठी त्रिकोणाकार ची घडी करून पाहता येते. (पान 183)
उत्तर पहा
उत्तर: कागदा
20. दोन समांतर रेषांना छेदिकेने छेदले असता एकाच बाजूच्या आंतरकोनांची बेरीज अंश असते. (पान 180)
उत्तर पहा
उत्तर: 180°

एका वाक्यात उत्तरे लिहा (1 Mark Questions)

1. त्रिकोणाला किती बाजू असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाला 3 बाजू असतात.
2. त्रिकोणाला किती शिरोबिंदू असतात?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाला 3 शिरोबिंदू असतात.
3. समभूज त्रिकोण म्हणजे काय?
उत्तर पहा
उत्तर: ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू समान लांबीच्या असतात, त्याला समभूज त्रिकोण म्हणतात.
4. समद्विभूज त्रिकोण कशाला म्हणतात?
उत्तर पहा
उत्तर: ज्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान लांबीच्या असतात, त्याला समद्विभूज त्रिकोण म्हणतात.
5. विषमभूज त्रिकोण म्हणजे काय?
उत्तर पहा
उत्तर: ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू वेगवेगळ्या लांबीच्या असतात, त्याला विषमभूज त्रिकोण म्हणतात.
6. त्रिकोणाचे कोनांवरून कोणते प्रकार पडतात?
उत्तर पहा
उत्तर: लघुकोन त्रिकोण, काटकोन त्रिकोण, आणि विशालकोन त्रिकोण हे कोनांवरून प्रकार पडतात.
7. काटकोन त्रिकोण कशाला म्हणतात?
उत्तर पहा
उत्तर: ज्या त्रिकोणाचा एक कोन काटकोन म्हणजेच 90° असतो, त्याला काटकोन त्रिकोण म्हणतात.
8. त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म कोणता आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: कोणत्याही त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज नेहमी 180° असते.
9. बाह्यकोन कसा तयार होतो?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाची कोणतीही एक बाजू वाढविल्यास तयार होणाऱ्या कोनाला बाह्यकोन म्हणतात.
10. बाह्यकोन व लगतचा आंतरकोन यांच्या मापांची बेरीज किती असते?
उत्तर पहा
उत्तर: बाह्यकोन व लगतचा आंतरकोन यांच्या मापांची बेरीज 180° असते.
11. त्रिकोणाची उंची म्हणजे काय?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूपासून विरुद्ध बाजूवर काढलेला लंब म्हणजेच त्रिकोणाची उंची होय.
12. ‘द एलिमेंट्स’ या ग्रंथाचे लेखक कोण आहेत?
उत्तर पहा
उत्तर: ‘द एलिमेंट्स’ या ग्रंथाचे लेखक ग्रीक गणिततज्ञ युक्लिड हे आहेत.
13. त्रिकोण तयार होण्यासाठी बाजूंची कसोटी कोणती आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन लहान बाजूंची बेरीज ही तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा जास्त असली पाहिजे.
14. 10 cm, 15 cm आणि 30 cm बाजू असलेला त्रिकोण काढता येईल का?
उत्तर पहा
उत्तर: नाही, कारण 10 + 15 = 25 हे 30 पेक्षा लहान आहे, त्यामुळे त्रिकोण काढता येणार नाही.
15. त्रिकोणाची उंची अचूक काढण्यासाठी कोणत्या साधनांचा वापर होतो?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाची उंची अचूक काढण्यासाठी मोजपट्टी आणि त्रिकोणी गुण्याचा वापर होतो.
16. 3 cm, 4 cm आणि 5 cm बाजू असलेला त्रिकोण अस्तित्वात आहे का?
उत्तर पहा
उत्तर: होय, कारण 3 + 4 = 7 हे 5 पेक्षा मोठे आहे.
17. दोन समांतर रेषांना छेदिकेने छेदल्यास एकाच बाजूच्या आंतरकोनांची बेरीज किती असते?
उत्तर पहा
उत्तर: दोन समांतर रेषांना छेदिकेने छेदल्यास एकाच बाजूच्या आंतरकोनांची बेरीज 180° असते.
18. युक्लिड कोणत्या देशाचे गणिततज्ञ होते?
उत्तर पहा
उत्तर: युक्लिड हे ग्रीक गणिततज्ञ होते.
19. त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन कोनांची बेरीज 180° पेक्षा कशी असते?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन कोनांची बेरीज 180° पेक्षा नेहमी कमी असते.
20. त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंना नावे देताना कोणता क्रम वापरता येतो?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंना कोणत्याही क्रमाने नावे देता येतात (उदा. ABC, BCA, CAB).
इयत्ता 7 वी गणित: तीन छेदक रेषांची कहाणी
इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 7 – तीन छेदक रेषांची कहाणी (शोधा पाहू)
Page No: 166
1. समद्विभूज त्रिकोण तयार करण्यासाठी वर्तुळावरील आणि (किंवा) केंद्रावरील बिंदूचा वापर करा.
उत्तर पहा

पायऱ्या:

  • वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आणि वर्तुळावरील कोणतेही दोन बिंदू विचारात घ्या.
  • केंद्रबिंदूपासून वर्तुळावरील या दोन बिंदूंना जोडणारे रेषाखंड काढा.
  • हे दोन रेषाखंड म्हणजे वर्तुळाच्या त्रिज्या आहेत. एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या नेहमी समान लांबीच्या असतात.
  • त्यामुळे, या तीन बिंदूंनी मिळून तयार होणाऱ्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान लांबीच्या असतील, म्हणजेच तो ‘समद्विभूज त्रिकोण’ तयार होईल.
Page No: 167
2. वर्तुळांवरील आणि त्यांच्या केंद्रावरील बिंदू वापरून समद्विभूज आणि समभूज त्रिकोण तयार करा. वर्तुळे समान आकाराची आहेत.
उत्तर पहा

समभूज त्रिकोण तयार करण्याची पद्धत:

  • समान आकाराची (समान त्रिज्या असलेली) दोन वर्तुळे अशी काढा की ती एकमेकांना छेदतील.
  • पहिल्या वर्तुळाचा केंद्रबिंदू ‘A’ आणि दुसऱ्या वर्तुळाचा केंद्रबिंदू ‘B’ जोडा.
  • दोन वर्तुळांचा जो छेदनबिंदू असेल त्याला ‘C’ नाव द्या.
  • आता A, B आणि C हे तीन बिंदू जोडा.
  • येथे AC आणि BC या समान वर्तुळांच्या त्रिज्या आहेत आणि AB ही सुद्धा त्याच त्रिज्येएवढी लांबी आहे. म्हणून तिन्ही बाजू (AB, BC, AC) समान लांबीच्या होतील आणि ‘समभूज त्रिकोण’ तयार होईल.
Page No: 170
1. आम्ही रचनेनुसार तपासले आहे की 3cm, 4cm आणि 8cm आणि 2cm, 3cm आणि 6cm अशा बाजूंच्या लांबीचे त्रिकोण नाहीत. त्रिकोण रचनेचा प्रयत्न न करता तुम्हाला हे शोधता येते का ते तपासा.
उत्तर पहा

त्रिकोणाच्या अस्तित्वाची कसोटी: दोन लहान बाजूंच्या लांबीची बेरीज > सर्वात मोठी लांबी.

  • 3cm, 4cm आणि 8cm: दोन लहान बाजू 3cm आणि 4cm आहेत. त्यांची बेरीज 3 + 4 = 7. येथे 7 < 8 आहे. म्हणून त्रिकोण शक्य नाही.
  • 2cm, 3cm आणि 6cm: दोन लहान बाजू 2cm आणि 3cm आहेत. त्यांची बेरीज 2 + 3 = 5. येथे 5 < 6 आहे. म्हणून त्रिकोण शक्य नाही.
Page No: 170
2. खालील प्रत्येक लांबीच्या संचासाठी त्रिकोणाच्या अस्तित्वाबद्दल आपण काही सांगू शकतो का?
a) 10km, 10km आणि 25km
b) 5mm, 10mm आणि 20 mm
c) 12cm, 20cm आणि 240 cm
उत्तर पहा

त्रिकोणाच्या अस्तित्वाच्या कसोटीनुसार (दोन लहान बाजूंची बेरीज > सर्वात मोठी बाजू):

  • a) 10km, 10km, 25km: 10 + 10 = 20. येथे 20 < 25 आहे. त्रिकोण अस्तित्वात नाही.
  • b) 5mm, 10mm, 20mm: 5 + 10 = 15. येथे 15 < 20 आहे. त्रिकोण अस्तित्वात नाही.
  • c) 12cm, 20cm, 240cm: 12 + 20 = 32. येथे 32 < 240 आहे. त्रिकोण अस्तित्वात नाही.
Page No: 172
1. खालीलपैकी कोणती लांबी त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबीइतकी असू शकते? तुमची उत्तरे स्पष्ट करा.
(a) 2, 2, 5   (b) 3, 4, 6   (c) 2, 4, 8   (d) 5, 5, 8   (e) 10, 20, 25   (f) 10, 20, 35   (g) 24, 26, 28
उत्तर पहा

त्रिकोण कसोटी: (दोन लहान बाजूंची बेरीज > सर्वात मोठी बाजू)

  • (a) 2, 2, 5: 2 + 2 = 4 < 5. नाही.
  • (b) 3, 4, 6: 3 + 4 = 7 > 6. होय, त्रिकोण शक्य आहे.
  • (c) 2, 4, 8: 2 + 4 = 6 < 8. नाही.
  • (d) 5, 5, 8: 5 + 5 = 10 > 8. होय, त्रिकोण शक्य आहे.
  • (e) 10, 20, 25: 10 + 20 = 30 > 25. होय, त्रिकोण शक्य आहे.
  • (f) 10, 20, 35: 10 + 20 = 30 < 35. नाही.
  • (g) 24, 26, 28: 24 + 26 = 50 > 28. होय, त्रिकोण शक्य आहे.
Page No: 176
1. खालील प्रत्येक लांबीच्या संचासाठी त्रिकोण अस्तित्वात आहेत का ते तपासा.
a) 1, 100, 100   b) 3, 6, 9   c) 1, 1, 5   d) 5, 10, 12
उत्तर पहा
  • a) 1, 100, 100: 1 + 100 = 101 > 100. होय, त्रिकोण अस्तित्वात आहे.
  • b) 3, 6, 9: 3 + 6 = 9. येथे बेरीज तिसऱ्या बाजूइतकीच (9) आहे, मोठी नाही. नाही, त्रिकोण अस्तित्वात नाही.
  • c) 1, 1, 5: 1 + 1 = 2 < 5. नाही, त्रिकोण अस्तित्वात नाही.
  • d) 5, 10, 12: 5 + 10 = 15 > 12. होय, त्रिकोण अस्तित्वात आहे.
Page No: 176
2. 50, 50, 50 बाजू असलेला समभुज त्रिकोण अस्तित्वात आहे का? सर्वसाधारपणे, कोणत्याही बाजूंच्या लांबीचा समभुज त्रिकोण अस्तित्वात आहे का? तुमच्या उत्तराचे समर्थन करा.
उत्तर पहा
  • होय, 50, 50, 50 बाजू असलेला समभुज त्रिकोण अस्तित्वात आहे. कारण 50 + 50 = 100 > 50.
  • सर्वसाधारणपणे: कोणत्याही समभुज त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू समान लांबीच्या असतात. त्यामुळे कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज केली, तर ती नेहमी तिसऱ्या बाजूपेक्षा दुप्पट (म्हणजेच मोठी) असते.
  • म्हणून, कोणत्याही लांबीचा समभुज त्रिकोण नेहमी अस्तित्वात असू शकतो.
Page No: 176
3. खालीलपैकी प्रत्येकबाबतीत तिसऱ्या लांबीसाठी किमान 5 संभाव्य मूल्ये द्या म्हणजे एक त्रिकोण असेल ज्यामध्ये ही बाजूची लांबी असेल (दशांश मूल्ये देखील निवडता येतील).
a) 1, 100   b) 5, 5   c) 3, 78
उत्तर पहा

नियम: त्रिकोणाची तिसरी बाजू नेहमी इतर दोन बाजूंच्या वजाबाकीपेक्षा मोठी आणि बेरजेपेक्षा लहान असते.

  • a) 1, 100: तिसरी बाजू 100 – 1 = 99 पेक्षा मोठी आणि 100 + 1 = 101 पेक्षा लहान असावी. (99 आणि 101 च्या मधील संख्या). मूल्ये: 99.1, 99.5, 100, 100.2, 100.8.
  • b) 5, 5: तिसरी बाजू 5 – 5 = 0 पेक्षा मोठी आणि 5 + 5 = 10 पेक्षा लहान असावी. मूल्ये: 1, 3, 5, 7, 9.
  • c) 3, 78: तिसरी बाजू 78 – 3 = 75 पेक्षा मोठी आणि 78 + 3 = 81 पेक्षा लहान असावी. मूल्ये: 76, 77, 78, 79, 80.
Page No: 177
1. खालील मोजमापांचे त्रिकोण रचा जेथे बाजूमधील कोन समाविष्ट आहे.
a) 3cm, 75°, 7cm
b) 6cm, 25°, 3cm
c) 3cm, 120°, 8cm
उत्तर पहा

त्रिकोण रचण्याच्या पायऱ्या (सर्वांसाठी समान पद्धत लागू होईल):

  • a) 3cm, 75°, 7cm:
    – मोजपट्टीच्या साहाय्याने 7cm लांबीचा पाया काढा.
    – कोनमापकाचा वापर करून पायाच्या एका टोकावर 75° चा कोन करणारी रेषा काढा.
    – कंपासमध्ये 3cm अंतर घेऊन त्याच टोकावरून कोनाच्या रेषेवर कंस काढा.
    – तो छेदनबिंदू आणि पायाचे दुसरे टोक जोडून त्रिकोण पूर्ण करा.
  • b) 6cm, 25°, 3cm:
    – 6cm लांबीचा पाया काढा.
    – एका टोकावर 25° चा कोन काढा.
    – कोनाच्या रेषेवर 3cm अंतरावर खूण करा आणि त्रिकोण पूर्ण करा.
  • c) 3cm, 120°, 8cm:
    – 8cm लांबीचा पाया काढा.
    – एका टोकावर 120° चा विशालकोन काढा.
    – कोनाच्या रेषेवर 3cm अंतरावर खूण करा आणि त्रिकोण पूर्ण करा.
इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 7 – तीन छेदक रेषांची कहाणी (सराव उत्तरे)

इयत्ता 7 वी गणित: प्रकरण 7 – तीन छेदक रेषांची कहाणी

महत्त्वाचे मुद्दे (Important Points)

  • त्रिकोणाच्या अस्तित्वाची कसोटी: त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबीची बेरीज ही नेहमी तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा जास्त असली पाहिजे.
  • त्रिकोण रचना (Construction): त्रिकोण तयार करण्यासाठी किमान अटी – (a) तीन बाजूंची लांबी, (b) दोन बाजू आणि त्यांच्यामधील समाविष्ट कोन, (c) दोन कोन आणि त्यांच्यामधील समाविष्ट बाजू.
  • कोनांची बेरीज: कोणत्याही त्रिकोणाच्या तिन्ही आंतरकोनांची बेरीज नेहमी 180° असते.
  • बाह्यकोन: त्रिकोणाची एखादी बाजू वाढवल्यास, बाहेरील बाजूस तयार होणारा कोन बाह्यकोन असतो. तो आतील लगतच्या कोनाशी 180° ची रेषीय जोडी तयार करतो.
  • त्रिकोणाची उंची: त्रिकोणाच्या कोणत्याही शिरोबिंदूतून त्याच्या विरुद्ध बाजूवर (किंवा पायावर) काढलेला लंब म्हणजे त्रिकोणाची उंची.
  • त्रिकोणांचे प्रकार (बाजू आणि कोनांनुसार): समभुज, समद्विभुज, विषमभुज; लघुकोन, काटकोन आणि विशालकोन त्रिकोण.

‘शोधा पाहू’ (Find it out) – उदाहरणांची उत्तरे

Page No: 178
1. खालील मोजमापाचे त्रिकोण नेहमीच अस्तित्वात असतात का? दोन कोन आणि त्यांच्या समाविष्ट बाजूच्या प्रत्येक संयोजनासाठी त्रिकोण अस्तित्वात आहेत का? निरीक्षण करा. (a) 75°, 5cm, 75° (b) 25°, 3cm, 60° (c) 120°, 6cm, 30°
उत्तर पहा
  • (a) 75°, 5cm, 75°: येथे दोन कोनांची बेरीज 75° + 75° = 150° आहे. ही बेरीज 180° पेक्षा कमी आहे, म्हणून हा त्रिकोण शक्य आहे.
  • (b) 25°, 3cm, 60°: येथे दोन कोनांची बेरीज 25° + 60° = 85° आहे. ही बेरीज 180° पेक्षा कमी आहे, म्हणून हा त्रिकोण शक्य आहे.
  • (c) 120°, 6cm, 30°: येथे दोन कोनांची बेरीज 120° + 30° = 150° आहे. ही बेरीज 180° पेक्षा कमी आहे, म्हणून हा त्रिकोण शक्य आहे.
  • निष्कर्ष: जर दिलेल्या दोन कोनांची बेरीज 180° पेक्षा कमी असेल, तर दिलेल्या समाविष्ट बाजूसाठी त्रिकोण नेहमी अस्तित्वात असतो.
Page No: 180
1. खालील प्रत्येक कोनासाठी, दुसरा असा कोन शोधा ज्यासाठी त्रिकोण a) शक्य आहे, b) शक्य नाही (किमान दोन वेगवेगळे कोन शोधा). (a) 30° (b) 70° (c) 54°
उत्तर पहा
  • नियम: दोन कोनांची बेरीज 180° पेक्षा कमी असल्यास त्रिकोण ‘शक्य आहे’. बेरीज 180° किंवा त्यापेक्षा जास्त असल्यास त्रिकोण ‘शक्य नाही’.
  • (a) 30° साठी:
    a) शक्य आहे: 60°, 100° (कारण 30+60=90 आणि 30+100=130; दोन्ही < 180)
    b) शक्य नाही: 150°, 160° (कारण 30+150=180 आणि 30+160=190; दोन्ही ≥ 180)
  • (b) 70° साठी:
    a) शक्य आहे: 40°, 90° (कारण 70+40=110 आणि 70+90=160; दोन्ही < 180)
    b) शक्य नाही: 110°, 130° (कारण 70+110=180 आणि 70+130=200; दोन्ही ≥ 180)
  • (c) 54° साठी:
    a) शक्य आहे: 60°, 100° (कारण 54+60=114 आणि 54+100=154; दोन्ही < 180)
    b) शक्य नाही: 126°, 140° (कारण 54+126=180 आणि 54+140=194; दोन्ही ≥ 180)
Page No: 180
2. खालीलपैकी कोणत्या जोड्या त्रिकोणाचे कोन असू शकतात आणि कोणत्या असू शकत नाहीत ते निश्चित करा. a) 35°, 150° b) 70°, 30° c) 90°, 85° d) 50°, 150° e) 144°
उत्तर पहा
  • a) 35°, 150°: बेरीज = 185° (180 पेक्षा जास्त). असू शकत नाहीत.
  • b) 70°, 30°: बेरीज = 100° (180 पेक्षा कमी). असू शकतात.
  • c) 90°, 85°: बेरीज = 175° (180 पेक्षा कमी). असू शकतात.
  • d) 50°, 150°: बेरीज = 200° (180 पेक्षा जास्त). असू शकत नाहीत.
Page No: 181
1. ∠B = 50° आणि ∠C = 70° असलेला त्रिकोण ABC विचारात घ्या. रचनेशिवाय ∠A कसे शोधायचे ते पाहू.
उत्तर पहा
  • पायरी 1: त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज 180° असते हा गुणधर्म वापरा. (किंवा शिरोबिंदू A मधून पाया BC ला समांतर रेषा काढून व्युत्क्रम कोनांचा नियम वापरा).
  • पायरी 2: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
  • पायरी 3: ∠A + 50° + 70° = 180°
  • पायरी 4: ∠A + 120° = 180°
  • पायरी 5: ∠A = 180° – 120° = 60°
  • उत्तर: ∠A चे माप 60° असेल.
Page No: 182
1. समांतर रेषेचा वापर करून त्रिकोणाचा तिसरा कोन शोधा जेव्हा त्याचे दोन कोन, खालील प्रमाणे दिलेले आहेत: a) 36°, 72° b) 150°, 15° c) 90°, 30° d) 75°, 45°
उत्तर पहा
  • त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° असते (समांतर रेषेच्या व्युत्क्रम कोन नियमावरून सिद्ध केल्याप्रमाणे).
  • a) 36°, 72°: 180 – (36 + 72) = 180 – 108 = 72°
  • b) 150°, 15°: 180 – (150 + 15) = 180 – 165 = 15°
  • c) 90°, 30°: 180 – (90 + 30) = 180 – 120 = 60°
  • d) 75°, 45°: 180 – (75 + 45) = 180 – 120 = 60°
Page No: 182
2. सर्व कोन 70° असलेला त्रिकोण तुम्ही काढू शकाल का? जर दोन कोन 70° आहेत तर तिसरा कोन किती असेल? जर त्रिकोणातील सर्व कोन समान असतील तर त्यांचे माप किती असेल?
उत्तर पहा
  • सर्व कोन 70° असलेला त्रिकोण शक्य नाही. कारण 70 + 70 + 70 = 210° होते, जे 180° पेक्षा जास्त आहे.
  • दोन कोन 70° असतील तर: 180 – (70 + 70) = 180 – 140 = 40°. तिसरा कोन 40° असेल.
  • सर्व कोन समान असल्यास: 180 ÷ 3 = 60°. प्रत्येक कोन 60° चा असेल (समभुज त्रिकोण).
Page No: 182
3. येथे एक त्रिकोण आहे ज्यामध्ये ∠B = ∠C आणि ∠A = 50°. तुम्हाला ∠B आणि ∠C ची किंमत काढता येईल का?
उत्तर पहा
  • पायरी 1: कोनांच्या बेरीज गुणधर्मावरून: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
  • पायरी 2: 50° + ∠B + ∠B = 180° (कारण ∠B = ∠C)
  • पायरी 3: 2(∠B) = 180° – 50° = 130°
  • पायरी 4: ∠B = 130° ÷ 2 = 65°
  • उत्तर: ∠B = 65° आणि ∠C = 65°.
Page No: 188
3. ∠B = 90°, AC = 5cm असलेला Δ ABC हा काटकोन त्रिकोण रचा. या मोजमापांमध्ये किती वेगवेगळे त्रिकोण आहेत? (सूचना: AC हा पाया घ्या. ∠A आणि ∠C कोणती मूल्ये घेऊ शकतात जेणेकरून दुसरा कोन 90° असेल?)
उत्तर पहा
  • पायरी 1: त्रिकोणामध्ये ∠B = 90° आहे. म्हणजेच हा काटकोन त्रिकोण आहे आणि AC हा कर्ण (5cm) आहे.
  • पायरी 2: कोनांची बेरीज 180° असते, त्यामुळे उरलेल्या दोन कोनांची (∠A + ∠C) बेरीज 90° असली पाहिजे.
  • पायरी 3: ∠A आणि ∠C हे कोणतेही दोन लघुकोन (Acute angles) असू शकतात ज्यांची बेरीज 90° आहे (उदा. 30°+60°, 45°+45°, 40°+50°).
  • उत्तर: या अटींवर आधारित अनेक (असंख्य) वेगवेगळे त्रिकोण तयार करता येऊ शकतात, कारण ∠A आणि ∠C ची अनेक मूल्ये शक्य आहेत.

बहुपर्यायी प्रश्न (MCQ)

1. कोणत्याही त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज किती असते?
  • A) 90°
  • B) 180°
  • C) 270°
  • D) 360°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 180°
2. त्रिकोण अस्तित्वात असण्यासाठी खालीलपैकी कोणती अट योग्य आहे?
  • A) कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूइतकी असावी.
  • B) कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा कमी असावी.
  • C) कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा जास्त असावी.
  • D) सर्व बाजू समान असाव्यात.
उत्तर पहा
उत्तर: C) कोणत्याही दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा जास्त असावी.
3. ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू समान लांबीच्या असतात, त्याला काय म्हणतात?
  • A) विषमभुज त्रिकोण
  • B) समद्विभुज त्रिकोण
  • C) समभुज त्रिकोण
  • D) काटकोन त्रिकोण
उत्तर पहा
उत्तर: C) समभुज त्रिकोण
4. जर त्रिकोणाचे दोन कोन 50° आणि 60° असतील, तर त्याचा तिसरा कोन किती असेल?
  • A) 70°
  • B) 80°
  • C) 90°
  • D) 100°
उत्तर पहा
उत्तर: A) 70°
5. त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूतून त्याच्या विरुद्ध बाजूवर काढलेल्या लंब रेषाखंडाला काय म्हणतात?
  • A) मध्यगा
  • B) कर्ण
  • C) उंची
  • D) पाया
उत्तर पहा
उत्तर: C) उंची
6. खालीलपैकी कोणत्या लांबींच्या संचाने त्रिकोण तयार होऊ शकत नाही?
  • A) 3 cm, 4 cm, 5 cm
  • B) 10 cm, 15 cm, 30 cm
  • C) 6 cm, 8 cm, 10 cm
  • D) 5 cm, 5 cm, 8 cm
उत्तर पहा
उत्तर: B) 10 cm, 15 cm, 30 cm (कारण 10 + 15 = 25, जे 30 पेक्षा कमी आहे)
7. ज्या त्रिकोणाचा एक कोन 90° असतो, त्याला कोणता त्रिकोण म्हणतात?
  • A) लघुकोन त्रिकोण
  • B) विशालकोन त्रिकोण
  • C) काटकोन त्रिकोण
  • D) समभुज त्रिकोण
उत्तर पहा
उत्तर: C) काटकोन त्रिकोण
8. समभुज त्रिकोणाचा प्रत्येक कोन किती अंशाचा असतो?
  • A) 45°
  • B) 60°
  • C) 90°
  • D) 120°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 60°
9. त्रिकोणाचा बाह्यकोन हा त्याच्या लगतच्या आंतरकोनासोबत मिळून किती अंशाचा कोन तयार करतो?
  • A) 90°
  • B) 180°
  • C) 360°
  • D) 270°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 180° (सरळ कोन)
10. जर त्रिकोणाचा एक बाह्यकोन 110° असेल आणि आतील लगतचा कोन वगळता इतर दोन कोनांची बेरीज किती असेल?
  • A) 70°
  • B) 110°
  • C) 180°
  • D) 90°
उत्तर पहा
उत्तर: B) 110° (बाह्यकोनाचे माप हे दूरस्थ आंतरकोनांच्या बेरजेइतके असते)
11. त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° असते, हे शोधण्याची कल्पना कोणत्या ग्रीक गणिततज्ञाच्या पुस्तकात आढळते?
  • A) पायथागोरस
  • B) आर्यभट्ट
  • C) युक्लिड
  • D) आर्किमिडीज
उत्तर पहा
उत्तर: C) युक्लिड (The Elements)
12. दोन कोन 150° आणि 15° असलेल्या त्रिकोणाचा तिसरा कोन किती असेल?
  • A) 15°
  • B) 25°
  • C) 30°
  • D) 45°
उत्तर पहा
उत्तर: A) 15°
13. त्रिकोणाचे कोणते दोन कोन शक्य नाहीत?
  • A) 60°, 60°
  • B) 90°, 45°
  • C) 100°, 90°
  • D) 30°, 120°
उत्तर पहा
उत्तर: C) 100°, 90° (कारण त्यांची बेरीज 190° होते, जी 180 पेक्षा जास्त आहे)
14. ज्या त्रिकोणाच्या दोन बाजू समान असतात, त्याला काय म्हणतात?
  • A) समभुज त्रिकोण
  • B) समद्विभुज त्रिकोण
  • C) विषमभुज त्रिकोण
  • D) काटकोन त्रिकोण
उत्तर पहा
उत्तर: B) समद्विभुज त्रिकोण
15. त्रिकोणाचे अचूक बांधकाम (रचना) करण्यासाठी सर्वात जास्त वापरले जाणारे साधन कोणते?
  • A) फक्त पट्टी
  • B) कंपास (कैवार) आणि पट्टी
  • C) फक्त कोनमापक
  • D) दोरा आणि पेन्सिल
उत्तर पहा
उत्तर: B) कंपास (कैवार) आणि पट्टी

रिकाम्या जागा भरा (Fill in the blanks)

1. कोणत्याही त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांची बेरीज नेहमी असते.
उत्तर पहा
उत्तर: 180°
2. त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबीची बेरीज ही नेहमी तिसऱ्या बाजूच्या लांबीपेक्षा असते.
उत्तर पहा
उत्तर: जास्त (किंवा मोठी)
3. शिरोबिंदूपासून त्याच्या विरुद्ध बाजूपर्यंतचा लंब रेषाखंड म्हणजे त्रिकोणाची होय.
उत्तर पहा
उत्तर: उंची
4. ज्या त्रिकोणात एक कोन विशालकोन असतो, त्या त्रिकोणाला त्रिकोण म्हणतात.
उत्तर पहा
उत्तर: विशालकोन

एका वाक्यात उत्तरे लिहा (1 Mark Questions)

1. समभुज त्रिकोण म्हणजे काय?
उत्तर पहा
उत्तर: ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू समान लांबीच्या असतात, त्याला समभुज त्रिकोण म्हणतात.
2. त्रिकोणाचा बाह्यकोन म्हणजे काय?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाची एक बाजू वाढविल्यास, वाढविलेली रेषा व त्रिकोणाची संलग्न बाजू यांच्या दरम्यान तयार होणाऱ्या कोनाला त्रिकोणाचा बाह्यकोन म्हणतात.
3. त्रिकोण अस्तित्वात असण्यासाठी कोनांची कोणती अट पूर्ण होणे आवश्यक आहे?
उत्तर पहा
उत्तर: त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन कोनांची बेरीज 180° पेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे.
Join WhatsApp Channel Join Now
Telegram Group Join Now
Share your love

Related Posts