प्रकरण 4: चौकोन (Quadrilaterals) – LBA प्रश्न
महत्त्वाचे मुद्दे (Important Points)
- आयत (Rectangle): ज्या चौकोनाचे सर्व कोन 90° असतात. याच्या विरुद्ध बाजू समान आणि समांतर असतात, आणि कर्ण समान लांबीचे असून एकमेकांना दुभागतात.
- चौरस (Square): ज्या चौकोनाचे सर्व कोन 90° आणि सर्व बाजू समान लांबीच्या असतात. याचे कर्ण समान असतात आणि ते एकमेकांना 90° मध्ये दुभागतात.
- समांतरभुज चौकोन (Parallelogram): ज्याच्या विरुद्ध बाजू समांतर आणि समान असतात. लगतच्या कोनांची बेरीज 180° असते आणि विरुद्ध कोन समान असतात.
- समभुज चौकोन (Rhombus): ज्याच्या सर्व बाजू समान असतात. याचे कर्ण एकमेकांना काटकोनात (90°) दुभागतात.
- पतंग (Kite): लगतच्या बाजूंच्या दोन जोड्या समान लांबीच्या असतात. कर्ण एकमेकांना लंब असतात.
- समलंब चौकोन (Trapezium): ज्यामध्ये विरुद्ध बाजूंची किमान एक जोडी समांतर असते.
- कोनांची बेरीज: कोणत्याही चौकोनातील सर्व कोनांची बेरीज नेहमी 360° असते.
बहुपर्यायी प्रश्न (MCQs)
रिकाम्या जागा भरा (Fill in the blanks)
एका वाक्यात उत्तरे द्या (1 Mark Questions)
‘शोधा पाहू’ स्पष्टीकरण व उत्तरे
Page No. 98 व 99 वरील उदाहरणे
(i) आयत ABCD ज्यामध्ये कर्णाने केलेला एक कोन 30° आहे.
(ii) आयत PQRS ज्यामध्ये कर्णांच्या छेदनबिंदूचा कोन 110° आहे.
(i) आयत ABCD:
- आयताचे सर्व कोन 90° असतात. त्यामुळे कोन B = 90° आणि कोन D = 90°.
- त्रिकोण ABC मध्ये, कोन B = 90° आणि कोन CAB = 30° दिला आहे. त्यामुळे कोन ACB = 180° – (90° + 30°) = 60°.
- संपूर्ण कोन A = 90° आहे, म्हणून कोन CAD = 90° – 30° = 60°.
- त्याचप्रमाणे कोन ACD = 90° – 60° = 30°.
(ii) आयत PQRS:
- आयताचे कर्ण समान असतात आणि परस्परांना दुभागतात. त्यामुळे छेदनबिंदू O पासून OP = OQ.
- त्रिकोण POQ हा समद्विभुज त्रिकोण आहे. कोन POQ = 110° दिला आहे.
- म्हणून, कोन OPQ = कोन OQP = (180° – 110°) / 2 = 35°.
- समोरासमोरील कोन POS = 180° – 110° = 70°. त्यामुळे कोन OPS = कोन OSP = (180° – 70°) / 2 = 55°.
ज्या चौकोनाचे कर्ण समान (8 cm) असतात आणि ते एकमेकांना दुभागतात, तो चौकोन आयत (Rectangle) असतो.
- (i), (ii) आणि (iv) या कोनांवर कर्ण छेदल्यास तो नेहमीचा आयत तयार होईल.
- (iii) जेव्हा कर्ण 90° मध्ये छेदतात, तेव्हा तो आयत चौरस (Square) बनतो.
APML हा एक चौरस (Square) आहे.
कारण: PL आणि AM हे वर्तुळाचे व्यास आहेत, म्हणजेच त्यांची लांबी समान आहे आणि ते एकमेकांना मध्यबिंदू O वर दुभागतात. तसेच ते एकमेकांना लंब (90°) आहेत. ज्या चौकोनाचे कर्ण समान असतात व काटकोनात दुभागतात, तो चौरस असतो.
- समान लांबीच्या दोन काठ्या घ्या आणि त्या त्यांच्या मध्यबिंदूवर एकमेकांवर ठेवा (क्रॉस करा).
- धाग्याचा वापर करून चारही टोकांमधील अंतर मोजा आणि काठ्या अशा जुळवा की चारही बाजूंचे अंतर समान होईल.
- समान बाजू आणि समान कर्ण (काठ्या) असलेला आकार चौरस असतो. चौरसाचे कोपरे नेहमी 90° असतात. अशा प्रकारे आपण 90° चा कोन तयार करू शकतो.
नाही.
ज्या चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू समांतर आणि समान असतात तो ‘समांतरभुज चौकोन (Parallelogram)’ असतो. तो आयत असण्यासाठी त्याचे सर्व कोन 90° असणे आवश्यक आहे. जर कोन 90° नसतील, तर तो फक्त समांतरभुज चौकोन राहील, आयत नाही.
Page No. 107 वरील उदाहरणे
(i) समांतरभुज चौकोन PARE ज्यामध्ये कोन P = 40°
(ii) समांतरभुज चौकोन PQRS ज्यामध्ये कोन P = 110°
(iii) समभुज चौकोन UVWX ज्यामध्ये कर्णामुळे कोन V च्या जागी 30° चा कोन तयार झाला आहे.
(iv) समभुज चौकोन IOEA ज्यामध्ये कर्णामुळे कोन E जवळ 20° चा कोन तयार झाला आहे.
(i) समांतरभुज चौकोन PARE: विरुद्ध कोन समान असतात, म्हणून कोन R = 40°. लगतच्या कोनांची बेरीज 180° असते, म्हणून कोन A = कोन E = 180° – 40° = 140°.
(ii) समांतरभुज चौकोन PQRS: विरुद्ध कोन समान असल्याने कोन R = 110°. लगतचे कोन 180° ला पूरक असतात, म्हणून कोन Q = कोन S = 180° – 110° = 70°.
(iii) समभुज चौकोन UVWX: समभुज चौकोनाचे कर्ण कोनांना दुभागतात. त्यामुळे पूर्ण कोन V = 30° + 30° = 60°. विरुद्ध कोन X = 60°. लगतचे कोन U = कोन W = 180° – 60° = 120°.
(iv) समभुज चौकोन IOEA: कर्ण कोनाला दुभागतो, म्हणून पूर्ण कोन E = 20° + 20° = 40°. विरुद्ध कोन O = 40°. लगतचे कोन I = कोन A = 180° – 40° = 140°.
रचनेच्या पायऱ्या:
- 7 cm लांबीचा एक रेषाखंड काढा आणि त्याचा मध्यबिंदू O निश्चित करा. (दोन्ही बाजू 3.5 cm होतील).
- O या मध्यबिंदूतून 140° चा कोन करणारी एक रेषा काढा.
- समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात. त्यामुळे दुसऱ्या कर्णाची लांबी 5 cm असल्याने, O पासून या नवीन रेषेवर दोन्ही बाजूंना 2.5 cm अंतरावर खुणा करा.
- मिळालेले चारही बिंदू जोडून समांतरभुज चौकोन पूर्ण करा.
रचनेच्या पायऱ्या:
- प्रथम 5 cm लांबीचा एक रेषाखंड काढा आणि त्याला नावे द्या.
- समभुज चौकोनाचे कर्ण एकमेकांना ‘काटकोनात दुभागतात’ (Perpendicular Bisector). त्यामुळे या 5 cm च्या रेषाखंडाचा लंबदुभाजक काढा.
- दुसरा कर्ण 4 cm आहे, त्यामुळे मध्यबिंदूपासून लंबदुभाजकावर वर आणि खाली 2 cm अंतरावर खुणा करा.
- तयार झालेले चारही बिंदू जोडा. हाच अपेक्षित समभुज चौकोन आहे.
Page No. 112 व 113 वरील उदाहरणे
बाजू: दोन्ही त्रिकोण समभुज असल्याने सर्व बाजू 4 cm असतील. म्हणून हा एक ‘समभुज चौकोन (Rhombus)’ तयार होईल.
कोन: समभुज त्रिकोणाचा प्रत्येक कोन 60° असतो. जेव्हा आपण दोन त्रिकोण जोडतो, तेव्हा समोरासमोरील दोन टोकांचे कोन 60° राहतील आणि जोडलेले कोन 60° + 60° = 120° होतील. त्यामुळे चौकोनाचे कोन 60°, 120°, 60°, 120° असतील.
रचनेच्या पायऱ्या:
- प्रथम 8 cm लांबीचा एक रेषाखंड काढा.
- पतंगामध्ये एक कर्ण दुसऱ्या कर्णाला काटकोनात दुभागतो. त्यामुळे 6 cm चा कर्ण असा काढा की तो 8 cm च्या रेषेला लंब असेल आणि त्याचे 3 cm – 3 cm असे दोन समान भाग होतील. (किंवा 8 cm चा कर्ण 6 cm च्या कर्णाला दुभागेल).
- कर्णांची चारही टोके एकमेकांना पट्टीने जोडा. हा तुमचा पतंग (Kite) तयार होईल.
आकृती 1: वरील कोन 135° आणि 105° आहेत.
आकृती 2: वरील कोन 100° आणि दुसरा 90° (काटकोन) आहे.
समलंब चौकोनामध्ये समांतर रेषांच्या छेदिकेच्या एकाच बाजूकडील आंतरकोनांची बेरीज 180° असते.
पहिली आकृती:
खालील डावा कोन = 180° – 135° = 45°.
खालील उजवा कोन = 180° – 105° = 75°.
दुसरी आकृती:
खालील डावा कोन = 180° – 100° = 80°.
खालील उजवा कोन = 180° – 90° = 90°.
RODS हा एक आयत दिलेला आहे. आयताचा प्रत्येक कोपरा 90° चा असतो.
येथे ‘O’ हा RODS या आयताचा एक शिरोबिंदू आहे. त्यामुळे कोन ROD हा 90° चा असेल. कोन IOD हा तोच कोन दर्शवत असल्याने, कोन IOD = 90° असेल.
होय, तो चौरस असेल.
चार समान बाजू असल्यामुळे तो मुळात समभुज चौकोन आहे. समभुज चौकोनात लगतच्या कोनांची बेरीज 180° असते आणि विरुद्ध कोन समान असतात. जर एक कोन 90° असेल, तर 180° – 90° = 90° करून त्याचे उरलेले सर्व कोन देखील 90° होतील. सर्व बाजू समान आणि सर्व कोन 90° असल्यामुळे तो ‘चौरस’ ठरेल.
