इयत्ता – 9वी
विषय – गणित
भाग – 1
प्रकरण 4.दोन चलपदांची रेषीय समीकरणे (Linear Equations in two variables)
नमुना उत्तरे
महत्त्वाचे मुद्दे: दोन चलपदांची रेषीय समीकरणे
1. रेषीय समीकरणाचे स्वरूप
- ज्या समीकरणामध्ये ax + by + c = 0 हे स्वरूप असते, जिथे a, b आणि c या वास्तव संख्या आहेत आणि a, b शून्य नाहीत, त्याला दोन चलपदांचे रेषीय समीकरण म्हणतात.
- एका चलपदाचे रेषीय समीकरण (उदा. ax + b = 0) हे देखील दोन चलपदांच्या स्वरूपात ax + 0.y + b = 0 असे लिहिता येते.
2. समीकरणाची उकल (Solutions)
- दोन चलपदे असणाऱ्या रेषीय समीकरणाला अनंत उकले असतात.
- समीकरणाची उकल ही (x, y) या क्रमागत जोडीच्या स्वरूपात लिहिता येते, जिथे पहिली किंमत x ची आणि दुसरी किंमत y ची असते.
- एका चलपदाच्या रेषीय समीकरणाची उकल मात्र अद्वितीय (Unique) असते.
3. महत्त्वाचे नियम
- समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना समान संख्या मिळविल्यास किंवा वजा केल्यास उकलावर परिणाम होत नाही.
- शून्य सोडून इतर कोणत्याही संख्येने समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना गुणल्यास किंवा भागल्यास उकल बदलत नाही.
- रेषीय समीकरणाचा आलेख हा एक सरळ रेषा असतो आणि रेषेवरील प्रत्येक बिंदू हा त्या समीकरणाची एक उकल असतो.
मराठी भाग-1 प्रश्नोत्तरांसाठी येथे क्लिक करा:
https://www.smartguruji.net/2022/07/blog-post.html
https://www.smartguruji.net/2022/07/blog-post.html
दोन चलपदांची रेषीय समीकरणे (उकल)
स्वाध्याय 4.1
1. एका पुस्तकाची किंमत एका पेनाच्या किंमतीच्या दुप्पट आहे. हे विधान दोन चलपदांच्या रेषीय समीकरणामध्ये लिहा. (पुस्तकाची किंमत ₹. x आणि पेनाची किंमत ₹ y असे मानू).
उत्तर:
पुस्तकाची किंमत = x आणि पेनाची किंमत = y मानू.
दिलेल्या अटीनुसार, पुस्तकाची किंमत ही पेनाच्या किंमतीच्या दुप्पट आहे.
म्हणून, x = 2y
हे रेषीय समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येईल:
x – 2y = 0
पुस्तकाची किंमत = x आणि पेनाची किंमत = y मानू.
दिलेल्या अटीनुसार, पुस्तकाची किंमत ही पेनाच्या किंमतीच्या दुप्पट आहे.
म्हणून, x = 2y
हे रेषीय समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येईल:
x – 2y = 0
2. खालील समीकरणे ax + by + c = 0 या स्वरूपात लिहा आणि प्रत्येक समीकरणातील a, b आणि c चलपदांच्या किंमती काढा.
उत्तर:
| समीकरण | ax + by + c = 0 स्वरूप | a, b, c च्या किंमती |
|---|---|---|
| (i) 2x + 3y = 9.35 | 2x + 3y – 9.35 = 0 | a = 2, b = 3, c = –9.35 |
| (ii) x – y/5 – 10 = 0 | 1x – (1/5)y – 10 = 0 | a = 1, b = –1/5, c = –10 |
| (iii) –2x + 3y = 6 | –2x + 3y – 6 = 0 | a = –2, b = 3, c = –6 |
| (iv) x = 3y | 1x – 3y + 0 = 0 | a = 1, b = –3, c = 0 |
| (v) 2x = –5y | 2x + 5y + 0 = 0 | a = 2, b = 5, c = 0 |
| (vi) 3x + 2 = 0 | 3x + 0y + 2 = 0 | a = 3, b = 0, c = 2 |
| (vii) y – 2 = 0 | 0x + 1y – 2 = 0 | a = 0, b = 1, c = –2 |
स्वाध्याय 4.2
1. खालील दिलेले कोणते पर्याय बरोबर आहेत आणि का? जर y = 3x + 5
(i) फक्त एकच उकल (ii) फक्त दोन उकले (iii) अद्वितीय अनेक उकले.
(i) फक्त एकच उकल (ii) फक्त दोन उकले (iii) अद्वितीय अनेक उकले.
उत्तर: (iii) अद्वितीय अनेक उकले (असंख्य उकले).
कारण: दोन चलपदे असणाऱ्या रेषीय समीकरणाचे अस्थिर असे अनेक उकले असतात. x च्या प्रत्येक किंमतीसाठी y ची एक निश्चित किंमत मिळते आणि y च्या प्रत्येक किंमतीसाठी x ची एक निश्चित किंमत मिळते.
कारण: दोन चलपदे असणाऱ्या रेषीय समीकरणाचे अस्थिर असे अनेक उकले असतात. x च्या प्रत्येक किंमतीसाठी y ची एक निश्चित किंमत मिळते आणि y च्या प्रत्येक किंमतीसाठी x ची एक निश्चित किंमत मिळते.
2. दिलेल्या प्रत्येक समीकरणाची चार उकले लिहा.
उत्तर:
(i) 2x + y = 7
y = 7 – 2x
जर x = 0, तर y = 7 – 0 = 7 (0, 7)
जर x = 1, तर y = 7 – 2 = 5 (1, 5)
जर x = 2, तर y = 7 – 4 = 3 (2, 3)
जर x = 3, तर y = 7 – 6 = 1 (3, 1)
उकले: (0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)
(ii) πx + y = 9
y = 9 – πx
जर x = 0, तर y = 9 (0, 9)
जर x = 1, तर y = 9 – π (1, 9 – π)
जर x = 2, तर y = 9 – 2π (2, 9 – 2π)
जर x = –1, तर y = 9 + π (-1, 9 + π)
उकले: (0, 9), (1, 9 – π), (2, 9 – 2π), (-1, 9 + π)
(iii) x = 4y
y = x / 4
जर x = 0, तर y = 0 (0, 0)
जर x = 4, तर y = 1 (4, 1)
जर x = 8, तर y = 2 (8, 2)
जर x = –4, तर y = –1 (-4, –1)
उकले: (0, 0), (4, 1), (8, 2), (-4, –1)
(i) 2x + y = 7
y = 7 – 2x
जर x = 0, तर y = 7 – 0 = 7 (0, 7)
जर x = 1, तर y = 7 – 2 = 5 (1, 5)
जर x = 2, तर y = 7 – 4 = 3 (2, 3)
जर x = 3, तर y = 7 – 6 = 1 (3, 1)
उकले: (0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)
(ii) πx + y = 9
y = 9 – πx
जर x = 0, तर y = 9 (0, 9)
जर x = 1, तर y = 9 – π (1, 9 – π)
जर x = 2, तर y = 9 – 2π (2, 9 – 2π)
जर x = –1, तर y = 9 + π (-1, 9 + π)
उकले: (0, 9), (1, 9 – π), (2, 9 – 2π), (-1, 9 + π)
(iii) x = 4y
y = x / 4
जर x = 0, तर y = 0 (0, 0)
जर x = 4, तर y = 1 (4, 1)
जर x = 8, तर y = 2 (8, 2)
जर x = –4, तर y = –1 (-4, –1)
उकले: (0, 0), (4, 1), (8, 2), (-4, –1)
3. खालील पैकी x – 2y = 4 या समीकरणाचे कोणते उकल आहे किंवा नाही ते तपासा.
उत्तर: दिलेले समीकरण: x – 2y = 4
(i) (0, 2) ➔ x = 0, y = 2 ठेवू. 0 – 2(2) = –4. –4 ≠ 4 (उकल नाही)
(ii) (2, 0) ➔ x = 2, y = 0 ठेवू. 2 – 2(0) = 2. 2 ≠ 4 (उकल नाही)
(iii) (4, 0) ➔ x = 4, y = 0 ठेवू. 4 – 2(0) = 4. 4 = 4 (हे उकल आहे)
(iv) (√2, 4√2) ➔ x = √2, y = 4√2 ठेवू. √2 – 2(4√2) = √2 – 8√2 = –7√2 ≠ 4 (उकल नाही)
(v) (1, 1) ➔ x = 1, y = 1 ठेवू. 1 – 2(1) = –1. –1 ≠ 4 (उकल नाही)
(i) (0, 2) ➔ x = 0, y = 2 ठेवू. 0 – 2(2) = –4. –4 ≠ 4 (उकल नाही)
(ii) (2, 0) ➔ x = 2, y = 0 ठेवू. 2 – 2(0) = 2. 2 ≠ 4 (उकल नाही)
(iii) (4, 0) ➔ x = 4, y = 0 ठेवू. 4 – 2(0) = 4. 4 = 4 (हे उकल आहे)
(iv) (√2, 4√2) ➔ x = √2, y = 4√2 ठेवू. √2 – 2(4√2) = √2 – 8√2 = –7√2 ≠ 4 (उकल नाही)
(v) (1, 1) ➔ x = 1, y = 1 ठेवू. 1 – 2(1) = –1. –1 ≠ 4 (उकल नाही)
4. 2x + 3y = k या समीकरणाचे उकल जर x = 2, y = 1 असेल तर k ची किंमत काढा.
उत्तर:
समीकरण: 2x + 3y = k
येथे x = 2 आणि y = 1 या किंमती समीकरणात ठेवू.
2(2) + 3(1) = k
4 + 3 = k
k = 7
म्हणून, k ची किंमत 7 आहे.
समीकरण: 2x + 3y = k
येथे x = 2 आणि y = 1 या किंमती समीकरणात ठेवू.
2(2) + 3(1) = k
4 + 3 = k
k = 7
म्हणून, k ची किंमत 7 आहे.
