इयत्ता 9 वी गणित 2: बहुपदी (Polynomials)

इयत्ता – 9

विषय – गणित

भाग – 1

प्रकरण 2: बहुपदी (Polynomials)

नमुना उत्तरे

प्रकरण 2: बहुपदी (Polynomials) – महत्त्वाचे मुद्दे
मूलभूत संकल्पना
  • चलपद (Variable): चलपदे x, y, z इत्यादी अक्षरांनी दर्शवितात आणि त्यांची किंमत बदलू शकते.
  • स्थिरपद (Constant): दिलेल्या उदाहरणात स्थिरपदाची किंमत शेवटपर्यंत स्थिर असते म्हणजेच बदलत नाही.
  • सहगुणक (Coefficient): बहुपदीतील प्रत्येक पदाला एक सहगुणक असतो.
पदांवरून बहुपदींचे प्रकार
  • एकपदी (Monomial): फक्त 1 पद असलेल्या बहुपदीला एकपदी म्हणतात.
  • द्विपदी (Binomial): 2 पदे असलेल्या बहुपदीला द्विपदी म्हणतात.
  • त्रिपदी (Trinomial): 3 पदे असलेल्या बहुपदीला त्रिपदी म्हणतात.
बहुपदीची कोटी (Degree of Polynomial)
  • बहुपदीतील चलपदाच्या मोठ्या घातांकाला बहुपदीची कोटी असे म्हणतात.
  • रेषीय बहुपदी (Linear Polynomial): 1 कोटी असलेल्या बहुपदीला रेषीय बहुपदी म्हणतात.
  • वर्ग बहुपदी (Quadratic Polynomial): 2 कोटी असलेल्या बहुपदीला वर्ग बहुपदी म्हणतात.
  • घन बहुपदी (Cubic Polynomial): 3 कोटी असलेल्या बहुपदीला घन बहुपदी म्हणतात.
बहुपदीची शून्ये (Zeroes of Polynomials)
  • जर a ही वास्तव संख्या असून बहुपदी p(x) चे शून्य असेल तर p(a) = 0 असते.
  • प्रत्येक रेषीय बहुपदीचे एक आणि एकच शून्य असते.
  • शून्येत्तर स्थिर बहुपदीला शून्य नसतो.
  • प्रत्येक वास्तव संख्या ही शून्य बहुपदीचे शून्य असते.
अवयव प्रमेय (Factor Theorem)
  • जर p(a) = 0 असेल, तर (x – a) हा बहुपदी p(x) चा अवयव असतो.
  • तसेच, जर (x – a) हा बहुपदी p(x) चा अवयव असेल, तर p(a) = 0 असते.
बैजीक नित्यसमीकरणे (Algebraic Identities)
  • (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.
  • (x – y)2 = x2 – 2xy + y2.
  • x2 – y2 = (x + y)(x – y).
  • (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
  • (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx.
  • (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y).
  • (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y).
  • x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx).
9th Science 3. ANU ANI RENU (अणू आणि रेणू)

प्रकरण 2: बहुपदी (Polynomials)

स्वाध्याय 2.1

1. खालीलपैकी कोणत्या राशी एक चलपद असलेल्या आणि एक चलपद नसलेल्या बहुपदी आहेत? उत्तराचे कारण सांगा.
(i) 4x2 – 3x + 7
उत्तर: ही एक चलपद (x) असलेली बहुपदी आहे कारण यातील चलपदाचे सर्व घातांक पूर्ण संख्या आहेत.
(ii) y2 + √2
उत्तर: ही एक चलपद (y) असलेली बहुपदी आहे कारण चलपदाचा घातांक पूर्ण संख्या आहे.
(iii) 3√t + t√2
उत्तर: ही बहुपदी नाही कारण पहिल्या पदातील t चा घातांक 1/2 आहे, जी पूर्ण संख्या नाही.
(iv) y + 2/y
उत्तर: ही बहुपदी नाही कारण दुसऱ्या पदातील y चा घातांक -1 आहे, जी पूर्ण संख्या नाही.
(v) x10 + y3 + t50
उत्तर: ही बहुपदी आहे पण ती एक चलपद नसून तीन चलपदे (x, y, t) असलेली बहुपदी आहे.
2. खालील प्रत्येक उदाहरणातील x2 चा सहगुणक लिहा.
(i) 2 + x2 + x
उत्तर: सहगुणक 1 आहे.
(ii) 2 – x2 + x3
उत्तर: सहगुणक -1 आहे.
(iii) (π/2)x2 + x
उत्तर: सहगुणक π/2 आहे.
(iv) √2x – 1
उत्तर: x2 हे पद नाही, म्हणून सहगुणक 0 आहे.
3. द्विपदीची कोटी 35 आणि एकपदीची कोटी 100 असलेली प्रत्येकी एक उदाहरण लिहा.
उत्तर:
द्विपदीची कोटी 35: x35 + 4
एकपदीची कोटी 100: 2y100
4. खालील प्रत्येक बहुपदीची कोटी लिहा.
(i) 5x3 + 4x2 + 7x उत्तर: कोटी 3
(ii) 4 – y2 उत्तर: कोटी 2
(iii) 5t – √7 उत्तर: कोटी 1
(iv) 3 उत्तर: कोटी 0
5. खालील बहुपदींचे रेषीय, वर्ग व घन बहुपदीमध्ये वर्गीकरण करा.
(i) x2 + x उत्तर: वर्ग बहुपदी
(ii) x – x3 उत्तर: घन बहुपदी
(iii) y + y2 + 4 उत्तर: वर्ग बहुपदी
(iv) 1 + x उत्तर: रेषीय बहुपदी
(v) 3t उत्तर: रेषीय बहुपदी
(vi) r2 उत्तर: वर्ग बहुपदी
(vii) 7x3 उत्तर: घन बहुपदी

स्वाध्याय 2.2

1. बहुपदी 5x – 4x2 + 3 ची किंमत शोधा जेव्हा
(i) x = 0
रीती: 5(0) – 4(0)2 + 3
= 0 – 0 + 3
उत्तर: 3
(ii) x = -1
रीती: 5(-1) – 4(-1)2 + 3
= -5 – 4(1) + 3
= -5 – 4 + 3
उत्तर: -6
(iii) x = 2
रीती: 5(2) – 4(2)2 + 3
= 10 – 4(4) + 3
= 10 – 16 + 3
उत्तर: -3
स्वाध्याय 2.3
1. खालील कोणत्या बहुपदीचा अवयव (x + 1) आहे हे शोधा.
अवयव प्रमेयानुसार: जर (x + 1) हा p(x) चा अवयव असेल, तर p(-1) = 0 असले पाहिजे.
(i) p(x) = x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
p(-1) = -1 + 1 – 1 + 1 = 0
उत्तर: p(-1) = 0 आहे, म्हणून (x + 1) हा या बहुपदीचा अवयव आहे.
(ii) p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
p(-1) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1
उत्तर: p(-1) ≠ 0, म्हणून (x + 1) हा या बहुपदीचा अवयव नाही.
(iii) p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 3(-1)2 + (-1) + 1
p(-1) = 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1
उत्तर: p(-1) ≠ 0, म्हणून (x + 1) हा या बहुपदीचा अवयव नाही.
(iv) p(x) = x3 – x2 – (2 + √2)x + √2
p(-1) = (-1)3 – (-1)2 – (2 + √2)(-1) + √2
p(-1) = -1 – 1 + (2 + √2) + √2
p(-1) = -2 + 2 + √2 + √2 = 2√2
उत्तर: p(-1) ≠ 0, म्हणून (x + 1) हा या बहुपदीचा अवयव नाही.
2. अवयव प्रमेय वापरून खालील प्रत्येकामध्ये g(x) हा p(x) चा अवयव आहे ते शोधा.
(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) = x + 1, म्हणून x = -1 ही किंमत p(x) मध्ये ठेवू.
p(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 – 2(-1) – 1
p(-1) = -2 + 1 + 2 – 1 = 0
उत्तर: p(-1) = 0 आहे, म्हणून g(x) हा p(x) चा अवयव आहे.
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) = x + 2, म्हणून x = -2 ही किंमत p(x) मध्ये ठेवू.
p(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + 1
p(-2) = -8 + 12 – 6 + 1 = -1
उत्तर: p(-2) ≠ 0, म्हणून g(x) हा p(x) चा अवयव नाही.
(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) = x – 3, म्हणून x = 3 ही किंमत p(x) मध्ये ठेवू.
p(3) = (3)3 – 4(3)2 + 3 + 6
p(3) = 27 – 36 + 9 = 0
उत्तर: p(3) = 0 आहे, म्हणून g(x) हा p(x) चा अवयव आहे.
3. जर p(x) चा (x – 1) हा अवयव असेल तर खालील प्रत्येकामधील k ची किंमत काढा.
(x – 1) हा अवयव असल्याने, p(1) = 0 असेल.
(i) p(x) = x2 + x + k
p(1) = (1)2 + 1 + k = 0
1 + 1 + k = 0 ⇒ 2 + k = 0
उत्तर: k = -2
(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
p(1) = 2(1)2 + k(1) + √2 = 0
2 + k + √2 = 0
उत्तर: k = -(2 + √2)
(iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
p(1) = k(1)2 – √2(1) + 1 = 0
k – √2 + 1 = 0
उत्तर: k = √2 – 1
(iv) p(x) = kx2 – 3x + k
p(1) = k(1)2 – 3(1) + k = 0
k – 3 + k = 0 ⇒ 2k = 3
उत्तर: k = 3/2
4. अवयव पाडा (मधल्या पदाची फोड करून).
(i) 12x2 – 7x + 1
गुणाकार 12 आणि बेरीज -7 येणाऱ्या संख्या: -4 आणि -3
= 12x2 – 4x – 3x + 1
= 4x(3x – 1) – 1(3x – 1)
उत्तर: (3x – 1)(4x – 1)
(ii) 2x2 + 7x + 3
गुणाकार 6 आणि बेरीज 7 येणाऱ्या संख्या: 6 आणि 1
= 2x2 + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
उत्तर: (x + 3)(2x + 1)
(iii) 6x2 + 5x – 6
गुणाकार -36 आणि बेरीज 5 येणाऱ्या संख्या: 9 आणि -4
= 6x2 + 9x – 4x – 6
= 3x(2x + 3) – 2(2x + 3)
उत्तर: (2x + 3)(3x – 2)
(iv) 3x2 – x – 4
गुणाकार -12 आणि बेरीज -1 येणाऱ्या संख्या: -4 आणि 3
= 3x2 – 4x + 3x – 4
= x(3x – 4) + 1(3x – 4)
उत्तर: (3x – 4)(x + 1)
5. अवयव पाडा (घन बहुपदी).
(i) x3 – 2x2 – x + 2
पदे एकत्र करून सामाईक काढू:
= x2(x – 2) – 1(x – 2)
= (x – 2)(x2 – 1)
(x2 – 1) चे अवयव (x – 1)(x + 1) आहेत.
उत्तर: (x – 2)(x – 1)(x + 1)
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
p(-1) = -1 – 3 + 9 – 5 = 0, म्हणून (x + 1) हा अवयव आहे.
= x3 + x2 – 4x2 – 4x – 5x – 5
= x2(x + 1) – 4x(x + 1) – 5(x + 1)
= (x + 1)(x2 – 4x – 5)
(x2 – 4x – 5) चे अवयव (x – 5)(x + 1) पडतात.
उत्तर: (x + 1)(x + 1)(x – 5)
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
p(-1) = -1 + 13 – 32 + 20 = 0, म्हणून (x + 1) हा अवयव आहे.
= x3 + x2 + 12x2 + 12x + 20x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 12x + 20)
(x2 + 12x + 20) चे अवयव (x + 10)(x + 2) पडतात.
उत्तर: (x + 1)(x + 2)(x + 10)
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
पदे एकत्र करून सामाईक काढू:
= y2(2y + 1) – 1(2y + 1)
= (2y + 1)(y2 – 1)
(y2 – 1) चे अवयव (y – 1)(y + 1) आहेत.
उत्तर: (2y + 1)(y – 1)(y + 1)

स्वाध्याय 2.4

4. योग्य नित्यसमीकरण वापरून खालील प्रत्येकाचा विस्तार करा.
वापरलेले नित्यसमीकरण: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
(i) (x + 2y + 4z)2 = x2 + (2y)2 + (4z)2 + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
उत्तर: x2 + 4y2 + 16z2 + 4xy + 16yz + 8zx
(ii) (2x – y + z)2 = (2x)2 + (-y)2 + z2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(2x)
उत्तर: 4x2 + y2 + z2 – 4xy – 2yz + 4zx
(iii) (-2x + 3y + 2z)2 = (-2x)2 + (3y)2 + (2z)2 + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)
उत्तर: 4x2 + 9y2 + 4z2 – 12xy + 12yz – 8zx
(iv) (3a – 7b – c)2 = (3a)2 + (-7b)2 + (-c)2 + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)
उत्तर: 9a2 + 49b2 + c2 – 42ab + 14bc – 6ca
(v) (-2x + 5y – 3z)2 = (-2x)2 + (5y)2 + (-3z)2 + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)
उत्तर: 4x2 + 25y2 + 9z2 – 20xy – 30yz + 12zx
(vi) (1/4a – 1/2b + 1)2 = (a/4)2 + (-b/2)2 + (1)2 + 2(a/4)(-b/2) + 2(-b/2)(1) + 2(1)(a/4)
उत्तर: a2/16 + b2/4 + 1 – ab/4 – b + a/2
5. अवयव काढा.
(i) 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy – 24yz – 16xz येथे, (2x)2 + (3y)2 + (-4z)2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(-4z) + 2(-4z)(2x) अशी मांडणी करता येते. नित्यसमीकरण वापरून: x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)2
उत्तर: (2x + 3y – 4z)2
(ii) 2x2 + y2 + 8z2 – 2√2xy + 4√2yz – 8xz येथे, (-√2x)2 + (y)2 + (2√2z)2 + 2(-√2x)(y) + 2(y)(2√2z) + 2(2√2z)(-√2x) अशी मांडणी करता येते.
उत्तर: (-√2x + y + 2√2z)2
6. खालील घनांचे विस्तारीत रूप लिहा.
वापरलेले नित्यसमीकरण: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
आणि (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y)
(i) (2x + 1)3 = (2x)3 + (1)3 + 3(2x)2(1) + 3(2x)(1)2
उत्तर: 8x3 + 12x2 + 6x + 1
(ii) (2a – 3b)3 = (2a)3 – (3b)3 – 3(2a)2(3b) + 3(2a)(3b)2 = 8a3 – 27b3 – 3(4a2)(3b) + 3(2a)(9b2)
उत्तर: 8a3 – 36a2b + 54ab2 – 27b3
(iii) [3/2x + 1]3 = (3x/2)3 + (1)3 + 3(3x/2)2(1) + 3(3x/2)(1)2
उत्तर: 27x3/8 + 27x2/4 + 9x/2 + 1
(iv) [x – 2/3y]3 = (x)3 – (2y/3)3 – 3(x)2(2y/3) + 3(x)(2y/3)2
उत्तर: x3 – 8y3/27 – 2x2y + 4xy2/3

स्वाध्याय 2.4 – उत्तरे

7. योग्य नित्यसमीकरण वापरून खालील पदांच्या किंमती काढा.

(i) (99)3
नित्यसमीकरण: (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y)
येथे, 99 = (100 – 1)
(100 – 1)3 = (100)3 – (1)3 – 3(100)(1)(100 – 1)
= 1000000 – 1 – 300(99)
= 1000000 – 1 – 29700
= 1000000 – 29701
उत्तर: 970299
(ii) (102)3
नित्यसमीकरण: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
येथे, 102 = (100 + 2)
(100 + 2)3 = (100)3 + (2)3 + 3(100)(2)(100 + 2)
= 1000000 + 8 + 600(102)
= 1000000 + 8 + 61200
= 1000000 + 61208
उत्तर: 1061208
(iii) (998)3
नित्यसमीकरण: (x – y)3 = x3 – y3 – 3xy(x – y)
येथे, 998 = (1000 – 2)
(1000 – 2)3 = (1000)3 – (2)3 – 3(1000)(2)(1000 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000(998)
= 1000000000 – 8 – 5988000
= 1000000000 – 5988008
उत्तर: 994011992

8. खालील प्रत्येक बहुपदींचे अवयव काढा.

(i) 8a3 + b3 + 12a2b + 6ab2
नित्यसमीकरण: x3 + y3 + 3x2y + 3xy2 = (x + y)3
दिलेली राशी अशी लिहिता येते:
= (2a)3 + (b)3 + 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
= (2a + b)3
उत्तर: (2a + b)(2a + b)(2a + b)
(ii) 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
नित्यसमीकरण: x3 – y3 – 3x2y + 3xy2 = (x – y)3
दिलेली राशी अशी लिहिता येते:
= (2a)3 – (b)3 – 3(2a)2(b) + 3(2a)(b)2
= (2a – b)3
उत्तर: (2a – b)(2a – b)(2a – b)
(iii) 27 – 125a3 – 135a + 225a2
दिलेली राशी अशी लिहिता येते:
= (3)3 – (5a)3 – 3(3)2(5a) + 3(3)(5a)2
= (3 – 5a)3
उत्तर: (3 – 5a)(3 – 5a)(3 – 5a)
(iv) 64a3 – 27b3 – 144a2b + 108ab2
दिलेली राशी अशी लिहिता येते:
= (4a)3 – (3b)3 – 3(4a)2(3b) + 3(4a)(3b)2
= (4a – 3b)3
उत्तर: (4a – 3b)(4a – 3b)(4a – 3b)
(v) 27p3 – 1/216 – 9/2p2 + 1/4p
दिलेली राशी अशी लिहिता येते:
= (3p)3 – (1/6)3 – 3(3p)2(1/6) + 3(3p)(1/6)2
= (3p – 1/6)3
उत्तर: (3p – 1/6)(3p – 1/6)(3p – 1/6)

9. सिध्द करा

(i) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
उजवी बाजू (RHS): (x + y)(x2 – xy + y2)
कंसातील पदांचा गुणाकार करून:
= x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)
= (x3 – x2y + xy2) + (x2y – xy2 + y3)
समान पदे रद्द करून (-x2y आणि +x2y, तसेच +xy2 आणि -xy2):
= x3 + y3
म्हणून, डावी बाजू (LHS) = उजवी बाजू (RHS). हे सिध्द झाले.
(ii) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
उजवी बाजू (RHS): (x – y)(x2 + xy + y2)
कंसातील पदांचा गुणाकार करून:
= x(x2 + xy + y2) – y(x2 + xy + y2)
= (x3 + x2y + xy2) – (x2y + xy2 + y3)
= x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3
समान पदे रद्द करून:
= x3 – y3
म्हणून, डावी बाजू (LHS) = उजवी बाजू (RHS). हे सिध्द झाले.

स्वाध्याय 2.4 – उत्तरे

10. अवयव काढा.
(i) 27y3 + 125z3
नित्यसमीकरण: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
दिलेली राशी: (3y)3 + (5z)3
वरील नित्यसमीकरणाचा वापर केल्यास:
= (3y + 5z)((3y)2 – (3y)(5z) + (5z)2)
उत्तर: = (3y + 5z)(9y2 – 15yz + 25z2)
(ii) 64m3 – 343n3
नित्यसमीकरण: x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
दिलेली राशी: (4m)3 – (7n)3
वरील नित्यसमीकरणाचा वापर केल्यास:
= (4m – 7n)((4m)2 + (4m)(7n) + (7n)2)
उत्तर: = (4m – 7n)(16m2 + 28mn + 49n2)
11. अवयव पाडा: 27x3 + y3 + z3 – 9xyz
नित्यसमीकरण: x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
दिलेली राशी: (3x)3 + y3 + z3 – 3(3x)(y)(z)
सूत्राचा वापर केल्यास:
= (3x + y + z)((3x)2 + y2 + z2 – (3x)(y) – (y)(z) – (z)(3x))
उत्तर: = (3x + y + z)(9x2 + y2 + z2 – 3xy – yz – 3zx)
12. सिध्द करा: x3 + y3 + z3 – 3xyz = 1/2(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
उजवी बाजू (RHS) घेऊया:
= 1/2(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]
कंसातील वर्गांचे विस्तार करून:
= 1/2(x + y + z)[(x2 – 2xy + y2) + (y2 – 2yz + z2) + (z2 – 2zx + x2)]
समान पदांची बेरीज करून:
= 1/2(x + y + z)[2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx]
कंसातून 2 सामाईक काढल्यावर:
= 1/2 * 2 * (x + y + z)[x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx]
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
हे नित्यसमीकरण VIII चे उजवे रूप आहे, ज्याची किंमत x3 + y3 + z3 – 3xyz असते.
म्हणून उजवी बाजू = डावी बाजू (LHS). सिध्द झाले.
13. जर x + y + z = 0 तर सिद्ध करा x3 + y3 + z3 = 3xyz
नित्यसमीकरण VIII: x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
उदाहरणात दिलेले आहे की, x + y + z = 0.
ही किंमत वरील नित्यसमीकरणात ठेवल्यास:
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (0) * (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
कोणत्याही संख्येला 0 ने गुणल्यास गुणाकार 0 येतो.
x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0
म्हणून, x3 + y3 + z3 = 3xyz. सिध्द झाले.

स्वाध्याय 2.4 – उत्तरे

प्रश्न 14: सरळ घन न करता खालील प्रत्येकाची किंमत काढा.
(i) (-12)3 + (7)3 + (5)3
रीती: जर x + y + z = 0 असेल, तर x3 + y3 + z3 = 3xyz हे नित्यसमीकरण वापरू.
येथे, x = -12, y = 7, आणि z = 5 मानू.
x + y + z = -12 + 7 + 5 = 0.
म्हणून, (-12)3 + (7)3 + (5)3 = 3 × (-12) × (7) × (5)
= -36 × 35 = -1260
उत्तर: -1260
(ii) (28)3 + (-15)3 + (-13)3
रीती: येथे, x = 28, y = -15, आणि z = -13 मानू.
x + y + z = 28 + (-15) + (-13) = 28 – 28 = 0.
म्हणून, (28)3 + (-15)3 + (-13)3 = 3 × (28) × (-15) × (-13)
= 84 × 195 = 16380
उत्तर: 16380
प्रश्न 15: खालील प्रमाणे आयताचे क्षेत्रफळ दिलेले आहे. तर त्याच्या शक्यत्या लांबी व रुंदीचे समीकरणे लिहा.
(i) क्षेत्रफळ : 25a2 – 35a + 12
रीती: आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी. म्हणून दिलेल्या वर्ग बहुपदीचे अवयव पाडूया.
25a2 – 35a + 12
येथे 25 × 12 = 300. अशा दोन संख्या शोधू ज्यांचा गुणाकार 300 आणि बेरीज -35 येईल. त्या संख्या -15 आणि -20 आहेत.
= 25a2 – 15a – 20a + 12
= 5a(5a – 3) – 4(5a – 3)
= (5a – 3)(5a – 4)
शक्य मापे: लांबी = (5a – 3) आणि रुंदी = (5a – 4) किंवा उलट.
(ii) क्षेत्रफळ : 35y2 + 13y – 12
रीती: दिलेल्या वर्ग बहुपदीचे अवयव पाडूया.
35y2 + 13y – 12
येथे 35 × (-12) = -420. अशा दोन संख्या शोधू ज्यांचा गुणाकार -420 आणि बेरीज 13 येईल. त्या संख्या 28 आणि -15 आहेत.
= 35y2 + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 4)
= (5y + 4)(7y – 3)
शक्य मापे: लांबी = (5y + 4) आणि रुंदी = (7y – 3) किंवा उलट.
प्रश्न 16: खालीलप्रमाणे घनायताचे घनफळ दिलेले आहे तर त्यांच्या मापाचे शक्य ती समीकरणे लिहा.
(i) घनफळ : 3x2 – 12x
रीती: घनायताचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची. दिलेल्या बहुपदीचे अवयव पाडूया.
3x2 – 12x
सामाईक अवयव 3x बाहेर काढू:
= 3x(x – 4)
= 3 × x × (x – 4)
शक्य मापे: 3, x, आणि (x – 4)
(ii) घनफळ : 12ky2 + 8ky – 20k
रीती: दिलेल्या बहुपदीचे अवयव पाडूया.
12ky2 + 8ky – 20k
सामाईक अवयव 4k बाहेर काढू:
= 4k(3y2 + 2y – 5)
आता कंसातील बहुपदीचे अवयव पाडू: 3 × (-5) = -15. संख्या 5 आणि -3 आहेत.
= 4k(3y2 + 5y – 3y – 5)
= 4k[y(3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k(3y + 5)(y – 1)
शक्य मापे: 4k, (3y + 5), आणि (y – 1)
9th Science 2.Aplya Sabhovatalache Dravy Shuddha Ahe Ka (2.आपल्या सभोवतालचे द्रव्य शुद्ध आहे का?)
Join WhatsApp Channel Join Now
Telegram Group Join Now
Share your love

Related Posts