Smart Guruji

Table of Contents

इयत्ता – 9

विषय – गणित

भाग – 1

प्रकरण 1 – संख्या पद्धती

नमुना उत्तरे

संख्या पध्दती – महत्त्वाचे मुद्दे

संख्या पध्दती : महत्त्वाचे मुद्दे

परिमेय संख्या (Rational Numbers): जी संख्या p/q या स्वरूपात लिहिता येते, जेथे p आणि q हे पूर्णांक आहेत आणि q ≠ 0 असते, त्या संख्येला परिमेय संख्या असे म्हणतात[cite: 3]. परिमेय संख्यांच्या एकत्रीकरणाला Q या अक्षराने दर्शवितात[cite: 2].

अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers): संख्या ‘s’ ला अपरिमेय म्हणतात, जर ती p/q या स्वरूपात लिहिता येत नाही, जेथे p आणि q हे पूर्णांक आहेत आणि q ≠ 0 असते[cite: 5]. उदा. √2, √3, π[cite: 5].

वास्तव संख्या (Real Numbers): सर्व परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांच्या एकत्रीकरणाला वास्तव संख्या म्हणतात आणि त्या R या अक्षराने दर्शवितात[cite: 6]. संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू हा एकमेव वास्तव संख्या आहे[cite: 6].

दशांश विस्तार (Decimal Expansion): परिमेय संख्येचा दशांश विस्तार एकतर सांत (खंडीत) किंवा अखंड आवर्ती (Non-termination recurring) असतो[cite: 9]. अपरिमेय संख्येचा दशांश विस्तार नेहमी अनंत अनावर्ती (non-terminating non-recurring) असतो.

परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांवरील क्रिया: एक अपरिमेय व परिमेय संख्येची बेरीज किंवा वजाबाकी अपरिमेय संख्या असते. एक अपरिमेय संख्येसोबत एक शून्येत्तर परिमेय संख्यांचा गुणाकार किंवा भागाकार अपरिमेय संख्या असते.

महत्त्वाची नित्यसमीकरणे:
1) √(ab) = √a × √b
2) √(a/b) = √a / √b
3) (√a + √b)(√a – √b) = a – b
4) (a + √b)(a – √b) = a² – b

घातांकाचे नियम (Laws of Exponents): समजा a > 0 एक वास्तव संख्या असेल आणि p आणि q परिमेय संख्या असतील तर:
1) a^p · a^q = a^p+q
2) (a^p)^q = a^pq
3) a^p / a^q = a^p-q
4) a^p · b^p = (ab)^p

स्वाध्याय 1.1

प्रश्न 1: शून्य (0) परिमेय संख्या आहे का? तुम्ही 0 ला p/q या स्वरूपात लिहू शकता का? जेथे p आणि q पूर्णांक आणि q ≠ 0.

उकल: होय, 0 ही परिमेय संख्या आहे. आपण 0 ला p/q स्वरूपात लिहू शकतो. उदाहरणार्थ, 0/1, 0/2, 0/3 इत्यादी. येथे p = 0 आणि q हा शून्येतर पूर्णांक आहे.

प्रश्न 2: 3 आणि 4 मधील 6 परिमेय संख्या शोधा.

उकल: 3 आणि 4 मधील 6 परिमेय संख्या शोधण्यासाठी, आपण छेद 6 + 1 = 7 घेऊया.
3 = 21/7 आणि 4 = 28/7 असे लिहिता येते.
याप्रमाणे 3 आणि 4 मधील 6 परिमेय संख्या 22/7, 23/7, 24/7, 25/7, 26/7 आणि 27/7 या आहेत.

प्रश्न 3: 3/5 आणि 4/5 मधील 5 परिमेय संख्या शोधा.

उकल: 5 परिमेय संख्या शोधण्यासाठी, आपण छेद आणि अंशाला 5 + 1 = 6 ने गुणूया.
3/5 = 18/30 आणि 4/5 = 24/30.
या दरम्यानच्या 5 परिमेय संख्या 19/30, 20/30, 21/30, 22/30 आणि 23/30 आहेत.

प्रश्न 4: खालील वाक्ये चूक की बरोबर आहेत ते सांगा. तुमच्या उत्तराचे कारण सांगा.

उकल:
(i) प्रत्येक नैसर्गिक संख्या ही पूर्ण संख्या आहे. – बरोबर आहे, कारण पूर्ण संख्यांच्या संग्रहात सर्व नैसर्गिक संख्यांचा समावेश असतो.
(ii) प्रत्येक पूर्णांक संख्या ही पूर्ण संख्या आहे. – चूक आहे, कारण ऋण पूर्णांक (उदा. -2) हे पूर्ण संख्या नसतात.
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या ही पूर्ण संख्या आहे. – चूक आहे, कारण 1/2 सारख्या परिमेय संख्या या पूर्ण संख्या नाहीत.

स्वाध्याय 1.2

प्रश्न 1: खालील विधाने चूक की बरोबर ते सांगा. उत्तर पडताळून पहा.

उकल:
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या ही एक वास्तव संख्या आहे. – बरोबर आहे, कारण वास्तव संख्या या परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांनी मिळून बनलेल्या असतात.
(ii) संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू हा √m स्वरूपात आहे. जेथे m ही नैसर्गिक संख्या आहे. – चूक आहे, कारण कोणत्याही नैसर्गिक संख्येचे वर्गमूळ ऋण नसते.
(iii) प्रत्येक वास्तव संख्या ही अपरिमेय संख्या असते. – चूक आहे, कारण 2 ही वास्तव संख्या आहे पण ती अपरिमेय नाही.

प्रश्न 2: सर्व धन पूर्णांक संख्यांचे वर्गमूळ अपरिमेय संख्या असते का? जर नाही, तर संख्यांचे वर्गमूळ हे परिमेय संख्या आहे याचे एक उदाहरण द्या.

उकल: नाही, सर्व धन पूर्णांक संख्यांचे वर्गमूळ अपरिमेय संख्या नसते. उदाहरणार्थ, √4 = 2, आणि 2 ही एक परिमेय संख्या आहे.

प्रश्न 3: संख्यारेषेवर √5 चे स्थान दर्शवा.

उकल: पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार आपण संख्यारेषेवर √5 दर्शवू शकतो.
संख्यारेषेवर 0 पासून 2 एकक अंतरावर एक बिंदू घ्या.
त्या बिंदूवर 1 एकक लांबीचा लंब काढा.
शून्य बिंदू आणि लंबाचे टोक जोडल्यास तयार होणाऱ्या कर्णाची लांबी √5 मिळते (कारण 2² + 1² = 5).
0 ला केंद्र मानून आणि कर्णाएवढी त्रिज्या घेऊन संख्यारेषेवर कंस काढल्यास तो बिंदू √5 दर्शवतो.

प्रश्न 4: वर्गातील कृती (चक्राकार स्वरूपात वर्गमूळ रचना).

उकल: एका मोठ्या कार्डशीटवर O बिंदूपासून सुरुवात करून 1 एकक लांबीचा रेषाखंड OP1 काढा.
OP1 ला लंब P1P2 हे 1 एकक घ्या.
P2P3 रेषाखंड काढून OP2 ला लंब काढा.
या प्रकारे क्रमाने बिंदू मिळवून √2, √3, √4 दर्शवणारी एक चक्राकार वर्गमूळ रचना तयार करता येते.

स्वाध्याय 1.3

प्रश्न 1: खालील अपुर्णांकांना दशांश रूपात लिहा आणि कोणत्या प्रकारचे दशांश रूप आहे ते लिहा.

(i) 36 / 100: उत्तर = 0.36. हे सांत (खंडित) दशांश रूप आहे.
(ii) 1 / 11: उत्तर = 0.090909… = 0.09. हे अखंड आवर्ती दशांश रूप आहे.
(iii) 4(1/8): 33 / 8 = 4.125. हे सांत (खंडित) दशांश रूप आहे.
(iv) 3 / 13: उत्तर = 0.230769230769… = 0.230769. हे अखंड आवर्ती दशांश रूप आहे.
(v) 2 / 11: उत्तर = 0.181818… = 0.18. हे अखंड आवर्ती दशांश रूप आहे.
(vi) 329 / 400: उत्तर = 0.8225. हे सांत (खंडित) दशांश रूप आहे.

प्रश्न 2: तुम्हाला माहीत आहे की 1/7 = 0.142857. दीर्घ भागाकार न करता 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 दशांश विस्तार ओळखाल का? जर होय, तर कसे?

होय, आपण ओळखू शकतो. 1/7 च्या दशांश विस्ताराला दिलेल्या अंकाने गुणून आपण हे काढू शकतो:

अपूर्णांक	गुणाकार रूप	उत्तर
2 / 7	2 * 0.142857	0.285714
3 / 7	3 * 0.142857	0.428571
4 / 7	4 * 0.142857	0.571428
5 / 7	5 * 0.142857	0.714285
6 / 7	6 * 0.142857	0.857142

प्रश्न 3: खालील आवर्ती दशांशांना p/q या स्वरूपात मांडा. जेथे p आणि q हे पूर्णांक आणि q != 0.

(i) 0.6

समजा x = 0.666… (समीकरण 1)
10x = 6.666… (समीकरण 2)
समीकरण 2 मधून 1 वजा केल्यास: 9x = 6
x = 6 / 9 = 2 / 3

(ii) 0.47

समजा x = 0.4777… (समीकरण 1)
10x = 4.777… (समीकरण 2)
100x = 47.777… (समीकरण 3)
समीकरण 3 मधून 2 वजा केल्यास: 90x = 43
x = 43 / 90

(iii) 0.001

समजा x = 0.001001… (समीकरण 1)
1000x = 1.001001… (समीकरण 2)
समीकरण 2 मधून 1 वजा केल्यास: 999x = 1
x = 1 / 999

प्रश्न 4: 0.99999… हे p/q या स्वरूपात मांडा.

समजा x = 0.999… (समीकरण 1)
10x = 9.999… (समीकरण 2)
समीकरण 2 मधून 1 वजा केल्यास: 9x = 9
x = 9 / 9 = 1
(0.999… ही संख्या 1 च्या इतकी जवळ आहे की त्यामध्ये कोणताही फरक नाही, म्हणून उत्तर 1 येते.)

प्रश्न 5: 1/17 च्या दशांश विस्तारात अंकांच्या पुनरावर्तीत गटात अंकांची जास्तीत जास्त संख्या किती असेल?

कोणत्याही परिमेय संख्या p/q च्या दशांश विस्तारात पुनरावर्तीत अंकांची जास्तीत जास्त संख्या (q – 1) असू शकते.
येथे भाजक 17 आहे. म्हणून, जास्तीत जास्त संख्या 17 – 1 = 16 असेल.
(भागाकार केल्यास: 1 / 17 = 0.0588235294117647 मिळतो, ज्यामध्ये 16 अंक आहेत.)

प्रश्न 6: p/q (q != 0) च्या स्वरूपातील परिमेय संख्येची उदाहरणे घ्या ज्यांचे सांत दशांश रूप आहे. q ला कोणते बंधन पाळणे आवश्यक आहे?

उदाहरणे: 1/2 = 0.5, 3/5 = 0.6, 7/10 = 0.7, 13/20 = 0.65.
बंधन: सांत दशांश रूप मिळण्यासाठी भाजक q चे मूळ अवयव फक्त 2 किंवा 5 किंवा दोन्ही असले पाहिजेत (अर्थात q = 2ⁿ * 5^m स्वरूपात असावा).

प्रश्न 7: अशा तीन संख्या लिहा ज्यांचा दशांश विस्तार अनंत अनावर्ती आहे.

ज्या संख्यांचा दशांश विस्तार अनंत अनावर्ती असतो त्यांना अपरिमेय संख्या म्हणतात. तीन उदाहरणे:

0.15015001500015…
0.720720072000…
√2 = 1.41421356…

प्रश्न 8: परिमेय संख्या 5/7 आणि 9/11 यांच्या दरम्यानच्या तीन वेगवेगळ्या अपरिमेय संख्या ओळखा.

5 / 7 = 0.714285
9 / 11 = 0.81

या दोन दशांश मूल्यांच्या मध्ये येणाऱ्या कोणत्याही तीन अनंत अनावर्ती संख्या अपरिमेय असतील. उदाहरणे:

0.730730073000…
0.750750075000…
0.801800180001…

प्रश्न 9: खालील संख्यांचे परिमेय संख्या आणि अपरिमेय संख्यामध्ये वर्गीकरण करा.

(i) √23: अपरिमेय संख्या (कारण 23 पूर्ण वर्ग नाही आणि दशांश विस्तार अनंत अनावर्ती आहे).
(ii) √225: परिमेय संख्या (कारण √225 = 15).
(iii) 0.3796: परिमेय संख्या (कारण हे सांत दशांश रूप आहे).
(iv) 7.478478…: परिमेय संख्या (कारण हे 7.478 अखंड आवर्ती दशांश रूप आहे).
(v) 1.101001000…: अपरिमेय संख्या (कारण दशांश विस्तार अनंत अनावर्ती आहे).

स्वाध्याय 1.4

प्रश्न 1: खालील संख्यांचे परिमेय व अपरिमेय संख्येत वर्गीकरण करा.

(i) 2 – √5: अपरिमेय (परिमेय आणि अपरिमेय संख्येची वजाबाकी अपरिमेय असते).
(ii) (3 + √23) – √23: 3 + √23 – √23 = 3. म्हणून ही परिमेय आहे.
(iii) 2√7 / 7√7: अंश आणि छेद मधील √7 कॅन्सल होईल = 2 / 7. म्हणून ही परिमेय आहे.
(iv) 1 / √2: अपरिमेय (परिमेय आणि अपरिमेय संख्येचा भागाकार अपरिमेय असतो).
(v) 2π: अपरिमेय (कारण π अपरिमेय संख्या आहे).

प्रश्न 2: खालील प्रत्येक राशींना सरळ रूप द्या.

(i) (3 + √3)(2 + √2)
= 3(2 + √2) + √3(2 + √2)
= 6 + 3√2 + 2√3 + √6

(ii) (3 + √3)(3 – √3)
(a + b)(a – b) = a² – b² सूत्र वापरून:
= 3² – (√3)²
= 9 – 3 = 6

(iii) (√5 + √2)²
(a + b)² = a² + 2ab + b² सूत्र वापरून:
= (√5)² + 2(√5)(√2) + (√2)²
= 5 + 2√10 + 2 = 7 + 2√10

(iv) (√5 – √2)(√5 + √2)
= (√5)² – (√2)²
= 5 – 2 = 3

प्रश्न 3: π ची व्याख्या वर्तुळाचा परिघ (c) आणि त्याचा व्यास (d) यांच्या गुणोत्तरात व्यक्त केले जाते. अर्थात π = c/d. येथे विरोधाभास दिसून येतो कारण π ही अपरिमेय संख्या आहे. हा विरोधाभास कसा सोडवाल?

येथे कोणताही विरोधाभास नाही. जेव्हा आपण पट्टीने किंवा इतर उपकरणाने परिघ (c) किंवा व्यास (d) मोजतो, तेव्हा आपल्याला फक्त एक ‘अंदाजे परिमेय मूल्य’ मिळते. त्यामुळे c किंवा d पैकी कोणती संख्या अपरिमेय आहे हे आपल्या लक्षात येत नाही. म्हणून π (जे c/d आहे) ही अपरिमेय संख्याच असते.

प्रश्न 4: संख्यारेषेवर √9.3 दाखवा.

भौमितिक रचना पायऱ्या:

संख्यारेषेवर बिंदू A पासून 9.3 एकक अंतरावर बिंदू B घ्या (AB = 9.3).
बिंदू B पासून 1 एकक पुढे बिंदू C घ्या (BC = 1). आता AC ची एकूण लांबी 10.3 झाली.
AC चा मध्यबिंदू O शोधा.
O ला केंद्र मानून आणि OA (किंवा OC) त्रिज्या घेऊन एक अर्धवर्तुळ काढा.
बिंदू B मधून जाणारी आणि AC ला लंब असणारी रेषा काढा जी अर्धवर्तुळाला D बिंदूत छेदते. येथे BD ची लांबी √9.3 असेल.
B ला शून्य (0) मानून आणि BD त्रिज्या घेऊन एक कंस काढा जो संख्यारेषेला E मध्ये छेदेल. बिंदू E हे √9.3 चे स्थान आहे.

प्रश्न 5: खालील राशींच्या छेदाचे परिमेयकरण करा.

(i) 1 / √7
= (1 / √7) * (√7 / √7)
= √7 / 7

(ii) 1 / (√7 – √6)
अंश आणि छेदाला (√7 + √6) ने गुणू:
= 1 * (√7 + √6) / [(√7 – √6)(√7 + √6)]
= (√7 + √6) / [(√7)² – (√6)²]
= (√7 + √6) / (7 – 6)
= √7 + √6

(iii) 1 / (√5 + √2)
अंश आणि छेदाला (√5 – √2) ने गुणू:
= (√5 – √2) / [(√5 + √2)(√5 – √2)]
= (√5 – √2) / (5 – 2)
= (√5 – √2) / 3

(iv) 1 / (√7 – 2)
अंश आणि छेदाला (√7 + 2) ने गुणू:
= (√7 + 2) / [(√7 – 2)(√7 + 2)]
= (√7 + 2) / (7 – 4)
= (√7 + 2) / 3

स्वाध्याय 1.5

1. शोधा:

(i) 64^1/2

रीती: 64 ही संख्या 8 चा वर्ग आहे, म्हणजेच 64 = 8².

म्हणून, (8²)^1/2 = 8^{(2 × 1/2)} = 8¹

उत्तर: 8

(ii) 32^1/5

रीती: 32 ही संख्या 2 चा पाचवा घात आहे, म्हणजेच 32 = 2⁵.

म्हणून, (2⁵)^1/5 = 2^{(5 × 1/5)} = 2¹

उत्तर: 2

(iii) 125^1/3

रीती: 125 ही संख्या 5 चा घन आहे, म्हणजेच 125 = 5³.

म्हणून, (5³)^1/3 = 5^{(3 × 1/3)} = 5¹

उत्तर: 5

2. शोधा:

(i) 9^3/2

रीती: 9 ही संख्या 3 चा वर्ग आहे, म्हणजेच 9 = 3².

म्हणून, (3²)^3/2 = 3^{(2 × 3/2)} = 3³

उत्तर: 27

(ii) 32^2/5

रीती: 32 ही संख्या 2 चा पाचवा घात आहे, म्हणजेच 32 = 2⁵.

म्हणून, (2⁵)^2/5 = 2^{(5 × 2/5)} = 2²

उत्तर: 4

(iii) 16^3/4

रीती: 16 ही संख्या 2 चा चौथा घात आहे, म्हणजेच 16 = 2⁴.

म्हणून, (2⁴)^3/4 = 2^{(4 × 3/4)} = 2³

उत्तर: 8

(iv) 125^-1/3

रीती: 125 ही संख्या 5 चा घन आहे, म्हणजेच 125 = 5³.

घातांकाचा नियम: a^-n = 1 / aⁿ

म्हणून, (5³)^-1/3 = 5^{(3 × -1/3)} = 5^-1

5^-1 = 1 / 5¹

उत्तर: 1/5

3. सरळ रूप द्या:

(i) 2^2/3 · 2^1/5

घातांकाचा नियम: a^p · a^q = a^p+q

रीती: येथे पाया (base) 2 समान आहे, त्यामुळे घातांकांची बेरीज होईल.

घातांकांची बेरीज: 2/3 + 1/5 = (10 + 3) / 15 = 13/15

उत्तर: 2^13/15

(ii) (1 / 3³)⁷

घातांकाचा नियम: (a^p)^q = a^pq आणि 1 / a^p = a^-p

रीती: (3^-3)⁷ = 3^{(-3 × 7)}

उत्तर: 3^-21 किंवा 1 / 3²¹

(iii) 11^1/2 / 11^1/4

घातांकाचा नियम: a^p / a^q = a^p-q

रीती: येथे पाया 11 समान आहे, त्यामुळे घातांकांची वजाबाकी होईल.

घातांकांची वजाबाकी: 1/2 – 1/4 = 2/4 – 1/4 = 1/4

उत्तर: 11^1/4

(iv) 7^1/2 · 8^1/2

घातांकाचा नियम: a^p · b^p = (ab)^p

रीती: येथे घातांक 1/2 समान आहे, त्यामुळे पायांचा गुणाकार होईल.

(7 × 8)^1/2 = 56^1/2

उत्तर: 56^1/2

Join WhatsApp Channel Join Now

Telegram Group Join Now

संख्या पध्दती : महत्त्वाचे मुद्दे

स्वाध्याय 1.3

स्वाध्याय 1.4

स्वाध्याय 1.5

1. शोधा:

2. शोधा:

3. सरळ रूप द्या:

Related Posts

इयत्ता 9 वी गणित 5.युक्लीडच्या भूमितीचा परिचय

इयत्ता नववी विज्ञान (भाग-1) नमूना प्रश्नोत्तरे

इयत्ता 9 वी गणित (भाग-1) – नमूना प्रश्नोत्तरे | Karnataka State Syllabus

इयत्ता 8 वी गणित (भाग-1) – नमूना प्रश्नोत्तरे| Karnataka State Syllabus