इयत्ता 7 वी गणित प्रकरण 8: अपूर्णांकावरील क्रिया

अपूर्णांकांवरील क्रिया – इयत्ता 7 वी गणित सराव

प्रकरण 8 : अपूर्णांकांवरील क्रिया (इयत्ता 7 वी गणित)

महत्त्वाचे मुद्दे (Important Points)

  • अपूर्णांकाचा अपूर्णांकाशी गुणाकार: दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना अंशाचा अंशाशी व छेदाचा छेदाशी गुणाकार करतात. (a/b × c/d = (a×c)/(b×d)) (पान 199)
  • ऐतिहासिक संदर्भ: अपूर्णांकांच्या गुणाकाराचे हे सूत्र सर्वप्रथम ब्रह्मगुप्ताने त्यांच्या ‘ब्रह्मस्फुटसिद्धांत’ (इ.स. 628) या ग्रंथात दिले. (पान 199)
  • अपावर्तना (संक्षिप्त रूप): अपूर्णांकाला त्याच्या सर्वात कमी पदांपर्यंत कमी करण्याची प्रक्रिया. जैन विद्वान उमास्वाती (इ.स. 150) यांनी याचा उल्लेख केला आहे. (पान 200)
  • गुणाकाराचे मूल्य: जेव्हा दोन संख्या 1 पेक्षा मोठ्या असतात, तेव्हा गुणाकार दोन्ही संख्यांपेक्षा मोठा असतो. जेव्हा दोन्ही संख्या 0 आणि 1 च्या दरम्यान असतात, तेव्हा गुणाकार दोन्ही संख्यांपेक्षा लहान असतो. (पान 202)
  • अपूर्णांकांचा भागाकार: एका अपूर्णांकाला दुसऱ्या अपूर्णांकाने भागणे म्हणजे पहिल्या अपूर्णांकाला दुसऱ्याच्या ‘व्यस्त’ (reciprocal) अपूर्णांकाने गुणणे होय. (a/b ÷ c/d = a/b × d/c). (पान 206)
  • भागाकाराचे मूल्य: जेव्हा भाजक 0 आणि 1 च्या दरम्यान असतो, तेव्हा भागाकार भाज्यापेक्षा मोठा असतो. जेव्हा भाजक 1 पेक्षा मोठा असतो, तेव्हा भागाकार भाज्यापेक्षा लहान असतो. (पान 207)
  • सुलभसूत्र: हा भारताचा सर्वात जुना भूमिती ग्रंथ असून (800 इ.स. पूर्व), यात अपूर्णांकाचा वापर अग्निवेदी बांधण्यासाठी केल्याचे आढळते. (पान 208)
  • लीलावती: दुसरे भास्कर यांनी 1150 मध्ये ‘लीलावती’ या ग्रंथात भागाकाराच्या परस्परसंबंधाचे अधिक स्पष्टीकरण दिले. (पान 213)

बहुपर्यायी प्रश्न (MCQ)

1. आरोन 1 तासात 3 km चालतो. तर तो 5 तासांत किती अंतर चालू शकेल? (पान 190)
  • A) 8 km
  • B) 15 km
  • C) 12 km
  • D) 3 km
उत्तर: B) 15 km
2. कासव 1 तासात 1/4 km चालते, तर ते 3 तासात किती अंतर चालेल? (पान 190)
  • A) 3/4 km
  • B) 4/3 km
  • C) 1/12 km
  • D) 3 km
उत्तर: A) 3/4 km
3. 2/5 × 3 = किती? (पान 191)
  • A) 5/6
  • B) 6/5
  • C) 2/15
  • D) 3/5
उत्तर: B) 6/5
4. 1 1/4 (एक पूर्णांक एक छेद चार) ला साध्या अपूर्णांकात कसे लिहाल? (पान 193)
  • A) 1/4
  • B) 4/5
  • C) 5/4
  • D) 6/4
उत्तर: C) 5/4
5. दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार करताना a/b × c/d = ? (पान 199)
  • A) (a×d)/(b×c)
  • B) (a+c)/(b+d)
  • C) (a×c)/(b×d)
  • D) (a×b)/(c×d)
उत्तर: C) (a×c)/(b×d)
6. अपूर्णांकांच्या गुणाकाराचे हे सूत्र प्रथम कोणी दिले? (पान 199)
  • A) आर्यभट्ट
  • B) भास्कर दुसरे
  • C) उमास्वाती
  • D) ब्रह्मगुप्त
उत्तर: D) ब्रह्मगुप्त
7. ‘ब्रह्मस्फुटसिद्धांत’ हा ग्रंथ कोणत्या वर्षी लिहिला गेला? (पान 199)
  • A) इ.स. 628
  • B) इ.स. 800
  • C) इ.स. 1150
  • D) इ.स. 150
उत्तर: A) इ.स. 628
8. 1/4 × 1/2 = किती? (पान 194)
  • A) 1/6
  • B) 1/8
  • C) 2/4
  • D) 1/2
उत्तर: B) 1/8
9. 5/12 × 7/18 = किती? (पान 199)
  • A) 35/216
  • B) 12/216
  • C) 35/30
  • D) 12/30
उत्तर: A) 35/216
10. ‘अपावर्तना’ या शब्दाचा अर्थ काय आहे? (पान 200)
  • A) अपूर्णांकांची बेरीज करणे
  • B) अपूर्णांकांचा गुणाकार करणे
  • C) अपूर्णांकाला सर्वात कमी पदांपर्यंत कमी करणे (संक्षिप्त रूप)
  • D) अपूर्णांकाचा भागाकार करणे
उत्तर: C) अपूर्णांकाला सर्वात कमी पदांपर्यंत कमी करणे (संक्षिप्त रूप)
11. 3 × 5 = 15 या उदाहरणात गुणाकार कसा आहे? (पान 201)
  • A) दोन्ही संख्यांपेक्षा मोठा
  • B) दोन्ही संख्यांपेक्षा लहान
  • C) पहिल्या संख्येपेक्षा लहान
  • D) दुसऱ्या संख्येपेक्षा लहान
उत्तर: A) दोन्ही संख्यांपेक्षा मोठा
12. 3/4 × 2/5 = 3/10 या उदाहरणात गुणाकार कसा आहे? (पान 202)
  • A) दोन्ही संख्यांपेक्षा मोठा
  • B) दोन्ही संख्यांपेक्षा कमी (लहान)
  • C) 3/4 पेक्षा मोठा
  • D) 2/5 पेक्षा मोठा
उत्तर: B) दोन्ही संख्यांपेक्षा कमी (लहान)
13. एक संख्या 0 आणि 1 च्या दरम्यान आणि दुसरी 1 पेक्षा मोठी असल्यास गुणाकार कसा असतो? (पान 203)
  • A) दोन्ही संख्यांपेक्षा मोठा
  • B) दोन्ही संख्यांपेक्षा लहान
  • C) 0 ते 1 मधील संख्येपेक्षा मोठा आणि 1 पेक्षा मोठ्या संख्येपेक्षा लहान
  • D) नेहमी 1 असतो
उत्तर: C) 0 ते 1 मधील संख्येपेक्षा मोठा आणि 1 पेक्षा मोठ्या संख्येपेक्षा लहान
14. अपूर्णांकांच्या गुणाकारात कोणता घटक महत्त्वाचा नसतो? (पान 204)
  • A) अंश
  • B) छेद
  • C) क्रम
  • D) वरीलपैकी काहीही नाही
उत्तर: C) क्रम
15. 1 ÷ (2/3) चे उत्तर काय येईल? (पान 204)
  • A) 2/3
  • B) 3/2
  • C) 1/3
  • D) 1/2
उत्तर: B) 3/2
16. a/b ÷ c/d = ? (पान 206)
  • A) (a/b) × (c/d)
  • B) (a/b) × (d/c)
  • C) (b/a) × (c/d)
  • D) (b/a) × (d/c)
उत्तर: B) (a/b) × (d/c)
17. ‘लीलावती’ हा ग्रंथ कोणी लिहिला आहे? (पान 213)
  • A) भास्कर पहिला
  • B) आर्यभट्ट
  • C) उमास्वाती
  • D) भास्कर दुसरे
उत्तर: D) भास्कर दुसरे
18. 6 ÷ (1/4) चे उत्तर काय येते? (पान 207)
  • A) 6/4
  • B) 4/6
  • C) 24
  • D) 2
उत्तर: C) 24
19. 1 द्रामा म्हणजे किती कौरी शंख? (पान 211)
  • A) 128
  • B) 1280
  • C) 1000
  • D) 120
उत्तर: B) 1280
20. ‘सुलभसूत्र’ हा ग्रंथ कोणत्या विषयाशी संबंधित आहे? (पान 208, 213)
  • A) बीजगणित
  • B) भूमिती (अग्निवेदी बांधणी)
  • C) खगोलशास्त्र
  • D) व्याकरण
उत्तर: B) भूमिती (अग्निवेदी बांधणी)

एका वाक्यात उत्तरे लिहा (1 Mark Questions)

1. 1 तासात 3 km तर 2/5 तासात किती अंतर कापले जाईल? (पान 191)
उत्तर: 6/5 km.
2. अपूर्णांकाचा पूर्णांकाशी गुणाकार करताना पूर्णांकाने कशाला गुणतात? (पान 192)
उत्तर: अंशाला गुणतात.
3. 1 1/4 तास इंटरनेट वापराची किंमत 8 रुपये/तास प्रमाणे किती होईल? (पान 193)
उत्तर: 10 रुपये. (5/4 × 8 = 10)
4. दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार कसा काढतात? (पान 199)
उत्तर: अंशाचा अंशाशी आणि छेदाचा छेदाशी गुणाकार करून.
5. 1/4 ला 2 समान भागात विभागले तर काय मिळेल? (पान 195)
उत्तर: 1/8 मिळेल.
6. अपूर्णांक गुणाकाराचे सूत्र सर्वप्रथम कोणी शोधले? (पान 199)
उत्तर: ब्रह्मगुप्ताने शोधले.
7. जैन विद्वान उमास्वाती यांनी कोणत्या प्रक्रियेचा उल्लेख केला? (पान 200)
उत्तर: अपावर्तना (अपूर्णांकाला संक्षिप्त रूप देणे).
8. जेव्हा दोन संख्या 0 आणि 1 च्या दरम्यान असतात, तेव्हा त्यांच्या गुणाकाराचे मूल्य कसे असते? (पान 202)
उत्तर: त्यांच्या गुणाकाराचे मूल्य दोन्ही संख्यांपेक्षा कमी असते.
9. गुणाकारात संख्यांचा क्रम बदलल्यास उत्तरात काय बदल होतो? (पान 204)
उत्तर: काहीही बदल होत नाही, उत्तर समान राहते.
10. अपूर्णांकाचा भागाकार करताना भाजकाचा कोणता संबंध वापरतात? (पान 206)
उत्तर: परस्परसंबंध (व्यस्त / reciprocal) वापरतात.
11. 3 ÷ (2/3) चे उत्तर काय येते? (पान 205)
उत्तर: 9/2 येते.
12. दोन अपूर्णांकांचा भागाकार करण्याचे सूत्र कोणत्या ग्रंथात आढळते? (पान 206)
उत्तर: ब्रह्मस्फुटसिद्धांत ग्रंथात आढळते.
13. ‘लीलावती’ या ग्रंथाची रचना कोणी केली? (पान 213)
उत्तर: भास्कर दुसरे (भास्कराचार्य) यांनी केली.
14. 6 ÷ 3 मध्ये भागाकार भाज्यापेक्षा कसा असतो? (पान 207)
उत्तर: लहान असतो (2 < 6).
15. भाजक 1 पेक्षा लहान (0 ते 1 दरम्यान) असल्यास भागाकार भाज्यापेक्षा कसा असतो? (पान 207)
उत्तर: मोठा असतो.
16. सुलभसूत्र हा प्राचीन ग्रंथ कशाशी संबंधित आहे? (पान 208, 213)
उत्तर: भूमिती आणि अग्निवेदी बांधणीशी संबंधित आहे.
17. ‘द्रामा’ म्हणजे काय? (पान 211)
उत्तर: प्राचीन काळात वापरले जाणारे चांदीचे नाणे.
18. सर्वात कमी मूल्याचे चलन कोणते होते? (पान 212)
उत्तर: कौरी शंख हे सर्वात कमी मूल्याचे चलन होते.
19. आर्यभटीयभाष्य कोणी लिहिले? (पान 213)
उत्तर: भास्कर पहिला यांनी लिहिले.
20. 3/4 × 2/5 चे उत्तर काय? (पान 196)
उत्तर: 6/20 म्हणजेच 3/10.
21. 14/15 × 25/42 ला संक्षिप्त रूप दिल्यास काय मिळेल? (पान 200)
उत्तर: 5/9 मिळेल.

रिकाम्या जागा भरा

1. 1 तासात 3 km तर 5 तासात __________ km अंतर कापले जाते. (पान 190)
उत्तर: 15
2. 1 तासात 1/4 km चालल्यास 3 तासात __________ km चालले जाईल. (पान 190)
उत्तर: 3/4
3. 2/5 × 3 = __________ / 5. (पान 192)
उत्तर: 6
4. 1 1/4 तास म्हणजे साध्या अपूर्णांकात __________ / 4 तास होय. (पान 193)
उत्तर: 5
5. 1/2 × 1/4 = __________. (पान 195)
उत्तर: 1/8
6. दोन अपूर्णांकांचा गुणाकार म्हणजे (अंशाचा गुणाकार) / (__________ चा गुणाकार). (पान 198)
उत्तर: छेदां
7. a/b × c/d = (__________ × c) / (b × d). (पान 199)
उत्तर: a
8. ब्रह्मगुप्ताने अपूर्णांकांचे नियम __________ या ग्रंथात दिले. (पान 199)
उत्तर: ब्रह्मस्फुटसिद्धांत
9. अपूर्णांकाला सर्वात कमी पदांपर्यंत कमी करण्याच्या प्रक्रियेला __________ म्हणतात. (पान 200)
उत्तर: अपावर्तना
10. इ.स. 150 च्या सुमारास जैन विद्वान __________ यांनी अपावर्तनाचा उल्लेख केला. (पान 200)
उत्तर: उमास्वाती
11. जेव्हा दोन संख्या 1 पेक्षा मोठ्या असतात, तेव्हा त्यांचा गुणाकार दोन्ही संख्यांपेक्षा __________ असतो. (पान 202)
उत्तर: मोठा
12. जेव्हा दोन्ही संख्या 0 आणि 1 च्या दरम्यान असतात, तेव्हा गुणाकार दोन्ही संख्यांपेक्षा __________ असतो. (पान 202)
उत्तर: कमी / लहान
13. अपूर्णांकांच्या गुणाकारात संख्यांचा __________ महत्त्वाचा नसतो. (पान 204)
उत्तर: क्रम
14. 1 ÷ 2/3 = __________. (पान 204)
उत्तर: 3/2
15. 1 मिळविण्यासाठी कोणत्याही अपूर्णांकाला त्याच्या __________ ने गुणावे लागते. (पान 206)
उत्तर: व्यस्ताने (परस्परसंबंधाने)
16. a/b ÷ c/d = a/b × __________. (पान 206)
उत्तर: d/c
17. भास्कर दुसरे यांनी 1150 मध्ये __________ हे पुस्तक लिहिले. (पान 213)
उत्तर: लीलावती
18. भाजक 0 आणि 1 च्या दरम्यान असल्यास भागाकार भाज्यापेक्षा __________ असतो. (पान 207)
उत्तर: मोठा
19. __________ हा भारतातील सर्वात जुना भूमिती ग्रंथ मानला जातो. (पान 213)
उत्तर: सुलभसूत्र
20. 1280 कौरी शंख म्हणजे 1 __________ होय. (पान 211)
उत्तर: द्रामा
इयत्ता 7 वी गणित – प्रकरण 8: अपूर्णांकांवरील क्रिया (शोधा पाहू)

इयत्ता 7 वी गणित – प्रकरण 8: अपूर्णांकांवरील क्रिया (शोधा पाहू)

Page No. 191 – 192
प्रश्न: आरोन 1 तासात 3 km चालतो. तर तो 25 तासात किती अंतर चालू शकतो?
  • पायरी 1: 1 तासात कापलेले अंतर = 3 km.
  • पायरी 2: आपण प्रथम 15 तासामध्ये कापलेले अंतर शोधू. 3 किलोमीटरचे 5 समान भाग केल्यास 35 km अंतर मिळते.
  • पायरी 3: ज्याअर्थी, 25 हा 15 च्या दुप्पट आहे, म्हणून एकूण अंतर काढण्यासाठी या अंतराला 2 ने गुणू.
  • पायरी 4: 2 x 35 = 65 km.
  • उत्तर: आरोन 25 तासात 65 km चालू शकतो.
Page No. 193
प्रश्न 1: तेन्झिन दररोज 12 ग्लास दूध पितो. तर त्याने जानेवारी महिन्यात किती ग्लास दूध पिले असेल?
  • पायरी 1: एका दिवसात पिलेले दूध = 12 ग्लास.
  • पायरी 2: जानेवारी महिन्यातील एकूण दिवस = 31.
  • पायरी 3: जानेवारी महिन्यात पिलेले एकूण दूध = 31 x 12.
  • पायरी 4: गुणाकार केल्यास 312 मिळते. मिश्र अपूर्णांकात: 15 12.
  • उत्तर: तेन्झिन जानेवारी महिन्यात 15 12 ग्लास दूध पितो.
प्रश्न 2: कामगारांचा एक संघ एका दिवसात पाण्याच्या कालव्याचा 18 km भाग बांधू शकते. जर ते आठवड्यातून 5 दिवस काम करत असतील तर ते आठवड्यातून किती km कालवा बांधू शकतात?
  • पायरी 1: एका दिवसात बांधलेला कालवा = 18 km.
  • पायरी 2: आठवड्यातून काम केलेले एकूण दिवस = 5.
  • पायरी 3: 5 दिवसात बांधलेला कालवा = 5 x 18.
  • उत्तर: कामगार आठवड्यातून 58 km कालवा बांधू शकतात.
प्रश्न 3: मंजू आणि तिच्या दोन शेजारी दर आठवड्याला 5 लिटर तेल खरेदी करतात आणि ते 3 कुटुंबांमध्ये समान प्रमाणात वाटून घेतात. प्रत्येक कुटुंबाला आठवड्यातून किती तेल मिळते? एका कुटुंबाला 4 आठवड्यासाठी किती तेल लागेल?
  • पायरी 1: एकूण तेल = 5 लिटर.
  • पायरी 2: एकूण कुटुंबे = 3 (मंजू आणि 2 शेजारी).
  • पायरी 3: प्रत्येक कुटुंबाला मिळणारे तेल शोधण्यासाठी 5 ला 3 ने भागा. म्हणून, 1 कुटुंबाला 53 लिटर तेल मिळते.
  • पायरी 4: 4 आठवड्यासाठी 1 कुटुंबाला लागणारे तेल = 4 x 53.
  • उत्तर: प्रत्येक कुटुंबाला आठवड्यातून 53 लिटर तेल मिळते आणि 4 आठवड्यांसाठी 203 लिटर तेल लागेल.
प्रश्न 4: सोमवारी रात्री 10 वाजता साफियाने चंद्र मावळताना पाहिले. दररोज चंद्र मागिल दिवसापेक्षा 56 तास उशिरा मावळतो. तर गुरूवारी रात्री 10 वाजल्यानंतर किती तासांनी चंद्र मावळेल?
  • पायरी 1: एका दिवसातील उशीर = 56 तास.
  • पायरी 2: सोमवार ते गुरुवार मधील एकूण दिवस = 3 (मंगळवार, बुधवार, गुरुवार).
  • पायरी 3: 3 दिवसांतील एकूण उशीर = 3 x 56.
  • पायरी 4: गुणाकार केल्यास 156 मिळते. त्याला संक्षिप्त रूप दिल्यास 52 तास.
  • उत्तर: गुरूवारी चंद्र 10 वाजल्यानंतर 52 तासांनी (म्हणजेच 2 12 तासांनी) मावळेल.
प्रश्न 5: गुणाकार करा आणि नंतर त्याचे मिश्र अपूर्णांकात रूपांतर करा.
(a) 7 x 35
(b) 4 x 13
(c) 97 x 6
(d) 1311 x 6
  • (a) 7 x 35 = 215. मिश्र अपूर्णांक: 4 15.
  • (b) 4 x 13 = 43. मिश्र अपूर्णांक: 1 13.
  • (c) 97 x 6 = 547. मिश्र अपूर्णांक: 7 57.
  • (d) 1311 x 6 = 7811. मिश्र अपूर्णांक: 7 111.
Page No. 195
प्रश्न: जर कासव वेगाने चालत असेल आणि तो 1 तासात 25 km अतर चालू शकतो. तर तो एका तासाच्या 34 मध्ये किती अंतर चालेल?
(i) प्रथम 14 तासात कापलेले अंतर शोधा.
(ii) उत्तराला 3 ने गुणा, अंतर 34 तासात पूर्ण करण्यासाठी.
  • पायरी (i): 1 तासात कापलेले अंतर = 25 km.
    14 तासात कापलेले अंतर शोधण्यासाठी, 14 x 25 करू. अंश आणि छेदाचा गुणाकार केल्यास 220 मिळते.
  • पायरी (ii): आता या उत्तराला 3 ने गुणू. 3 x 220 = 620.
  • अंतिम उत्तर: 620 ला अतिसंक्षिप्त रूप दिल्यास 310 km मिळते.
इयत्ता 7 वी – गणित (भाग 1) | प्रकरण 8: अपूर्णांकांवरील क्रिया
‘शोधा पाहू’ (Figure it out) – संपूर्ण स्वाध्याय व उत्तरे
पान क्र. 197 वरील ‘शोधा पाहू’
पान 197 – प्रश्न 1: खालील गुणाकार करा. अपूर्णांक दर्शविण्यासाठी संपूर्ण चौरस एकक वापरा.
(a) 1/3 × 1/5
उत्तर पहा
पायरी 1: एका चौरस एककाचे 3 ओळी (Rows) आणि 5 स्तंभ (Columns) मध्ये विभाजन केले असता एकूण 3 × 5 = 15 समान भाग तयार होतात.

पायरी 2: 1/3 चा 1/5 भाग म्हणजेच या 15 समान भागांपैकी 1 भाग व्यापला जातो.

पायरी 3: 1/3 × 1/5 = 1 / (3 × 5) = 1/15

उत्तर = 1/15
पान क्र. 198 वरील ‘शोधा पाहू’
पान 198 – प्रश्न 1 (पुढे चालू): खालील गुणाकार करा. अपूर्णांक दर्शविण्यासाठी संपूर्ण चौरस एकक वापरा.
(b) 1/4 × 1/3
(c) 1/5 × 1/2
(d) 1/6 × 1/5
उत्तर पहा
(b) 1/4 × 1/3:
पायरी: 4 ओळी आणि 3 स्तंभ यांनी मिळून 4 × 3 = 12 समान भाग होतात.
1/4 × 1/3 = 1 / (4 × 3) = 1/12
उत्तर = 1/12
(c) 1/5 × 1/2:
पायरी: 5 ओळी आणि 2 स्तंभ यांनी मिळून 5 × 2 = 10 समान भाग होतात.
1/5 × 1/2 = 1 / (5 × 2) = 1/10
उत्तर = 1/10
(d) 1/6 × 1/5:
पायरी: 6 ओळी आणि 5 स्तंभ यांनी मिळून 6 × 5 = 30 समान भाग होतात.
1/6 × 1/5 = 1 / (6 × 5) = 1/30
उत्तर = 1/30
पान 198 – उदाहरण: आता, शोधा 1/12 × 1/18
उत्तर पहा
पायरी 1: संपूर्ण भाग 18 पंक्ती आणि 12 स्तंभांमध्ये विभागल्यास एकूण 18 × 12 = 216 समान भाग तयार होतात.

पायरी 2: 1/18 × 1/12 = 1 / (18 × 12) = 1/216

उत्तर = 1/216
पान 198 – प्रश्न 2: खालील गुणाकार करा. अपूर्णांकांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी आणि क्रिया करण्यासाठी संपूर्ण चौरस एकक वापरा.
(a) 2/3 × 4/5
(b) 1/4 × 2/3
(c) 3/5 × 1/2
(d) 4/6 × 3/5
उत्तर पहा
(a) 2/3 × 4/5:
पायरी 1: 4/5 ला 3 समान भागात विभागल्यास 4 / (3 × 5) = 4/15 मिळतात.
पायरी 2: या भागाला 2 ने गुणल्यास = (2 × 4) / 15 = 8/15
उत्तर = 8/15
(b) 1/4 × 2/3:
पायरी 1: 2/3 ला 4 समान भागात विभागल्यास 2 / (4 × 3) = 2/12 मिळतात.
पायरी 2: 1 ने गुणल्यास = (1 × 2) / 12 = 2/12 = 1/6
उत्तर = 1/6
(c) 3/5 × 1/2:
पायरी 1: 1/2 ला 5 समान भागात विभागल्यास 1 / (5 × 2) = 1/10 मिळतात.
पायरी 2: या भागाला 3 ने गुणल्यास = (3 × 1) / 10 = 3/10
उत्तर = 3/10
(d) 4/6 × 3/5:
पायरी 1: 3/5 ला 6 समान भागात विभागल्यास 3 / (6 × 5) = 3/30 मिळतात.
पायरी 2: या भागाला 4 ने गुणल्यास = (4 × 3) / 30 = 12/30
पायरी 3: संक्षिप्त रूप = 12/30 = 2/5 (अंश व छेदास 6 ने भागून)
उत्तर = 2/5
पान क्र. 201 वरील ‘शोधा पाहू’
पान 201 – प्रश्न 1: एका नळाने पाण्याची टाकी भरली जाते. जर नळ 1 तास चालू असेल तर टाकीचा 7/10 भाग भरला जातो. तर नळ खालील तास चालू असेल तर टाकीचा किती भाग भरेल ?
a) 1/3 तास
b) 2/3 तास
c) 1/2 तास
d) 7/10 तास
e) हे प्रयत्न करा: टाकी पूर्ण भरण्यासाठी, नळ किती वेळ चालू असावा ?
उत्तर पहा
दिलेले: 1 तासात भरला जाणारा भाग = 7/10

a) 1/3 तास चालू असल्यास:
भरलेला भाग = 1/3 × 7/10 = (1 × 7) / (3 × 10) = 7/30 भाग
उत्तर = 7/30 भाग
b) 2/3 तास चालू असल्यास:
भरलेला भाग = 2/3 × 7/10 = (2 × 7) / (3 × 10) = 14/30 = 7/15 भाग
उत्तर = 7/15 भाग
c) 1/2 तास चालू असल्यास:
भरलेला भाग = 1/2 × 7/10 = (1 × 7) / (2 × 10) = 7/20 भाग
उत्तर = 7/20 भाग
d) 7/10 तास चालू असल्यास:
भरलेला भाग = 7/10 × 7/10 = (7 × 7) / (10 × 10) = 49/100 भाग
उत्तर = 49/100 भाग
e) टाकी पूर्ण भरण्यासाठी लागणारा वेळ:
संपूर्ण टाकी = 1 पूर्ण भाग
वेळ = 1 ÷ (7/10) = 1 × 10/7 = 10/7 तास = 1 पूर्णांक 3/7 तास
उत्तर = 10/7 तास (किंवा 1 पूर्णांक 3/7 तास)
पान 201 – प्रश्न 2: सरकारने सोमूची जमीन रस्ता बांधण्यासाठी घेतली आहे. ती उर्वरित जमिनीचा अर्धा भाग तिची मुलगी कृष्णाला आणि 1/6 भाग तिचा मुलगा बोराला देते. त्यांना त्यांचे भाग दिल्यानंतर, ती उर्वरित जमीन स्वतःसाठी ठेवते.
a) कृष्णाला मूळ/उर्वरित भूमीचा किती भाग मिळाला?
b) बोराला मूळ/उर्वरित जमिनीचा किती भाग मिळाला?
c) सोमूने स्वतःसाठी किती भाग ठेवला ?
उत्तर पहा
पायरी 1: सोमूकडे असलेल्या उर्वरित जमिनीचे प्रमाण = 1 (एकूण उर्वरित जमीन)

पायरी 2: कृष्णाला दिलेला भाग = 1/2

पायरी 3: बोराला दिलेला भाग = 1/6

पायरी 4: दोघांना मिळून दिलेला एकूण भाग = 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3

पायरी 5: सोमूकडे स्वतःसाठी शिल्लक राहिलेला भाग = 1 – 2/3 = 1/3

a) कृष्णाचा भाग = 1/2
b) बोराचा भाग = 1/6
c) सोमूचा स्वतःचा भाग = 1/3
पान 201 – प्रश्न 3: 3 पूर्णांक 3/4 फूट आणि 9 पूर्णांक 3/5 फूट बाजू असलेल्या आयताचे क्षेत्रफळ काढा.
उत्तर पहा
पायरी 1: मिश्र अपूर्णांकांचे साध्या अपूर्णांकात रूपांतर करू.
लांबी = 9 पूर्णांक 3/5 फूट = (9 × 5 + 3)/5 = 48/5 फूट
रुंदी = 3 पूर्णांक 3/4 फूट = (3 × 4 + 3)/4 = 15/4 फूट

पायरी 2: आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
= 48/5 × 15/4

पायरी 3: सामाईक अवयव रद्द करून गुणाकार करू.
48 आणि 4 ला 4 ने भागल्यास 48/4 = 12 मिळते.
15 आणि 5 ला 5 ने भागल्यास 15/5 = 3 मिळते.
= 12 × 3 = 36 चौरस फूट

उत्तर = 36 चौरस फूट
पान 201 – प्रश्न 4: त्सेवांग त्याच्या बागेत सलग चार रोपे लावतो. दोन रोपांमधील अंतर 3/4 मीटर आहे. पहिल्या आणि शेवटच्या रोपांमधील अंतर काढा.
उत्तर पहा
पायरी 1: 4 रोपांच्या रचनेमध्ये एकूण 3 अंतरे (अंतराचे भाग) असतात.

पायरी 2: प्रत्येक दोन लगतच्या रोपांमधील अंतर = 3/4 मीटर

पायरी 3: पहिल्या ते चौथ्या (शेवटच्या) रोपांमधील एकूण अंतर = 3 × 3/4 = 9/4 मीटर

पायरी 4: मिश्र अपूर्णांकात रूपांतर = 2 पूर्णांक 1/4 मीटर

उत्तर = 9/4 मीटर (किंवा 2 पूर्णांक 1/4 मीटर)
पान 201 – प्रश्न 5: कोणते वजन जास्त आहे : 500 ग्रॅम पैकी 12/15 किंवा 4 kg पैकी 3/20 ?
उत्तर पहा
पायरी 1: पहिले वजन काढू:
500 ग्रॅम चे 12/15 = 500 × 12/15 = 500 × 4/5 = 100 × 4 = 400 ग्रॅम

पायरी 2: दुसरे वजन काढू:
4 kg = 4000 ग्रॅम
4000 ग्रॅम चे 3/20 = 4000 × 3/20 = 200 × 3 = 600 ग्रॅम

पायरी 3: तुलना: 600 ग्रॅम हे 400 ग्रॅम पेक्षा जास्त आहे (600 ग्रॅम > 400 ग्रॅम).

उत्तर = 4 kg पैकी 3/20 हे वजन जास्त आहे.
पान क्र. 203 वरील ‘शोधा पाहू’
पान 203 – प्रश्न: गुणाकार केलेल्या संख्या आणि गुणाकार यांच्यातील संबंधाबद्दल निष्कर्ष काढा आणि रिकाम्या जागा भरा.
• जेव्हा गुणाकार केल्या जाणाऱ्या संख्येपैकी एक संख्या 0 आणि 1 च्या दरम्यान असते, तेव्हा गुणाकार दुसऱ्या संख्येपेक्षा _____ (जास्त / कमी) असतो.
• जेव्हा गुणाकार केल्या जाणाऱ्या संख्येपैकी एक संख्या 1 पेक्षा मोठी असते, तेव्हा गुणाकार दुसऱ्या संख्येपेक्षा _____ (जास्त / कमी) असतो.
उत्तर पहा
1. जेव्हा गुणाकार केल्या जाणाऱ्या संख्येपैकी एक संख्या 0 आणि 1 च्या दरम्यान असते, तेव्हा गुणाकार दुसऱ्या संख्येपेक्षा कमी असतो.

2. जेव्हा गुणाकार केल्या जाणाऱ्या संख्येपैकी एक संख्या 1 पेक्षा मोठी असते, तेव्हा गुणाकार दुसऱ्या संख्येपेक्षा जास्त असतो.

निष्कर्ष उत्तरे:
पहिली रिकामी जागा = कमी
दुसरी रिकामी जागा = जास्त
पान क्र. 214 वरील ‘शोधा पाहू’
पान 214 – प्रश्न 1: खालील भागाकाराची उदाहरणे सोडवा.
उत्तर पहा
क्र.उदाहरणपायरी (व्यस्तांकाने गुणाकार)संक्षिप्त उत्तर
13 ÷ 7/93 × 9/7 = 27/73 पूर्णांक 6/7
214/4 ÷ 214/4 × 1/2 = 14/87/4 (1 पूर्णांक 3/4)
32/3 ÷ 2/32/3 × 3/2 = 6/61
414/6 ÷ 7/314/6 × 3/7 = 42/421
54/3 ÷ 3/44/3 × 4/3 = 16/91 पूर्णांक 7/9
67/4 ÷ 1/77/4 × 7/1 = 49/412 पूर्णांक 1/4
78/2 ÷ 4/154 × 15/4 = 60/415
81/5 ÷ 1/91/5 × 9/1 = 9/51 पूर्णांक 4/5
91/6 ÷ 11/121/6 × 12/11 = 12/662/11
103 2/3 ÷ 1 3/811/3 ÷ 11/8 = 11/3 × 8/118/3 (2 पूर्णांक 2/3)
पान 214 – प्रश्न 2 (a): मारियाने शाळेसाठी बनवलेल्या बॅग सजविण्यासाठी 8 मीटर लेस विकत घेतली. तिने प्रत्येक बॅगसाठी 1/4 मीटर वापरली आणि लेस संपवली तर तिने किती बॅग सजविल्या?
(i) 8 × 1/4    (ii) 1/8 × 1/4    (iii) 8 ÷ 1/4    (iv) 1/4 ÷ 8
उत्तर पहा
पायरी 1: योग्य कृती = (iii) 8 ÷ 1/4

पायरी 2: उकल = 8 ÷ 1/4 = 8 × 4/1 = 32 बॅग

उत्तर = पर्याय (iii) 8 ÷ 1/4; एकूण बॅग = 32
पान क्र. 215 वरील ‘शोधा पाहू’
पान 215 – प्रश्न 2 (b): 1/2 मीटर रिबन वापरून 8 बिल्ले बनविले जातात. प्रत्येक बिल्ल्यासाठी किती लांबीची रिबन वापरली गेली ?
(i) 8 × 1/2    (ii) 1/2 ÷ 1/8    (iii) 8 ÷ 1/2    (iv) 1/2 ÷ 8
उत्तर पहा
पायरी 1: योग्य कृती = (iv) 1/2 ÷ 8

पायरी 2: उकल = 1/2 ÷ 8 = 1/2 × 1/8 = 1/16 मीटर

उत्तर = पर्याय (iv) 1/2 ÷ 8; रिबनची लांबी = 1/16 मीटर
पान 215 – प्रश्न 2 (c): एक पाव (Bread) बनविण्यासाठी एका बेकरला 1/6 किलो पीठ लागते. त्याच्याकडे 5 किलो पीठ आहे. तो किती पाव बनवू शकतो ?
(i) 5 × 1/6    (ii) 1/6 ÷ 5    (iii) 5 ÷ 1/6    (iv) 5 × 6
उत्तर पहा
पायरी 1: योग्य कृती = (iii) 5 ÷ 1/6

पायरी 2: उकल = 5 ÷ 1/6 = 5 × 6/1 = 30 पाव

उत्तर = पर्याय (iii) 5 ÷ 1/6; एकूण पाव = 30
पान 215 – प्रश्न 3 (पाटीगणित): 12 पोळ्या बनविण्यासाठी 1/4 किलो पीठ वापरले जात असेल, तर 6 पोळ्या बनविण्यासाठी किती पीठ लागेल ?
उत्तर पहा
पायरी 1: 12 पोळ्यांसाठी लागणारे पीठ = 1/4 किलो

पायरी 2: 6 पोळ्यांची संख्या ही 12 पोळ्यांच्या निम्मी (1/2) आहे.

पायरी 3: 6 पोळ्यांसाठी लागणारे पीठ = 1/4 × 1/2 = 1/8 किलो (किंवा 125 ग्रॅम)

उत्तर = 1/8 किलो पीठ
पान 215 – प्रश्न 4: श्रीधराचार्य यांच्या ग्रंथातील उदाहरण:
“मित्रा, 1 ÷ 1/6, 1 ÷ 1/10, 1 ÷ 1/13, 1 ÷ 1/9 आणि 1 ÷ 1/2 या संख्यांचा विचार करून यांना एकत्र जोडल्यास किती बेरीज मिळेल?” मित्र काय बोलेल ?
उत्तर पहा
पायरी 1: प्रत्येक पदाची किंमत काढू:
1 ÷ 1/6 = 6
1 ÷ 1/10 = 10
1 ÷ 1/13 = 13
1 ÷ 1/9 = 9
1 ÷ 1/2 = 2

पायरी 2: सर्व पदांची बेरीज करू:
बेरीज = 6 + 10 + 13 + 9 + 2 = 40

उत्तर = मित्र बोलेल: “यांची एकूण बेरीज 40 मिळेल.”
पान 215 – प्रश्न 5: मीरा 400 पानांची कादंबरी वाचत आहे. तिने काल एकूण पानांच्या 1/5 भाग आणि आज एकूण पानांच्या 3/10 भाग वाचला. तिला कादंबरी वाचून पूर्ण करण्यासाठी अजून किती पाने वाचावी लागतील ?
उत्तर पहा
पायरी 1: एकूण पाने = 400

पायरी 2: काल वाचलेली पाने = 400 × 1/5 = 80 पाने

पायरी 3: आज वाचलेली पाने = 400 × 3/10 = 120 पाने

पायरी 4: एकूण वाचलेली पाने = 80 + 120 = 200 पाने

पायरी 5: शिल्लक पाने = 400 – 200 = 200 पाने

उत्तर = अजून 200 पाने वाचावी लागतील.
पान 215 – प्रश्न 6: एक कार 1 लिटर पेट्रोलमध्ये 16 km धावते. तर ती कार 2 पूर्णांक 3/4 लिटर पेट्रोलमध्ये किती km जाईल ?
उत्तर पहा
पायरी 1: पेट्रोलचे प्रमाण = 2 पूर्णांक 3/4 लिटर = (2 × 4 + 3)/4 = 11/4 लिटर

पायरी 2: कापलेले एकूण अंतर = 16 × 11/4 = (16 / 4) × 11 = 4 × 11 = 44 km

उत्तर = कार 44 km अंतर जाईल.
पान 215 – प्रश्न 7: अमृतपालने सुट्टीसाठी एका ठिकाणी जाण्याचे ठरविले. ट्रेनने त्याला 5 पूर्णांक 1/6 तास लागतील आणि विमानाने 1/2 तास लागतील. तर विमानाने प्रवास केल्यावर त्याचे किती तास वाचतील ?
उत्तर पहा
पायरी 1: ट्रेनचा वेळ = 5 पूर्णांक 1/6 तास = 31/6 तास

पायरी 2: विमानाचा वेळ = 1/2 तास = 3/6 तास

पायरी 3: वाचलेला वेळ = 31/6 – 3/6 = 28/6 = 14/3 तास = 4 पूर्णांक 2/3 तास (4 तास 40 मिनिटे)

उत्तर = 4 पूर्णांक 2/3 तास (किंवा 4 तास 40 मिनिटे) वाचतील.
पान क्र. 216 वरील ‘शोधा पाहू’
पान 216 – प्रश्न 8: मरियमच्या आजीने एक केक बनविला. मरियम आणि तिच्या भावंडांनी त्या केकचा 4/5 भाग संपविला. उरलेला केक मरियमच्या तीन मित्रांमध्ये समान वाटला गेला. तर प्रत्येक मित्राला केकचा किती भाग मिळाला ?
उत्तर पहा
पायरी 1: उरलेला केक = 1 – 4/5 = 1/5 भाग

पायरी 2: 1/5 भाग 3 मित्रांमध्ये वाटल्यास एकाचा भाग = 1/5 ÷ 3 = 1/5 × 1/3 = 1/15

उत्तर = प्रत्येक मित्राला केकचा 1/15 भाग मिळाला.
पान 216 – प्रश्न 9: दिलेल्या पर्यायांमधून (565/465 × 707/676) या गुणाकाराचे वर्णन करणारे पर्याय निवडा.
(a) > 565/465    (b) < 565/465    (c) > 707/676    (d) < 707/676    (e) > 1    (f) < 1
उत्तर पहा
पायरी 1: 565/465 ही संख्या 1 पेक्षा मोठी आहे (अंश > छेद).

पायरी 2: 707/676 ही संख्या देखील 1 पेक्षा मोठी आहे (अंश > छेद).

पायरी 3: नियम – जेव्हा दोन संख्या 1 पेक्षा मोठ्या असतात, तेव्हा त्यांचा गुणाकार हा दोन्ही मूळ संख्यांपेक्षा आणि 1 पेक्षाही मोठा असतो.

योग्य पर्याय = (a), (c), आणि (e)
पान 216 – प्रश्न 10: संपूर्ण चौरसाचा किती भाग छायांकित आहे?
उत्तर पहा
पायरी 1: मोठा चौरस 4 समान लहान चौरसांमध्ये विभागला आहे. प्रत्येक लहान चौरस = 1/4 क्षेत्रफळ.

पायरी 2: छायांकित भाग हा खालच्या उजव्या चतुर्थांशामध्ये आहे.

पायरी 3: या चतुर्थांशाचे समान 4 भाग करून त्यातील रेखांकित भाग काढला असता, तो 1/4 × 1/2 = 1/8 भाग व्यापतो.

उत्तर = संपूर्ण चौरसाचा 1/8 भाग छायांकित आहे.
पान 216 – प्रश्न 11: मुंग्यांची एक वसाहत अन्नाच्या शोधात निघाली. प्रत्येक ठिकाणी समान रीतीने विभाजित होत त्या आंब्याच्या झाडाजवळ आणि उसाच्या शेताजवळ पोहोचतात (आकृती 8.7). तर मूळ गटाचा किती भाग प्रत्येक अन्न स्त्रोतापर्यंत पोहोचला ?
उत्तर पहा
पायरी 1: प्रत्येक जंक्शनवर गटाचे 1/2 – 1/2 समान विभाजन होते.

पायरी 2: आंब्याच्या झाडाकडे जाणाऱ्या शाखांचे प्रमाण = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = (8 + 4 + 2 + 1)/16 = 15/16

पायरी 3: उसाच्या शेताकडे जाणारा उर्वरित भाग = 1/16

आंब्याच्या झाडापर्यंत पोहोचलेला भाग = 15/16
उसाच्या शेतापर्यंत पोहोचलेला भाग = 1/16
पान क्र. 217 वरील ‘शोधा पाहू’
पान 217 – प्रश्न 12: खालील गुणाकारांची उत्तरे शोधा आणि सामान्य विधान स्पष्ट करा.
1) 1 – 1/2 ?
2) (1 – 1/2) × (1 – 1/3) ?
3) (1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × (1 – 1/5) ?
4) (1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × (1 – 1/5) × (1 – 1/6) × (1 – 1/7) × (1 – 1/8) × (1 – 1/9) ?
5) एक सामान्य विधान करा आणि स्पष्टीकरण द्या.
उत्तर पहा
1) 1 – 1/2:
= 1/2
उत्तर = 1/2
2) (1 – 1/2) × (1 – 1/3):
= 1/2 × 2/3 = 1/3 (कारण 2 आणि 2 रद्द होतात)
उत्तर = 1/3
3) (1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × (1 – 1/5):
= 1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5 = 1/5 (मध्यवर्ती सर्व 2, 3, 4 रद्द होतात)
उत्तर = 1/5
4) 8 पदांचा गुणाकार (1/2 ते 8/9 पर्यंत):
= 1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5 × 5/6 × 6/7 × 7/8 × 8/9 = 1/9
उत्तर = 1/9
5) सामान्य विधान आणि स्पष्टीकरण:
सामान्य नियम: (1 – 1/2) × (1 – 1/3) × (1 – 1/4) × … × (1 – 1/n) = 1/n
स्पष्टीकरण: प्रत्येक कंसाची वजाबाकी केल्यावर 1/2, 2/3, 3/4, …, (n-1)/n हे अपूर्णांक मिळतात. यांचा गुणाकार करताना लगतचे सर्व अंश व छेद एकमेकांना रद्द करतात. शेवटी फक्त पहिल्या अपूर्णांकाचा अंश 1 आणि शेवटच्या अपूर्णांकाचा छेद n शिल्लक राहतो. त्यामुळे अंतिम उत्तर नेहमी 1/n येते.

Join WhatsApp Channel Join Now
Telegram Group Join Now
Share your love

Related Posts