प्रकरण 1 : वास्तव संख्या (Real Numbers)महत्त्वाचे मुद्दे व संपूर्ण स्वाध्याय (SSLC Board Exam)
महत्त्वाचे मुद्दे आणि स्पष्टीकरण
1. अंकगणितातील मूलभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)
नियम: प्रत्येक संयुक्त संख्या ही मूळ अवयवांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात व्यक्त करता येते आणि मूळ अवयवांचा क्रम सोडल्यास हे अवयवीकरण अद्वितीय (Unique) असते.
स्पष्टीकरण: कोणतीही संयुक्त संख्या (Composite number) घेतली आणि तिचे मूळ अवयव (Prime factors) पाडले, तर ते अवयव ठरलेलेच असतात. त्यांचा क्रम कसाही लिहिला तरी चालतो.उदा. 30 = 2 × 3 × 5. आपण हे 3 × 5 × 2 असेही लिहू शकतो, पण अवयव 2, 3 आणि 5 च राहतील.
2. लसावि (LCM) आणि मसावि (HCF) यांच्यातील संबंध
नियम: कोणत्याही a आणि b या दोन धन पूर्णांकांसाठी:मसावि (a, b) × लसावि (a, b) = a × b
स्पष्टीकरण: दोन संख्यांचा गुणाकार हा नेहमी त्यांच्या लसावि आणि मसावि च्या गुणाकाराइतकाच असतो. या सूत्राचा वापर करून जर आपल्याला दोन संख्या आणि त्यांचा मसावि दिला असेल, तर आपण लसावि सहज काढू शकतो.
3. अपरिमेय संख्यांची सिद्धता (Irrational Numbers)
प्रमेय 1.3: समजा p ही मूळ संख्या आहे. जर p ने a2 ला भाग जात असेल, तर p ने a ला सुद्धा भाग जातो (जेथे a हा धन पूर्णांक आहे).
स्पष्टीकरण: या प्रमेयाचा वापर ‘विरोधाभासद्वारे सिद्धता’ (Proof by contradiction) तंत्रामध्ये केला जातो. √2, √3, √5 या अपरिमेय संख्या आहेत हे सिद्ध करण्यासाठी आधी त्यांना परिमेय मानून नंतर विरोधाभास निर्माण केला जातो.
स्वाध्याय 1.1 : संपूर्ण उत्तरे
प्रश्न 1. खालील प्रत्येक संख्या मूळ अवयवांच्या गुणाकाराच्या रूपात व्यक्त करा:
(i) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 22 × 5 × 7
(ii) 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 22 × 3 × 13
(iii) 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 32 × 52 × 17
(iv) 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
(v) 7429 = 17 × 19 × 23
प्रश्न 2. खालील पूर्णांकांच्या जोडीचा लसावि आणि मसावि काढा आणि ‘लसावि × मसावि = दोन संख्यांचा गुणाकार’ हे पडताळून पहा.
(i) 26 आणि 9126 = 2 × 1391 = 7 × 13मसावि = 13लसावि = 2 × 7 × 13 = 182पडताळणी: मसावि × लसावि = 13 × 182 = 2366दोन संख्यांचा गुणाकार = 26 × 91 = 2366. (पडताळणी सत्य आहे)
(ii) 510 आणि 92510 = 2 × 3 × 5 × 1792 = 2 × 2 × 23 = 22 × 23मसावि = 2लसावि = 22 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460पडताळणी: मसावि × लसावि = 2 × 23460 = 46920दोन संख्यांचा गुणाकार = 510 × 92 = 46920. (पडताळणी सत्य आहे)
(iii) 336 आणि 54336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 24 × 3 × 754 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2 × 33मसावि = 2 × 3 = 6लसावि = 24 × 33 × 7 = 16 × 27 × 7 = 3024पडताळणी: मसावि × लसावि = 6 × 3024 = 18144दोन संख्यांचा गुणाकार = 336 × 54 = 18144. (पडताळणी सत्य आहे)
प्रश्न 3. खालील पूर्णांकांचा लसावि आणि मसावि मूळ अवयवीकरण पद्धतीने काढा.
(i) 12, 15 आणि 2112 = 22 × 315 = 3 × 521 = 3 × 7मसावि (HCF) = 3लसावि (LCM) = 22 × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7 = 420
(ii) 17, 23 आणि 2917 = 17 × 123 = 23 × 129 = 29 × 1मसावि (HCF) = 1 (सर्व मूळ संख्या आहेत)लसावि (LCM) = 17 × 23 × 29 = 11339
(iii) 8, 9 आणि 258 = 239 = 3225 = 52मसावि (HCF) = 1लसावि (LCM) = 23 × 32 × 52 = 8 × 9 × 25 = 1800
प्रश्न 4. मसावि (306, 657) = 9 दिलेला असेल तर लसावि (306, 657) काढा.
दिलेले आहे: मसावि (306, 657) = 9
आपल्याला माहित आहे की: मसावि × लसावि = दोन संख्यांचा गुणाकार
9 × लसावि = 306 × 657
लसावि = (306 × 657) / 9
लसावि = 34 × 657
लसावि (306, 657) = 22338
प्रश्न 5. n कोणतीही नैसर्गिक संख्या असेल, तर 6n चा शेवट 0 (शून्य) अंकाने होतो का हे तपासा.
कोणत्याही संख्येचा शेवट 0 ने होण्यासाठी, तिच्या मूळ अवयवांमध्ये 2 आणि 5 हे दोन्ही अवयव असणे आवश्यक आहे.
येथे 6 चे मूळ अवयव = 2 × 3 आहेत.
त्यामुळे 6n = (2 × 3)n = 2n × 3n
अंकगणितातील मूलभूत प्रमेयाच्या अद्वितीयतेनुसार, 6n च्या अवयवांमध्ये 5 ही मूळ संख्या नाही.
म्हणून, कोणत्याही नैसर्गिक संख्या n साठी 6n चा शेवट 0 ने होणार नाही.
प्रश्न 6. (7 × 11 × 13 + 13) आणि (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5) या संयुक्त संख्या का आहेत हे स्पष्ट करा.
पहिली संख्या: 7 × 11 × 13 + 13= 13 × (7 × 11 + 1) (येथे 13 सामाईक काढले)= 13 × (77 + 1) = 13 × 78 = 13 × 13 × 6ही संख्या 1 आणि स्वतःशिवाय इतर संख्यांच्या (जसे 13 आणि 6) गुणाकाराच्या रूपात लिहिता येते. म्हणून ही संयुक्त संख्या आहे.दुसरी संख्या: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5= 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1) (येथे 5 सामाईक काढले)= 5 × (1008 + 1) = 5 × 1009ही संख्या सुद्धा 5 आणि 1009 च्या गुणाकाराच्या रूपात लिहिता येते. म्हणून ही सुद्धा संयुक्त संख्या आहे.
प्रश्न 7. एका मैदानासभोवती वर्तुळाकार रस्ता आहे. सोनियाला एक फेरी मारण्यासाठी 18 मिनिटे लागतात, तर रवीला 12 मिनिटे लागतात. दोघांनी एकाच वेळी, एकाच ठिकाणाहून आणि एकाच दिशेने सुरुवात केली, तर किती मिनिटांनंतर ते पुन्हा सुरुवातीच्या ठिकाणी भेटतील?
दोघे पुन्हा एकत्र कधी भेटतील हे शोधण्यासाठी आपल्याला 18 आणि 12 चा लसावि (LCM) काढावा लागेल.
18 चे अवयव = 2 × 32
12 चे अवयव = 22 × 3
लसावि (18, 12) = 22 × 32 = 4 × 9 = 36
म्हणून, ते दोघे 36 मिनिटांनंतर पुन्हा सुरुवातीच्या ठिकाणी भेटतील.
स्वाध्याय 1.2 : संपूर्ण उत्तरे
प्रश्न 1. √5 ही अपरिमेय संख्या आहे हे सिद्ध करा.
सिद्धता: (विरोधाभास तंत्राचा वापर करून)
समजा, या विरुद्ध आपण असे मानू की √5 ही परिमेय संख्या आहे.
म्हणून, a आणि b (येथे b ≠ 0) असे पूर्णांक शोधता येतील की:
√5 = a / b
समजा a आणि b मध्ये 1 व्यतिरिक्त सामाईक अवयव आहेत. त्या सामाईक अवयवाने भागून असे मानू की a आणि b हे सह-अविभाज्य (co-prime) आहेत.
म्हणून, b√5 = a
दोन्ही बाजूंचा वर्ग करून:
5b2 = a2 ….. (विधान 1)
याचा अर्थ a2 ला 5 ने भाग जातो. प्रमेय 1.3 नुसार, जर a2 ला 5 ने भाग जात असेल, तर a ला सुद्धा 5 ने भाग जातो.
म्हणून आपण a = 5c असे लिहू शकतो (जेथे c हा कोणताही पूर्णांक आहे).
a ची ही किंमत विधान 1 मध्ये ठेवल्यास:
5b2 = (5c)2
5b2 = 25c2
b2 = 5c2
याचा अर्थ b2 ला 5 ने भाग जातो, म्हणजेच प्रमेय 1.3 नुसार b ला सुद्धा 5 ने भाग जातो.
यावरून असे दिसून येते की a आणि b या दोन्ही संख्यांना 5 ने भाग जातो. म्हणजेच त्यांचा कमीतकमी 5 हा सामाईक अवयव आहे.
परंतु हा विरोधाभास आहे, कारण आपण सुरुवातीला a आणि b हे सह-अविभाज्य (ज्यांना 1 शिवाय सामाईक अवयव नाही) असे मानले होते.
हा विरोधाभास आपण ‘√5 ही परिमेय संख्या आहे’ असे चुकीचे गृहीत धरल्यामुळे आला आहे.
म्हणून सिद्ध होते की, √5 ही अपरिमेय संख्या आहे.
प्रश्न 2. 3 + 2√5 ही अपरिमेय संख्या आहे हे सिद्ध करा.
सिद्धता:
या विरुद्ध आपण असे मानू की 3 + 2√5 ही परिमेय संख्या आहे.
म्हणून, a आणि b (b ≠ 0) असे सह-अविभाज्य पूर्णांक घेऊ की:
3 + 2√5 = a / b
पुन्हा मांडणी केल्यास:
2√5 = (a / b) – 3
2√5 = (a – 3b) / b
√5 = (a – 3b) / 2b
येथे a आणि b हे पूर्णांक असल्यामुळे, (a – 3b) / 2b ही एक परिमेय संख्या आहे.
याचा अर्थ √5 ही सुद्धा परिमेय संख्या असली पाहिजे.
परंतु हा विरोधाभास आहे, कारण आपल्याला माहित आहे की √5 ही अपरिमेय संख्या आहे.
हा विरोधाभास आपल्या चुकीच्या गृहीतकामुळे आला आहे. म्हणून 3 + 2√5 ही अपरिमेय संख्या आहे हे सिद्ध होते.
प्रश्न 3. खालील संख्या अपरिमेय संख्या आहेत हे सिद्ध करा:
(i) 1 / √2 (ii) 7√5 (iii) 6 + √2
(i) 1 / √2 सिद्धता:
समजा 1 / √2 ही परिमेय संख्या आहे.
1 / √2 = a / b (जेथे a, b पूर्णांक आणि सह-अविभाज्य आहेत, b ≠ 0).
व्यस्त केल्यास (Invert): √2 = b / a
a आणि b पूर्णांक असल्याने b / a परिमेय आहे. म्हणून √2 परिमेय असावी.
पण हे असत्य आहे कारण √2 अपरिमेय आहे. म्हणून 1 / √2 ही अपरिमेय संख्या आहे.
(ii) 7√5 सिद्धता:
समजा 7√5 ही परिमेय संख्या आहे.
7√5 = a / b (b ≠ 0).
म्हणून √5 = a / 7b
a, 7 आणि b पूर्णांक असल्यामुळे a / 7b ही परिमेय संख्या आहे. म्हणजेच √5 परिमेय असली पाहिजे.
पण √5 अपरिमेय आहे हा विरोधाभास आहे. म्हणून 7√5 ही अपरिमेय संख्या आहे.
(iii) 6 + √2 सिद्धता:
समजा 6 + √2 ही परिमेय संख्या आहे.
6 + √2 = a / b (b ≠ 0).
म्हणून √2 = (a / b) – 6 = (a – 6b) / b
a आणि b पूर्णांक असल्यामुळे (a – 6b) / b परिमेय संख्या आहे. म्हणजेच √2 परिमेय असली पाहिजे.
परंतु √2 ही अपरिमेय संख्या आहे. हा विरोधाभास असल्यामुळे 6 + √2 ही अपरिमेय संख्या आहे.
प्रकरण 1: वास्तव संख्या (SSLC Board Preparation)
स्वाध्याय 1.1
1. खालील प्रत्येक संख्या मूळ अवयवांचा गुणाकार आहे हे व्यक्त करा: (i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
Answer
(i) 140 चे मूळ अवयव:
140 = 2 × 70 = 2 × 2 × 35 = 2 × 2 × 5 × 7
उत्तर: 140 = 22 × 5 × 7(ii) 156 चे मूळ अवयव:
156 = 2 × 78 = 2 × 2 × 39 = 2 × 2 × 3 × 13
उत्तर: 156 = 22 × 3 × 13(iii) 3825 चे मूळ अवयव:
3825 = 3 × 1275 = 3 × 3 × 425 = 3 × 3 × 5 × 85 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17
उत्तर: 3825 = 32 × 52 × 17(iv) 5005 चे मूळ अवयव:
5005 = 5 × 1001 = 5 × 7 × 143 = 5 × 7 × 11 × 13
उत्तर: 5005 = 5 × 7 × 11 × 13(v) 7429 चे मूळ अवयव:
7429 ला 17 ने भाग जातो: 7429 = 17 × 437
437 ला 19 ने भाग जातो: 437 = 19 × 23
उत्तर: 7429 = 17 × 19 × 23
2. खालील पुर्णांकाच्या जोडीचा लसावि (LCM) आणि मसावि (HCF) काढून “लसावि × मसावि = त्या दोन संख्यांचा गुणाकार” हे पडताळून पहा:
(i) 26 आणि 91 (ii) 510 आणि 92 (iii) 336 आणि 54
Answer
(i) 26 आणि 91:
26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
मसावि (HCF) = 13
लसावि (LCM) = 2 × 7 × 13 = 182
लसावि × मसावि = 182 × 13 = 2366
दोन संख्यांचा गुणाकार = 26 × 91 = 2366
पडताळणी: 2366 = 2366 (सिद्ध झाले)(ii) 510 आणि 92:
510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23 = 22 × 23
मसावि = 2
लसावि = 22 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
लसावि × मसावि = 23460 × 2 = 46920
दोन संख्यांचा गुणाकार = 510 × 92 = 46920
पडताळणी: 46920 = 46920 (सिद्ध झाले)(iii) 336 आणि 54:
336 = 24 × 3 × 7
54 = 2 × 33
मसावि = 2 × 3 = 6
लसावि = 24 × 33 × 7 = 16 × 27 × 7 = 3024
लसावि × मसावि = 3024 × 6 = 18144
दोन संख्यांचा गुणाकार = 336 × 54 = 18144
पडताळणी: 18144 = 18144 (सिद्ध झाले)
3. खालील पुर्णाकांचा लसावि आणि मसावि मुळ अवयवीकरण पद्धतीने काढा:
(i) 12, 15 आणि 21 (ii) 17, 23 आणि 29 (iii) 8, 9 आणि 25
Answer
(i) 12, 15 आणि 21:
12 = 22 × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
मसावि: 3 (सर्वांमध्ये सामाईक)
लसावि: 22 × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7 = 420(ii) 17, 23 आणि 29:
या सर्व मूळ संख्या आहेत.
मसावि: 1 (कोणताही सामाईक अवयव नाही, म्हणून 1)
लसावि: 17 × 23 × 29 = 11339(iii) 8, 9 आणि 25:
8 = 23
9 = 32
25 = 52
मसावि: 1 (सामाईक अवयव नाही)
लसावि: 23 × 32 × 52 = 8 × 9 × 25 = 1800
4. मसावि (306, 657) = 9 दिलेला असेल तर लसावि (306, 657) काढा.
Answer
आपल्याला माहित आहे की:
मसावि × लसावि = दोन संख्यांचा गुणाकार
दिलेल्या संख्या: 306 आणि 657
9 × लसावि = 306 × 657
लसावि = (306 × 657) / 9
लसावि = 34 × 657
उत्तर: लसावि = 22338
5. n कोणतीही नैसर्गिक संख्या असेल, तर 6n चा शेवट 0 (शून्य) अंकाने होतो का हे तपासा.
Answer
कोणत्याही संख्येचा शेवट 0 ने होण्यासाठी, त्या संख्येच्या मूळ अवयवांमध्ये किमान एक ‘2’ आणि एक ‘5’ असणे आवश्यक आहे.
6 चे मूळ अवयव = 2 × 3
म्हणून, 6n = (2 × 3)n = 2n × 3n
अंकगणिताच्या मूलभूत प्रमेयाच्या अद्वितीयतेनुसार, 6n च्या अवयवांमध्ये ‘5’ हा अवयव नाही.
निष्कर्ष: म्हणून, n ची कोणतीही नैसर्गिक किंमत असली तरी 6n चा शेवट 0 ने कधीही होणार नाही.
6. (7 × 11 × 13 + 13) आणि (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5) या संयुक्त संख्या आहेत हे स्पष्ट करा.
Answer
पहिली संख्या: 7 × 11 × 13 + 13
= 13 (7 × 11 + 1)
= 13 (77 + 1)
= 13 × 78
= 13 × 13 × 6
या संख्येला 1 आणि स्वतः व्यतिरिक्त 13 आणि 6 हे अवयव आहेत. म्हणजेच ही मूळ संख्यांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात लिहिता येते. म्हणून ही संयुक्त संख्या आहे.दुसरी संख्या: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5 (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)
= 5 (1008 + 1)
= 5 × 1009
या संख्येला 1 आणि स्वतः व्यतिरिक्त 5 आणि 1009 हे अवयव आहेत. म्हणून ही देखील संयुक्त संख्या आहे.
7. खेळाच्या मैदानासभोवती वर्तुळाकार रस्ता आहे. सोनियाला त्या रस्त्यावरून एक फेरी मारण्यासाठी 18 मिनिटे लागतात. त्यावेळी त्याच कामासाठी रविला 12 मिनिटे लागतात. समजा जर दोघांनी एकाच ठिकाणाहून एकाच वेळी आणि एकाच दिशेने सुरुवात केली, तर किती मिनिटांनंतर ते दोघे एकत्र सुरुवातीच्या मूळ ठिकाणाहून भेटतील?
Answer
ते पुन्हा सुरुवातीच्या ठिकाणी केव्हा भेटतील हे काढण्यासाठी आपल्याला 18 आणि 12 चा लसावि (LCM) काढावा लागेल.
18 चे अवयव = 2 × 32
12 चे अवयव = 22 × 3
लसावि (18, 12) = 22 × 32 = 4 × 9 = 36
उत्तर: ते दोघे 36 मिनिटांनंतर पुन्हा सुरुवातीच्या ठिकाणी भेटतील.
स्वाध्याय 1.2
1. √5 ही अपरिमेय संख्या आहे असे सिध्द करा.
Answer
सिद्धता (विरोधाभास पद्धतीने):
समजा, याच्या विरुद्ध आपण असे मानू की √5 ही परिमेय संख्या आहे.
म्हणून, √5 = a / b (जेथे a आणि b हे पूर्णांक आहेत, सह-अविभाज्य आहेत आणि b ≠ 0).
दोन्ही बाजूंचा वर्ग केल्यास: 5 = a2 / b2
a2 = 5b2 …. (1)
याचा अर्थ a2 ला 5 ने भाग जातो. प्रमेयानुसार, जर a2 ला 5 ने भाग जात असेल, तर a ला देखील 5 ने भाग जातो.
समजा a = 5c (जेथे c हा कोणताही पूर्णांक आहे).
समीकरण (1) मध्ये a ची किंमत ठेवल्यास:
(5c)2 = 5b2
25c2 = 5b2 => b2 = 5c2
याचा अर्थ b2 ला 5 ने भाग जातो. म्हणून b ला देखील 5 ने भाग जातो.
यावरून a आणि b दोघांनाही 5 ने भाग जातो. म्हणजे 5 हा a आणि b चा सामाईक अवयव आहे.
परंतु आपण सुरुवातीला a आणि b हे सह-अविभाज्य (ज्यांचा 1 शिवाय सामाईक अवयव नाही) मानले होते. हा विरोधाभास आहे.
हा विरोधाभास आपण √5 ला परिमेय मानल्यामुळे निर्माण झाला.
निष्कर्ष: म्हणून √5 ही अपरिमेय संख्या आहे.
2. 3 + 2√5 ही अपरिमेय संख्या आहे असे सिध्द करा.
Answer
समजा, याच्या विरुद्ध आपण असे मानू की 3 + 2√5 ही परिमेय संख्या आहे.
म्हणून, 3 + 2√5 = a / b (जेथे a आणि b पूर्णांक आहेत, सह-अविभाज्य आहेत आणि b ≠ 0).
पुनर्मांडणी केल्यास:
2√5 = (a / b) – 3
2√5 = (a – 3b) / b
√5 = (a – 3b) / 2b
येथे a आणि b पूर्णांक असल्याने, (a – 3b) / 2b ही परिमेय संख्या असेल.
याचा अर्थ √5 ही देखील परिमेय संख्या असली पाहिजे.
परंतु, आपल्याला माहीत आहे की √5 ही अपरिमेय संख्या आहे. हा विरोधाभास आहे.
निष्कर्ष: म्हणून आपले गृहीतक चुकीचे आहे आणि 3 + 2√5 ही अपरिमेय संख्या आहे.
3. खालील संख्या अपरिमेय संख्या आहेत असे सिध्द करा:
(i) 1 / √2 (ii) 7√5 (iii) 6 + √2
Answer
(i) 1 / √2:
समजा 1 / √2 ही परिमेय संख्या आहे. म्हणून 1 / √2 = a / b (a, b पूर्णांक, b ≠ 0).
व्यस्त (reciprocal) घेतल्यास: √2 = b / a.
येथे a आणि b पूर्णांक असल्याने b / a ही परिमेय संख्या आहे, याचा अर्थ √2 परिमेय असली पाहिजे. पण √2 अपरिमेय आहे. हा विरोधाभास आहे.
म्हणून 1 / √2 ही अपरिमेय आहे.(ii) 7√5:
समजा 7√5 ही परिमेय संख्या आहे. म्हणून 7√5 = a / b.
√5 = a / 7b.
a आणि b पूर्णांक असल्याने a / 7b ही परिमेय संख्या आहे, म्हणजे √5 परिमेय असली पाहिजे. पण √5 अपरिमेय आहे. हा विरोधाभास आहे.
म्हणून 7√5 ही अपरिमेय आहे.(iii) 6 + √2:
समजा 6 + √2 ही परिमेय संख्या आहे. म्हणून 6 + √2 = a / b.
√2 = (a / b) – 6 = (a – 6b) / b.
a आणि b पूर्णांक असल्याने उजवी बाजू परिमेय संख्या आहे, म्हणजे √2 परिमेय असली पाहिजे. पण √2 अपरिमेय आहे. हा विरोधाभास आहे.
म्हणून 6 + √2 ही अपरिमेय आहे.
10 वी गणित भाग 1 : वास्तव संख्या (1 Mark Questions)
प्रश्न 1: अंकगणितातील मूलभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) काय आहे?
उत्तर: प्रत्येक संयुक्त संख्या ही मूळ अवयवांच्या गुणाकारात व्यक्त करता येते आणि हे अवयवीकरण अद्वितीय (Unique) असते.
स्पष्टीकरण: कोणत्याही संयुक्त संख्येचे मूळ अवयव पाडल्यास त्यांचा क्रम सोडला तर ते अवयव अद्वितीय असतात.
प्रश्न 2: दोन धन पूर्णांक a आणि b यांच्या मसावि (HCF) आणि लसावि (LCM) मधील संबंध काय आहे?
उत्तर: मसावि(a, b) x लसावि(a, b) = a x b.
स्पष्टीकरण: कोणत्याही दोन धन पूर्णांकांचा गुणाकार हा त्यांच्या मसावि आणि लसावि यांच्या गुणाकाराइतका असतो.
प्रश्न 3: मूळ अवयव पद्धतीनुसार 6 आणि 20 चा मसावि किती?
उत्तर: 2.
स्पष्टीकरण: 6 = 2 x 3 आणि 20 = 22 x 5. सामाईक मूळ अवयव 2 आहे आणि त्याचा सर्वात लहान घातांक 21 म्हणजे 2 आहे.
प्रश्न 4: मूळ अवयव पद्धतीनुसार 6 आणि 20 चा लसावि किती?
उत्तर: 60.
स्पष्टीकरण: लसावि काढताना सामाईक आणि असामाईक अवयवांचा मोठा घातांक घेतात. लसावि(6, 20) = 22 x 31 x 51 = 4 x 3 x 5 = 60.
प्रश्न 5: मूळ अवयव पद्धतीने मसावि (HCF) काढण्याची व्याख्या काय आहे?
उत्तर: संख्येतील सामाईक मूळ अवयवांच्या प्रत्येकी लहान घातांकांचा गुणाकार म्हणजे मसावि होय.
स्पष्टीकरण: दिलेल्या संख्यांच्या अवयवांमधून फक्त सामाईक असलेले अवयव घेऊन त्यांच्या सर्वात लहान घातांकांचा गुणाकार करून मसावि मिळतो.
प्रश्न 6: मूळ अवयव पद्धतीने लसावि (LCM) काढण्याची व्याख्या काय आहे?
उत्तर: संख्येतील सामाईक मूळ अवयवांच्या प्रत्येकी मोठ्या घातांकांचा गुणाकार म्हणजे लसावि होय.
स्पष्टीकरण: दिलेल्या संख्यांच्या सर्व मूळ अवयवांचा (सामाईक आणि असामाईक) सर्वात मोठा घातांक घेऊन त्यांचा गुणाकार केल्यास लसावि मिळतो.
प्रश्न 7: जर p ही मूळ संख्या असेल आणि p ने a2 ला भाग जात असेल, तर युक्लिडच्या प्रमेयानुसार काय सांगता येते?
उत्तर: तर a ला सुद्धा p ने भाग जातो (जेथे a हा धन पूर्णांक आहे).
स्पष्टीकरण: प्रमेय 1.3 नुसार, जर एखाद्या धन पूर्णांकाच्या वर्गाला (a2) एका मूळ संख्येने (p) भाग जात असेल, तर त्या धन पूर्णांकाला (a) सुद्धा त्याच मूळ संख्येने भाग जातो.
प्रश्न 8: √2 ही कोणती संख्या आहे?
उत्तर: √2 ही अपरिमेय संख्या (Irrational Number) आहे.
स्पष्टीकरण: √2 ही संख्या p/q या स्वरूपात लिहिता येत नाही (जेथे q शून्य नाही), म्हणून ती अपरिमेय संख्या आहे. सिद्धतेसाठी आपण विरोधाभास पद्धत (Method of Contradiction) वापरतो.
प्रश्न 9: जर मसावि(306, 657) = 9 दिलेला असेल, तर लसावि कसा काढाल?
उत्तर: लसावि = (306 x 657) / 9 करून उत्तर 22338 येईल.
स्पष्टीकरण: सूत्र: लसावि x मसावि = दोन संख्यांचा गुणाकार. म्हणून, लसावि = (दोन संख्यांचा गुणाकार) / मसावि.
प्रश्न 10: 96 आणि 404 चा मसावि किती आहे?
उत्तर: 4.
स्पष्टीकरण: 96 = 25 x 3 आणि 404 = 22 x 101. सामाईक अवयव 2 आहे आणि लहान घातांक 22 = 4 आहे.
प्रश्न 11: 96 आणि 404 चा लसावि किती आहे?
उत्तर: 9696.
स्पष्टीकरण: लसावि(96, 404) = (96 x 404) / मसावि = (96 x 404) / 4 = 9696.
प्रश्न 12: n ही कोणतीही नैसर्गिक संख्या असेल, तर 4n या संख्येचा शेवट 0 (शून्य) या अंकाने होऊ शकतो का?
उत्तर: नाही.
स्पष्टीकरण: शून्याने शेवट होण्यासाठी मूळ अवयवांमध्ये 5 असणे आवश्यक आहे. पण 4n = (22)n मध्ये फक्त 2 हाच मूळ अवयव आहे. त्यामुळे 0 वर शेवट होणे शक्य नाही.
प्रश्न 13: परिमेय आणि अपरिमेय संख्या यांची बेरीज किंवा वजाबाकी कोणती संख्या असते?
उत्तर: अपरिमेय संख्या असते.
स्पष्टीकरण: परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांची बेरीज किंवा वजाबाकी नेहमी अपरिमेय संख्याच मिळते.
प्रश्न 14: शून्यरहित परिमेय आणि अपरिमेय संख्या यांचा गुणाकार किंवा भागाकार कोणती संख्या असते?
उत्तर: अपरिमेय संख्या असते.
स्पष्टीकरण: कोणतीही शून्यरहित परिमेय संख्या आणि अपरिमेय संख्या यांचा गुणाकार किंवा भागाकार केल्यास येणारे उत्तर अपरिमेयच असते.
प्रश्न 15: 5 – √3 ही कोणती संख्या आहे?
उत्तर: अपरिमेय संख्या.
स्पष्टीकरण: 5 ही परिमेय आहे आणि √3 ही अपरिमेय आहे. त्यांच्यामधील वजाबाकी (5 – √3) नेहमी अपरिमेय असते. विरोधाभास पद्धतीद्वारे हे सिद्ध करता येते.
प्रश्न 16: 140 ही संख्या तिच्या मूळ अवयवांच्या गुणाकाराच्या रूपात कशी लिहाल?
उत्तर: 140 = 22 x 5 x 7.
स्पष्टीकरण: 140 ला 2 ने भागल्यास 70, पुन्हा 2 ने भागल्यास 35, 5 ने भागल्यास 7. म्हणून अवयव 2 x 2 x 5 x 7 आहेत.
प्रश्न 17: 6, 72 आणि 120 यांचा मसावि किती?
उत्तर: 6.
स्पष्टीकरण: 6 = 2 x 3, 72 = 23 x 32, 120 = 23 x 3 x 5. तिन्हीमधील सामाईक अवयव 2 आणि 3 आहेत. त्यांचा लहान घातांक 21 x 31 = 6.
प्रश्न 18: 6, 72 आणि 120 यांचा लसावि किती?
उत्तर: 360.
स्पष्टीकरण: सामाईक आणि असामाईक अवयवांचा मोठा घातांक घेताना: 23 x 32 x 51 = 8 x 9 x 5 = 360.
प्रश्न 19: तीन संख्यांसाठी p x q x r हे त्यांच्या ‘मसावि x लसावि’ इतके असते का?
उत्तर: नाही.
स्पष्टीकरण: तीन संख्यांचा गुणाकार हा त्यांच्या मसावि आणि लसावि यांच्या गुणाकाराइतका नसतो. (उदा: 6 x 72 x 120 ≠ 6 x 360).
प्रश्न 20: 32760 या संख्येचे मूळ अवयव घातांकाच्या रूपात कसे लिहाल?
उत्तर: 32760 = 23 x 32 x 5 x 7 x 13.
स्पष्टीकरण: अवयव वृक्ष पद्धतीचा वापर केल्यास 32760 ला मूळ संख्यांनी क्रमशः भाग दिल्यास आपल्याला 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 13 हे मूळ अवयव मिळतात.
प्रश्न 21: 156 ही संख्या तिच्या मूळ अवयवांच्या गुणाकाराच्या रूपात कशी लिहाल?
उत्तर: 156 = 22 x 3 x 13.
स्पष्टीकरण: 156 ला 2 ने भागल्यास 78, 2 ने भागल्यास 39, 3 ने भागल्यास 13 मिळते. म्हणून अवयव 2 x 2 x 3 x 13 आहेत.
