इयत्ता – 9वी
विषय – गणित
भाग – 1
प्रकरण 5: युक्लीडच्या भूमितीचा परिचय
नमुना उत्तरे
5.युक्लीडच्या भूमितीचा परिचय
मूलभूत संकल्पना
- भूमितीमध्ये बिंदू, रेषा आणि प्रतल यांना अपरिभाषिक पदे (अव्याख्यीत घटक) म्हणून स्वीकारले आहे.
- गृहीतत्वे आणि मुलतत्वे या अशा संकल्पना आहेत की त्या स्पष्टपणे सर्वव्यापी सत्य आहेत, त्यांना सिद्ध केले जाऊ शकत नाही.
- प्रमेय ही अशी विधाने आहेत ज्यांना व्याख्या, गृहीतके आणि पहिली सिद्ध केलेली विधाने तसेच तर्कशुद्ध पद्धतीने सिद्ध केले जाते.
युक्लीडची मुलतत्वे (Axioms)
- 1. जे घटक एकाच घटकाशी समान असतात ते परस्पराशी समान असतात.
- 2. समान घटकात समान घटक मिळविल्यास उत्तर समान येते.
- 3. समान घटकातून समान घटक वजा केल्यास उत्तर समान येते.
- 4. ज्या वस्तू एकमेकाशी समान असतात त्या परस्पराशी समान असतात.
- 5. पूर्ण हा त्याच्या खंडापेक्षा मोठा असतो.
- 6. समान घटकांची दुप्पट ही समान असते.
- 7. समान घटकांची निम्मपट ही समान असते.
युक्लीडची गृहीतत्वे (Postulates)
- 1. एका बिंदूपासून दुसऱ्या बिंदूपर्यंत जाणारी एक सरळरेषा काढता येते.
- 2. एका रेषाखंडाला दोन्ही बाजूला अमर्यादितपणे वाढविता येते.
- 3. एखादा सरळ रेषाखंड दिला असता, रेषाखंड ही त्रिज्या आणि त्याचा एक अंत्यबिंदू मध्य घेऊन वर्तुळ काढता येते.
- 4. सर्व काटकोन एकरूप असतात.
- 5. जर एक सरळ रेषा दुसऱ्या दोन सरळरेषांना अशा प्रकारे छेदते की एका बाजूला असणारे दोन आंतरकोन एकत्रपणे दोन काटकोनापेक्षा लहान असतात, तर दुसरी सरळरेषा त्या बाजूला वाढविली असता छेदलेले कोन हे दोन काटकोनापेक्षा लहान असतात.
स्वाध्याय 5.1
प्रश्न 1: खालील विधानापैकी कोणती विधाने सत्य किंवा असत्य आहेत? तुमच्या उत्तराला कारणे द्या.
(i) एका बिंदूतून जाणारी केवळ एक आणि एकच रेषा काढता येते.
उत्तर: असत्य. कारण एका बिंदूतून असंख्य रेषा काढता येतात.
(ii) दोन स्पष्ट बिंदुतून जाणाऱ्या असंख्य रेषा असतात.
उत्तर: असत्य. युक्लीडच्या गृहीतत्व 2.1 नुसार, दिलेल्या दोन स्पष्ट बिंदूतून एक आणि एकच रेषा काढता येते.
(iii) एक सांत रेषा (रेषाखंड) दोन्ही बाजूंनी अमर्यादितपणे वाढविली जाऊ शकते.
उत्तर: सत्य. युक्लीडच्या गृहीतत्व 2 नुसार, एक सांत रेषा (रेषाखंड) दोन्ही बाजूला अमर्यादितपणे वाढविता येते.
(iv) जर दोन वर्तुळे समान असतील तर त्यांच्या त्रिज्या ही समान असतात.
उत्तर: सत्य. जर दोन वर्तुळे समान असतील तर ती एकमेकांवर तंतोतंत जुळतील, ज्यामुळे त्यांचे केंद्र आणि परिघ जुळतील. म्हणून त्यांच्या त्रिज्या समान असतील.
(v) आकृती 5.9 मध्ये जर AB = PQ आणि PQ = XY आहे, तर AB = XY.
उत्तर: सत्य. युक्लीडच्या पहिल्या मूलतत्त्वानुसार, जे घटक एकाच घटकाशी समान असतात ते परस्परांशी समान असतात. येथे AB आणि XY हे दोन्ही PQ शी समान आहेत, म्हणून AB = XY.
प्रश्न 2: खालील प्रत्येक घटकांची व्याख्या लिहा. यामध्ये अशी काही पदे आहेत की ज्यांची व्याख्या करणे आवश्यक आहे? ती कोणती आहेत? आणि त्याची व्याख्या आपण कशी कराल.
उत्तर: होय, या व्याख्या करण्यासाठी काही पदांची व्याख्या आधी करणे आवश्यक आहे, जसे की ‘बिंदू’, ‘रेषा’, ‘प्रतल’, ‘किरण’, आणि ‘कोन’. युक्लीडच्या भूमितीमध्ये बिंदू, रेषा आणि प्रतल ही अव्याख्यायीत पदे मानली जातात.
(i) समांतर रेषा: ज्या दोन रेषा एकाच प्रतलात असतात आणि एकमेकींना कधीही छेदत नाहीत, त्यांना समांतर रेषा म्हणतात.
(ii) लंब रेषा: जेव्हा दोन रेषा एकमेकींना छेदतात आणि त्यांच्यामधील कोन 90 अंश (काटकोन) असतो, तेव्हा त्यांना लंब रेषा म्हणतात.
(iii) रेषाखंड: रेषेच्या दोन अंत्यबिंदूंमधील मर्यादित भागाला रेषाखंड म्हणतात.
(iv) वर्तुळाच्या त्रिज्या: वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आणि वर्तुळावरील कोणताही बिंदू यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.
(v) चौरस: ज्या चौकोनाच्या चारही बाजू समान असतात आणि चारही कोन काटकोन (90 अंश) असतात, त्याला चौरस म्हणतात.
(i) समांतर रेषा: ज्या दोन रेषा एकाच प्रतलात असतात आणि एकमेकींना कधीही छेदत नाहीत, त्यांना समांतर रेषा म्हणतात.
(ii) लंब रेषा: जेव्हा दोन रेषा एकमेकींना छेदतात आणि त्यांच्यामधील कोन 90 अंश (काटकोन) असतो, तेव्हा त्यांना लंब रेषा म्हणतात.
(iii) रेषाखंड: रेषेच्या दोन अंत्यबिंदूंमधील मर्यादित भागाला रेषाखंड म्हणतात.
(iv) वर्तुळाच्या त्रिज्या: वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आणि वर्तुळावरील कोणताही बिंदू यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.
(v) चौरस: ज्या चौकोनाच्या चारही बाजू समान असतात आणि चारही कोन काटकोन (90 अंश) असतात, त्याला चौरस म्हणतात.
प्रश्न 3: खालील दिलेल्या दोन मुलतत्वाचा विचार करा.
(i) दोन स्पष्ट बिंदू A व B दिलेले असताना. तेथे C हा तिसरा बिंदू असा येतो की जो A व B च्या मध्ये असतो.
(ii) येथे अशाप्रकारे तिन बिंदू स्थापन करा की, जे एका रेषेवर स्थापित नाहीत.
या मुलतत्वामध्ये कोणती व्याख्या न करणारा असा शब्द आहे का ? गृहिततत्वे ही सातत्यपूर्ण आहेत का ? या युक्लीडच्या मुलतत्वावरून प्राप्त होतात का? स्पष्ट करा.
(i) दोन स्पष्ट बिंदू A व B दिलेले असताना. तेथे C हा तिसरा बिंदू असा येतो की जो A व B च्या मध्ये असतो.
(ii) येथे अशाप्रकारे तिन बिंदू स्थापन करा की, जे एका रेषेवर स्थापित नाहीत.
या मुलतत्वामध्ये कोणती व्याख्या न करणारा असा शब्द आहे का ? गृहिततत्वे ही सातत्यपूर्ण आहेत का ? या युक्लीडच्या मुलतत्वावरून प्राप्त होतात का? स्पष्ट करा.
उत्तर: होय, यामध्ये ‘बिंदू’ आणि ‘रेषा’ असे अव्याख्यायीत शब्द आहेत. ही गृहीतके सातत्यपूर्ण आहेत कारण ती दोन वेगवेगळ्या परिस्थितींचा संदर्भ देतात. ही गृहीतके युक्लीडच्या गृहीतत्वांवरून थेट प्राप्त होत नाहीत, तर ती युक्लीडच्या मूलतत्त्व 2.1 (दिलेल्या दोन स्पष्ट बिंदूतून एक आणि एकच रेषा काढता येते) शी संबंधित आहेत.
प्रश्न 4: जर A व B या दोन बिंदूच्यामध्ये C हा बिंदू असा आहे की, AC = BC तर सिध्द करा की AC = 1/2 AB. आकृती काढून स्पष्ट करा.
उत्तर:
AB हा एक रेषाखंड आहे आणि C हा A व B च्या मध्ये आहे.
दिलेले आहे: AC = BC
दोन्ही बाजूंमध्ये AC मिळवू. (युक्लीडचे मूलतत्त्व 2: समान घटकात समान घटक मिळविल्यास उत्तर समान येते).
AC + AC = BC + AC
2AC = AB (कारण बिंदू C हा A आणि B च्या मध्ये आहे, त्यामुळे BC + AC = AB).
AC = 1/2 AB
AB हा एक रेषाखंड आहे आणि C हा A व B च्या मध्ये आहे.
दिलेले आहे: AC = BC
दोन्ही बाजूंमध्ये AC मिळवू. (युक्लीडचे मूलतत्त्व 2: समान घटकात समान घटक मिळविल्यास उत्तर समान येते).
AC + AC = BC + AC
2AC = AB (कारण बिंदू C हा A आणि B च्या मध्ये आहे, त्यामुळे BC + AC = AB).
AC = 1/2 AB
प्रश्न 5: उदाहरण 4 मध्ये C बिंदू रेषाखंड AB चा मध्य आहे. तर सिध्द करा की, एका रेषाखंडाला एक आणि एकच मध्य बिंदू असतो.
उत्तर:
समजा, रेषाखंड AB ला C आणि D असे दोन मध्यबिंदू आहेत.
जर C हा मध्यबिंदू असेल, तर: AC = 1/2 AB (समीकरण 1)
जर D हा मध्यबिंदू असेल, तर: AD = 1/2 AB (समीकरण 2)
समीकरण 1 आणि 2 वरून (युक्लीडचे मूलतत्त्व 1):
AC = AD
हे तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा C आणि D हे एकच बिंदू असतील (संपाती बिंदू).
म्हणून, एका रेषाखंडाला एक आणि एकच मध्यबिंदू असतो.
समजा, रेषाखंड AB ला C आणि D असे दोन मध्यबिंदू आहेत.
जर C हा मध्यबिंदू असेल, तर: AC = 1/2 AB (समीकरण 1)
जर D हा मध्यबिंदू असेल, तर: AD = 1/2 AB (समीकरण 2)
समीकरण 1 आणि 2 वरून (युक्लीडचे मूलतत्त्व 1):
AC = AD
हे तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा C आणि D हे एकच बिंदू असतील (संपाती बिंदू).
म्हणून, एका रेषाखंडाला एक आणि एकच मध्यबिंदू असतो.
प्रश्न 6: आकृती 5.10 मध्ये जर AC = BD आहे तर, सिध्द करा AB = CD.
उत्तर:
दिलेले आहे: AC = BD
आकृती 5.10 नुसार,
AC = AB + BC
BD = BC + CD
दिलेल्या समीकरणामध्ये या किमती ठेवल्यास:
AB + BC = BC + CD
दोन्ही बाजूंमधून BC वजा करू. (युक्लीडचे मूलतत्त्व 3: समान घटकातून समान घटक वजा केल्यास उत्तर समान येते).
AB = CD
दिलेले आहे: AC = BD
आकृती 5.10 नुसार,
AC = AB + BC
BD = BC + CD
दिलेल्या समीकरणामध्ये या किमती ठेवल्यास:
AB + BC = BC + CD
दोन्ही बाजूंमधून BC वजा करू. (युक्लीडचे मूलतत्त्व 3: समान घटकातून समान घटक वजा केल्यास उत्तर समान येते).
AB = CD
प्रश्न 7: युक्लीडच्या गृहीतत्वाच्या सूचिमध्ये दिलेल्या गृहीतत्व 5 ला एक सर्वव्यापी सत्य का मानण्यात आले (लक्षात ठेवा हा प्रश्न पाचव्या गृहीततत्वाशी संबंधीत आहे.)
उत्तर:
युक्लीडचे मूलतत्त्व 5 (ज्याला प्रश्नात गृहीतत्व 5 म्हटले आहे) सांगते की “पूर्ण हा त्याच्या खंडापेक्षा मोठा असतो”. हे एक सर्वव्यापी सत्य मानले जाते कारण ते जगातील कोणत्याही वस्तूला, कोणत्याही ठिकाणी आणि कोणत्याही वेळेत लागू होते. एखादा भाग हा संपूर्ण वस्तूचा एक तुकडा असतो, त्यामुळे संपूर्ण वस्तू ही नेहमीच तिच्या कोणत्याही भागापेक्षा मोठी असते.
युक्लीडचे मूलतत्त्व 5 (ज्याला प्रश्नात गृहीतत्व 5 म्हटले आहे) सांगते की “पूर्ण हा त्याच्या खंडापेक्षा मोठा असतो”. हे एक सर्वव्यापी सत्य मानले जाते कारण ते जगातील कोणत्याही वस्तूला, कोणत्याही ठिकाणी आणि कोणत्याही वेळेत लागू होते. एखादा भाग हा संपूर्ण वस्तूचा एक तुकडा असतो, त्यामुळे संपूर्ण वस्तू ही नेहमीच तिच्या कोणत्याही भागापेक्षा मोठी असते.
9वी मराठी भाग-1 नमूना प्रश्नोत्तरांसाठी खालील लिंकला भेट द्या:
https://www.smartguruji.net/2022/07/blog-post.html
https://www.smartguruji.net/2022/07/blog-post.html
