महत्त्वाचे मुद्दे : गणितामधील सिद्धांत (पुरावे)
- 1.गणितात विधान जर नेहमी सत्य किंवा असत्य असेल तरच ते स्वीकारण्याजोगे असते.
- 2.गणिती विधान असत्य आहे असे दाखविण्यासाठी 1 विरुद्ध उदाहरण (प्रत्युदाहरण) पुरेसे आहे.
- 3.मूलतत्वे ही पुराव्याशिवाय खरी मानलेली विधाने आहेत.
- 4.अनुमान हे असे विधान आहे ज्यावर आम्ही गणिती अंतर्ज्ञानाच्या आधारावर विश्वास ठेवून सत्य मानतो, परंतु ते आम्ही सिद्ध करावयाचे असते.
- 5.जे गणिती विधान तर्कशुद्ध पद्धतीने सिद्ध करता येते त्याला प्रमेय म्हणतात.
- 6.गणिती विधाने सिद्ध करण्याचे मुख्य तर्कशुद्ध साधन म्हणजे आनुमानिक युक्तिवाद (विचारसरणी) आहे.
- 7.सिद्धता ही एका नंतर एक येणाऱ्या गणिती विधानांच्या क्रमाने तयार होते. सिद्धतेमधील प्रत्येक विधान मागील माहितीच्या विधानावरून तर्कशुद्धपणे मांडलेले असते, किंवा पूर्वी सिद्ध केलेल्या प्रमेयावर किंवा मूलतत्वावर किंवा गृहित प्रमेयावर अनुमानित केलेले असते.
अधिक माहितीसाठी महत्त्वाच्या लिंक्स:
स्वाध्याय A 1.1
1. खालील विधाने नेहमी सत्य, नेहमी असत्य किंवा संदिग्ध आहेत ते सांगा. तुमची उत्तरे पडताळून पहा.
(i) एका वर्षामध्ये 13 महिने असतात.
उत्तर: नेहमी असत्य. कारण एका वर्षामध्ये 12 महिने असतात.
उत्तर: नेहमी असत्य. कारण एका वर्षामध्ये 12 महिने असतात.
(ii) दिवाळी शुक्रवारी येणार आहे.
उत्तर: संदिग्ध (मोघम). कारण कोणत्या वर्षीची दिवाळी हे स्पष्ट केलेले नाही. दरवर्षी वार बदलतो.
उत्तर: संदिग्ध (मोघम). कारण कोणत्या वर्षीची दिवाळी हे स्पष्ट केलेले नाही. दरवर्षी वार बदलतो.
(iii) मगदीतील तापमान 26°C आहे.
उत्तर: संदिग्ध (मोघम). कारण कोणत्या दिवशीचे किंवा वेळचे तापमान हे दिलेले नाही.
उत्तर: संदिग्ध (मोघम). कारण कोणत्या दिवशीचे किंवा वेळचे तापमान हे दिलेले नाही.
(iv) पृथ्वीला एक चंद्र आहे.
उत्तर: नेहमी सत्य. पृथ्वीला एकच नैसर्गिक उपग्रह आहे.
उत्तर: नेहमी सत्य. पृथ्वीला एकच नैसर्गिक उपग्रह आहे.
(v) कुत्रा उडू शकतो.
उत्तर: नेहमी असत्य. कुत्र्यांना पंख नसतात आणि ते उडू शकत नाहीत.
उत्तर: नेहमी असत्य. कुत्र्यांना पंख नसतात आणि ते उडू शकत नाहीत.
(vi) फेब्रुवारी मध्ये 28 दिवस असतात.
उत्तर: संदिग्ध (मोघम). कारण लीप वर्षामध्ये फेब्रुवारीत 29 दिवस असतात.
उत्तर: संदिग्ध (मोघम). कारण लीप वर्षामध्ये फेब्रुवारीत 29 दिवस असतात.
2. खालील विधाने सत्य किंवा असत्य ते सांगा. तुमच्या उत्तरांना कारणे द्या.
(i) चौकोनाच्या सर्व आंतरकोनांची बेरीज 350° असते.
उत्तर: असत्य. चौकोनाच्या सर्व आंतरकोनांची बेरीज 360° असते.
उत्तर: असत्य. चौकोनाच्या सर्व आंतरकोनांची बेरीज 360° असते.
(ii) कोणत्याही वास्तव संख्या x साठी x2 ≥ 0
उत्तर: सत्य. कोणत्याही वास्तव संख्येचा (धन किंवा ऋण) वर्ग नेहमी धन किंवा शून्यच असतो.
उत्तर: सत्य. कोणत्याही वास्तव संख्येचा (धन किंवा ऋण) वर्ग नेहमी धन किंवा शून्यच असतो.
(iii) समभुज चौकोन हा समांतरभुज चौकोन असतो.
उत्तर: सत्य. समभुज चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू समांतर असतात, म्हणून तो समांतरभुज चौकोन असतो.
उत्तर: सत्य. समभुज चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू समांतर असतात, म्हणून तो समांतरभुज चौकोन असतो.
(iv) दोन समसंख्यांची बेरीज समसंख्या असते.
उत्तर: सत्य. उदाहरणार्थ, 4 + 6 = 10 (जी एक समसंख्या आहे).
उत्तर: सत्य. उदाहरणार्थ, 4 + 6 = 10 (जी एक समसंख्या आहे).
(v) दोन विषमसंख्यांची बेरीज विषमसंख्या असतात.
उत्तर: असत्य. दोन विषम संख्यांची बेरीज नेहमी समसंख्या असते. उदाहरणार्थ, 3 + 5 = 8.
उत्तर: असत्य. दोन विषम संख्यांची बेरीज नेहमी समसंख्या असते. उदाहरणार्थ, 3 + 5 = 8.
3. योग्य प्रतिबंध लादून खालील विधाने सत्य करून पुन्हा सांगा.
(i) सर्व अविभाज्य संख्या विषमसंख्या असतात.
उत्तर: 2 ही सम संख्या वगळता, इतर सर्व अविभाज्य संख्या विषमसंख्या असतात.
उत्तर: 2 ही सम संख्या वगळता, इतर सर्व अविभाज्य संख्या विषमसंख्या असतात.
(ii) एका वास्तव संख्येची दुप्पट नेहमी समसंख्या असते.
उत्तर: एका ‘पूर्णांक’ संख्येची दुप्पट नेहमी समसंख्या असते.
उत्तर: एका ‘पूर्णांक’ संख्येची दुप्पट नेहमी समसंख्या असते.
(iii) x या कोणत्याही संख्येसाठी 3x + 1 > 4
उत्तर: x > 1 असणाऱ्या कोणत्याही वास्तव संख्येसाठी 3x + 1 > 4.
उत्तर: x > 1 असणाऱ्या कोणत्याही वास्तव संख्येसाठी 3x + 1 > 4.
(iv) x या कोणत्याही संख्येसाठी, x3 ≥ 0.
उत्तर: x ≥ 0 असणाऱ्या कोणत्याही वास्तव संख्येसाठी x3 ≥ 0.
उत्तर: x ≥ 0 असणाऱ्या कोणत्याही वास्तव संख्येसाठी x3 ≥ 0.
(v) प्रत्येक त्रिकोणातील मध्यगा ही कोन दुभाजक सुध्दा असते.
उत्तर: ‘समभुज’ त्रिकोणातील मध्यगा ही कोन दुभाजक सुद्धा असते.
उत्तर: ‘समभुज’ त्रिकोणातील मध्यगा ही कोन दुभाजक सुद्धा असते.
स्वाध्याय A 1.2
1. खालील प्रश्नांची उत्तरे देण्यास आनुमानिक विचारसणीचा उपयोग करा.
(i) मानव हा सस्तन प्राणी आहे. सर्व सस्तनी पृष्ठवंशीय असतात. यावरून काय निष्कर्ष काढाल?
निष्कर्ष: मानव हा पृष्ठवंशीय प्राणी आहे.
निष्कर्ष: मानव हा पृष्ठवंशीय प्राणी आहे.
(ii) अॅन्थोनी हा एक न्हावी आहे. दिनेशने त्याचे केस कापले. तर अॅन्थोनीने दिनेशचे केस कापले असा निष्कर्ष काढू शकाल?
निष्कर्ष: नाही. दिनेशने अॅन्थोनीचे केस कापले म्हणजे अॅन्थोनीनेही दिनेशचे केस कापलेच असे निश्चित सांगता येत नाही.
निष्कर्ष: नाही. दिनेशने अॅन्थोनीचे केस कापले म्हणजे अॅन्थोनीनेही दिनेशचे केस कापलेच असे निश्चित सांगता येत नाही.
(iii) मंगळ ग्रहावरील रहिवाशांची जीभ लाल आहे. गुलग हा मंगळावरील आहे. काय निष्कर्ष काढाल?
निष्कर्ष: गुलगची जीभ लाल आहे.
निष्कर्ष: गुलगची जीभ लाल आहे.
(iv) 4 तासापेक्षा जास्त पाऊस पडला की दुसऱ्या दिवशी गटारी स्वच्छ कराव्या लागतात. आज 6 तास पाऊस पडला तर उद्याच्या स्थितीबद्दल निष्कर्ष?
निष्कर्ष: उद्या गटारी स्वच्छ कराव्या लागतील.
निष्कर्ष: उद्या गटारी स्वच्छ कराव्या लागतील.
(v) गाईच्या युक्तीवादात कोणता विरोधाभास आहे? (सर्व कुत्र्यांना शेपूट असते. मला पण शेपूट आहे. म्हणून मी कुत्रा आहे.)
निष्कर्ष: कुत्र्यांव्यतिरिक्त इतर अनेक प्राण्यांना (जसे गायीला) शेपूट असते. त्यामुळे केवळ शेपूट असणे म्हणजे कुत्रा असणे नव्हे. हा या युक्तिवादातील विरोधाभास आहे.
निष्कर्ष: कुत्र्यांव्यतिरिक्त इतर अनेक प्राण्यांना (जसे गायीला) शेपूट असते. त्यामुळे केवळ शेपूट असणे म्हणजे कुत्रा असणे नव्हे. हा या युक्तिवादातील विरोधाभास आहे.
2. तुम्हाला चार कार्डे दिली आहेत: B, 3, U, 8. नियम: “जर एखाद्या कार्डाच्या एका बाजूला व्यंजन असेल तर दुसऱ्या बाजूला विषम संख्या पाहिजे.” फक्त दोन कार्डे परतून नियम पडताळणे शक्य आहे काय?
उत्तर: होय, शक्य आहे.
1) ‘B’ हे व्यंजन आहे, त्यामुळे त्याच्या मागे विषम संख्या आहे की नाही हे तपासण्यासाठी ‘B’ उलटवावे लागेल.
2) ‘8’ ही सम संख्या आहे. नियमानुसार व्यंजनाच्या मागे फक्त विषम संख्याच असली पाहिजे. जर ‘8’ च्या मागे व्यंजन असेल तर नियम मोडला जाईल. म्हणून खात्री करण्यासाठी ‘8’ उलटवावे लागेल.
‘3’ च्या मागे काहीही असले तरी नियम मोडत नाही आणि ‘U’ हा स्वर असल्याने त्याला नियम लागू होत नाही. त्यामुळे फक्त B आणि 8 ही दोनच कार्डे परतून पाहावी लागतील.
1) ‘B’ हे व्यंजन आहे, त्यामुळे त्याच्या मागे विषम संख्या आहे की नाही हे तपासण्यासाठी ‘B’ उलटवावे लागेल.
2) ‘8’ ही सम संख्या आहे. नियमानुसार व्यंजनाच्या मागे फक्त विषम संख्याच असली पाहिजे. जर ‘8’ च्या मागे व्यंजन असेल तर नियम मोडला जाईल. म्हणून खात्री करण्यासाठी ‘8’ उलटवावे लागेल.
‘3’ च्या मागे काहीही असले तरी नियम मोडत नाही आणि ‘U’ हा स्वर असल्याने त्याला नियम लागू होत नाही. त्यामुळे फक्त B आणि 8 ही दोनच कार्डे परतून पाहावी लागतील.
स्वाध्याय A 1.3
1. कोणत्याही तीन क्रमवार समसंख्या घेऊन त्यांचा गुणाकार करा. अशा गुणाकाराबद्दल तीन अनुमान तयार करा.
उदाहरणे: 2 × 4 × 6 = 48, 4 × 6 × 8 = 192.
अनुमान:
1. तीन क्रमवार समसंख्यांचा गुणाकार नेहमी सम संख्या असतो.
2. तीन क्रमवार समसंख्यांच्या गुणाकाराला नेहमी 8 ने निःशेष भाग जातो.
3. तीन क्रमवार समसंख्यांच्या गुणाकाराला नेहमी 16 ने (तसेच 48 ने) निःशेष भाग जातो.
अनुमान:
1. तीन क्रमवार समसंख्यांचा गुणाकार नेहमी सम संख्या असतो.
2. तीन क्रमवार समसंख्यांच्या गुणाकाराला नेहमी 8 ने निःशेष भाग जातो.
3. तीन क्रमवार समसंख्यांच्या गुणाकाराला नेहमी 16 ने (तसेच 48 ने) निःशेष भाग जातो.
2. पास्कलचा त्रिकोण: पहिली ओळ 1=110, दुसरी 11=111, तिसरी 121=112. चौथी आणि पाचवी ओळीबद्दल अनुमान. 6 व्या ओळीला लागू पडते का?
उत्तर: चौथी ओळ 1331 = 113 असेल आणि पाचवी ओळ 14641 = 114 असेल.
हे अनुमान 6 व्या ओळीला थेट अंकांच्या रूपात लागू पडत नाही, कारण 6 व्या ओळीचे अंक 1, 5, 10, 10, 5, 1 आहेत आणि 115 = 161051 येते.
हे अनुमान 6 व्या ओळीला थेट अंकांच्या रूपात लागू पडत नाही, कारण 6 व्या ओळीचे अंक 1, 5, 10, 10, 5, 1 आहेत आणि 115 = 161051 येते.
3. दोन संलग्न त्रिकोणी संख्यांची बेरीज करा. उदा: T1+T2=4, T2+T3=9. Tn-1+Tn बद्दल अनुमान तयार करा.
उत्तर: T4+T5 = 10 + 15 = 25 (म्हणजेच 52).
अनुमान: कोणत्याही दोन क्रमवार त्रिकोणी संख्यांची बेरीज ही एक पूर्ण वर्ग संख्या असते. सूत्ररूपात: Tn-1 + Tn = n2.
अनुमान: कोणत्याही दोन क्रमवार त्रिकोणी संख्यांची बेरीज ही एक पूर्ण वर्ग संख्या असते. सूत्ररूपात: Tn-1 + Tn = n2.
4. नमुना पहा: 12=1, 112=121, 1112=12321. 1111112 आणि 11111112 चे अनुमान.
उत्तर:
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
गुणाकार करून पाहिल्यास हे अनुमान पूर्णपणे सत्य आहे हे सिद्ध होते.
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
गुणाकार करून पाहिल्यास हे अनुमान पूर्णपणे सत्य आहे हे सिद्ध होते.
5. या पुस्तकात वापरलेल्या पाच मूलतत्वांची यादी करा.
उत्तर: युक्लीडची पाच महत्त्वाची मूलतत्वे (Axioms):
1. जे घटक एकाच घटकाशी समान असतात ते परस्पराशी समान असतात.
2. समान घटकात समान घटक मिळविल्यास उत्तर समान येते.
3. समान घटकातून समान घटक वजा केल्यास उत्तर समान येते.
4. ज्या वस्तू एकमेकाशी समान असतात त्या परस्पराशी समान असतात.
5. पूर्ण हा त्याच्या खंडापेक्षा (भागापेक्षा) मोठा असतो.
1. जे घटक एकाच घटकाशी समान असतात ते परस्पराशी समान असतात.
2. समान घटकात समान घटक मिळविल्यास उत्तर समान येते.
3. समान घटकातून समान घटक वजा केल्यास उत्तर समान येते.
4. ज्या वस्तू एकमेकाशी समान असतात त्या परस्पराशी समान असतात.
5. पूर्ण हा त्याच्या खंडापेक्षा (भागापेक्षा) मोठा असतो.
स्वाध्याय A 1.4
1. खालील विधानांना असत्य सिद्ध करण्यासाठी विरोधी उदाहरणे (प्रत्युदाहरणे) द्या.
(i) जर दोन त्रिकोणाचे संगत कोन समान असतील तर ते एकरूप असतात.
प्रत्युदाहरण: एक त्रिकोण 3cm, 4cm, 5cm बाजूंचा आणि दुसरा 6cm, 8cm, 10cm बाजूंचा घ्या. त्यांचे संगत कोन समान आहेत पण आकार भिन्न असल्याने ते एकरूप नाहीत (ते समरूप आहेत).
प्रत्युदाहरण: एक त्रिकोण 3cm, 4cm, 5cm बाजूंचा आणि दुसरा 6cm, 8cm, 10cm बाजूंचा घ्या. त्यांचे संगत कोन समान आहेत पण आकार भिन्न असल्याने ते एकरूप नाहीत (ते समरूप आहेत).
(ii) चारी बाजू समान असणाऱ्या चौकोनाला चौरस म्हणतात.
प्रत्युदाहरण: समभुज चौकोनाच्या (Rhombus) चारही बाजू समान असतात, पण त्याचे कोन 90° नसल्यास तो चौरस नसतो.
प्रत्युदाहरण: समभुज चौकोनाच्या (Rhombus) चारही बाजू समान असतात, पण त्याचे कोन 90° नसल्यास तो चौरस नसतो.
(iii) चारी कोन समान असणाऱ्या चौकोनाला चौरस म्हणतात.
प्रत्युदाहरण: आयताचे (Rectangle) चारही कोन 90° असतात, पण त्याच्या चारही बाजू समान नसल्यास तो चौरस नसतो.
प्रत्युदाहरण: आयताचे (Rectangle) चारही कोन 90° असतात, पण त्याच्या चारही बाजू समान नसल्यास तो चौरस नसतो.
(iv) जर a आणि b पूर्णांक असतील तर √(a2 + b2) = a + b.
प्रत्युदाहरण: a=3, b=4 घ्या. √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5. पण a+b = 3+4 = 7. येथे 5 व 7 समान नाहीत.
प्रत्युदाहरण: a=3, b=4 घ्या. √(32 + 42) = √(9+16) = √25 = 5. पण a+b = 3+4 = 7. येथे 5 व 7 समान नाहीत.
(v) n पूर्ण संख्या असेल तर 2n2+11 ही मूळ संख्या आहे.
प्रत्युदाहरण: n=11 घ्या. 2(11)2 + 11 = 2(121) + 11 = 242 + 11 = 253. 253 ला 11 ने भाग जातो, त्यामुळे ती मूळ संख्या नाही.
प्रत्युदाहरण: n=11 घ्या. 2(11)2 + 11 = 2(121) + 11 = 242 + 11 = 253. 253 ला 11 ने भाग जातो, त्यामुळे ती मूळ संख्या नाही.
(vi) n2 – n + 41 ही मूळ संख्या आहे.
प्रत्युदाहरण: n=41 घ्या. 412 – 41 + 41 = 412 = 1681. 1681 ला 41 ने भाग जातो, त्यामुळे ती मूळ संख्या नाही.
प्रत्युदाहरण: n=41 घ्या. 412 – 41 + 41 = 412 = 1681. 1681 ला 41 ने भाग जातो, त्यामुळे ती मूळ संख्या नाही.
3. कोणत्याही दोन विषमसंख्यांची बेरीज ही सम असते हे सिध्द करा.
सिद्धता: समजा 2m+1 आणि 2n+1 या कोणत्याही दोन विषम संख्या आहेत (जेथे m आणि n पूर्णांक आहेत).
त्यांची बेरीज = (2m + 1) + (2n + 1)
= 2m + 2n + 2
= 2(m + n + 1)
येथे 2 हा सामाईक अवयव असल्याने या बेरजेला 2 ने निःशेष भाग जातो. त्यामुळे ही बेरीज एक सम संख्या आहे.
त्यांची बेरीज = (2m + 1) + (2n + 1)
= 2m + 2n + 2
= 2(m + n + 1)
येथे 2 हा सामाईक अवयव असल्याने या बेरजेला 2 ने निःशेष भाग जातो. त्यामुळे ही बेरीज एक सम संख्या आहे.
4. कोणत्याही दोन विषमसंख्यांचा गुणाकार ही विषम संख्याच असते हे सिध्द करा.
सिद्धता: समजा 2m+1 आणि 2n+1 या कोणत्याही दोन विषम संख्या आहेत.
त्यांचा गुणाकार = (2m + 1)(2n + 1)
= 4mn + 2m + 2n + 1
= 2(2mn + m + n) + 1
हा गुणाकार 2k + 1 च्या स्वरूपात आहे (जेथे k = 2mn+m+n), त्यामुळे 2 ने भागल्यास 1 बाकी उरते. म्हणून हा गुणाकार विषम संख्या आहे.
त्यांचा गुणाकार = (2m + 1)(2n + 1)
= 4mn + 2m + 2n + 1
= 2(2mn + m + n) + 1
हा गुणाकार 2k + 1 च्या स्वरूपात आहे (जेथे k = 2mn+m+n), त्यामुळे 2 ने भागल्यास 1 बाकी उरते. म्हणून हा गुणाकार विषम संख्या आहे.
5. कोणत्याही तीन क्रमवार समसंख्यांच्या बेरजेला 6 ने भाग जातो हे सिध्द करा.
सिद्धता: समजा 2n, 2n+2, आणि 2n+4 या तीन क्रमवार सम संख्या आहेत (जेथे n पूर्णांक आहे).
त्यांची बेरीज = 2n + (2n + 2) + (2n + 4)
= 6n + 6
= 6(n + 1)
या बेरजेमध्ये 6 हा एक अवयव आहे, म्हणजेच या बेरजेला 6 ने पूर्ण भाग जातो.
त्यांची बेरीज = 2n + (2n + 2) + (2n + 4)
= 6n + 6
= 6(n + 1)
या बेरजेमध्ये 6 हा एक अवयव आहे, म्हणजेच या बेरजेला 6 ने पूर्ण भाग जातो.
6. y = 2x या समीकरणाच्या रेषेवर असंख्य बिंदू आहेत हे सिध्द करा.
सिद्धता: x च्या कोणत्याही वास्तव किमतीसाठी (उदा. x = 1, 2.5, -3…) आपल्याला समीकरणावरून y ची एक निश्चित वास्तव किंमत (अनुक्रमे y = 2, 5, -6…) मिळते. वास्तव संख्या या अनंत (असंख्य) आहेत. त्यामुळे x च्या अनंत किमतींसाठी y च्या अनंत किमती मिळतात. म्हणजेच (x, y) च्या अनंत जोड्या शक्य आहेत, म्हणून y = 2x या रेषेवर असंख्य बिंदू आहेत.
7. गणितातील गमतीचे स्पष्टीकरण.
(i) संख्या मनात धरा, दुप्पट करा… शेवटचे उत्तर सात येते:
गणिती मांडणी: समजा मनात धरलेली संख्या x आहे.
दुप्पट: 2x. त्यात 9 मिळवा: 2x + 9.
मनातील संख्या पुन्हा मिळवा: 2x + 9 + x = 3x + 9.
तीनने भागा: (3x + 9) / 3 = x + 3.
चार मिळवा: x + 3 + 4 = x + 7.
मनातील संख्या वजा करा: x + 7 – x = 7.
यामुळे x ची किंमत काहीही असली तरी उत्तर नेहमी 7 च येते.
गणिती मांडणी: समजा मनात धरलेली संख्या x आहे.
दुप्पट: 2x. त्यात 9 मिळवा: 2x + 9.
मनातील संख्या पुन्हा मिळवा: 2x + 9 + x = 3x + 9.
तीनने भागा: (3x + 9) / 3 = x + 3.
चार मिळवा: x + 3 + 4 = x + 7.
मनातील संख्या वजा करा: x + 7 – x = 7.
यामुळे x ची किंमत काहीही असली तरी उत्तर नेहमी 7 च येते.
(ii) तीन अंकी संख्या (उदा. 425) दोनदा लिहून 6 अंकी केल्यास 7, 11, 13 ने भाग जातो:
कोणतीही तीन अंकी संख्या xyz दोनदा लिहून xyzxyz तयार केल्यास, त्याचे गणिती स्वरूप xyz × 1001 असे असते. (उदा. 425 × 1001 = 425425).
1001 चे अवयव 7 × 11 × 13 असे आहेत. त्यामुळे तयार होणाऱ्या 6 अंकी संख्येला नेहमी 7, 11 आणि 13 ने निःशेष भाग जातो.
कोणतीही तीन अंकी संख्या xyz दोनदा लिहून xyzxyz तयार केल्यास, त्याचे गणिती स्वरूप xyz × 1001 असे असते. (उदा. 425 × 1001 = 425425).
1001 चे अवयव 7 × 11 × 13 असे आहेत. त्यामुळे तयार होणाऱ्या 6 अंकी संख्येला नेहमी 7, 11 आणि 13 ने निःशेष भाग जातो.
