प्रकरण 6: रेषा आणि कोन – महत्त्वाचे मुद्दे
कोनांचे प्रकार (Types of Angles)
- लघुकोन: ज्या कोनाचे माप 0° ते 90° च्या दरम्यान असते, त्याला लघुकोन म्हणतात.
- काटकोन: ज्या कोनाचे माप नेमके 90° असते, त्याला काटकोन म्हणतात.
- विशालकोन: ज्या कोनाचे माप 90° पेक्षा जास्त आणि 180° पेक्षा कमी असते, त्याला विशालकोन म्हणतात.
- सरळकोन: ज्या कोनाचे माप 180° असते, त्याला सरळकोन म्हणतात.
- प्रविशालकोन: ज्या कोनाचे माप 180° पेक्षा जास्त आणि 360° पेक्षा कमी असते, त्याला प्रविशालकोन म्हणतात.
कोनांच्या जोड्या (Pairs of Angles)
- कोटिकोन: जर दोन कोनांच्या मापांची बेरीज 90° असेल, तर त्या कोनांना एकमेकांचे कोटिकोन म्हणतात.
- पूरक कोन: जर दोन कोनांच्या मापांची बेरीज 180° असेल, तर त्या कोनांना एकमेकांचे पूरक कोन म्हणतात.
- संलग्न कोन: जेव्हा दोन कोनांना एकच सामाईक बाजू आणि एक सामाईक शिरोबिंदू असतो, तेव्हा ते संलग्न कोन होतात.
महत्त्वाचे गुणधर्म आणि प्रमेये
- सरळ रेषेवरील मुलतत्व: जर एका रेषेवर एक किरण उभा असेल, तर बनलेल्या दोन संलग्न कोनांची बेरीज 180° असते.
- पूरक मुलतत्व: जर दोन संलग्न कोनांची बेरीज 180° असेल, तर त्यांच्या सामाईक नसलेल्या (असमान) बाजू एक सरळ रेषा तयार करतात.
- शिरोविरुध्द कोन (प्रमेय 6.1): जर दोन रेषा परस्परांना छेदत असतील, तर तयार होणारे शिरोविरुध्द कोन नेहमी समान मापाचे असतात.
- समांतर रेषांचे गुणधर्म (प्रमेय 6.6): एकाच रेषेला समांतर असणाऱ्या रेषा परस्परांशीही समांतर असतात.
प्रकरण 6 : रेषा आणि कोन – स्वाध्याय
स्वाध्याय 6.1
प्रश्न 1: AB व CD रेषा O या बिंदूत छेदतात. जर ∠AOC + ∠BOE = 70° आणि ∠BOD = 40° तर ∠BOE आणि ∠COE काढा.
उत्तर:
∠AOC = ∠BOD (शिरोविरुद्ध कोन)
दिलेले आहे, ∠BOD = 40°
म्हणून, ∠AOC = 40°
तसेच, ∠AOC + ∠BOE = 70° (दिलेले आहे)
40° + ∠BOE = 70°
∠BOE = 70° – 40° = 30°
आता, AOB ही एक सरळ रेषा आहे.
∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° (रेषीय जोडीतील कोन)
40° + ∠COE + 30° = 180°
70° + ∠COE = 180°
∠COE = 180° – 70° = 110°
प्रश्न 2: XY व MN रेषा O बिंदूत छेदतात. जर ∠POY = 90° आणि a:b = 2:3 तर c ची किंमत काढा.
उत्तर:
∠POY = 90° दिलेले आहे.
XY ही सरळ रेषा आहे, म्हणून ∠POX + ∠POY = 180°
∠POX + 90° = 180°
∠POX = 90°
आपल्याला माहित आहे की, ∠POX = a + b
म्हणून a + b = 90°
दिलेले गुणोत्तर a:b = 2:3. समजा a = 2x आणि b = 3x
2x + 3x = 90°
5x = 90° => x = 18°
a = 2 * 18° = 36°
b = 3 * 18° = 54°
आता, MN ही सरळ रेषा आहे.
b + c = 180° (रेषीय जोडीतील कोन)
54° + c = 180°
c = 180° – 54° = 126°
स्वाध्याय 6.2
प्रश्न 1: आकृतीमध्ये, x आणि y च्या किंमती काढून AB || CD सिद्ध करा.
उत्तर:
आकृतीवरून,
50° + x = 180° (रेषीय जोडीतील कोन)
x = 180° – 50° = 130°
y = 130° (शिरोविरुद्ध कोन)
येथे x = 130° आणि y = 130°, म्हणून x = y.
परंतु हे दोन व्युत्क्रम कोन (Alternate interior angles) आहेत.
व्युत्क्रम कोन समान असल्याने, रेषा AB || CD सिद्ध होते.
प्रश्न 2: आकृतीमध्ये, जर AB || CD, EF ⊥ CD आणि ∠GED = 126° तर ∠AGE, ∠GEF आणि ∠FGE काढा.
उत्तर:
AB || CD आणि GE ही छेदिका आहे.
∠AGE = ∠GED (व्युत्क्रम कोन)
दिलेले आहे, ∠GED = 126°
म्हणून, ∠AGE = 126°
∠GED = ∠GEF + ∠FED
126° = ∠GEF + 90° (कारण EF ⊥ CD)
∠GEF = 126° – 90° = 36°
आता, AB ही सरळ रेषा आहे.
∠AGE + ∠FGE = 180° (रेषीय जोडीतील कोन)
126° + ∠FGE = 180°
∠FGE = 180° – 126° = 54°
प्रश्न 3: आकृतीमध्ये, जर PQ || ST, ∠PQR = 110° आणि ∠RST = 130° तर ∠QRS काढा.
उत्तर:
रचना: बिंदू R मधून जाणारी आणि रेषा ST ला समांतर असणारी रेषा XY काढा (XY || ST || PQ).
आता, PQ || XY आणि QR ही छेदिका आहे.
∠PQR + ∠QRX = 180° (छेदिकेच्या एकाच अंगास असणारे आंतरकोन)
110° + ∠QRX = 180° => ∠QRX = 70°
तसेच, ST || XY आणि SR ही छेदिका आहे.
∠RST + ∠SRY = 180° (आंतरकोन)
130° + ∠SRY = 180° => ∠SRY = 50°
XY ही सरळ रेषा आहे, म्हणून ∠QRX + ∠QRS + ∠SRY = 180°
70° + ∠QRS + 50° = 180°
120° + ∠QRS = 180°
∠QRS = 180° – 120° = 60°
प्रश्न 4: आकृतीमध्ये, जर AB || CD, ∠APQ = 50° आणि ∠PRD = 127° तर x आणि y काढा.
उत्तर:
AB || CD आणि PQ ही छेदिका आहे.
x = ∠APQ (व्युत्क्रम कोन)
म्हणून, x = 50°
तसेच, AB || CD आणि PR ही छेदिका आहे.
∠APR = ∠PRD (व्युत्क्रम कोन)
∠APQ + y = 127°
50° + y = 127°
y = 127° – 50° = 77°
प्रश्न 5: आकृतीमध्ये PQ आणि RS हे दोन आरसे एकमेकांना समांतर ठेवले आहेत. सिद्ध करा AB || CD.
उत्तर:
रचना: B बिंदूतून PQ ला लंब BM आणि C बिंदूतून RS ला लंब CN काढा.
PQ || RS असल्याने, त्यांचे लंब देखील एकमेकांना समांतर असतील. म्हणून BM || CN.
प्रकाशाच्या परावर्तनाच्या नियमानुसार, आपाती कोन = परावर्तित कोन.
म्हणून, ∠1 = ∠2 आणि ∠3 = ∠4.
आता, BM || CN आणि BC ही छेदिका आहे.
∠2 = ∠3 (व्युत्क्रम कोन)
जर ∠2 = ∠3 असेल, तर 2(∠2) = 2(∠3)
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4
म्हणजेच ∠ABC = ∠BCD.
परंतु हे दोन व्युत्क्रम कोन आहेत जे रेषा AB आणि CD च्या छेदिकेमुळे तयार झाले आहेत.
व्युत्क्रम कोन समान असल्याने, रेषा AB || CD सिद्ध होते.
