प्रकरण 6: घन आणि घनमूळ – IMP POINTSश
हार्डी-रामानुजन संख्या: 1729, 4104, 13832 या संख्यांना हार्डी-रामानुजन संख्या म्हणतात. या संख्या दोन वेगवेगळ्या घन संख्यांच्या बेरजेने दोन वेगवेगळ्या प्रकारे दर्शविता येतात.
घन संख्या: एका संख्येचा त्याच संख्येशी तीन वेळा गुणाकार करून आलेल्या संख्येला त्या संख्येची ‘घन संख्या’ म्हणतात. उदाहरणार्थ: 1, 8, 27 इत्यादी.
पूर्ण घनसंख्या: कोणत्याही संख्येच्या मूळ अवयवीकरणात जर प्रत्येक मूळ अवयव बरोबर 3 वेळा येत असेल, तर ती संख्या पूर्ण घनसंख्या असते.
घनमूळ चिन्ह: ∛ हे चिन्ह घनमूळ दर्शविण्यासाठी वापरले जाते. उदाहरणार्थ, ∛27 = 3.
व्यस्त क्रिया: जसे वर्गमूळ काढणे ही वर्ग करण्याच्या क्रियेची व्यस्त क्रिया आहे, त्याचप्रमाणे ‘घनमूळ’ काढणे ही घन करण्याच्या क्रियेची व्यस्त क्रिया आहे.
‘प्रयत्न करा’ – प्रश्नांची उत्तरे
पृष्ठ क्र. 87
खालील संख्येंच्या घनसंख्येत एकम स्थानी कोणता अंक येतो ते काढा.
(i) 3331 (ii) 8888 (iii) 149 (iv) 1005 (v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53
(i) 3331 (ii) 8888 (iii) 149 (iv) 1005 (v) 1024 (vi) 77 (vii) 5022 (viii) 53
घनाच्या एकम स्थानचा अंक काढण्यासाठी दिलेल्या संख्येच्या एकम स्थानच्या अंकाचा घन करावा लागतो:
(i) 3331: एकम स्थानी 1 आहे. (13 = 1), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 1 येईल.
(ii) 8888: एकम स्थानी 8 आहे. (83 = 512), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 2 येईल.
(iii) 149: एकम स्थानी 9 आहे. (93 = 729), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 9 येईल.
(iv) 1005: एकम स्थानी 5 आहे. (53 = 125), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 5 येईल.
(v) 1024: एकम स्थानी 4 आहे. (43 = 64), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 4 येईल.
(vi) 77: एकम स्थानी 7 आहे. (73 = 343), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 3 येईल.
(vii) 5022: एकम स्थानी 2 आहे. (23 = 8), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 8 येईल.
(viii) 53: एकम स्थानी 3 आहे. (33 = 27), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 7 येईल.
(i) 3331: एकम स्थानी 1 आहे. (13 = 1), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 1 येईल.
(ii) 8888: एकम स्थानी 8 आहे. (83 = 512), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 2 येईल.
(iii) 149: एकम स्थानी 9 आहे. (93 = 729), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 9 येईल.
(iv) 1005: एकम स्थानी 5 आहे. (53 = 125), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 5 येईल.
(v) 1024: एकम स्थानी 4 आहे. (43 = 64), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 4 येईल.
(vi) 77: एकम स्थानी 7 आहे. (73 = 343), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 3 येईल.
(vii) 5022: एकम स्थानी 2 आहे. (23 = 8), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 8 येईल.
(viii) 53: एकम स्थानी 3 आहे. (33 = 27), म्हणून घनसंख्येत एकम स्थानी 7 येईल.
पृष्ठ क्र. 88
मागील पानावरील नमुन्याप्रमाणे खालील संख्या विषम संख्यांच्या बेरजेने दाखवा.
(i) 63 (ii) 83 (iii) 73
(i) 63 (ii) 83 (iii) 73
(i) 63 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216
(ii) 83 = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 512
(iii) 73 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343
(ii) 83 = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 = 512
(iii) 73 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343
खालील नमुने विचारात घ्या.
23 – 13 = 1 + 2 × 1 × 3
33 – 23 = 1 + 3 × 2 × 3
43 – 33 = 1 + 4 × 3 × 3
वरील नमुन्यांचा उपयोग करून खालील किंमती काढा.
(i) 73 – 63 (ii) 123 – 113 (iii) 203 – 193 (iv) 513 – 503
23 – 13 = 1 + 2 × 1 × 3
33 – 23 = 1 + 3 × 2 × 3
43 – 33 = 1 + 4 × 3 × 3
वरील नमुन्यांचा उपयोग करून खालील किंमती काढा.
(i) 73 – 63 (ii) 123 – 113 (iii) 203 – 193 (iv) 513 – 503
(i) 73 – 63 = 1 + 7 × 6 × 3 = 1 + 126 = 127
(ii) 123 – 113 = 1 + 12 × 11 × 3 = 1 + 396 = 397
(iii) 203 – 193 = 1 + 20 × 19 × 3 = 1 + 1140 = 1141
(iv) 513 – 503 = 1 + 51 × 50 × 3 = 1 + 7650 = 7651
(ii) 123 – 113 = 1 + 12 × 11 × 3 = 1 + 396 = 397
(iii) 203 – 193 = 1 + 20 × 19 × 3 = 1 + 1140 = 1141
(iv) 513 – 503 = 1 + 51 × 50 × 3 = 1 + 7650 = 7651
पृष्ठ क्र. 89
खालील पैकी कोणत्या संख्या पूर्ण घनसंख्या आहेत?
1. 400
2. 3375
3. 8000
4. 15625
5. 9000
6. 6859
7. 2025
8. 10648
1. 400
2. 3375
3. 8000
4. 15625
5. 9000
6. 6859
7. 2025
8. 10648
संख्यांचे मूळ अवयव पाडून 3-3 चे गट पडतात की नाही हे पाहूया:
1. 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 (गट पडत नाहीत) – नाही
2. 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5) – होय
3. 8000 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5) – होय
4. 15625 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) – होय
5. 9000 = 9 × 1000 = 3 × 3 × (10 × 10 × 10) (3 चा गट पडत नाही) – नाही
6. 6859 = (19 × 19 × 19) – होय
7. 2025 = 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3 (गट पडत नाहीत) – नाही
8. 10648 = (2 × 2 × 2) × (11 × 11 × 11) – होय
पूर्ण घनसंख्या आहेत: 3375, 8000, 15625, 6859, 10648
1. 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 (गट पडत नाहीत) – नाही
2. 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5) – होय
3. 8000 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5) – होय
4. 15625 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) – होय
5. 9000 = 9 × 1000 = 3 × 3 × (10 × 10 × 10) (3 चा गट पडत नाही) – नाही
6. 6859 = (19 × 19 × 19) – होय
7. 2025 = 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3 (गट पडत नाहीत) – नाही
8. 10648 = (2 × 2 × 2) × (11 × 11 × 11) – होय
पूर्ण घनसंख्या आहेत: 3375, 8000, 15625, 6859, 10648
इयत्ता 8 वी गणित: घन आणि घनमूळ – स्वाध्याय
स्वाध्याय 6.1 (पृष्ठ क्रमांक 91)
1. खालील पैकी कोणत्या संख्या पूर्ण घनसंख्या नाहीत ?
(i) 216
(ii) 128
(iii) 1000
(iv) 100
(v) 46656
उकल:
(i) 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 (पूर्ण घनसंख्या आहे)
(ii) 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (येथे एक 2 शिल्लक राहतो, म्हणून पूर्ण घनसंख्या नाही)
(iii) 1000 = 10 × 10 × 10 (पूर्ण घनसंख्या आहे)
(iv) 100 = 10 × 10 (गटात 3 अवयव नाहीत, म्हणून पूर्ण घनसंख्या नाही)
(v) 46656 = 36 × 36 × 36 (पूर्ण घनसंख्या आहे)
उत्तर: (ii) 128 आणि (iv) 100 या पूर्ण घनसंख्या नाहीत.
(i) 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 (पूर्ण घनसंख्या आहे)
(ii) 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (येथे एक 2 शिल्लक राहतो, म्हणून पूर्ण घनसंख्या नाही)
(iii) 1000 = 10 × 10 × 10 (पूर्ण घनसंख्या आहे)
(iv) 100 = 10 × 10 (गटात 3 अवयव नाहीत, म्हणून पूर्ण घनसंख्या नाही)
(v) 46656 = 36 × 36 × 36 (पूर्ण घनसंख्या आहे)
उत्तर: (ii) 128 आणि (iv) 100 या पूर्ण घनसंख्या नाहीत.
2. खालील प्रत्येक संख्या पूर्ण घनसंख्या होण्यासाठी कोणत्या लहानात लहान संख्येने गुणावे लागेल ?
(i) 243
(ii) 256
(iii) 72
(iv) 675
(v) 100
उकल:
(i) 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 (येथे 3 चा एक गट पूर्ण होण्यासाठी एका 3 ची गरज आहे). उत्तर: 3
(ii) 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (येथे 2 चा गट पूर्ण होण्यासाठी एका 2 ची गरज आहे). उत्तर: 2
(iii) 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 (येथे 3 चा गट पूर्ण होण्यासाठी एका 3 ची गरज आहे). उत्तर: 3
(iv) 675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 (येथे 5 चा गट पूर्ण होण्यासाठी एका 5 ची गरज आहे). उत्तर: 5
(v) 100 = 2 × 2 × 5 × 5 (येथे 2 आणि 5 दोघांचे गट पूर्ण होण्यासाठी एक 2 आणि एक 5 ची गरज आहे, म्हणजे 2 × 5 = 10). उत्तर: 10
(i) 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 (येथे 3 चा एक गट पूर्ण होण्यासाठी एका 3 ची गरज आहे). उत्तर: 3
(ii) 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (येथे 2 चा गट पूर्ण होण्यासाठी एका 2 ची गरज आहे). उत्तर: 2
(iii) 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 (येथे 3 चा गट पूर्ण होण्यासाठी एका 3 ची गरज आहे). उत्तर: 3
(iv) 675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 (येथे 5 चा गट पूर्ण होण्यासाठी एका 5 ची गरज आहे). उत्तर: 5
(v) 100 = 2 × 2 × 5 × 5 (येथे 2 आणि 5 दोघांचे गट पूर्ण होण्यासाठी एक 2 आणि एक 5 ची गरज आहे, म्हणजे 2 × 5 = 10). उत्तर: 10
3. खालील प्रत्येक संख्या पूर्ण घनसंख्या होण्यासाठी कोणत्या लहानात लहान संख्येने भागावे लागेल ?
(i) 81
(ii) 128
(iii) 135
(iv) 192
(v) 704
उकल:
(i) 81 = 3 × 3 × 3 × 3 (येथे एक 3 जास्तीचा आहे). उत्तर: 3
(ii) 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (येथे एक 2 जास्तीचा आहे). उत्तर: 2
(iii) 135 = 3 × 3 × 3 × 5 (येथे 5 जास्तीचा आहे). उत्तर: 5
(iv) 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 (येथे 3 जास्तीचा आहे). उत्तर: 3
(v) 704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 (येथे 11 जास्तीचा आहे). उत्तर: 11
(i) 81 = 3 × 3 × 3 × 3 (येथे एक 3 जास्तीचा आहे). उत्तर: 3
(ii) 128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (येथे एक 2 जास्तीचा आहे). उत्तर: 2
(iii) 135 = 3 × 3 × 3 × 5 (येथे 5 जास्तीचा आहे). उत्तर: 5
(iv) 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 (येथे 3 जास्तीचा आहे). उत्तर: 3
(v) 704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 (येथे 11 जास्तीचा आहे). उत्तर: 11
4. सुजलने चिनीमातीचा एक घनायत बनविला आहे. त्याच्या बाजू 5 सें.मीं., 2 सें.मीं., 5 सें.मी., आहेत. एक घन मिळविण्याकरिता अशा किती घनांची आवश्यकता आहे ?
उकल:
घनायताचे घनफळ = 5 × 2 × 5 = 5 × 5 × 2
पूर्ण घन बनवण्यासाठी प्रत्येक मूळ अवयवाचा 3 चा गट असायला हवा.
येथे 5 दोन वेळा आहे (एका 5 ची गरज आहे) आणि 2 एक वेळा आहे (दोन 2 ची गरज आहे म्हणजे 2 × 2 = 4).
आवश्यक घनायतांची संख्या = 5 × 2 × 2 = 20
उत्तर: 20 घनांची आवश्यकता आहे.
घनायताचे घनफळ = 5 × 2 × 5 = 5 × 5 × 2
पूर्ण घन बनवण्यासाठी प्रत्येक मूळ अवयवाचा 3 चा गट असायला हवा.
येथे 5 दोन वेळा आहे (एका 5 ची गरज आहे) आणि 2 एक वेळा आहे (दोन 2 ची गरज आहे म्हणजे 2 × 2 = 4).
आवश्यक घनायतांची संख्या = 5 × 2 × 2 = 20
उत्तर: 20 घनांची आवश्यकता आहे.
स्वाध्याय 6.2 (पृष्ठ क्रमांक 93)
1. खालील संख्यांचे घनमूळ मूळ अवयवीकरण पध्दतीने काढा.
(i) 64
(ii) 512
(iii) 10648
(iv) 27000
(v) 15625
(vi) 13824
(vii) 110592
(viii) 46656
(ix) 175616
(x) 91125
उकल:
(i) 64 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) → घनमूळ = 2 × 2 = 4
(ii) 512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) → घनमूळ = 2 × 2 × 2 = 8
(iii) 10648 = (2 × 2 × 2) × (11 × 11 × 11) → घनमूळ = 2 × 11 = 22
(iv) 27000 = (3 × 3 × 3) × (10 × 10 × 10) → घनमूळ = 3 × 10 = 30
(v) 15625 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) → घनमूळ = 5 × 5 = 25
(vi) 13824 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) → घनमूळ = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
(vii) 110592 = 2^12 × 3^3 → घनमूळ = 2^4 × 3 = 16 × 3 = 48
(viii) 46656 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3) → घनमूळ = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
(ix) 175616 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (7 × 7 × 7) → घनमूळ = 2 × 2 × 2 × 7 = 56
(x) 91125 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5) → घनमूळ = 3 × 3 × 5 = 45
(i) 64 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) → घनमूळ = 2 × 2 = 4
(ii) 512 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) → घनमूळ = 2 × 2 × 2 = 8
(iii) 10648 = (2 × 2 × 2) × (11 × 11 × 11) → घनमूळ = 2 × 11 = 22
(iv) 27000 = (3 × 3 × 3) × (10 × 10 × 10) → घनमूळ = 3 × 10 = 30
(v) 15625 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) → घनमूळ = 5 × 5 = 25
(vi) 13824 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) → घनमूळ = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
(vii) 110592 = 2^12 × 3^3 → घनमूळ = 2^4 × 3 = 16 × 3 = 48
(viii) 46656 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3) → घनमूळ = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
(ix) 175616 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (7 × 7 × 7) → घनमूळ = 2 × 2 × 2 × 7 = 56
(x) 91125 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5) → घनमूळ = 3 × 3 × 5 = 45
2. बरोबर की चूक सांगा.
(i) विषम संख्येचा घन समसंख्या असते.
(ii) पूर्ण घनसंख्येचा शेवट दोन शून्यांनी होत नाही.
(iii) जर संख्येचा वर्गाचा शेवट 5 ने होत असेल तर तिच्या घनाचा शेवट 25 ने होतो.
(iv) संख्येचा शेवटचा (एककस्थानचा) अंक 8 असेल तर ती संख्या पूर्ण घनसंख्या नसते.
(v) दोन अंकी संख्येच्या घनामध्ये तीन अंक असू शकतात.
(vi) दोन अंकी संख्येच्या घनामध्ये सात किंवा अधिक अंक असू शकतात.
(vii) एक अंकी संख्येचा घन एक अंकी असू शकतो.
उकल:
(i) चूक (विषम संख्येचा घन नेहमी विषम असतो.)
(ii) बरोबर (पूर्ण घनसंख्येचा शेवट तीन शून्यांनी होतो, जसे 10^3 = 1000.)
(iii) चूक (उदा. 15 चा वर्ग 225 (शेवट 5), पण 15 चा घन 3375 (शेवट 75 ने होतो).)
(iv) चूक (उदा. 2 चा घन 8 आहे आणि 12 चा घन 1728 आहे.)
(v) चूक (सर्वात लहान दोन अंकी संख्या 10 चा घन 1000 आहे, ज्यामध्ये चार अंक आहेत.)
(vi) चूक (सर्वात मोठी दोन अंकी संख्या 99 चा घन 970299 आहे, ज्यामध्ये सहा अंक आहेत.)
(vii) बरोबर (उदा. 1 चा घन 1 आणि 2 चा घन 8 हे एक अंकी आहेत.)
(i) चूक (विषम संख्येचा घन नेहमी विषम असतो.)
(ii) बरोबर (पूर्ण घनसंख्येचा शेवट तीन शून्यांनी होतो, जसे 10^3 = 1000.)
(iii) चूक (उदा. 15 चा वर्ग 225 (शेवट 5), पण 15 चा घन 3375 (शेवट 75 ने होतो).)
(iv) चूक (उदा. 2 चा घन 8 आहे आणि 12 चा घन 1728 आहे.)
(v) चूक (सर्वात लहान दोन अंकी संख्या 10 चा घन 1000 आहे, ज्यामध्ये चार अंक आहेत.)
(vi) चूक (सर्वात मोठी दोन अंकी संख्या 99 चा घन 970299 आहे, ज्यामध्ये सहा अंक आहेत.)
(vii) बरोबर (उदा. 1 चा घन 1 आणि 2 चा घन 8 हे एक अंकी आहेत.)
घन आणि घनमूळ – सराव प्रश्न
1. घन (cube) म्हणजे काय?
एका संख्येचा त्याच संख्येशी तीन वेळा गुणाकार करून आलेल्या संख्येला त्या संख्येची घन संख्या म्हणतात.
2. 1 ते 1000 मध्ये किती पूर्ण घनसंख्या आहेत?
1 ते 1000 मध्ये फक्त दहा पूर्ण घनसंख्या आहेत.
3. 1729, 4104, 13832 या संख्यांना काय म्हणतात?
या संख्यांना हार्डी-रामानुजन संख्या म्हणतात.
4. हार्डी-रामानुजन संख्यांचे वैशिष्ट्य काय आहे?
या संख्या दोन संख्यांच्या घनांच्या बेरजेने दोन वेगवेगळ्या प्रकारे दर्शविता येतात.
5. घनमूळ काढणे ही क्रिया कोणत्या क्रियेच्या व्यस्त क्रिया आहे?
घनमूळ काढणे ही घन करण्याच्या क्रियेच्या व्यस्त क्रिया आहे.
6. घनमूळ दर्शविण्यासाठी कोणते चिन्ह वापरतात?
³√ हे चिन्ह घनमूळ दर्शविते.
7. पूर्ण घनसंख्या ओळखण्याची मूळ अवयवीकरण पद्धत कोणती?
संख्येच्या मूळ अवयवीकरणात जर प्रत्येक अवयव 3 वेळा येत असेल, तर ती संख्या पूर्ण घनसंख्या असते.
8. विषम संख्यांचा घन नेहमी कसा असतो?
विषम संख्यांचे घन विषम असतात.
9. सम संख्यांचा घन नेहमी कसा असतो?
सम संख्यांचे घन सम असतात.
10. 1729 ही लहानात लहान हार्डी-रामानुजन संख्या दोन घन संख्यांच्या बेरजेने कशी दाखवितात?
1729 = 12³ + 1³ आणि 1729 = 10³ + 9³.
