इयत्ता 8वी गणित भाग – 1 प्रकरण 5 : वर्ग आणि वर्गमूळ
- 1. नैसर्गिक संख्या m ही n² अशी जेव्हा सांगितली जाते, जेथे n ही सुद्धा नैसर्गिक संख्या असते, तर m ही वर्गसंख्या असते.
- 2. सर्व वर्गसंख्यांचा शेवट (एकमस्थान) 0, 1, 4, 5, 6 किंवा 9 नी होतो. कोणत्याही वर्ग संख्येचा एकम स्थानाचा अंक 2, 3, 7 किंवा 8 नसतो.
- 3. वर्गसंख्यांच्या शेवटी असणाऱ्या शून्यांची संख्या फक्त सम असते.
- 4. n आणि (n+1) यांच्या वर्गसंख्यामध्ये 2n पूर्ण वर्गसंख्या नसलेल्या संख्या असतात.
- 5. जर 1 पासून सुरुवात करून क्रमवार विषम संख्येंच्या बेरजेने एखादी नैसर्गिक संख्या दाखविता येत नसेल तर ती पूर्ण वर्गसंख्या नसते. पहिल्या n नैसर्गिक विषम संख्यांची बेरीज n² आहे.
- 6. 3, 4 आणि 5 या संख्यांच्या गटाला/संग्रहाला पायथागोरसची त्रिके म्हणतात. m ही कोणतीही नैसर्गिक संख्या असून m > 1 साठी, (2m)² + (m² – 1)² = (m² + 1)² आहे.
- 7. वर्गमूळ ही क्रिया वर्ग क्रियेची व्यस्त आहे. पूर्ण वर्गसंख्येची दोन वर्गमूळे मिळतात.
- 8. या प्रकरणात आपण नैसर्गिक संख्येचे धन वर्गमूळ घ्यावे. धन वर्गमूळ √ या चिन्हाने दर्शवितात. उदाहरणार्थ, 3² = 9, √9 = 3.
स्वाध्याय 5.1 (पृष्ठ क्रमांक 68, 69, 70)
1. खालील संख्यांच्या वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी (सुटे) कोणता अंक असेल ?
(i) 81 (ii) 272 (iii) 799 (iv) 3853 (v) 1234 (vi) 26387 (vii) 52698 (viii) 99880 (ix) 12796 (x) 55555
(i) 81 (ii) 272 (iii) 799 (iv) 3853 (v) 1234 (vi) 26387 (vii) 52698 (viii) 99880 (ix) 12796 (x) 55555
उत्तर: कोणत्याही संख्येच्या वर्गाचा एकम स्थानचा अंक हा त्या संख्येच्या एकम स्थानच्या अंकाच्या वर्गाच्या एकम स्थानचा अंक असतो.
(i) 81: एकम स्थानचा अंक 1. (1² = 1). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 1 असेल.
(ii) 272: एकम स्थानचा अंक 2. (2² = 4). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 4 असेल.
(iii) 799: एकम स्थानचा अंक 9. (9² = 81). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 1 असेल.
(iv) 3853: एकम स्थानचा अंक 3. (3² = 9). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 9 असेल.
(v) 1234: एकम स्थानचा अंक 4. (4² = 16). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 6 असेल.
(vi) 26387: एकम स्थानचा अंक 7. (7² = 49). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 9 असेल.
(vii) 52698: एकम स्थानचा अंक 8. (8² = 64). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 4 असेल.
(viii) 99880: एकम स्थानचा अंक 0. (0² = 0). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 0 असेल.
(ix) 12796: एकम स्थानचा अंक 6. (6² = 36). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 6 असेल.
(x) 55555: एकम स्थानचा अंक 5. (5² = 25). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 5 असेल.
(i) 81: एकम स्थानचा अंक 1. (1² = 1). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 1 असेल.
(ii) 272: एकम स्थानचा अंक 2. (2² = 4). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 4 असेल.
(iii) 799: एकम स्थानचा अंक 9. (9² = 81). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 1 असेल.
(iv) 3853: एकम स्थानचा अंक 3. (3² = 9). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 9 असेल.
(v) 1234: एकम स्थानचा अंक 4. (4² = 16). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 6 असेल.
(vi) 26387: एकम स्थानचा अंक 7. (7² = 49). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 9 असेल.
(vii) 52698: एकम स्थानचा अंक 8. (8² = 64). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 4 असेल.
(viii) 99880: एकम स्थानचा अंक 0. (0² = 0). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 0 असेल.
(ix) 12796: एकम स्थानचा अंक 6. (6² = 36). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 6 असेल.
(x) 55555: एकम स्थानचा अंक 5. (5² = 25). म्हणून वर्गसंख्येच्या एकमस्थानी 5 असेल.
2. खालील संख्या स्पष्टपणे पूर्ण वर्गसंख्या नाहीत. याचे कारण सांगा.
(i) 1057 (ii) 23453 (iii) 7928 (iv) 222222 (v) 64000 (vi) 89722 (vii) 222000 (viii) 505050
(i) 1057 (ii) 23453 (iii) 7928 (iv) 222222 (v) 64000 (vi) 89722 (vii) 222000 (viii) 505050
उत्तर: पूर्ण वर्गसंख्येच्या एकम स्थानी 2, 3, 7 किंवा 8 हे अंक नसतात. तसेच पूर्ण वर्गसंख्येच्या शेवटी असणाऱ्या शून्यांची संख्या ही नेहमी सम असते.
(i) 1057: एकम स्थानी 7 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(ii) 23453: एकम स्थानी 3 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(iii) 7928: एकम स्थानी 8 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(iv) 222222: एकम स्थानी 2 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(v) 64000: शेवटी शून्यांची संख्या 3 (विषम) आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(vi) 89722: एकम स्थानी 2 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(vii) 222000: शेवटी शून्यांची संख्या 3 (विषम) आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(viii) 505050: शेवटी शून्यांची संख्या 1 (विषम) आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(i) 1057: एकम स्थानी 7 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(ii) 23453: एकम स्थानी 3 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(iii) 7928: एकम स्थानी 8 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(iv) 222222: एकम स्थानी 2 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(v) 64000: शेवटी शून्यांची संख्या 3 (विषम) आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(vi) 89722: एकम स्थानी 2 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(vii) 222000: शेवटी शून्यांची संख्या 3 (विषम) आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(viii) 505050: शेवटी शून्यांची संख्या 1 (विषम) आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
3. खालील पैकी कोणत्या संख्येंचा वर्ग विषम संख्या आहे ?
(i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004
(i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004
उत्तर: विषम संख्येचा वर्ग नेहमी विषम संख्या असतो आणि सम संख्येचा वर्ग सम संख्या असतो.
(i) 431: ही विषम संख्या आहे, म्हणून हिचा वर्ग विषम संख्या असेल.
(ii) 2826: ही सम संख्या आहे, म्हणून हिचा वर्ग सम संख्या असेल.
(iii) 7779: ही विषम संख्या आहे, म्हणून हिचा वर्ग विषम संख्या असेल.
(iv) 82004: ही सम संख्या आहे, म्हणून हिचा वर्ग सम संख्या असेल.
(i) 431: ही विषम संख्या आहे, म्हणून हिचा वर्ग विषम संख्या असेल.
(ii) 2826: ही सम संख्या आहे, म्हणून हिचा वर्ग सम संख्या असेल.
(iii) 7779: ही विषम संख्या आहे, म्हणून हिचा वर्ग विषम संख्या असेल.
(iv) 82004: ही सम संख्या आहे, म्हणून हिचा वर्ग सम संख्या असेल.
4. खालील नमुना पहा आणि मोकळ्या जागी येणारे अंक लिहा.
11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = 1…..2…..1
10000001² = ………………..
11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = 1…..2…..1
10000001² = ………………..
उत्तर: नमुन्यानुसार, मध्यभागी 2 असतो आणि त्याच्या दोन्ही बाजूंना मूळ संख्येतील 1 च्या मधील शून्यांइतकी शून्ये असतात.
100001² = 10000200001
10000001² = 100000020000001
100001² = 10000200001
10000001² = 100000020000001
5. खालील नमुना पहा आणि मोकळ्या जागी असणारी संख्या पुरवा.
11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = ………………..
…………² = 10203040504030201
11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = ………………..
…………² = 10203040504030201
उत्तर: नमुन्यानुसार, संख्येतील 1 च्या संख्येपर्यंत मध्यभागी अंक वाढतो आणि नंतर कमी होतो.
1010101² = 1020304030201
101010101² = 10203040504030201
1010101² = 1020304030201
101010101² = 10203040504030201
6. दिलेल्या नमुन्याचा वापर करून मोकळ्या जागेतील संख्या काढा.
1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12² = 13²
4² + 5² + _² = 21²
5² + _² + 30² = 31²
6² + 7² + _² = _²
1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12² = 13²
4² + 5² + _² = 21²
5² + _² + 30² = 31²
6² + 7² + _² = _²
उत्तर: नमुन्यानुसार: तिसरी संख्या = पहिली संख्या × दुसरी संख्या. चौथी संख्या = तिसरी संख्या + 1.
4² + 5² + 20² = 21² (कारण 4 × 5 = 20)
5² + 6² + 30² = 31² (कारण 5 × 6 = 30)
6² + 7² + 42² = 43² (कारण 6 × 7 = 42 आणि 42 + 1 = 43)
4² + 5² + 20² = 21² (कारण 4 × 5 = 20)
5² + 6² + 30² = 31² (कारण 5 × 6 = 30)
6² + 7² + 42² = 43² (कारण 6 × 7 = 42 आणि 42 + 1 = 43)
7. बेरीज न मिळविता बेरीज काढा.
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
उत्तर: पहिल्या n नैसर्गिक विषम संख्यांची बेरीज n² असते.
(i) येथे 5 विषम संख्या आहेत. म्हणून बेरीज = 5² = 25
(ii) येथे 10 विषम संख्या आहेत. म्हणून बेरीज = 10² = 100
(iii) येथे 12 विषम संख्या आहेत. म्हणून बेरीज = 12² = 144
(i) येथे 5 विषम संख्या आहेत. म्हणून बेरीज = 5² = 25
(ii) येथे 10 विषम संख्या आहेत. म्हणून बेरीज = 10² = 100
(iii) येथे 12 विषम संख्या आहेत. म्हणून बेरीज = 12² = 144
8. (i) 49 ही संख्या 7 विषम संख्येंच्या बेरजेमध्ये व्यक्त करा.
(ii) 121 ही संख्या 11 विषम संख्येंच्या बेरजेमध्ये व्यक्त करा.
(ii) 121 ही संख्या 11 विषम संख्येंच्या बेरजेमध्ये व्यक्त करा.
उत्तर: वर्गसंख्या ही सुरुवातीला 1 पासूनच्या क्रमवार चढत्या क्रमाच्या विषम संख्यांची बेरीज असते.
(i) 49 = 7² आहे. म्हणून, 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
(ii) 121 = 11² आहे. म्हणून, 121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21
(i) 49 = 7² आहे. म्हणून, 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
(ii) 121 = 11² आहे. म्हणून, 121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21
9. खालील संख्यांच्या वर्ग संख्यांच्या मध्ये किती संख्या असतात ?
(i) 12 आणि 13
(ii) 25 आणि 26
(iii) 99 आणि 100
(i) 12 आणि 13
(ii) 25 आणि 26
(iii) 99 आणि 100
उत्तर: n आणि (n+1) यांच्या वर्गसंख्यांमध्ये 2n पूर्ण वर्गसंख्या नसलेल्या संख्या असतात.
(i) 12 आणि 13: येथे n = 12. म्हणून संख्या = 2 × 12 = 24
(ii) 25 आणि 26: येथे n = 25. म्हणून संख्या = 2 × 25 = 50
(iii) 99 आणि 100: येथे n = 99. म्हणून संख्या = 2 × 99 = 198
(i) 12 आणि 13: येथे n = 12. म्हणून संख्या = 2 × 12 = 24
(ii) 25 आणि 26: येथे n = 25. म्हणून संख्या = 2 × 25 = 50
(iii) 99 आणि 100: येथे n = 99. म्हणून संख्या = 2 × 99 = 198
वर्ग आणि वर्गमूळ
स्वाध्याय 5.2 (पृष्ठ क्र. 73)
1. खालील संख्यांचे वर्ग काढा.
(i) 32 (ii) 35 (iii) 86 (iv) 93 (v) 71 (vi) 46
(i) 32 (ii) 35 (iii) 86 (iv) 93 (v) 71 (vi) 46
उत्तर: आपण (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 किंवा (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 या सूत्रांचा वापर करून वर्ग काढू शकतो.
(i) 32 = (30 + 2)2 = 302 + 2(30)(2) + 22 = 900 + 120 + 4 = 1024
(ii) 35 = (30 + 5)2 = 302 + 2(30)(5) + 52 = 900 + 300 + 25 = 1225 (किंवा एकक स्थानी 5 असल्याचा नियम वापरून: 3 × 4 = 12, पुढे 25 लिहा = 1225)
(iii) 86 = (80 + 6)2 = 802 + 2(80)(6) + 62 = 6400 + 960 + 36 = 7396
(iv) 93 = (90 + 3)2 = 902 + 2(90)(3) + 32 = 8100 + 540 + 9 = 8649
(v) 71 = (70 + 1)2 = 702 + 2(70)(1) + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041
(vi) 46 = (50 – 4)2 = 502 – 2(50)(4) + 42 = 2500 – 400 + 16 = 2116
(i) 32 = (30 + 2)2 = 302 + 2(30)(2) + 22 = 900 + 120 + 4 = 1024
(ii) 35 = (30 + 5)2 = 302 + 2(30)(5) + 52 = 900 + 300 + 25 = 1225 (किंवा एकक स्थानी 5 असल्याचा नियम वापरून: 3 × 4 = 12, पुढे 25 लिहा = 1225)
(iii) 86 = (80 + 6)2 = 802 + 2(80)(6) + 62 = 6400 + 960 + 36 = 7396
(iv) 93 = (90 + 3)2 = 902 + 2(90)(3) + 32 = 8100 + 540 + 9 = 8649
(v) 71 = (70 + 1)2 = 702 + 2(70)(1) + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041
(vi) 46 = (50 – 4)2 = 502 – 2(50)(4) + 42 = 2500 – 400 + 16 = 2116
2. खालील एक संख्या असणारी पायथंगोरसची त्रिके लिहा.
(i) 6 (ii) 14 (iii) 16 (iv) 18
(i) 6 (ii) 14 (iii) 16 (iv) 18
उत्तर: पायथंगोरसची त्रिके 2m, m2-1, m2+1 या स्वरूपात असतात.
(i) दिलेली संख्या = 6. समजा 2m = 6, म्हणून m = 3.
दुसरी संख्या = m2 – 1 = 32 – 1 = 9 – 1 = 8.
तिसरी संख्या = m2 + 1 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10.
त्रिके: 6, 8, 10
(ii) दिलेली संख्या = 14. समजा 2m = 14, म्हणून m = 7.
दुसरी संख्या = 72 – 1 = 49 – 1 = 48.
तिसरी संख्या = 72 + 1 = 49 + 1 = 50.
त्रिके: 14, 48, 50
(iii) दिलेली संख्या = 16. समजा 2m = 16, म्हणून m = 8.
दुसरी संख्या = 82 – 1 = 64 – 1 = 63.
तिसरी संख्या = 82 + 1 = 64 + 1 = 65.
त्रिके: 16, 63, 65
(iv) दिलेली संख्या = 18. समजा 2m = 18, म्हणून m = 9.
दुसरी संख्या = 92 – 1 = 81 – 1 = 80.
तिसरी संख्या = 92 + 1 = 81 + 1 = 82.
त्रिके: 18, 80, 82
(i) दिलेली संख्या = 6. समजा 2m = 6, म्हणून m = 3.
दुसरी संख्या = m2 – 1 = 32 – 1 = 9 – 1 = 8.
तिसरी संख्या = m2 + 1 = 32 + 1 = 9 + 1 = 10.
त्रिके: 6, 8, 10
(ii) दिलेली संख्या = 14. समजा 2m = 14, म्हणून m = 7.
दुसरी संख्या = 72 – 1 = 49 – 1 = 48.
तिसरी संख्या = 72 + 1 = 49 + 1 = 50.
त्रिके: 14, 48, 50
(iii) दिलेली संख्या = 16. समजा 2m = 16, म्हणून m = 8.
दुसरी संख्या = 82 – 1 = 64 – 1 = 63.
तिसरी संख्या = 82 + 1 = 64 + 1 = 65.
त्रिके: 16, 63, 65
(iv) दिलेली संख्या = 18. समजा 2m = 18, म्हणून m = 9.
दुसरी संख्या = 92 – 1 = 81 – 1 = 80.
तिसरी संख्या = 92 + 1 = 81 + 1 = 82.
त्रिके: 18, 80, 82
स्वाध्याय 5.3 (पृष्ठ क्र. 78, 79)
1. खालील संख्यांच्या वर्गमूळाच्या एकमस्थानी कोणता अंक येणे शक्य आहे?
(i) 9801 (ii) 99856 (iii) 998001 (iv) 657666025
(i) 9801 (ii) 99856 (iii) 998001 (iv) 657666025
उत्तर: वर्गसंख्येच्या एकमस्थानच्या अंकावरून तिच्या वर्गमूळातील एकमस्थानचा अंक ओळखता येतो.
(i) 9801: एकमस्थानी 1 आहे. म्हणून वर्गमूळाच्या एकमस्थानी 1 किंवा 9 असू शकतो.
(ii) 99856: एकमस्थानी 6 आहे. म्हणून वर्गमूळाच्या एकमस्थानी 4 किंवा 6 असू शकतो.
(iii) 998001: एकमस्थानी 1 आहे. म्हणून वर्गमूळाच्या एकमस्थानी 1 किंवा 9 असू शकतो.
(iv) 657666025: एकमस्थानी 5 आहे. म्हणून वर्गमूळाच्या एकमस्थानी फक्त 5 असू शकतो.
(i) 9801: एकमस्थानी 1 आहे. म्हणून वर्गमूळाच्या एकमस्थानी 1 किंवा 9 असू शकतो.
(ii) 99856: एकमस्थानी 6 आहे. म्हणून वर्गमूळाच्या एकमस्थानी 4 किंवा 6 असू शकतो.
(iii) 998001: एकमस्थानी 1 आहे. म्हणून वर्गमूळाच्या एकमस्थानी 1 किंवा 9 असू शकतो.
(iv) 657666025: एकमस्थानी 5 आहे. म्हणून वर्गमूळाच्या एकमस्थानी फक्त 5 असू शकतो.
2. गणित न सोडविता (फक्त निरीक्षणाने) पूर्ण वर्गसंख्या नसलेल्या संख्या काढा.
(i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441
(i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441
उत्तर: कोणत्याही पूर्ण वर्गसंख्येचा एकमस्थानाचा अंक 2, 3, 7 किंवा 8 नसतो.
(i) 153: एकमस्थानी 3 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(ii) 257: एकमस्थानी 7 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(iii) 408: एकमस्थानी 8 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(iv) 441: एकमस्थानी 1 आहे. ही पूर्ण वर्गसंख्या असू शकते (आणि ती 21 चा वर्ग आहे).
निष्कर्ष: 153, 257 आणि 408 या पूर्ण वर्गसंख्या नाहीत.
(i) 153: एकमस्थानी 3 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(ii) 257: एकमस्थानी 7 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(iii) 408: एकमस्थानी 8 आहे, म्हणून ही पूर्ण वर्गसंख्या नाही.
(iv) 441: एकमस्थानी 1 आहे. ही पूर्ण वर्गसंख्या असू शकते (आणि ती 21 चा वर्ग आहे).
निष्कर्ष: 153, 257 आणि 408 या पूर्ण वर्गसंख्या नाहीत.
3. 100 आणि 169 या संख्यांचे वर्गमूळ वारंवार वजाबाकी पध्दतीने काढा.
उत्तर: या पद्धतीत आपण 1 पासून सुरुवात करून क्रमवार विषम संख्या वजा करतो. ज्या पायरीवर उत्तर 0 येते, ती पायरी संख्या म्हणजे वर्गमूळ होय.
100 चे वर्गमूळ:
1) 100 – 1 = 99
2) 99 – 3 = 96
3) 96 – 5 = 91
4) 91 – 7 = 84
5) 84 – 9 = 75
6) 75 – 11 = 64
7) 64 – 13 = 51
8) 51 – 15 = 36
9) 36 – 17 = 19
10) 19 – 19 = 0
10 व्या पायरीवर बाकी शून्य आली, म्हणून √100 = 10.
169 चे वर्गमूळ:
(वरीलप्रमाणेच 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 या विषम संख्या क्रमाने वजा करत गेल्यावर 13 व्या पायरीला 25 – 25 = 0 मिळेल).
13 व्या पायरीवर बाकी शून्य येते, म्हणून √169 = 13.
100 चे वर्गमूळ:
1) 100 – 1 = 99
2) 99 – 3 = 96
3) 96 – 5 = 91
4) 91 – 7 = 84
5) 84 – 9 = 75
6) 75 – 11 = 64
7) 64 – 13 = 51
8) 51 – 15 = 36
9) 36 – 17 = 19
10) 19 – 19 = 0
10 व्या पायरीवर बाकी शून्य आली, म्हणून √100 = 10.
169 चे वर्गमूळ:
(वरीलप्रमाणेच 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 या विषम संख्या क्रमाने वजा करत गेल्यावर 13 व्या पायरीला 25 – 25 = 0 मिळेल).
13 व्या पायरीवर बाकी शून्य येते, म्हणून √169 = 13.
4. खालील संख्यांचे वर्गमूळ मूळ अवयव पध्दतीने काढा.
(i) 729 (ii) 400 (iii) 1764 (iv) 4096 (v) 7744 (vi) 9604 (vii) 5929 (viii) 9216 (ix) 529 (x) 8100
(i) 729 (ii) 400 (iii) 1764 (iv) 4096 (v) 7744 (vi) 9604 (vii) 5929 (viii) 9216 (ix) 529 (x) 8100
उत्तर: दिलेल्या संख्येचे मूळ अवयव पाडून, त्यांच्या जोड्या तयार कराव्या लागतात. प्रत्येक जोडीतून एक अवयव घेऊन त्यांचा गुणाकार म्हणजेच वर्गमूळ.
(i) 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ⇒ √729 = 3 × 3 × 3 = 27
(ii) 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 ⇒ √400 = 2 × 2 × 5 = 20
(iii) 1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7 ⇒ √1764 = 2 × 3 × 7 = 42
(iv) 4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ⇒ √4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
(v) 7744 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11 ⇒ √7744 = 2 × 2 × 2 × 11 = 88
(vi) 9604 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7 ⇒ √9604 = 2 × 7 × 7 = 98
(vii) 5929 = 7 × 7 × 11 × 11 ⇒ √5929 = 7 × 11 = 77
(viii) 9216 = 2×2 × 2×2 × 2×2 × 2×2 × 2×2 × 3×3 ⇒ √9216 = 2×2×2×2×2×3 = 96
(ix) 529 = 23 × 23 ⇒ √529 = 23
(x) 8100 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 ⇒ √8100 = 2 × 3 × 3 × 5 = 90
(i) 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ⇒ √729 = 3 × 3 × 3 = 27
(ii) 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 ⇒ √400 = 2 × 2 × 5 = 20
(iii) 1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7 ⇒ √1764 = 2 × 3 × 7 = 42
(iv) 4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ⇒ √4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
(v) 7744 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11 ⇒ √7744 = 2 × 2 × 2 × 11 = 88
(vi) 9604 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7 ⇒ √9604 = 2 × 7 × 7 = 98
(vii) 5929 = 7 × 7 × 11 × 11 ⇒ √5929 = 7 × 11 = 77
(viii) 9216 = 2×2 × 2×2 × 2×2 × 2×2 × 2×2 × 3×3 ⇒ √9216 = 2×2×2×2×2×3 = 96
(ix) 529 = 23 × 23 ⇒ √529 = 23
(x) 8100 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 ⇒ √8100 = 2 × 3 × 3 × 5 = 90
5. खालील प्रत्येक संख्येला कोणत्या लहानात लहान पूर्ण संख्येने गुणल्यास ती पूर्ण वर्गसंख्या होईल? मिळालेल्या वर्गसंख्येचे वर्गमूळ काढा.
(i) 252 (ii) 180 (iii) 1008 (iv) 2028 (v) 1458 (vi) 768
(i) 252 (ii) 180 (iii) 1008 (iv) 2028 (v) 1458 (vi) 768
उत्तर: मूळ अवयव पाडा. ज्या अवयवाची जोडी बनत नाही, त्या संख्येने गुणावे लागेल.
(i) 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7. येथे 7 ला जोडी नाही, म्हणून 7 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 252 × 7 = 1764. वर्गमूळ √1764 = 2 × 3 × 7 = 42.
(ii) 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5. येथे 5 ला जोडी नाही, म्हणून 5 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 180 × 5 = 900. वर्गमूळ √900 = 2 × 3 × 5 = 30.
(iii) 1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7. येथे 7 ला जोडी नाही, म्हणून 7 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 1008 × 7 = 7056. वर्गमूळ √7056 = 2 × 2 × 3 × 7 = 84.
(iv) 2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13. येथे 3 ला जोडी नाही, म्हणून 3 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 2028 × 3 = 6084. वर्गमूळ √6084 = 2 × 3 × 13 = 78.
(v) 1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3. येथे 2 ला जोडी नाही, म्हणून 2 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 1458 × 2 = 2916. वर्गमूळ √2916 = 2 × 3 × 3 × 3 = 54.
(vi) 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3. येथे 3 ला जोडी नाही, म्हणून 3 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 768 × 3 = 2304. वर्गमूळ √2304 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48.
(i) 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7. येथे 7 ला जोडी नाही, म्हणून 7 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 252 × 7 = 1764. वर्गमूळ √1764 = 2 × 3 × 7 = 42.
(ii) 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5. येथे 5 ला जोडी नाही, म्हणून 5 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 180 × 5 = 900. वर्गमूळ √900 = 2 × 3 × 5 = 30.
(iii) 1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7. येथे 7 ला जोडी नाही, म्हणून 7 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 1008 × 7 = 7056. वर्गमूळ √7056 = 2 × 2 × 3 × 7 = 84.
(iv) 2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13. येथे 3 ला जोडी नाही, म्हणून 3 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 2028 × 3 = 6084. वर्गमूळ √6084 = 2 × 3 × 13 = 78.
(v) 1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3. येथे 2 ला जोडी नाही, म्हणून 2 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 1458 × 2 = 2916. वर्गमूळ √2916 = 2 × 3 × 3 × 3 = 54.
(vi) 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3. येथे 3 ला जोडी नाही, म्हणून 3 ने गुणावे लागेल.
नवीन वर्गसंख्या = 768 × 3 = 2304. वर्गमूळ √2304 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48.
6. खालील प्रत्येक संख्येला कोणत्या लहानात लहान पूर्ण संख्येने भागल्यास ती पूर्ण वर्गसंख्या होईल? मिळालेल्या वर्गसंख्येचे वर्गमूळ काढा.
(i) 252 (ii) 2925 (iii) 396 (iv) 2645 (v) 2800 (vi) 1620
(i) 252 (ii) 2925 (iii) 396 (iv) 2645 (v) 2800 (vi) 1620
उत्तर: मूळ अवयव पाडा. ज्या अवयवाची जोडी बनत नाही, त्या संख्येने भागावे लागेल.
(i) 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7. 7 ला जोडी नाही, म्हणून 7 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 252 / 7 = 36. वर्गमूळ √36 = 2 × 3 = 6.
(ii) 2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13. 13 ला जोडी नाही, म्हणून 13 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 2925 / 13 = 225. वर्गमूळ √225 = 3 × 5 = 15.
(iii) 396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11. 11 ला जोडी नाही, म्हणून 11 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 396 / 11 = 36. वर्गमूळ √36 = 2 × 3 = 6.
(iv) 2645 = 5 × 23 × 23. 5 ला जोडी नाही, म्हणून 5 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 2645 / 5 = 529. वर्गमूळ √529 = 23.
(v) 2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7. 7 ला जोडी नाही, म्हणून 7 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 2800 / 7 = 400. वर्गमूळ √400 = 2 × 2 × 5 = 20.
(vi) 1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5. 5 ला जोडी नाही, म्हणून 5 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 1620 / 5 = 324. वर्गमूळ √324 = 2 × 3 × 3 = 18.
(i) 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7. 7 ला जोडी नाही, म्हणून 7 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 252 / 7 = 36. वर्गमूळ √36 = 2 × 3 = 6.
(ii) 2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13. 13 ला जोडी नाही, म्हणून 13 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 2925 / 13 = 225. वर्गमूळ √225 = 3 × 5 = 15.
(iii) 396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11. 11 ला जोडी नाही, म्हणून 11 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 396 / 11 = 36. वर्गमूळ √36 = 2 × 3 = 6.
(iv) 2645 = 5 × 23 × 23. 5 ला जोडी नाही, म्हणून 5 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 2645 / 5 = 529. वर्गमूळ √529 = 23.
(v) 2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7. 7 ला जोडी नाही, म्हणून 7 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 2800 / 7 = 400. वर्गमूळ √400 = 2 × 2 × 5 = 20.
(vi) 1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5. 5 ला जोडी नाही, म्हणून 5 ने भागावे.
नवीन वर्गसंख्या = 1620 / 5 = 324. वर्गमूळ √324 = 2 × 3 × 3 = 18.
7. एका शाळेच्या VIII च्या वर्गातील विद्यार्थ्यांनी ₹2401 ची पंतप्रधान राष्ट्रीय सहाय्य निधीसाठी देणगी दिली. प्रत्येक विद्यार्थ्याने वर्गातील एकूण विद्यार्थ्यांच्या संख्येइतके रूपये देणगी दिली. तर वर्गातील विद्यार्थ्यांची संख्या किती?
उत्तर: समजा विद्यार्थ्यांची संख्या = x.
प्रत्येकाने दिलेली देणगी = ₹x.
एकूण देणगी = x × x = x2.
म्हणून, x2 = 2401.
x = √2401. 2401 चे मूळ अवयव: 7 × 7 × 7 × 7.
√2401 = 7 × 7 = 49.
वर्गातील विद्यार्थ्यांची संख्या = 49.
प्रत्येकाने दिलेली देणगी = ₹x.
एकूण देणगी = x × x = x2.
म्हणून, x2 = 2401.
x = √2401. 2401 चे मूळ अवयव: 7 × 7 × 7 × 7.
√2401 = 7 × 7 = 49.
वर्गातील विद्यार्थ्यांची संख्या = 49.
8. एका बागेमध्ये 2025 झाडे लावली आहेत. प्रत्येक ओळीमध्ये लावलेल्या झाडांची संख्या ही बागेतील ओळीच्या संख्येइतकी आहे. तर बागेतील ओळींची संख्या आणि प्रत्येक ओळीतील झाडांची संख्या काढा.
उत्तर: समजा ओळींची संख्या = x.
प्रत्येक ओळीतील झाडांची संख्या = x.
एकूण झाडे = x × x = x2.
म्हणून, x2 = 2025.
x = √2025. 2025 चे मूळ अवयव: 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5.
√2025 = 3 × 3 × 5 = 45.
बागेतील ओळींची संख्या 45 आणि प्रत्येक ओळीतील झाडांची संख्या 45 आहे.
प्रत्येक ओळीतील झाडांची संख्या = x.
एकूण झाडे = x × x = x2.
म्हणून, x2 = 2025.
x = √2025. 2025 चे मूळ अवयव: 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5.
√2025 = 3 × 3 × 5 = 45.
बागेतील ओळींची संख्या 45 आणि प्रत्येक ओळीतील झाडांची संख्या 45 आहे.
9. 4, 9, आणि 10 या प्रत्येक संख्येने निःशेष भाग जाणारी लहानात लहान वर्गसंख्या शोधा.
उत्तर: प्रथम 4, 9 आणि 10 चा ल.सा.वि. (L.C.M) काढू.
ल.सा.वि. = 180.
180 चे मूळ अवयव = 2 × 2 × 3 × 3 × 5.
येथे 5 ला जोडी नाही, म्हणून पूर्ण वर्गसंख्या बनवण्यासाठी 180 ला 5 ने गुणावे लागेल.
आवश्यक लहानात लहान वर्गसंख्या = 180 × 5 = 900.
ल.सा.वि. = 180.
180 चे मूळ अवयव = 2 × 2 × 3 × 3 × 5.
येथे 5 ला जोडी नाही, म्हणून पूर्ण वर्गसंख्या बनवण्यासाठी 180 ला 5 ने गुणावे लागेल.
आवश्यक लहानात लहान वर्गसंख्या = 180 × 5 = 900.
10. 8, 15 आणि 20 या प्रत्येक संख्येने निःशेष भाग जाणारी लहानात लहान वर्गसंख्या शोधा.
उत्तर: प्रथम 8, 15 आणि 20 चा ल.सा.वि. काढू.
ल.सा.वि. = 120.
120 चे मूळ अवयव = 2 × 2 × 2 × 3 × 5.
येथे 2, 3 आणि 5 यांना जोडी नाही, म्हणून पूर्ण वर्गसंख्या बनवण्यासाठी 120 ला (2 × 3 × 5 = 30) ने गुणावे लागेल.
आवश्यक लहानात लहान वर्गसंख्या = 120 × 30 = 3600.
ल.सा.वि. = 120.
120 चे मूळ अवयव = 2 × 2 × 2 × 3 × 5.
येथे 2, 3 आणि 5 यांना जोडी नाही, म्हणून पूर्ण वर्गसंख्या बनवण्यासाठी 120 ला (2 × 3 × 5 = 30) ने गुणावे लागेल.
आवश्यक लहानात लहान वर्गसंख्या = 120 × 30 = 3600.
स्वाध्याय 5.4
1. खालील संख्यांचे वर्गमूळ भागाकार पध्दतीने काढा.
(i) 2304 (ii) 4489 (iii) 3481 (iv) 529 (v) 3249 (vi) 1369
(vii) 5776 (viii) 7921 (ix) 576 (x) 1024 (xi) 3136 (xii) 900
(i) 2304 (ii) 4489 (iii) 3481 (iv) 529 (v) 3249 (vi) 1369
(vii) 5776 (viii) 7921 (ix) 576 (x) 1024 (xi) 3136 (xii) 900
- (i) 2304 चे वर्गमूळ = 48
- (ii) 4489 चे वर्गमूळ = 67
- (iii) 3481 चे वर्गमूळ = 59
- (iv) 529 चे वर्गमूळ = 23
- (v) 3249 चे वर्गमूळ = 57
- (vi) 1369 चे वर्गमूळ = 37
- (vii) 5776 चे वर्गमूळ = 76
- (viii) 7921 चे वर्गमूळ = 89
- (ix) 576 चे वर्गमूळ = 24
- (x) 1024 चे वर्गमूळ = 32
- (xi) 3136 चे वर्गमूळ = 56
- (xii) 900 चे वर्गमूळ = 30
2. खालील संख्यांच्या वर्गमूळात किती अंक येतात हे (प्रत्यक्ष हिशेब न करता) काढा.
(i) 64 (ii) 144 (iii) 4489 (iv) 27225 (v) 390625
(i) 64 (ii) 144 (iii) 4489 (iv) 27225 (v) 390625
- (i) 64: यात 2 अंक आहेत. (सम संख्या). वर्गमूळातील अंक = 2 / 2 = 1.
- (ii) 144: यात 3 अंक आहेत. (विषम संख्या). वर्गमूळातील अंक = (3 + 1) / 2 = 2.
- (iii) 4489: यात 4 अंक आहेत. वर्गमूळातील अंक = 4 / 2 = 2.
- (iv) 27225: यात 5 अंक आहेत. वर्गमूळातील अंक = (5 + 1) / 2 = 3.
- (v) 390625: यात 6 अंक आहेत. वर्गमूळातील अंक = 6 / 2 = 3.
3. खालील दशांश अपूर्णांकांचे वर्गमूळ काढा.
(i) 2.56 (ii) 7.29 (iii) 51.84 (iv) 42.25 (v) 31.36
(i) 2.56 (ii) 7.29 (iii) 51.84 (iv) 42.25 (v) 31.36
- (i) 2.56 चे वर्गमूळ = 1.6
- (ii) 7.29 चे वर्गमूळ = 2.7
- (iii) 51.84 चे वर्गमूळ = 7.2
- (iv) 42.25 चे वर्गमूळ = 6.5
- (v) 31.36 चे वर्गमूळ = 5.6
4. खालील प्रत्येक संख्येतून कोणती लहानात लहान संख्या वजा केली असता पूर्ण वर्गसंख्या मिळते ते काढा. मिळालेल्या पूर्ण वर्गसंख्येचे वर्गमूळ काढा.
(i) 402 (ii) 1989 (iii) 3250 (iv) 825 (v) 4000
(i) 402 (ii) 1989 (iii) 3250 (iv) 825 (v) 4000
- (i) 402: 20 चा वर्ग 400 आहे. 402 – 400 = 2. वजा करायची संख्या = 2. वर्गमूळ = 20.
- (ii) 1989: 44 चा वर्ग 1936 आहे. 1989 – 1936 = 53. वजा करायची संख्या = 53. वर्गमूळ = 44.
- (iii) 3250: 57 चा वर्ग 3249 आहे. 3250 – 3249 = 1. वजा करायची संख्या = 1. वर्गमूळ = 57.
- (iv) 825: 28 चा वर्ग 784 आहे. 825 – 784 = 41. वजा करायची संख्या = 41. वर्गमूळ = 28.
- (v) 4000: 63 चा वर्ग 3969 आहे. 4000 – 3969 = 31. वजा करायची संख्या = 31. वर्गमूळ = 63.
5. खालील प्रत्येक संख्येमध्ये कोणती लहानात लहान संख्या मिळविली असता पूर्ण वर्गसंख्या मिळते ते काढा. मिळालेल्या पूर्ण वर्गसंख्येचे वर्गमूळ काढा.
(i) 525 (ii) 1750 (iii) 252 (iv) 1825 (v) 6412
(i) 525 (ii) 1750 (iii) 252 (iv) 1825 (v) 6412
- (i) 525: 22 चा वर्ग 484 व 23 चा वर्ग 529 आहे. 529 – 525 = 4. मिळवायची संख्या = 4. वर्गमूळ = 23.
- (ii) 1750: 41 चा वर्ग 1681 व 42 चा वर्ग 1764 आहे. 1764 – 1750 = 14. मिळवायची संख्या = 14. वर्गमूळ = 42.
- (iii) 252: 15 चा वर्ग 225 व 16 चा वर्ग 256 आहे. 256 – 252 = 4. मिळवायची संख्या = 4. वर्गमूळ = 16.
- (iv) 1825: 42 चा वर्ग 1764 व 43 चा वर्ग 1849 आहे. 1849 – 1825 = 24. मिळवायची संख्या = 24. वर्गमूळ = 43.
- (v) 6412: 80 चा वर्ग 6400 व 81 चा वर्ग 6561 आहे. 6561 – 6412 = 149. मिळवायची संख्या = 149. वर्गमूळ = 81.
6. 441 m² क्षेत्रफळ असलेल्या चौरसाच्या बाजुची लांबी काढा.
चौरसाचे क्षेत्रफळ = बाजू²
441 = बाजू²
बाजू = √441 = 21
म्हणून, चौरसाच्या बाजुची लांबी 21 m आहे.
441 = बाजू²
बाजू = √441 = 21
म्हणून, चौरसाच्या बाजुची लांबी 21 m आहे.
7. काटकोन त्रिकोण ABC मध्ये, ∠B = 90°
(a) जर AB = 6 cm, BC = 8 cm. तर AC काढा.
(b) जर AC = 13 cm, BC = 5 cm. तर AB काढा.
(a) जर AB = 6 cm, BC = 8 cm. तर AC काढा.
(b) जर AC = 13 cm, BC = 5 cm. तर AB काढा.
पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार (AC² = AB² + BC²):
(a) AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
AC = √100 = 10 cm.
(b) 13² = AB² + 5²
169 = AB² + 25
AB² = 169 – 25 = 144
AB = √144 = 12 cm.
(a) AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
AC = √100 = 10 cm.
(b) 13² = AB² + 5²
169 = AB² + 25
AB² = 169 – 25 = 144
AB = √144 = 12 cm.
8. एका माळ्याकडे 1000 रोपे आहेत. त्याला ती रोपे अशी लावायची आहेत की, उभ्या रांगा व आडव्या रांगा यामध्ये समान संख्येंने रोपे होतील. तर असे करण्यास त्याला आणखी कमीत कमी किती जादा रोपांची गरज लागेल?
उभ्या आणि आडव्या रांगा समान करण्यासाठी रोपांची एकूण संख्या पूर्ण वर्गसंख्या असणे आवश्यक आहे.
1000 च्या पुढील पूर्ण वर्गसंख्या 32 चा वर्ग (1024) आहे. (कारण 31² = 961)
म्हणून, आवश्यक जादा रोपे = 1024 – 1000 = 24 रोपे.
1000 च्या पुढील पूर्ण वर्गसंख्या 32 चा वर्ग (1024) आहे. (कारण 31² = 961)
म्हणून, आवश्यक जादा रोपे = 1024 – 1000 = 24 रोपे.
9. एका शाळेत 500 मुले आहेत. कवायतीसाठी त्यांना असे उभे करावयाचे आहे की उभ्या रांगेत आणि आडव्या रांगेत समान मुले होतील. तर किती मुले या रचनेत शिल्लक राहतील?
मुलांची संख्या ही पूर्ण वर्गसंख्या असायला हवी.
500 पेक्षा लहान असणारी पूर्ण वर्गसंख्या 22 चा वर्ग (484) आहे.
याचा अर्थ 484 मुले कवायतीसाठी योग्य रचनेत उभी राहू शकतात.
म्हणून, शिल्लक राहणारी मुले = 500 – 484 = 16 मुले.
500 पेक्षा लहान असणारी पूर्ण वर्गसंख्या 22 चा वर्ग (484) आहे.
याचा अर्थ 484 मुले कवायतीसाठी योग्य रचनेत उभी राहू शकतात.
म्हणून, शिल्लक राहणारी मुले = 500 – 484 = 16 मुले.
सराव प्रश्न
1. वर्गसंख्या म्हणजे काय?
जर m ही नैसर्गिक संख्या n2 अशी दर्शवित असतील तर, येथे n ही सुध्दा नैसर्गिक संख्या, m ही वर्गसंख्या आहे.
2. सर्व वर्गसंख्यांचा शेवट (एकमस्थान) कोणत्या अंकांनी होतो?
सर्व वर्गसंख्यांचा शेवट (एकमस्थान) 0, 1, 4, 5, 6 किंवा 9 या अंकांनी होतो.
3. 32 ही वर्गसंख्या का नाही?
32 ही संख्या 5 आणि 6 यांच्या मधील नैसर्गिक संख्येचा वर्ग असावी लागते, परंतू 5 आणि 6 यांच्या मध्ये नैसर्गिक संख्या नाही, म्हणून 32 ही वर्गसंख्या नाही.
4. कोणत्याही वर्गसंख्येचा एकम स्थानाचा अंक कोणते अंक असू शकत नाहीत?
कोणत्याही वर्ग संख्येचा एकम स्थानाचा अंक 2, 3, 7 किंवा 8 नसतो.
5. जर संख्येच्या एकम स्थानी 1 किंवा 9 अंक असेल तर तिच्या वर्गसंख्येत एकमस्थानी कोणता अंक असतो?
जर संख्येच्या एकम स्थानी 1 किंवा 9 अंक असेल तर तिच्या वर्गसंख्येत एकमस्थानी 1 हा अंक असतो.
6. वर्गसंख्यांच्या शेवटी असणाऱ्या शून्यांची संख्या नेहमी कशी असते?
वर्गसंख्यांच्या शेवटी असणाऱ्या शून्यांची संख्या फक्त सम असते.
7. जर आपण दोन क्रमगत त्रिकोणी संख्या मिळविल्या तर कोणती संख्या मिळते?
जर आपण दोन क्रमगत त्रिकोणी संख्या मिळविल्या तर आपणांस वर्गसंख्या मिळते.
8. n आणि (n+1) यांच्या वर्गसंख्यामध्ये पूर्ण वर्गसंख्या नसलेल्या किती संख्या असतात?
n आणि (n+1) यांच्या वर्गसंख्यामध्ये 2n पूर्ण वर्गसंख्या नसलेल्या संख्या असतात.
9. पहिल्या n नैसर्गिक विषम संख्यांची बेरीज किती असते?
पहिल्या n नैसर्गिक विषम संख्यांची बेरीज n2 असते.
10. 3, 4 आणि 5 या संख्यांच्या गटाला काय म्हणतात?
3, 4 आणि 5 या संख्यांच्या गटाला पायथंगोरसची त्रिके (Pythagorean triplets) म्हणतात.
11. वर्गमूळ काढणे ही क्रिया कोणत्या क्रियेच्या विरूध्द आहे?
वर्गमूळ काढणे ही क्रिया वर्ग काढण्याच्या क्रियेच्या विरूध्द (उलट) आहे.
12. पूर्ण वर्गसंख्येची किती वर्गमूळे मिळतात?
पूर्ण वर्गसंख्येची दोन वर्गमूळे मिळतात.
13. संख्येचे धन वर्गमूळ कोणत्या चिन्हाने दर्शवितात?
संख्येचे धन वर्गमूळ √ या चिन्हाने दर्शवितात.
14. जर पूर्ण वर्गसंख्या 3 अंकी किंवा चार अंकी असेल तर तिचे वर्गमूळ किती अंकी असते?
जर पूर्ण वर्गसंख्या 3 अंकी किंवा चार अंकी असेल तर तिचे वर्गमूळ 2 अंकी असते.
15. (a+1) × (a-1) चे सूत्र काय आहे?
सामान्यपणे आम्ही असे सांगू शकतो की (a+1) × (a-1) = a2 – 1.
