8ನೇ ತರಗತಿ ಗಣಿತ (NCERT) ಘಟಕ 1: ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಘನ

ಘಟಕ 1: ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಘನ

ಘಟಕ 1: ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಘನ

ಪಾಠದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು

  • ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
  • ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
  • ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ (ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ) 0, 1, 4, 5, 6 ಅಥವಾ 9 ಇರುತ್ತದೆ.
  • ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು 2, 3, 7 ಅಥವಾ 8 ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಂಡರೆ, ಅದು ವರ್ಗವಲ್ಲ ಎಂದು ಖಂಡಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು.
  • ವರ್ಗಮೂಲವು ವರ್ಗದ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಧನವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು √ ಎಂಬ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.
  • ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಗುಣಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಘನ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
  • ಘನ ಮೂಲವನ್ನು ∛ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
  • 1729 ಅನ್ನು ಹಾರ್ಡಿ-ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಕ್ಯಾಬ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಬಹು ಆಯ್ಕೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (MCQs)

1. 10 ರ ವರ್ಗ ಮೌಲ್ಯ ಎಷ್ಟು?
  • A) 20
  • B) 100
  • C) 1000
  • D) 50
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: B) 100
2. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಅಂಕಿಯು ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರುವುದಿಲ್ಲ?
  • A) 4
  • B) 5
  • C) 7
  • D) 9
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: C) 7
3. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ಈ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದೆ?
  • A) 16
  • B) 25
  • C) 36
  • D) 49
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: B) 25
4. 64 ರ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು ಯಾವುವು?
  • A) ಕೇವಲ +8
  • B) ಕೇವಲ -8
  • C) +8 ಮತ್ತು -8
  • D) 32
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: C) +8 ಮತ್ತು -8
5. ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 49 ಚದರ ಸೆಂ.ಮೀ. ಆದರೆ, ಅದರ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದ ಎಷ್ಟು?
  • A) 7 cm
  • B) 14 cm
  • C) 24.5 cm
  • D) 98 cm
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: A) 7 cm
6. 100 ರ ವರ್ಗವು ಎಷ್ಟು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ?
  • A) ಎರಡು
  • B) ಮೂರು
  • C) ನಾಲ್ಕು
  • D) ಐದು
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: C) ನಾಲ್ಕು
7. ಎರಡು ಕ್ರಮಾನುಗತ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವಾಗಲೂ ಏನಾಗಿರುತ್ತದೆ?
  • A) ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆ
  • B) ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ
  • C) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ
  • D) ಶೂನ್ಯ
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: B) ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ [cite: 432]
8. 3 ರ ಘನ (Cube) ಮೌಲ್ಯ ಎಷ್ಟು?
  • A) 9
  • B) 18
  • C) 27
  • D) 81
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: C) 27
9. 1729 ಅನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?
  • A) ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆ
  • B) ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ
  • C) ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಕ್ಯಾಬ್ ಸಂಖ್ಯೆ (ಹಾರ್ಡಿ-ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ)
  • D) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: C) ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಕ್ಯಾಬ್ ಸಂಖ್ಯೆ (ಹಾರ್ಡಿ-ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ)
10. 5 ರ ಘನ ಮೌಲ್ಯ (53) ಎಷ್ಟು?
  • A) 25
  • B) 125
  • C) 625
  • D) 15
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: B) 125
11. ಘನಮೂಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸಂಕೇತ ಯಾವುದು?
  • A) √
  • B) ∛
  • C) 2
  • D) 3
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: B) ∛
12. 8 ರ ಘನಮೂಲ ಎಷ್ಟು?
  • A) 2
  • B) 4
  • C) 16
  • D) 64
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: A) 2
13. 324 ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವೇ? ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಷ್ಟು?
  • A) ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಲ್ಲ
  • B) ಹೌದು, 16
  • C) ಹೌದು, 18
  • D) ಹೌದು, 24
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: C) ಹೌದು, 18
14. 1000 ರ ಘನಮೂಲ ಎಷ್ಟು?
  • A) 10
  • B) 100
  • C) 10000
  • D) 1
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: A) 10
15. 400 ರ ವರ್ಗಮೂಲ ಎಷ್ಟು?
  • A) 10
  • B) 20
  • C) 40
  • D) 200
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: B) 20
16. ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ?
  • A) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
  • B) ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
  • C) ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
  • D) ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: C) ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಬಿಟ್ಟ ಸ್ಥಳ ತುಂಬಿರಿ

1. ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ________ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಗಳು
2. ವರ್ಗಮೂಲವು ವರ್ಗದ ________ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: ವಿಲೋಮ
3. 100 ರ ವರ್ಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ________ ಸೊನ್ನೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: ನಾಲ್ಕು
4. ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಗುಣಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ________ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: ಘನ ಸಂಖ್ಯೆ
5. 8 ರ ಘನಮೂಲ ________ ಆಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: 2

ಒಂದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

1. ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರಬಹುದಾದ ಅಂಕಿಗಳು ಯಾವುವು?
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: 0, 1, 4, 5, 6, ಅಥವಾ 9.
2. 1729 ರ ವಿಶೇಷತೆ ಏನು? (ಇದನ್ನು ಏನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?)
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: ಇದು ಎರಡು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇದನ್ನು ಹಾರ್ಡಿ-ರಾಮಾನುಜನ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಕ್ಯಾಬ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
3. ಪೂರ್ಣ ಘನ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೇನು?
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಬಾರಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಗುಣಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಘನ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
4. 250 ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವೇ?
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: ಇಲ್ಲ, 250 ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಲ್ಲ .
5. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ 3375 ಪೂರ್ಣ ಘನವೇ ಎಂದು ಹೇಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವಿರಿ?
ಉತ್ತರ ನೋಡಿ
ಉತ್ತರ: ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಮೂರು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ (ತ್ರಿವಳಿಗಳಾಗಿ) ವಿಂಗಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅದು ಪೂರ್ಣ ಘನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (3375 = 3x3x3 x 5x5x5).

ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಘನ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಶ್ನೋತ್ತರಗಳು (8ನೇ ತರಗತಿ ಗಣಿತ)

ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ 11 – ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

1. ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ? (i) 2032 (iv) 1089
2. 642, 1082, 2922, 362 ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊನೆ (ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನ) ಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿ ‘4‘ ನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?
3. 1252 = 15625 ಆದಾಗ, 1262 ಬೆಲೆ?
(i) 15625 + 126
(ii) 15625 + 262
(iii) 15625 + 253
(iv) 15625 + 251
(v) 15625 + 512
4. ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 441 m2 ಆದರೆ, ಅದರ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
5. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಚಿಕ್ಕ ವರ್ಗ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: 4, 9 ಮತ್ತು 10.
6. 9408 ನ್ನು ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿಸಲು ಅದಕ್ಕೆ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಅಲ್ಲದೇ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ 12 – ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

7. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ?
(i) 16 ಮತ್ತು 17 ]
(ii) 99 ಮತ್ತು 100
8. ಕೆಳಗಿನ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:
12 + 22 + 22 = 32
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + 202 = ( _ )2
92 + 102 + ( _ )2 = ( _ )2

ಪುಟ ಸಂಖ್ಯೆ 18 – ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

1. 27000 ಮತ್ತು 10648 ಇವುಗಳ ಘನಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. 1323 ನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಘನಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿಸಲು ಅದಕ್ಕೆ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ?
3. ಸರಿ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು ಎಂದು ತಿಳಿಸಿ. ನಂತರ ನಿಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
(i) ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
(ii) 8 ರಿಂದ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಘನಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.
(iii) 2-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು 3-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು.
(iv) 2-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘನವು ಏಳು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.
(v) ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
4. ಸಂಖ್ಯೆ 1331 ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಘನ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳುತ್ತಿರಿ. ನೀವು ಅದರ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಅವಪರ್ತಿಸದೇ ಊಹಿಸಬಹುದೇ? ಅದರ ಘನಮೂಲ ಯಾವುದು? ಅದೇ ರೀತಿ, 4913, 12167 ಮತ್ತು 32768 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಘನಮೂಲಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿ.
5. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ? ಕಾರಣದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
(i) 673 – 663
(ii) 433 – 423

Join WhatsApp Channel Join Now
Telegram Group Join Now
Share your love

Related Posts