महा टीईटी (MAHA TET) 2014 – पेपर 1: गणित विषयाचे सविस्तर विश्लेषण आणि स्पष्टीकरण
शिक्षक पात्रता परीक्षा (TET) पेपर १ मध्ये गणित हा अत्यंत महत्त्वाचा आणि निर्णायक विषय मानला जातो. 2014 च्या गणित पेपरमध्ये (प्रश्न क्रमांक 91 ते 120, तसेच काही अध्यापनशास्त्राचे प्रश्न 87-90) उमेदवारांच्या मूलभूत संकल्पना, तार्किक विचार आणि वेळेचे नियोजन यांची खरी कसोटी पाहण्यात आली होती.
या प्रश्नपत्रिकेचे सविस्तर विश्लेषण, विचारण्यात आलेले घटक आणि काही प्रातिनिधिक प्रश्नांची सविस्तर उत्तरे खालीलप्रमाणे आहेत:
१. परीक्षेचे स्वरूप आणि काठिण्य पातळी
२०१४ च्या गणित विभागाची काठिण्य पातळी मध्यम ते कठीण (Moderate to Difficult) स्वरूपाची होती. प्रश्नांची रचना केवळ सूत्रांवर आधारित नसून, उपयोजनावर (Application-based) भर देणारी होती. विशेषतः भूमिती, काळ-काम-वेग आणि वयावर आधारित शाब्दिक उदाहरणे सोडवण्यासाठी अचूक तर्क आणि गणिताच्या पायऱ्या समजणे आवश्यक होते.
२. घटकानुसार प्रश्नांचे वर्गीकरण (Topic-wise Analysis)
या प्रश्नपत्रिकेत प्रामुख्याने खालील घटकांवर भर देण्यात आला होता:
- संख्याज्ञान (Number System): जोडमूळ संख्या, सम-विषम संख्यांच्या बेरजेतील फरक, स्थानिक किंमत आणि घातांक
- भूमिती व महत्त्वमापन (Geometry & Mensuration): आयताचे गुणधर्म, समभुज त्रिकोण, वर्तुळाचे कुंपण, घनाकृतीचे पृष्ठफळ व घनफळ
- व्यावहारिक गणित (Commercial Math): नफा-तोटा, वयावरील उदाहरणे, काळ-काम-वेग (उदा. ताशी वेग वाढवल्यास लागणारा वेळ).
- माहितीचे विश्लेषण (Data Interpretation): वृत्तालेखावर (Pie Chart) आधारित प्रश्न (उदा. बस आणि ट्रेनने प्रवास करणाऱ्यांची संख्या काढणे).
- गणित अध्यापनशास्त्र (Math Pedagogy): मूल्यमापनाची साधने (पडताळा सूची, पदनिश्चयन श्रेणी), अध्यापन प्रतिमाने आणि शिक्षणाची दूरगामी उद्दिष्टे.
प्रश्न ३: (अध्यापनशास्त्र/Pedagogy)
गणित अध्यापनातील दूरगामी उद्दिष्टांच्या स्पष्टीकरणाचा योग्य पर्याय कोणता?
- उत्तर: अनुजा आलेखातील माहितीचा अर्थ लावते.
- स्पष्टीकरण: केवळ आकृत्या काढणे हे कौशल्य (Skill) आहे. परंतु, आलेखावरून माहितीचे ‘विश्लेषण करणे’ किंवा ‘अर्थ लावणे’ (Interpretation/Application) हे ज्ञानाचे उच्च स्तरावरील उपयोजन आहे, जे गणिताचे मुख्य आणि दूरगामी उद्दिष्ट मानले जाते.
प्रश्न ४: (वयावरील उदाहरणे)
पाच वर्षांपूर्वी सियाचे वय हिमांशूच्या वयाच्या सव्वापट होते. आणखी पाच वर्षानंतर हिमांशूचे वय सियाच्या वयाच्या ६/७ पट असेल; तर दोघांच्या आजच्या वयांची बेरीज किती वर्षे असेल?
- उत्तर: ५५ वर्षे
- स्पष्टीकरण: ५ वर्षांपूर्वीची वये: हिमांशू = x आणि सिया = 1.25x मानू. समीकरण सोडवल्यानंतर सियाचे आजचे वय ३० आणि हिमांशूचे आजचे वय २५ येते. ३० + २५ = ५५ वर्षे.
४. आगामी परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टीपा (Pro Tips)
- सूत्रांचे पाठांतर आणि उपयोजन: केवळ सूत्रे पाठ करून चालत नाही. उदा. पृष्ठफळावरून बाजू काढून मग घनफळ काढण्याची पद्धत समजून घेणे आवश्यक आहे.
- अध्यापनशास्त्राकडे दुर्लक्ष करू नका: गणिताच्या ३० प्रश्नांपैकी ५-७ प्रश्न हे अध्यापनशास्त्र व मूल्यमापन तंत्रावर (उदा. पडताळा सूची, प्रासंगिक नोंदी) असतात. हे प्रश्न कमी वेळेत अचूक गुण मिळवून देतात.
- वृत्तालेख (Pie Chart): कोनांच्या मापांवरून (३६० अंश) संख्या काढण्याचे सूत्र व्यवस्थित सरावून घ्या.
MAHARASHTRA TET 2014 PAPER – 1 विषय – गणित (प्रश्न 91 – 100)
91. खालीलपैकी जोडमूळ संख्यांचा पर्याय कोणता?
योग्य उत्तर: (3) 179, 181
स्पष्टीकरण: ज्या दोन मूळ संख्यांमध्ये 2 चा फरक असतो त्यांना जोडमूळ संख्या म्हणतात. 179 आणि 181 या दोन्ही मूळ संख्या असून त्यांच्यात 2 चा फरक आहे. (इतर पर्यायात 129, 141, 159, 161 या संयुक्त संख्या आहेत).
92. 13 ते 88 या संख्यांमधील सम संख्या आणि विषम संख्या यांच्या बेरजेतील फरक किती?
योग्य उत्तर: (1) 38
स्पष्टीकरण: 13 ते 88 पर्यंत एकूण 76 संख्या आहेत. त्यापैकी 38 सम आणि 38 विषम आहेत. प्रत्येक लगतच्या सम-विषम जोडीत (उदा. 14-13) 1 चा फरक असतो. एकूण 38 जोड्या असल्याने 38 × 1 = 38 हा फरक येईल.
93. 5-2 ही स्थानिक किंमत असणारा अंक खालील पर्यायांपैकी कोणत्या संख्येत आहे?
योग्य उत्तर: (1) 8.645
स्पष्टीकरण: 5-2 म्हणजे 1 / 52 = 1 / 25 = 0.04. म्हणजे दशांश चिन्हानंतर दुसऱ्या घरात 4 हा अंक असणे आवश्यक आहे. 8.645 मध्ये 4 ची स्थानिक किंमत 0.04 आहे.
94. स्वराजचा सातवा वाढदिवस 13 डिसेंबर, 2014 ला शनिवारी आहे; तर त्याच्या जन्मदिवसाचा वार कोणता?
योग्य उत्तर: (1) गुरुवार
स्पष्टीकरण: 2014 ला 7 वा वाढदिवस, म्हणजे जन्म 2007 चा आहे. 2007 ते 2014 या 7 वर्षात 2 लीप वर्षे (2008, 2012) येतात. एकूण दिवस = 7 + 2 = 9. 9 ला 7 ने भागले असता 2 बाकी उरते. शनिवारच्या मागे 2 दिवस म्हणजे गुरुवार.
95. खालील आयताकृतीतील एकरूप कोनांच्या जोड्या किती?
योग्य उत्तर: (1) 6
स्पष्टीकरण: आयताचे चारही कोन काटकोन (90°) असतात. 4 कोनांमधून 2 कोनांच्या जोड्या निवडल्यास (4C2) = 6 जोड्या मिळतात.
96. एका चौरसाची बाजू 20% ने वाढविली, तर त्याच्या क्षेत्रफळात शेकडा किती वाढ होईल?
योग्य उत्तर: (3) 44%
स्पष्टीकरण: क्षेत्रफळातील वाढ = x + y + (xy/100) सूत्रानुसार: 20 + 20 + (20×20/100) = 40 + 4 = 44%.
97. (2x – 3) ही एक विषम संख्या आहे, तर त्याच्या पुढील चौथी सम संख्या कोणती?
योग्य उत्तर: (1) 2x + 4
स्पष्टीकरण: विषम संख्येनंतरची पहिली सम संख्या = (2x – 3) + 1 = 2x – 2. त्यानंतरची चौथी सम संख्या मिळवण्यासाठी त्यात 3 × 2 = 6 मिळवावे लागतील. (2x – 2) + 6 = 2x + 4.
98. एका वर्तुळाचा परिघ 176 सेमी आहे, तर त्याचे क्षेत्रफळ किती?
योग्य उत्तर: (1) 2464 चौसेमी
स्पष्टीकरण: परिघ 2πr = 176, म्हणजे r = (176 × 7) / (2 × 22) = 28 सेमी. क्षेत्रफळ πr2 = (22/7) × 28 × 28 = 2464 चौसेमी.
99. द.सा.द.शे. 8 दराने 5000 रुपयांचे 3 वर्षाचे सरळव्याज किती?
योग्य उत्तर: (1) 1200
स्पष्टीकरण: सरळव्याज = (मुद्दल × दर × काळ) / 100 = (5000 × 8 × 3) / 100 = 1200 रुपये.
100. दोन संख्यांचा गुणाकार 1960 असून त्यांचा म.सा.वि. 7 आहे, तर ल.सा.वि. किती?
योग्य उत्तर: (1) 280
स्पष्टीकरण: म.सा.वि. × ल.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार. 7 × ल.सा.वि. = 1960. म्हणून ल.सा.वि. = 1960 / 7 = 280.
MAHARASHTRA TET 2014 PAPER – 1 विषय – गणित
101. चौरसाच्या कर्णाची लांबी 12 सेमी असल्यास त्याचे क्षेत्रफळ किती ?
अचूक उत्तर: (2) 72 चौसेमी
स्पष्टीकरण: चौरसाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × (कर्णाची लांबी)2 = 1/2 × (12)2 = 1/2 × 144 = 72 चौसेमी.
102. एका त्रिकोणाच्या बाह्य कोनांची मापे अनुक्रमे (x + 10)°, (x + 20)° व (x + 30)° आहेत; तर x ची किंमत किती ?
अचूक उत्तर: (1) 100°
स्पष्टीकरण: त्रिकोणाच्या तिन्ही बाह्य कोनांच्या मापांची बेरीज 360° असते.
(x+10) + (x+20) + (x+30) = 360
3x + 60 = 360
3x = 300
x = 100.
(x+10) + (x+20) + (x+30) = 360
3x + 60 = 360
3x = 300
x = 100.
103. 1500 रुपयांचे 10% दराने 2 वर्षांचे चक्रवाढ व्याज व सरळ व्याज यातील फरक किती ?
अचूक उत्तर: (3) 15 रुपये
स्पष्टीकरण: फरक = P(R/100)2 = 1500 × (10/100) × (10/100) = 1500 × 1/100 = 15 रुपये.
104. 15 मजुरांना एक काम करण्यास 8 दिवस लागतात; तर तेच काम 12 दिवसात पूर्ण करण्यासाठी किती मजूर लागतील ?
अचूक उत्तर: (1) 10 मजूर
स्पष्टीकरण: व्यस्त चलन (M1 × D1 = M2 × D2)
15 × 8 = M2 × 12
120 = M2 × 12
M2 = 10 मजूर.
15 × 8 = M2 × 12
120 = M2 × 12
M2 = 10 मजूर.
105. एका वर्तुळाचा परिघ 88 सेमी असल्यास त्या वर्तुळाची त्रिज्या किती ?
अचूक उत्तर: (2) 14 सेमी
स्पष्टीकरण: परिघ = 2πr
88 = 2 × 22/7 × r
88 = 44/7 × r
r = 88 × 7/44 = 14 सेमी.
88 = 2 × 22/7 × r
88 = 44/7 × r
r = 88 × 7/44 = 14 सेमी.
106. 0.04 × 0.5 × 0.002 = ?
अचूक उत्तर: (1) 0.00004
स्पष्टीकरण: 4 × 5 × 2 = 40. दशांश चिन्हा नंतर एकूण 2+1+3 = 6 घरे सरकावे लागेल. म्हणून 0.000040 = 0.00004.
107. दोन संख्यांचा गुणाकार 1960 असून त्यांचा म.सा.वि. 7 आहे, तर त्यांचा ल.सा.वि. किती ?
अचूक उत्तर: (1) 280
स्पष्टीकरण: दोन संख्यांचा गुणाकार = ल.सा.वि. × म.सा.वि.
1960 = ल.सा.वि. × 7
ल.सा.वि. = 1960 / 7 = 280.
1960 = ल.सा.वि. × 7
ल.सा.वि. = 1960 / 7 = 280.
108. 15 सेमी बाजू असणाऱ्या घनाचे घनफळ किती ?
अचूक उत्तर: (2) 3375 घसेमी
स्पष्टीकरण: घनाचे घनफळ = (बाजू)3 = 15 × 15 × 15 = 3375 घसेमी.
109. (3/4) + (5/6) – (1/2) = ?
अचूक उत्तर: (1) 13/12
स्पष्टीकरण: लसावि (4, 6, 2) = 12.
(9/12) + (10/12) – (6/12) = (9 + 10 – 6) / 12 = 13/12.
(9/12) + (10/12) – (6/12) = (9 + 10 – 6) / 12 = 13/12.
110. पाच क्रमवार सम संख्यांची सरासरी 30 असल्यास सर्वात मोठी संख्या कोणती ?
अचूक उत्तर: (2) 34
स्पष्टीकरण: क्रमवार संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते. म्हणून मधली संख्या 30 आहे.
संख्या: 26, 28, 30, 32, 34.
सर्वात मोठी संख्या 34 आहे.
संख्या: 26, 28, 30, 32, 34.
सर्वात मोठी संख्या 34 आहे.
MAHARASHTRA TET 2014 PAPER – 1 विषय – गणित
111. एका शेतातील विहिरीवरील पाण्याचा पंप पहिल्या दिवशी 3 तास 48 मिनिटे आणि दुसऱ्या दिवशी 6.2 तास सुरू होता; तर दोन्ही दिवसांतील पंप सुरू असण्याच्या कालावधीतील फरक खालीलपैकी किती? [cite: 1]
(अ) 2.4 तास (ब) 2 तास 22 मिनिटे (क) 144 मिनिटे (ड) 142 मिनिटे [cite: 1]
उत्तर: (3) फक्त (अ) किंवा (क)
पहिला दिवस: 3 तास 48 मि = 3.8 तास.
दुसरा दिवस: 6.2 तास.
फरक: 6.2 – 3.8 = 2.4 तास.
2.4 तास म्हणजे 2 तास + (0.4 × 60) मि = 2 तास 24 मि किंवा 144 मिनिटे.
दुसरा दिवस: 6.2 तास.
फरक: 6.2 – 3.8 = 2.4 तास.
2.4 तास म्हणजे 2 तास + (0.4 × 60) मि = 2 तास 24 मि किंवा 144 मिनिटे.
112. एका घनाकृती केकचे एकूण पृष्ठफळ 1944 से.मी.² आहे. तो कापून इष्टिकाचिती आकाराचे समान चार भाग तयार केले; तर पूर्वीच्या केकच्या तुलनेत त्याच्या सर्व तुकड्यांचे घनफळ आणि एकूण पृष्ठफळ यांबाबत खालीलपैकी कोणते बदल दिसून येतील? [cite: 1]
(अ) पृष्ठफळ तेवढेच असेल. (ब) घनफळ तेवढेच असेल. (क) पृष्ठफळ 1296 सेमी² ने वाढेल. (ड) घनफळ 5832 सेमी³ असेल. [cite: 1]
उत्तर: (2) फक्त (ब), (क) आणि (ड)
पृष्ठफळ 6a² = 1944 → a = 18. घनफळ a³ = 5832 सेमी³. कापल्यामुळे घनफळ बदलत नाही (ब व ड बरोबर). नवीन पृष्ठभाग तयार झाल्यामुळे पृष्ठफळ वाढते.
113. पाच वर्षांपूर्वी सियाचे वय हिमांशूच्या वयाच्या सव्वापट होते. आणखी पाच वर्षानंतर हिमांशूचे वय सियाच्या वयाच्या 6/7 पट असेल; तर दोघांच्या आजच्या वयांची बेरीज किती वर्षे असेल? [cite: 1]
उत्तर: (3) 55
समजा 5 वर्षांपूर्वी हिमांशू = x, सिया = 1.25x. समीकरण सोडवल्यानंतर आजची वये 30 आणि 25 येतात. बेरीज = 55.
114. \(\frac{(8.3 \times 1.5) – (2.7 \times 1.5) – (8.3 \times 2.7) + (8.3 \times 8.3)}{(8.3 + 1.5)(8.3 – 2.7)}\) = किती? [cite: 1]
उत्तर: (4) 1
अंशातील पदांची मांडणी केल्यास ते छेदाइतकेच येते. त्यामुळे भागाकार 1 येतो.
115. कारागीर बांबूच्या तीन शिड्या बनवित आहे. 50 सेमी. अंतरावर एक याप्रमाणे प्रत्येक शिडीला 11 पायऱ्या लावल्या; तर त्या शिड्या बनविण्यासाठी पायऱ्यांशिवाय लागणाऱ्या बांबूंची एकूण लांबी किती मीटर असेल? [cite: 1]
उत्तर: (3) 30
11 पायऱ्यांमधील अंतर = 10 टप्पे × 50 सेमी = 5 मीटर. एका शिडीला दोन बाजूंचे बांबू लागतात (5+5 = 10 मीटर). 3 शिड्यांसाठी 10 × 3 = 30 मीटर.
116. माधवरावांकडे असलेल्या रकमेतील काही रक्कम बचत खात्यात ठेवली. त्यांनी उर्वरित रकमेपैकी 3/5 रक्कम घरखर्चासाठी आणि 1/3 रक्कम मुलांच्या शैक्षणिक फीसाठी दिली. तेव्हा त्यांच्याजवळ रु. 1,200 शिल्लक राहिले; तर त्यांनी बचत खात्यात किती रक्कम ठेवली? [cite: 1]
उत्तर: (2) रु. 6,000
एकूण खर्च 3/5 + 1/3 = 14/15. शिल्लक 1/15 = 1200, म्हणजे उर्वरित रक्कम 18,000. बचत खात्यातील रकमेची माहिती अपूर्ण असली तरी पर्यायानुसार 6,000 योग्य ठरते.
117. एक वस्तू 1,320 रुपयास विकून जितका नफा होतो, त्याच्या दीडपट तोटा 1,145 रुपयास विकल्याने होतो. यावरून त्या वस्तूची मूळ किंमत किती? [cite: 1]
उत्तर: (1) रु. 1,250
नफा = x मानल्यास, तोटा = 1.5x. (1320 – CP) = x आणि (CP – 1145) = 1.5x. हे सोडवल्यास CP = 1250.
118. वृत्तालेखावरून बसने प्रवास करणाऱ्या व्यक्तींची संख्या किती? (ट्रेनने प्रवास करणारे = 168) [cite: 1]
उत्तर: (4) 236
ट्रेनचा कोन (2x-4)° आणि बसचा (4x-2)°. एकूण कोनावरून x शोधून बसची संख्या काढता येते.
119. मोटार सायकलपेक्षा बसने प्रवास करणाऱ्या व्यक्तींची संख्या कितीने कमी आहे? [cite: 1]
उत्तर: (प्र. रद्द)
दिलेल्या माहितीनुसार हा प्रश्न तांत्रिक चुकांमुळे रद्द करण्यात आला आहे. [cite: 1]
120. गणित अध्यापनातील दूरगामी उद्दिष्टांच्या स्पष्टीकरणाचा योग्य पर्याय कोणता? [cite: 1]
उत्तर: (2) अनुजा आलेखातील माहितीचा अर्थ लावते.
माहितीचा अर्थ लावणे (Interpretation) हे गणितातील एक उच्च दर्जाचे आणि दूरगामी उद्दिष्ट आहे.
