6वी गणित : गणितामधील नमुने (Patterns in Math)

गणितामधील नमुने – उत्तरे आणि स्पष्टीकरण

गणितामधील नमुने (Patterns in Math) – सोपी उत्तरे

इयत्ता 6 वीच्या विद्यार्थ्यांसाठी गणितातील नमुने आणि त्यांच्यामागील रहस्ये.

1. विविध संख्यांचे प्रकार आणि नमुने

गणितामध्ये संख्यांची मांडणी ही खूप विशिष्ट असते. खालील तक्त्यामध्ये आपण काही महत्त्वाचे संख्यांचे प्रकार आणि त्यांचे पुढील नमुने पाहूया:

संख्येचा प्रकारसुरुवातीचा क्रमपुढील तीन संख्या (उत्तर)
मोजता येणाऱ्या संख्या1, 2, 3, 4…5, 6, 7
विषम संख्या1, 3, 5, 7…9, 11, 13
सम संख्या2, 4, 6, 8…10, 12, 14
त्रिकोणी संख्या1, 3, 6, 10…15, 21, 28
वर्ग संख्या1, 4, 9, 16…25, 36, 49

2. विषम संख्यांची जादू: वर्ग संख्या कशी मिळते?

तुम्हाला माहीत आहे का? जर आपण पहिल्या काही विषम संख्यांची बेरीज केली, तर आपल्याला नेहमी एक वर्ग संख्या मिळते. हे गणितातील एक अत्यंत सुंदर सूत्र आहे.

  • 1 = 1 (1 चा वर्ग)
  • 1 + 3 = 4 (2 चा वर्ग)
  • 1 + 3 + 5 = 9 (3 चा वर्ग)
  • 1 + 3 + 5 + 7 = 16 (4 चा वर्ग)
  • 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 (5 चा वर्ग)

यावरून आपल्याला समजते की पहिल्या 10 विषम संख्यांची बेरीज 100 (10 चा वर्ग) येईल!

3. आकारातील नमुने आणि बाजूंची संख्या

भूमितीमध्ये नियमित बहुभुजाकृती (Regular Polygons) हा आकारांचा एक महत्त्वाचा क्रम आहे. या आकारांच्या बाजूंची संख्या मोजल्यास आपल्याला मोज संख्यांचा क्रम मिळतो.

आकाराचे नावबाजूंची संख्याकोपऱ्यांची संख्या
नियमित त्रिकोण33
चौरस (चौकोन)44
पंचकोन55
षटकोन66
सप्तकोन77

ज्याप्रमाणे बाजूंची संख्या वाढत जाते, त्याच क्रमाने कोपऱ्यांची संख्या देखील वाढते. हा संख्या आणि आकारांमधील एक विलक्षण संबंध आहे.

इयत्ता 6 वी गणित: नमुने आणि संख्यांची मांडणी – उत्तरे

इयत्ता 6 वी गणित: नमुने आणि संख्यांची मांडणी

पान क्र. 2 वरील प्रश्नांची उत्तरे

प्रश्न 1: आपल्या नित्य जीवनामध्ये गणिताची मदत होणाऱ्या उदाहरणाविषयी विचार करु शकाल का?

उत्तर: आपल्या दैनंदिन जीवनात अनेक ठिकाणी गणिताचा आणि संख्यांच्या नमुन्यांचा वापर होतो. खरेदी करणे, स्वयंपाक करताना प्रमाणाचे मोजमाप करणे, चेंडू वर फेकणे आणि खेळ खेळणे, तसेच तंत्रज्ञानाचा वापर करून हवामानाची मांडणी समजून घेणे यांसारख्या अनेक गोष्टींमध्ये गणिताची मदत होते.

प्रश्न 2: मानवता पुढे चालू ठेवण्यास गणित कशी मदत करते?

उत्तर: गणितामुळे मानवतेला मोठी प्रगती करता आली आहे. ग्रहांची आणि ताऱ्यांची गती समजून घेऊन गुरुत्वाकर्षणाचा सिद्धांत विकसित करणे शक्य झाले. गणिताच्याच मदतीने आपण उपग्रहांचे उड्डाण करू शकलो आणि चंद्र तसेच मंगळ ग्रहावर अग्निबाण (rocket) पाठवू शकलो. आजारांचे निदान करणे, नवीन तंत्रज्ञान जसे की संगणक, भ्रमणध्वनी (mobile), दूरदर्शन संच, सायकली, विमाने, घरे आणि पूल निर्माण करणे या सर्व प्रक्रियांमध्ये गणित महत्त्वाची भूमिका बजावते.

पान क्र. 4 वरील प्रश्नांची उत्तरे

प्रश्न 1: कोष्टक 2 मधील संख्या क्रम तुमच्या वहीमध्ये चित्राकृती सादरीकरण करून पुन्हा गणिती बोल लिहा आणि प्रत्येक क्रमातील पुढील चित्र काढा.

उत्तर: खालील तक्त्यामध्ये संख्या क्रम आणि त्यांची पुढील संख्या दिली आहे. (विद्यार्थ्यांनी त्यांच्या वहीत या संख्यांनुसार पुढील आकृती/टिंबे काढावीत.)

संख्यांचा प्रकारदिलेला क्रमपुढील संख्या (पुढील चित्र)
त्रिकोणी संख्या1, 3, 6, 10, 1521 (21 टिंबांचा मोठा त्रिकोण तयार होईल)
वर्ग संख्या1, 4, 9, 16, 2536 (36 टिंबांचा चौरस तयार होईल, 6×6 ची मांडणी)
घन संख्या1, 8, 27, 64, 125216 (216 ठोकळ्यांचा मोठा घन तयार होईल)
प्रश्न 2: 1, 3, 6, 10, 15 यांना त्रिकोणी संख्या असे का म्हणतात?

उत्तर: या संख्यांना त्रिकोणी संख्या म्हणतात कारण जर आपण या संख्यांना समान अंतरावरील टिंबांच्या (dots) स्वरूपात मांडले, तर त्यापासून एक समभुज त्रिकोण तयार होतो. जसे की 3 टिंबे जोडून एक त्रिकोण बनतो, 6 टिंबांनी त्याहून मोठा त्रिकोण बनतो.

प्रश्न 3: 1, 4, 9, 16, 25 यांना वर्ग संख्या किंवा वर्ग असे का म्हणतात?

उत्तर: या संख्यांना वर्ग संख्या म्हणतात कारण जेव्हा या संख्यांइतकी टिंबे एका जाळीत (grid) मांडली जातात, तेव्हा त्यांची लांबी आणि रुंदी समान असते आणि त्यातून एक अचूक चौरस (Square) तयार होतो. उदाहरणार्थ, 16 ही संख्या 4 बाय 4 च्या चौरसाकृती जाळीत मांडता येते.

प्रश्न 4: 1, 8, 27, 64, 125 यांना घन असे का म्हणतात?

उत्तर: या संख्यांना घन (Cube) संख्या म्हणतात कारण या संख्यांची मांडणी त्रिमितीय (3D) स्वरूपात करता येते. जर आपण समान आकाराचे छोटे ठोकळे वापरले, तर या संख्यांचा वापर करून लांबी, रुंदी आणि उंची समान असलेला एक मोठा घन तयार होतो.

गणितामधील नमुने (मांडणी) – इयत्ता 6 वी उत्तरे

इयत्ता 6 वी च्या पाठ्यपुस्तकातील पृष्ठ क्र. 7, 8 आणि 9 वरील प्रश्नांची सविस्तर उत्तरे खालीलप्रमाणे आहेत.

पृष्ठ क्रमांक 7 वरील उत्तरे

प्रश्न 1: मोजसंख्या वर आणि खाली याप्रमाणे बेरीज का केली पाहिजे याचे चित्राकृतीद्वारे स्पष्टीकरण करुन शोधू शकाल का? 1, 1+2+1, 1+2+3+2+1… हे वर्ग संख्या देतात?
उत्तर: होय, हे वर्ग संख्या देतात. जर आपण चौरसाकृती बिंदूंची मांडणी पाहिली (उदा. 3×3 चौरस), तर सर्वात लांब कर्ण रेषेवर 3 बिंदू असतात. त्या कर्णाच्या एका बाजूला 2 आणि 1 बिंदू असतात, तसेच दुसऱ्या बाजूलाही 2 आणि 1 बिंदू असतात. त्यामुळे एकूण बिंदूंची संख्या 1+2+3+2+1 = 9 (3 चा वर्ग) अशी येते.
प्रश्न 2: 1+2+3+….+99+100+99+…..3+2+1 ची किंमत किती येते ते पाहू शकाल का?
उत्तर: वरील प्रश्नाच्या नियमानुसार, 1 पासून सुरु करून एखाद्या संख्येपर्यंत जाणे आणि पुन्हा 1 पर्यंत परत येणे, या क्रमाची बेरीज ही त्या सर्वात मोठ्या संख्येचा वर्ग असते. येथे सर्वात मोठी संख्या 100 आहे. म्हणून या पूर्ण क्रमाची बेरीज 100 चा वर्ग म्हणजेच 10000 येईल.
प्रश्न 3: जेव्हा सर्व 1 चा क्रम वरील प्रमाणे बेरीज करून सुरुवात केली तर तुम्हाला कोणता क्रम मिळेल? तसेच वर आणि खाली बेरीज केली तर कोणता क्रम मिळेल?
उत्तर:
  • केवळ 1 ची बेरीज करत गेल्यास (1, 1+1, 1+1+1…) आपल्याला मोज संख्या मिळतील: 1, 2, 3, 4, 5…
  • सर्व 1 ची बेरीज वर आणि खाली केल्यास (उदा. 1, 1+1+1, 1+1+1+1+1) आपल्याला विषम संख्यांचा क्रम मिळेल: 1, 3, 5, 7, 9…
प्रश्न 4: जर मोज संख्या वरच्या बाजूने बेरीज करत गेलात तर तुम्हाला कोणता क्रम मिळेल?
उत्तर: मोज संख्यांची बेरीज करत गेल्यास (1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4) आपल्याला ‘त्रिकोणी संख्यांचा’ क्रम मिळेल: 1, 3, 6, 10, 15…
प्रश्न 5: जेव्हा क्रमवार त्रिकोणी संख्यांची वरच्या बाजूने बेरीज केली तर काय घडून येते? उदा. 1+3, 3+6, 6+10…
उत्तर: दोन लगतच्या त्रिकोणी संख्यांची बेरीज केल्यास आपल्याला ‘वर्ग संख्या’ मिळतात (4, 9, 16…). चित्राकृतीद्वारे हे सांगता येईल की दोन त्रिकोण एकत्र जोडल्यास एक पूर्ण चौरस तयार होतो.
प्रश्न 6: 1 पासून सुरुवात करून 2 च्या घातांकाची बेरीज केली तर (1, 1+2, 1+2+4…) काय मिळते? आणि त्यामध्ये 1 मिळवला तर?
उत्तर: 2 च्या घातांकांची बेरीज केल्यास अनुक्रमे 1, 3, 7, 15, 31… हा क्रम मिळतो. जर आपण या प्रत्येक संख्येत 1 मिळवला (1+1=2, 3+1=4, 7+1=8…), तर आपल्याला पुन्हा ‘2 च्या घातांक संख्यांचा’ पुढील क्रम मिळतो: 2, 4, 8, 16, 32…
प्रश्न 7: त्रिकोणी संख्यांना 6 ने गुणाकार करून त्यामध्ये 1 मिळविला असता काय घडून येते?
उत्तर: त्रिकोणी संख्या (1, 3, 6, 10…).
  • 1 x 6 + 1 = 7
  • 3 x 6 + 1 = 19
  • 6 x 6 + 1 = 37
असे केल्यास आपल्याला ‘षटकोनाकृती संख्यांचा’ क्रम मिळतो.
प्रश्न 8: षटकोनाकृती संख्यांना मिळवायला सुरूवात केली तर काय घडते? (1, 1+7, 1+7+19…)
उत्तर: यांची बेरीज केल्यास (1, 8, 27, 64…) आपल्याला ‘घन संख्यांचा’ (Cube numbers) क्रम मिळतो.

पृष्ठ क्रमांक 8 व 9 वरील आकारातील नमुने

प्रश्न 1: नियमित बहुभुजाकृतीच्या क्रमातील प्रत्येक आकाराच्या बाजूंची संख्या मोजा. तसेच कोपऱ्यांची संख्या मोजा.
उत्तर: त्रिकोण (3), चौकोन (4), पंचकोन (5), षटकोन (6). यामुळे आपल्याला 3, 4, 5, 6… हा मोज संख्यांचा क्रम मिळतो. नियमित बहुभुजाकृतीमध्ये जेवढ्या बाजू असतात, तेवढेच कोपरे असतात. त्यामुळे कोपऱ्यांचा क्रम देखील 3, 4, 5, 6… असाच येतो.
प्रश्न 2: पूर्ण आलेख क्रमाच्या (K2, K3, K4…) प्रत्येक आकारामधील रेषांची संख्या मोजा.
उत्तर:
आलेख आकाररेषांची संख्या
K21
K33
K46
K510
हा आपल्याला ‘त्रिकोणी संख्यांचा’ क्रम देतो.
प्रश्न 3: रचलेल्या चौरसाच्या क्रमामध्ये प्रत्येक आकारामध्ये किती लहान चौरस आहेत?
उत्तर: रचलेल्या चौरसांमध्ये लहान चौरसांची संख्या मोजल्यास 1, 4, 9, 16… अशी येते. हा ‘वर्ग संख्यांचा’ क्रम आहे.
प्रश्न 4: रचलेल्या त्रिकोणाच्या क्रमामध्ये प्रत्येक आकारामध्ये किती लहान त्रिकोण आहेत?
उत्तर: रचलेल्या त्रिकोणांमध्ये लहान त्रिकोण मोजल्यास आपल्याला 1, 4, 9, 16… असे त्रिकोण मिळतात. हा सुद्धा ‘वर्ग संख्यांचा’ क्रम आहे.
प्रश्न 5: कोच स्नोफ्लेकच्या प्रत्येक आकारामध्ये एकूण किती रेषाखंड होतात?
उत्तर: स्नोफ्लेकच्या प्रत्येक टप्प्यात रेषाखंडांची संख्या 3, 12, 48… अशी वाढते. हा क्रम 4 च्या घातांकाच्या 3 पट आहे.

Join WhatsApp Channel Join Now
Telegram Group Join Now
Share your love

Related Posts